आकडेवारी मध्ये सहसंबंध गुणांक. फेकनर गुणांक (चिन्ह सहसंबंध गुणांक). परिधान, मूल्यांकनासाठी इतर गुणांक आहेत

मुलांसाठी अँटीपायरेटिक्स बालरोगतज्ञांनी लिहून दिले आहेत. परंतु तापासह आपत्कालीन परिस्थिती असते जेव्हा मुलाला ताबडतोब औषध देणे आवश्यक असते. मग पालक जबाबदारी घेतात आणि अँटीपायरेटिक औषधे वापरतात. लहान मुलांना काय देण्याची परवानगी आहे? मोठ्या मुलांमध्ये तापमान कसे कमी करावे? कोणती औषधे सर्वात सुरक्षित आहेत?

फेकनर प्रमाण- हे घटक आणि परिणामी वैशिष्ट्यांच्या सरासरी मूल्यांमधून घटक आणि परिणामी वैशिष्ट्यांच्या वैयक्तिक मूल्यांच्या विचलनाच्या दिशानिर्देशांमधील सुसंगततेचे मूल्यांकन आहे. स्पियरमॅन गुणांक आणि कंडेल गुणांक यांसारख्या गुणांकांसह फेकनर गुणांक, याचा संदर्भ देते सहसंबंध गुणांक चिन्हांकित करा. चिन्ह सहसंबंध गुणांक घटकाच्या वैयक्तिक मूल्यांच्या विचलनाच्या दिशांच्या सातत्य आणि संबंधित सरासरीच्या परिणामी चिन्हे यांचे मूल्यांकन करण्यावर आधारित आहे. हे खालीलप्रमाणे मोजले जाते:

A #n b " data-id="a;b" data-formul="(a-b)/(a+b)" data-r="K f">तुमच्या मूल्याची गणना करा

फेकनर गुणांक -1 ते +1 पर्यंत मूल्ये घेऊ शकतात. Kf = 1 थेट कनेक्शनची संभाव्य उपस्थिती दर्शवते, Kf = -1 अभिप्रायाची संभाव्य उपस्थिती दर्शवते.

सेवेचा उद्देश. ही सेवा Fechner गुणांक ऑनलाइन मोजण्यासाठी डिझाइन केली आहे. या गुणांकाचे महत्त्वही ठरवले जाते.

सूचना. डेटाचे प्रमाण निर्दिष्ट करा (पंक्तींची संख्या), पुढील क्लिक करा. परिणामी समाधान वर्ड फाइलमध्ये जतन केले जाते. एक्सेलमध्ये सोल्यूशनची चाचणी घेण्यासाठी टेम्पलेट देखील स्वयंचलितपणे तयार केले जाते.

फेकनर गुणांकाची गणनाखालील चरणांचा समावेश आहे:

प्रत्येक वैशिष्ट्यासाठी (X आणि Y) सरासरी मूल्ये निर्धारित केली जातात.
प्रत्येक वैशिष्ट्याच्या सरासरी मूल्यापासून (-,+) विचलनाची चिन्हे निर्धारित केली जातात.
चिन्हे जुळत असल्यास, A मूल्य नियुक्त करा, अन्यथा B.
A आणि B ची संख्या मोजली जाते, सूत्र वापरून फेकनर गुणांकाची गणना केली जाते: K f = (n a - n b)/(n a + n b) जेथे n a म्हणजे सरासरीपासून वैयक्तिक मूल्यांच्या विचलनाच्या चिन्हांच्या योगायोगांची संख्या ; n b - न जुळणाऱ्यांची संख्या.

फेकनर प्रमाण[-1;+1] मध्ये बदलते आणि गुणात्मक वैशिष्ट्ये (नॉन-पॅरामेट्रिक पद्धती) मधील संबंधांच्या जवळचे मूल्यांकन करण्यासाठी वापरले जाते.

फेकनर गुणांकाचे ग्राफिकल प्रतिनिधित्व

उदाहरण क्रमांक १. उच्च-तापमानाच्या परिस्थितीत कमी द्रवपदार्थाच्या नुकसानासह चिकणमातीचे द्रावण विकसित करताना, दोन फॉर्म्युलेशनची समांतर चाचणी केली गेली, त्यापैकी एकामध्ये 2% CMC आणि 1% Na2CO3 आणि दुसरे 2% CMC, 1% Na2CO3 आणि 0.1% पोटॅशियम डायक्रोमेट होते. परिणामी, खालील X मूल्ये प्राप्त झाली (30 s नंतर पाण्याचे नुकसान).

X1	9	9	11	9	8	11	10	8	10
X2	10	11	10	12	11	12	12	10	9

प्रश्नातील उपाय त्यांच्या द्रवपदार्थ कमी होण्याच्या मूल्यानुसार वेगळे करता येण्याजोगे आहेत का ते तपासते.

उदाहरण क्रमांक 2. सहसंबंध गुणांक साइन करा, किंवा फेकनर गुणांक, घटकांच्या वैयक्तिक मूल्यांच्या विचलनाच्या दिशांच्या सातत्य आणि संबंधित सरासरीच्या परिणामी वैशिष्ट्यांचे मूल्यांकन करण्यावर आधारित आहे. हे खालीलप्रमाणे मोजले जाते:

जेथे n a म्हणजे सरासरीपासून वैयक्तिक मूल्यांच्या विचलनाच्या चिन्हांच्या जुळण्यांची संख्या; n b - न जुळणाऱ्यांची संख्या.

फेकनर प्रमाण-1 ते +1 पर्यंत मूल्ये घेऊ शकतात. Kf = 1 थेट कनेक्शनची संभाव्य उपस्थिती दर्शवते, Kf = -1 अभिप्रायाची संभाव्य उपस्थिती दर्शवते.

उदाहरण क्रमांक 2
टेबलमध्ये दिलेल्या डेटाचा वापर करून फेकनर गुणांक मोजण्याचे उदाहरण पाहू:
सरासरी मूल्ये:

मध्य X पासून विचलनाची चिन्हे	मध्य Y पासून विचलनाची चिन्हे	(a) किंवा न जुळणारे (b) वर्ण

गुणांकाचे मूल्य सूचित करते की आम्ही अभिप्रायाची उपस्थिती गृहीत धरू शकतो.

चिन्ह सहसंबंध गुणांकाचा अंदाज.

फेकनर गुणांकाचा अंदाज लावण्यासाठी, त्याचे महत्त्व मूल्यांकन करणे आणि आत्मविश्वास मध्यांतर शोधणे पुरेसे आहे.
फेकनर गुणांकाचे महत्त्व.

विद्यार्थ्यांच्या टेबलचा वापर करून आम्हाला टेबल टेबल सापडते:
t टेबल (n-m-1;a) = (6;0.05) = 1.943
Tob > ttable असल्याने, आम्ही हे गृहितक नाकारतो की चिन्ह सहसंबंध गुणांक 0 च्या समान आहे. दुसऱ्या शब्दांत, फेकनर गुणांक सांख्यिकीयदृष्ट्या महत्त्वपूर्ण आहे.

फेकनर गुणांकासाठी आत्मविश्वास मध्यांतर:
r(-1.0;-0.4495)

उदाहरण क्रमांक 3.
टेबलमध्ये दिलेल्या डेटाचा वापर करून चिन्ह सहसंबंध गुणांक मोजण्याचे उदाहरण पाहू.

A #n b " data-id="a;b" data-formul="(a-b)/(a+b)" data-r="K f">तुमच्या मूल्याची गणना करा

फेकनर गुणांकाची गणनाखालील चरणांचा समावेश आहे:

प्रत्येक वैशिष्ट्यासाठी (X आणि Y) सरासरी मूल्ये निर्धारित केली जातात.
प्रत्येक वैशिष्ट्याच्या सरासरी मूल्यापासून (-,+) विचलनाची चिन्हे निर्धारित केली जातात.
चिन्हे जुळत असल्यास, A मूल्य नियुक्त करा, अन्यथा B.
A आणि B ची संख्या मोजली जाते, सूत्र वापरून फेकनर गुणांकाची गणना केली जाते: K f = (n a - n b)/(n a + n b) जेथे n a म्हणजे सरासरीपासून वैयक्तिक मूल्यांच्या विचलनाच्या चिन्हांच्या योगायोगांची संख्या ; n b - न जुळणाऱ्यांची संख्या.

फेकनर गुणांकाचे ग्राफिकल प्रतिनिधित्व

X1	9	9	11	9	8	11	10	8	10
X2	10	11	10	12	11	12	12	10	9

मध्य X पासून विचलनाची चिन्हे	मध्य Y पासून विचलनाची चिन्हे	(a) किंवा न जुळणारे (b) वर्ण

गुणांकाचे मूल्य सूचित करते की आम्ही अभिप्रायाची उपस्थिती गृहीत धरू शकतो.

चिन्ह सहसंबंध गुणांकाचा अंदाज.

फेकनर गुणांकासाठी आत्मविश्वास मध्यांतर:
r(-1.0;-0.4495)

केंडलचा रँक सहसंबंध गुणांक.
गणना सूत्राचे स्वरूप आहे: आम्ही सर्व घटकांना x^ च्या वैशिष्ट्यानुसार, दुसऱ्या वैशिष्ट्यपूर्ण x च्या मालिकेनुसार रँक करतो 10 ): कुठे ia/2 -निवडलेल्या महत्त्वाच्या पातळीसाठी सामान्य वितरण सारणीवरून निर्धारित केलेले परिमाण a (उदाहरणार्थ, a = 0.05 साठी आपल्याला मिळते ia/2 =१.९६). तर पी 10, मग ते मोजतात...
(अर्थशास्त्रातील बहुविध सांख्यिकीय पद्धती)
गुंतवणूक निर्देशकासह प्रादेशिक उपप्रणालीच्या स्थितीच्या निर्देशकांचे सहसंबंध गुणांक
प्रजनन दर -0.08 (p = 0.768) 0.10 (p = 0.707) मृत्यू दर -0.36 (p = 0.158) -0.65 (p = 0.004) बालमृत्यू दर -0.13 (p = 0.619) ) p = 0.40pulation 0.98 (p = 0.000) 0.62 (p = 0.008) जन्माच्या वेळी आयुर्मान, वर्षे 0.20...
(प्रादेशिक विकास: प्रादेशिक फरकांचे निदान)
गुंतवणूक निर्देशकासह प्रादेशिक उपप्रणालीच्या स्थितीच्या निर्देशकांचे सहसंबंध गुणांक
प्रजनन दर -0.08 (p = 0.768) 0.10 (p = 0.707) मृत्यू दर -0.36 (p = 0.158) -0.65 (p = 0.004) बालमृत्यू दर -0.13 (p = 0.619) ) p = 0.40pulation 0.98 (p = 0.000) 0.62 (p = 0.008) जन्माच्या वेळी आयुर्मान, वर्षे 0.20...
(प्रादेशिक विकास: प्रादेशिक फरकांचे निदान)
स्पिअरमॅनचा रँक सहसंबंध गुणांक
हा गुणांक रँकिंगचा संदर्भ देतो, म्हणजे, घटकांची मूल्ये आणि परिणामी वैशिष्ट्ये स्वत: परस्परसंबंधित नसतात, परंतु त्यांचे रँक (मूल्यांच्या प्रत्येक पंक्तीमध्ये चढत्या किंवा उतरत्या क्रमाने व्यापलेल्या त्यांच्या स्थानांची संख्या) . स्पिअरमॅनचा रँक सहसंबंध गुणांक घटक मूल्यांच्या श्रेणीतील फरक लक्षात घेऊन आधारित आहे...
(सामान्य आकडेवारीचा सिद्धांत)

19व्या शतकाच्या उत्तरार्धात जी.टी. फेकनर यांनी प्रस्तावित केलेला सहसंबंध गुणांक, दोन चलांमधील संबंधांचे सर्वात सोपे माप आहे. हे दोन मानसशास्त्रीय वैशिष्ट्यांच्या तुलनेवर आधारित आहे x iआणि y i, समान नमुन्यावर मोजले जाते, सरासरी पासून वैयक्तिक मूल्यांच्या विचलनाच्या चिन्हांची तुलना करून: आणि
. दोन व्हेरिएबल्समधील परस्परसंबंधाचा निष्कर्ष या चिन्हांच्या जुळण्या आणि जुळण्यांच्या संख्येवर आधारित आहे.

उदाहरण

द्या x iआणि y i- विषयांच्या एकाच नमुन्यावर मोजलेले दोन गुण. फेकनर गुणांकाची गणना करण्यासाठी, प्रत्येक वैशिष्ट्यासाठी, तसेच व्हेरिएबलच्या प्रत्येक मूल्यासाठी सरासरी मूल्यांची गणना करणे आवश्यक आहे - सरासरीपासून विचलनाचे चिन्ह (तक्ता 8.1):

तक्ता 8.1

x i	y i	पदनाम

टेबल मध्ये: ए- चिन्हांचा योगायोग, b- चिन्हे जुळत नाहीत; n a - सामन्यांची संख्या, n b - विसंगतींची संख्या (या प्रकरणात n a = 4, n b = 6).

Fechner सहसंबंध गुणांक सूत्र वापरून मोजला जातो:

(8.1)

या प्रकरणात:

निष्कर्ष

अभ्यासलेल्या चलांमध्ये कमकुवत नकारात्मक संबंध आहे.

हे लक्षात घेतले पाहिजे की फेकनर सहसंबंध गुणांक हा पुरेसा कठोर निकष नाही, म्हणून तो डेटा प्रक्रियेच्या सुरुवातीच्या टप्प्यावर आणि प्राथमिक निष्कर्ष तयार करण्यासाठी वापरला जाऊ शकतो.

8. 4. पियर्सन सहसंबंध गुणांक

पिअरसन सहसंबंध गुणांकाचे मूळ तत्त्व म्हणजे क्षणांच्या गुणाकाराचा वापर (सरासरी मूल्यापासून चलच्या मूल्याचे विचलन):

जर क्षणांच्या उत्पादनांची बेरीज मोठी आणि सकारात्मक असेल तर एक्सआणि येथेथेट संबंधित आहेत; जर बेरीज मोठी आणि ऋण असेल तर एक्सआणि येथेजोरदार उलट संबंधित; शेवटी, दरम्यान कोणतेही कनेक्शन नसल्यास xआणि येथेक्षणांच्या उत्पादनांची बेरीज शून्याच्या जवळ आहे.

आकडेवारी नमुन्याच्या आकारावर अवलंबून नाही याची खात्री करण्यासाठी, क्षणांच्या उत्पादनांच्या बेरजेऐवजी सरासरी मूल्य घेतले जाते. तथापि, विभागणी नमुन्याच्या आकारानुसार नव्हे तर स्वातंत्र्याच्या अंशांच्या संख्येनुसार केली जाते n - 1.

विशालता
मधील कनेक्शनचे मोजमाप आहे एक्सआणि येथेआणि त्याला सहपरिवर्तन म्हणतात एक्सआणि येथे.

नैसर्गिक आणि तांत्रिक विज्ञानातील अनेक समस्यांमध्ये, सहविभाजन हे कनेक्शनचे पूर्णपणे समाधानकारक उपाय आहे. त्याचा तोटा असा आहे की त्याच्या मूल्यांची श्रेणी निश्चित केलेली नाही, म्हणजेच ती अनिश्चित मर्यादेत बदलू शकते.

असोसिएशनचे प्रमाण प्रमाणित करण्यासाठी, मानक विचलनांच्या प्रभावापासून सहप्रसरण मुक्त करणे आवश्यक आहे. हे करण्यासाठी आपल्याला विभाजित करणे आवश्यक आहे एस xyवर s x आणि s y:

(8.3)

कुठे आर xy- सहसंबंध गुणांक, किंवा Pearson क्षणांचे उत्पादन.

सहसंबंध गुणांक मोजण्यासाठी सामान्य सूत्र खालीलप्रमाणे आहे:

(काही रूपांतरणे)

(8.4)

वर डेटा रूपांतरणाचा प्रभाव आर xy:

1. रेखीय परिवर्तन xआणि yप्रकार bx + aआणि dy + cयांच्यातील परस्परसंबंधाचे परिमाण बदलणार नाही xआणि y.

2. रेखीय परिवर्तने xआणि yयेथे b < 0, d> 0, आणि कधी b> ० आणि d < 0 изменяют знак коэффициента корреляции, не меняя его величины.

Pearson सहसंबंध गुणांकाची विश्वासार्हता (किंवा, अन्यथा, सांख्यिकीय महत्त्व) वेगवेगळ्या प्रकारे निर्धारित केली जाऊ शकते:

पीअरसन आणि स्पिअरमॅन सहसंबंध गुणांकांच्या गंभीर मूल्यांच्या सारण्यांनुसार (परिशिष्ट, टेबल XIII पहा). जर गणनेमध्ये मूल्य प्राप्त झाले आर xy दिलेल्या नमुन्यासाठी गंभीर (टेब्युलर) मूल्य ओलांडल्यास, पीअरसन गुणांक सांख्यिकीयदृष्ट्या महत्त्वपूर्ण मानला जातो. या प्रकरणात स्वातंत्र्याच्या अंशांची संख्या संबंधित आहे n- 2, कुठे n- तुलनात्मक मूल्यांच्या जोड्यांची संख्या (नमुना आकार).

परिशिष्टाच्या टेबल XV नुसार, ज्याचे शीर्षक आहे "सहसंबंध गुणांकाच्या सांख्यिकीय महत्त्वासाठी आवश्यक मूल्यांच्या जोड्यांची संख्या." या प्रकरणात, गणनामध्ये प्राप्त झालेल्या सहसंबंध गुणांकावर लक्ष केंद्रित करणे आवश्यक आहे. दिलेल्या गुणांकासाठी नमुन्याचा आकार टॅब्युलेट केलेल्या मूल्यांच्या जोड्यांच्या संख्येइतका किंवा त्यापेक्षा जास्त असल्यास ते सांख्यिकीयदृष्ट्या महत्त्वपूर्ण मानले जाते.

विद्यार्थी गुणांकानुसार, ज्याची गणना त्याच्या त्रुटीशी सहसंबंध गुणांकाचे गुणोत्तर म्हणून केली जाते:

(8.5)

सहसंबंध गुणांक त्रुटी खालील सूत्र वापरून गणना केली जाते:

कुठे मी r - सहसंबंध गुणांक त्रुटी, आर- सहसंबंध गुणांक; n- तुलना केल्या जात असलेल्या जोड्यांची संख्या.

खालील समस्या सोडवण्याच्या उदाहरणाचा वापर करून पिअर्सन सहसंबंध गुणांकाचे सांख्यिकीय महत्त्व आणि गणना करण्याच्या पद्धतीचा विचार करूया.

कार्य

22 हायस्कूल विद्यार्थ्यांची दोन चाचण्यांवर चाचणी घेण्यात आली: USK (व्यक्तिनिष्ठ नियंत्रण पातळी) आणि MkU (यशाची प्रेरणा). खालील परिणाम प्राप्त झाले (तक्ता 8.2):

तक्ता 8.2

	USK ( x i)	MkU ( y i)		USK ( x i)	MkU ( y i)

व्यायाम करा

उच्च पातळीची आंतरिकता (यूएससी स्कोअर) असलेल्या लोकांमध्ये यशस्वी होण्यासाठी उच्च पातळीवरील प्रेरणा असते या गृहितकाची चाचणी घेण्यासाठी.

उपाय

1. आम्ही खालील बदलांमध्ये पीअरसन सहसंबंध गुणांक वापरतो (सूत्र 8.4 पहा):

मायक्रोकॅल्क्युलेटरवर डेटा प्रोसेसिंगच्या सोयीसाठी (आवश्यक संगणक प्रोग्रामच्या अनुपस्थितीत), खालील फॉर्मचे इंटरमीडिएट वर्क टेबल तयार करण्याची शिफारस केली जाते (तक्ता 8.3):

तक्ता 8.3

x i y i

x 1 y 1

x 2 y 2

x 3 y 3

x n y n

Σ x i y i

2. आम्ही गणना करतो आणि मूल्ये सूत्रामध्ये बदलतो:

3. आम्ही तीन प्रकारे Pearson सहसंबंध गुणांकाचे सांख्यिकीय महत्त्व निर्धारित करतो:

पहिली पद्धत:

टेबलमध्ये XIII परिशिष्ट आम्हाला 1ल्या आणि 2ऱ्या महत्त्वाच्या स्तरांसाठी गुणांकाची गंभीर मूल्ये सापडतात: आर cr= 0.42; ०.५४ (ν = n – 2 = 20).

आम्ही असा निष्कर्ष काढतो आर xy > आर cr . , म्हणजे सहसंबंध दोन्ही स्तरांसाठी सांख्यिकीयदृष्ट्या महत्त्वपूर्ण आहे.

दुसरी पद्धत:

चला टेबल वापरूया. XV, ज्यामध्ये आम्ही 0.58 च्या बरोबरीच्या पीअरसन सहसंबंध गुणांकाच्या सांख्यिकीय महत्त्वासाठी पुरेशी मूल्यांच्या जोड्यांची संख्या (विषयांची संख्या) निर्धारित करतो: 1 ला, 2रा आणि 3रा महत्त्व स्तरांसाठी ते 12, 18 आणि 28 आहे, अनुक्रमे .

यावरून आम्ही असा निष्कर्ष काढतो की सहसंबंध गुणांक 1ल्या आणि 2ऱ्या स्तरांसाठी महत्त्वपूर्ण आहे, परंतु महत्त्वाच्या 3ऱ्या स्तरापर्यंत "पोहोचत नाही".

3री पद्धत:

आम्ही सहसंबंध गुणांक आणि विद्यार्थी गुणांकातील त्रुटीची गणना पीअरसन गुणांकाच्या त्रुटीचे गुणोत्तर म्हणून करतो:

टेबलमध्ये X आम्हाला स्वातंत्र्याच्या अंशांच्या संख्येसह 1ल्या, 2रे आणि 3ऱ्या महत्त्वाच्या स्तरांसाठी विद्यार्थी गुणांकाची मानक मूल्ये सापडतात ν = n – 2 = 20: ट cr = 2,09; 2,85; 3,85.

सामान्य निष्कर्ष

USC आणि MkU चाचण्यांच्या निर्देशकांमधील सहसंबंध 1ल्या आणि 2ऱ्या स्तरासाठी सांख्यिकीयदृष्ट्या महत्त्वपूर्ण आहे.

टीप:

पीअरसन सहसंबंध गुणांकाचा अर्थ लावताना, खालील मुद्द्यांचा विचार करणे आवश्यक आहे:

डिकोटोमस स्केलचा अपवाद वगळता पिअर्सन गुणांक विविध स्केलसाठी (गुणोत्तर, मध्यांतर किंवा क्रमिक) वापरला जाऊ शकतो.

परस्परसंबंधाचा अर्थ नेहमीच कारण-आणि-प्रभाव संबंध असा होत नाही. दुसऱ्या शब्दांत, जर आपल्याला विषयांच्या गटामध्ये उंची आणि वजन यांच्यातील सकारात्मक संबंध आढळला, तर याचा अर्थ असा नाही की उंची वजनावर अवलंबून असते किंवा त्याउलट (ही दोन्ही वैशिष्ट्ये तिसऱ्या (बाह्य) व्हेरिएबलवर अवलंबून असतात, जे या प्रकरणात एखाद्या व्यक्तीच्या अनुवांशिक घटनात्मक वैशिष्ट्यांशी संबंधित आहे).

आर xu » 0 केवळ दरम्यान कनेक्शन नसतानाही पाहिले जाऊ शकते xआणि y, परंतु मजबूत नॉनलाइनर कनेक्शनच्या बाबतीत देखील (Fig. 8.2 a). या प्रकरणात, नकारात्मक आणि सकारात्मक सहसंबंध संतुलित आहेत, परिणामी कनेक्शन नसल्याचा भ्रम निर्माण होतो.

आर xyदरम्यान मजबूत कनेक्शन असल्यास ते अगदी लहान असू शकते एक्सआणि येथेअभ्यास केलेल्या मूल्यांपेक्षा कमी मूल्यांच्या श्रेणीमध्ये निरीक्षण केले (चित्र 8.2 b).

वेगवेगळ्या माध्यमांसह नमुने एकत्र केल्याने बऱ्यापैकी उच्च सहसंबंधाचा भ्रम निर्माण होऊ शकतो (चित्र 8.2 c).

y i y i y i

+ + . .

x i x i x i

तांदूळ. ८.२. सहसंबंध गुणांकाच्या मूल्याचा अर्थ लावताना त्रुटींचे संभाव्य स्त्रोत (मजकूरातील स्पष्टीकरण (गुण 3 - 5 नोट्स))

सहसंबंध-रिग्रेशन विश्लेषणाची सामान्य समज

घटनांमध्ये अस्तित्वात असलेले फॉर्म आणि कनेक्शनचे प्रकार त्यांच्या वर्गीकरणात खूप वैविध्यपूर्ण आहेत. केवळ तेच आहेत जे परिमाणवाचक स्वरूपाचे आहेत आणि परिमाणवाचक पद्धती वापरून अभ्यासले जातात. सहसंबंध-प्रतिगमन विश्लेषणाच्या पद्धतीचा विचार करूया, जी घटनांमधील संबंधांच्या अभ्यासात मूलभूत आहे.

या पद्धतीमध्ये समाविष्ट आहे त्याचे दोन घटक भाग- सहसंबंध विश्लेषण आणि प्रतिगमन विश्लेषण. सहसंबंध विश्लेषणनमुना व्हेरिएबल्समधील संबंधांची ताकद आणि दिशा ठरवण्यासाठी एक परिमाणात्मक पद्धत आहे. प्रतिगमन विश्लेषणव्हेरिएबल्समधील कारण-आणि-प्रभाव संबंधात गणितीय कार्याचा प्रकार निर्धारित करण्यासाठी एक परिमाणात्मक पद्धत आहे.

सहसंबंध सिद्धांतातील कनेक्शनच्या सामर्थ्याचे मूल्यांकन करण्यासाठी, इंग्रजी सांख्यिकीशास्त्रज्ञ चॅडॉक स्केल वापरला जातो: कमकुवत - 0.1 ते 0.3 पर्यंत; मध्यम - 0.3 ते 0.5 पर्यंत; लक्षणीय - 0.5 ते 0.7 पर्यंत; उच्च - 0.7 ते 0.9 पर्यंत; खूप उच्च (मजबूत) - 0.9 ते 1.0 पर्यंत. हे विषयावरील उदाहरणांमध्ये पुढे वापरले जाते.

रेखीय सहसंबंध

हा सहसंबंध व्हेरिएबल्सच्या भिन्नतेमध्ये एक रेखीय संबंध दर्शवतो. हे जोडले जाऊ शकते (दोन सहसंबंधित चल) किंवा एकाधिक (दोन पेक्षा जास्त चल), थेट किंवा व्यस्त - सकारात्मक किंवा नकारात्मक, जेव्हा व्हेरिएबल्स अनुक्रमे समान किंवा भिन्न दिशानिर्देशांमध्ये बदलतात.

जर व्हेरिएबल्स त्यांच्या एकूण संख्येसह त्यांच्या स्वतंत्र निरीक्षणांमध्ये परिमाणवाचक आणि समतुल्य असतील, तर त्यांच्या रेखीय संबंधांच्या जवळचे सर्वात महत्वाचे अनुभवात्मक उपाय म्हणजे ऑस्ट्रियन मानसशास्त्रज्ञ जी.टी. फेकनर (1801-1887) आणि द इंग्लिश सांख्यिकीशास्त्रज्ञ-बायोमेट्रीशियन के. पीअरसन (1857-1936) यांच्या जोडीदार, शुद्ध (खाजगी) आणि एकाधिक (संचयी) सहसंबंधांचे गुणांक.

फेकनर चिन्ह जोडी सहसंबंध गुणांकव्हेरिएबल्सच्या वैयक्तिक विचलनांमधील दिशांची सुसंगतता त्यांच्या सरासरीवरून निर्धारित करते आणि . हे विचलनातील चिन्हांच्या जुळणी () आणि न जुळणाऱ्या () जोड्यांच्या बेरीजमधील फरक आणि या बेरजेच्या गुणोत्तराच्या समान आहे:

विशालता Kf-1 ते +1 पर्यंत बदलते. (1) मधील बेरीज साधेपणाच्या कारणास्तव बेरीजमध्ये सूचीबद्ध नसलेल्या निरीक्षणांवर केले जाते. जर कोणतेही एक विचलन किंवा , तर ते गणनामध्ये समाविष्ट केले जात नाही. जर दोन्ही विचलन एकाच वेळी शून्य असतील: , तर अशा केसमध्ये समान चिन्हे आहेत असे मानले जाते आणि त्यात समाविष्ट केले जाते. तक्ता 12.1 मध्ये. गणनासाठी डेटाची तयारी दर्शविते (1).

तक्ता 12.1 फेकनर गुणांक मोजण्यासाठी डेटा.

कर्मचारी संख्या, हजार लोक	व्यापार उलाढाल, c.u.	सरासरी पासून विचलन	चिन्हांची तुलना आणि
			योगायोग (पासून)	जुळत नाही (N k)

द्वारे (1) आमच्याकडे आहे K f = (3 - 2)/(3 + 2) = 0.20. फरकांमधील संबंधांची दिशा!!कर्मचाऱ्यांची सरासरी संख्या|कर्मचाऱ्यांची संख्या]] आणि सकारात्मक (सरळ) आहे: विचलनातील चिन्हे आणि बहुसंख्य (5 पैकी 3 प्रकरणांमध्ये) एकमेकांशी जुळतात. चॅडॉक स्केलवरील व्हेरिएबल्समधील संबंधांची जवळीक कमकुवत आहे.

पिअर्सनची जोडी, शुद्ध (आंशिक) आणि एकाधिक (एकूण) रेखीय सहसंबंध गुणांक, फेकनर गुणांकाच्या विरूद्ध, केवळ चिन्हेच नव्हे तर चलांच्या विचलनांची परिमाण देखील विचारात घेतात. त्यांची गणना करण्यासाठी विविध पद्धती वापरल्या जातात. अशाप्रकारे, गट न केलेल्या डेटासाठी थेट मोजणी पद्धतीनुसार, पिअर्सन जोडी सहसंबंध गुणांकाचे स्वरूप आहे:

हा गुणांक देखील -1 ते +1 पर्यंत बदलतो. अनेक व्हेरिएबल्स असल्यास, पिअर्सन मल्टिपल (संचयी) रेखीय सहसंबंध गुणांक मोजला जातो. तीन व्हेरिएबल्ससाठी x, y, zअसं वाटत आहे की

हा गुणांक 0 ते 1 पर्यंत बदलतो. जर आपण आणि वरील प्रभाव काढून टाकला (पूर्णपणे वगळला किंवा स्थिर स्तरावर निश्चित केला), तर त्यांचे "सामान्य" संबंध "शुद्ध" मध्ये बदलतील, एक शुद्ध (आंशिक) पिअरसन रेखीय सहसंबंध तयार करेल. गुणांक:

हा गुणांक -1 ते +1 पर्यंत बदलतो. सहसंबंध गुणांक (2)-(4) च्या वर्गांना निर्धाराचे गुणांक (निर्देशांक) म्हणतात - अनुक्रमे जोडी, शुद्ध (विशिष्ट), एकाधिक (एकूण):

निर्धाराचा प्रत्येक गुणांक 0 ते 1 पर्यंत बदलतो आणि व्हेरिएबल्सच्या रेषीय नातेसंबंधातील भिन्नता निश्चिततेच्या डिग्रीचे मूल्यांकन करतो, दुसऱ्या (इतर) - x आणि y च्या भिन्नतेमुळे एका चल (y) मध्ये भिन्नतेचे प्रमाण दर्शवितो. . तीनपेक्षा जास्त व्हेरिएबल्सचे मल्टीव्हेरिएट केस येथे विचारात घेतलेले नाही.

इंग्रजी सांख्यिकीशास्त्रज्ञ R.E च्या घडामोडीनुसार. फिशर (1890-1962), इंग्लिश सांख्यिकीशास्त्रज्ञ व्ही.एस. यांच्या वितरणावर आधारित, पेअर आणि शुद्ध (आंशिक) पीअरसन सहसंबंध गुणांकांचे सांख्यिकीय महत्त्व तपासले जाते की त्यांचे वितरण सामान्य आहे. गॉसेट (टोपणनाव "विद्यार्थी"; 1876-1937) संभाव्य महत्त्व आणि उपलब्ध स्वातंत्र्याच्या पातळीसह, कनेक्शनची संख्या (फॅक्टर व्हेरिएबल्स) कुठे आहे. जोडलेल्या गुणांकासाठी आमच्याकडे त्याचे मूळ म्हणजे चौरस त्रुटी आणि विद्यार्थ्याच्या टी-चाचणीचे वास्तविक मूल्य आहे:

शुद्ध सहसंबंध गुणांकासाठी, त्याची गणना करताना, (n-2) ऐवजी, घेणे आवश्यक आहे, कारण या प्रकरणात m=2 (दोन घटक चल x आणि z) आहे. मोठ्या संख्येसाठी n>100, (6) मध्ये (n-2) किंवा (n-3) ऐवजी, तुम्ही गणनेच्या अचूकतेकडे दुर्लक्ष करून n घेऊ शकता.

तर t r > t टेबल, नंतर जोडी सहसंबंध गुणांक - एकूण किंवा शुद्ध - सांख्यिकीयदृष्ट्या महत्त्वपूर्ण आहे, आणि जेव्हा t r ≤ t टॅब.- नगण्य.

एकाधिक सहसंबंध गुणांक R चे महत्त्व तपासले जाते एफ— त्याच्या वास्तविक मूल्याची गणना करून फिशर निकष

येथे F R > F टॅब.गुणांक R हा दिलेल्या महत्त्वाच्या पातळीसह आणि स्वातंत्र्याच्या उपलब्ध अंशांसह महत्त्वपूर्ण मानला जातो आणि F r ≤ F टेबल- नगण्य.

n > 100 च्या मोठ्या लोकसंख्येमध्ये, सामान्य वितरण कायदा (टेब्युलेटेड लॅप्लेस-शेपर्ड फंक्शन) हा t आणि F चाचण्यांऐवजी सर्व पिअर्सन गुणांकांचे महत्त्व तपासण्यासाठी थेट वापरला जातो.

शेवटी, जर पियर्सन गुणांक सामान्य कायद्याचे पालन करत नाहीत, तर Z चा वापर त्यांच्या महत्त्वासाठी निकष म्हणून केला जातो - फिशरची चाचणी, ज्याचा येथे विचार केला जात नाही.

सशर्त गणना उदाहरण(2) - (7) तक्त्यामध्ये दिले आहे. 12.2, जेथे टेबल 12.1 चा प्रारंभिक डेटा तिसरा व्हेरिएबल z जोडून घेतला जातो - स्टोअरच्या एकूण क्षेत्रफळाचा आकार (100 चौ. मीटर).

तक्ता 12.2.पीअरसन सहसंबंध गुणांक मोजण्यासाठी डेटा तयार करत आहे

	निर्देशक

(2) - (5) नुसार, पिअर्सन रेखीय सहसंबंध गुणांक समान आहेत:

चलांचा संबंध xआणि yसकारात्मक आहे, परंतु जवळ नाही, त्यांच्या जोडी सहसंबंध गुणांकावर आधारित परिमाण आणि शुद्ध सहसंबंध गुणांकावर आधारित परिमाण, आणि चेडॉक स्केलवर अनुक्रमे "लक्षात येण्याजोगे" आणि "कमकुवत" म्हणून मूल्यांकन केले गेले.

निर्धार गुणांक d xy = ०.३५४आणि dxy z = 0.0037फरक दर्शवा येथे(उलाढाल) रेखीय भिन्नतेमुळे आहे x(कर्मचाऱ्यांची संख्या) द्वारे 35,4% त्यांच्या सामान्य परस्परसंबंधात आणि शुद्ध परस्परसंबंधात - फक्त चालू 0,37% . वर लक्षणीय परिणाम झाल्यामुळे ही परिस्थिती आहे xआणि yतिसरा चल z— दुकानांनी व्यापलेले एकूण क्षेत्र. त्यांच्याशी असलेल्या नातेसंबंधाची जवळीक अनुक्रमे आहे, r xz = 0.677 आणि r yz = 0.844.

तीन व्हेरिएबल्सचा एकाधिक (संचयी) सहसंबंध गुणांक दर्शवितो की रेखीय संबंधांची जवळीक xआणि z c yच्या प्रमाणात आर = ०.८४४, चॅडॉक स्केलवर "उच्च" म्हणून मूल्यांकन केले जाते, आणि एकाधिक निर्धार गुणांक हे मूल्य आहे D=0.713, असे सूचित करते 71,3 % संपूर्ण भिन्नता येथे(व्यापार उलाढाल) त्यावरील व्हेरिएबल्सच्या एकत्रित प्रभावाद्वारे निर्धारित केले जाते xआणि z. उर्वरित 28,7% वर परिणाम झाल्यामुळे yइतर घटक किंवा व्हेरिएबल्सचा वक्र संबंध y, x, z.

सहसंबंध गुणांकांचे महत्त्व मोजण्यासाठी, आम्ही महत्त्व पातळी घेतो. प्रारंभिक डेटानुसार, आमच्याकडे आणि साठी स्वातंत्र्याचे अंश आहेत. सैद्धांतिक सारणीनुसार, आम्हाला अनुक्रमे टेबल 1 सापडतो. = 3.182 आणि t तक्ता 2. = 4.303. F-चाचणीसाठी आमच्याकडे आहे आणि आणि टेबलवरून आम्हाला F टेबल सापडतो. = 19.0. (6) आणि (7) नुसार प्रत्येक निकषाची वास्तविक मूल्ये समान आहेत: