>> फंक्शन्सची आवर्तता y = sin x, y = cos x

§ 11. फंक्शन्स y \u003d sin x, y \u003d cos x

मागील परिच्छेदांमध्ये, आम्ही सात गुणधर्म वापरले आहेत कार्ये: डोमेन, सम किंवा विषम, मोनोटोनिसिटी, सीमा, कमाल आणि किमान मूल्ये, सातत्य, कार्यांची श्रेणी. आम्ही या गुणधर्मांचा एकतर फंक्शन आलेख तयार करण्यासाठी वापरला (उदाहरणार्थ, § 9 मध्ये), किंवा तयार केलेला आलेख वाचण्यासाठी (उदाहरणार्थ, § 10 मध्ये). आता फंक्शन्सचा आणखी एक (आठवा) गुणधर्म सादर करण्याचा एक अनुकूल क्षण आला आहे, जो वरील-बांधणीवर पूर्णपणे दृश्यमान आहे. तक्तेफंक्शन्स y \u003d sin x (चित्र 37 पहा), y \u003d cos x (चित्र 41 पहा).

व्याख्या.संचातील कोणत्याही x साठी, दुहेरी नसलेली शून्य संख्या T असल्यास फंक्शनला नियतकालिक म्हणतात समानता:

दर्शविलेल्या स्थितीचे समाधान करणार्‍या T क्रमांकास y \u003d f (x) कार्याचा कालावधी म्हणतात.
हे खालीलप्रमाणे आहे की, कोणत्याही x साठी, समानता सत्य आहेत:

नंतर y \u003d sin x, y \u003d cos x ही नियतकालिक आहेत आणि संख्या 2 पीदोन्ही फंक्शन्सचा कालावधी म्हणून काम करते.
फंक्शनची नियतकालिकता ही फंक्शन्सची वचन दिलेली आठवी प्रॉपर्टी आहे.

आता फंक्शन y \u003d sin x (Fig. 37) चा आलेख पहा. साइनसॉइड तयार करण्यासाठी, त्याची एक लाट तयार करणे पुरेसे आहे (खंडावर आणि नंतर ही लाट x अक्षाच्या बाजूने हलवा परिणामी, एक लहर वापरून, आपण संपूर्ण आलेख तयार करू.

फंक्शन y \u003d cos x (Fig. 41) च्या आलेखाकडे त्याच दृष्टिकोनातून पाहू. आम्ही पाहतो की येथे देखील, आलेख प्लॉट करण्यासाठी, प्रथम एक लहर प्लॉट करणे पुरेसे आहे (उदाहरणार्थ, विभागावर

आणि नंतर ते x-अक्षाच्या बाजूने हलवा
सारांश, आम्ही खालील निष्कर्ष काढतो.

फंक्शन y \u003d f (x) मध्ये कालावधी T असल्यास, फंक्शनचा आलेख प्लॉट करण्यासाठी, आपण प्रथम T लांबीच्या कोणत्याही अंतरावर आलेखाची शाखा (तरंग, भाग) प्लॉट करणे आवश्यक आहे (बहुतेकदा ते घेतात. एक मध्यांतर बिंदूंवर संपतो आणि नंतर ही शाखा x अक्षाच्या बाजूने उजवीकडे आणि डावीकडे T, 2T, ZT, इ. वर हलवा.
नियतकालिक फंक्शनमध्ये अमर्यादपणे अनेक कालखंड असतात: जर T हा कालावधी असेल, तर 2T हा कालावधी आहे, आणि 3T हा कालावधी आहे आणि -T हा कालावधी आहे; सर्वसाधारणपणे, कालावधी हा KT फॉर्मची कोणतीही संख्या आहे, जिथे k \u003d ± 1, ± 2, ± 3 ... सहसा, शक्य असल्यास, ते सर्वात लहान सकारात्मक कालावधी काढण्याचा प्रयत्न करतात, त्याला मुख्य कालावधी म्हणतात.
तर, फॉर्म 2pc ची कोणतीही संख्या, जिथे k \u003d ± 1, ± 2, ± 3, फंक्शन्सचा कालावधी y \u003d sinn x, y \u003d cos x आहे; 2p हा दोन्ही कार्यांचा मुख्य कालावधी आहे.

उदाहरण.फंक्शनचा मुख्य कालावधी शोधा:

अ) T हा फंक्शन y \u003d sin x चा मुख्य कालावधी मानू. टाकूया

संख्या T हा फंक्शनचा कालावधी होण्यासाठी, ओळख Ho ची असणे आवश्यक आहे, कारण आपण मुख्य कालावधी शोधण्याबद्दल बोलत आहोत, आपल्याला मिळते
ब) T हा फंक्शन y = cos 0.5x चा मुख्य कालावधी मानू. f(x)=cos 0.5x समजा. नंतर f (x + T) \u003d cos 0.5 (x + T) \u003d cos (0.5x + 0.5 T).

संख्या T हा कार्याचा कालावधी असण्यासाठी, ओळख cos (0.5x + 0.5T) = cos 0.5x समाधानी असणे आवश्यक आहे.

तर, 0.5t = 2pp. परंतु, आम्ही मुख्य कालावधी शोधण्याबद्दल बोलत असल्याने, आम्हाला 0.5T = 2 l, T = 4l मिळते.

उदाहरणामध्ये प्राप्त झालेल्या परिणामांचे सामान्यीकरण खालील विधान आहे: कार्याचा मुख्य कालावधी

ए.जी. मॉर्डकोविच बीजगणित ग्रेड 10

धडा सामग्री धडा सारांशसमर्थन फ्रेम धडा सादरीकरण प्रवेगक पद्धती परस्पर तंत्रज्ञान सराव कार्ये आणि व्यायाम आत्मपरीक्षण कार्यशाळा, प्रशिक्षण, प्रकरणे, शोध गृहपाठ चर्चा प्रश्न विद्यार्थ्यांचे वक्तृत्व प्रश्न उदाहरणे ऑडिओ, व्हिडिओ क्लिप आणि मल्टीमीडियाछायाचित्रे, चित्रे ग्राफिक्स, तक्ते, योजना विनोद, उपाख्यान, विनोद, कॉमिक्स बोधकथा, म्हणी, शब्दकोडे, कोट्स अॅड-ऑन अमूर्तजिज्ञासू चीट शीट्स पाठ्यपुस्तके मूलभूत आणि अतिरिक्त शब्दकोष इतर अटींसाठी लेख चिप्स पाठ्यपुस्तके आणि धडे सुधारणेपाठ्यपुस्तकातील चुका सुधारणेअप्रचलित ज्ञानाच्या जागी नवीन ज्ञानासह धड्यातील नावीन्यपूर्ण घटकांच्या पाठ्यपुस्तकातील एक तुकडा अद्यतनित करणे फक्त शिक्षकांसाठी परिपूर्ण धडेचर्चा कार्यक्रमाच्या वर्षाच्या पद्धतशीर शिफारसींसाठी कॅलेंडर योजना एकात्मिक धडे

उद्देशः "फंक्शन्सची आवर्तता" या विषयावरील विद्यार्थ्यांचे ज्ञान सामान्य करणे आणि व्यवस्थित करणे; नियतकालिक फंक्शनचे गुणधर्म लागू करणे, फंक्शनचा सर्वात लहान सकारात्मक कालावधी शोधणे, नियतकालिक फंक्शन्स प्लॉटिंगमध्ये कौशल्ये तयार करणे; गणिताच्या अभ्यासात रस वाढवणे; निरीक्षण, अचूकता जोपासणे.

उपकरणे: संगणक, मल्टीमीडिया प्रोजेक्टर, टास्क कार्ड्स, स्लाइड्स, घड्याळे, अलंकार टेबल, लोक हस्तकला घटक

"गणित म्हणजे लोक निसर्ग आणि स्वतःवर नियंत्रण ठेवण्यासाठी वापरतात"
ए.एन. कोल्मोगोरोव्ह

वर्ग दरम्यान

I. संघटनात्मक टप्पा.

धड्यासाठी विद्यार्थ्यांची तयारी तपासत आहे. धड्याच्या विषयाचे आणि उद्दिष्टांचे सादरीकरण.

II. गृहपाठ तपासत आहे.

आम्ही नमुन्यांनुसार गृहपाठ तपासतो, सर्वात कठीण मुद्यांवर चर्चा करतो.

III. ज्ञानाचे सामान्यीकरण आणि पद्धतशीरीकरण.

1. तोंडी फ्रंटल काम.

सिद्धांताचे प्रश्न.

1) फंक्शनच्या कालावधीची व्याख्या तयार करा
2) y=sin(x), y=cos(x) फंक्शन्सचा सर्वात लहान सकारात्मक कालावधी कोणता आहे?
3). y=tg(x), y=ctg(x) फंक्शन्सचा सर्वात लहान सकारात्मक कालावधी कोणता आहे?
4) संबंधांची शुद्धता सिद्ध करण्यासाठी वर्तुळ वापरा:

y=sin(x) = sin(x+360º)
y=cos(x) = cos(x+360º)
y=tg(x) = tg(x+18 0º)
y=ctg(x) = ctg(x+180º)

tg(x+π n)=tgx, n ∈ Z
ctg(x+π n)=ctgx, n ∈ Z

sin(x+2π n)=sinx, n ∈ Z
cos(x+2π n)=cosx, n ∈ Z

5) नियतकालिक कार्य कसे प्लॉट करावे?

तोंडी व्यायाम.

1) खालील संबंध सिद्ध करा

अ) sin(740º) = sin(20º)
ब) cos(54º ) = cos(-1026º)
c) sin(-1000º) = sin(80º )

2. सिद्ध करा की 540º चा कोन y= cos(2x) फंक्शनच्या पूर्णविरामांपैकी एक आहे.

3. सिद्ध करा की 360º चा कोन y=tg(x) फंक्शनच्या पूर्णविरामांपैकी एक आहे.

4. या अभिव्यक्तींचे रूपांतर करा जेणेकरून त्यात समाविष्ट असलेले कोन निरपेक्ष मूल्यामध्ये 90º पेक्षा जास्त होणार नाहीत.

अ) tg375º
ब) ctg530º
c) sin1268º
ड) cos(-7363º)

5. PERIOD, PERIODICITY हे शब्द तुम्हाला कुठे भेटले?

विद्यार्थ्यांची उत्तरे: संगीतातील कालावधी म्हणजे एक बांधकाम ज्यामध्ये कमी-अधिक प्रमाणात संपूर्ण संगीतविषयक विचार मांडले जातात. भूवैज्ञानिक कालखंड हा एका युगाचा भाग आहे आणि 35 ते 90 दशलक्ष वर्षांच्या कालावधीसह युगांमध्ये विभागलेला आहे.

किरणोत्सर्गी पदार्थाचे अर्धे आयुष्य. नियतकालिक अपूर्णांक. नियतकालिके ही मुद्रित प्रकाशने आहेत जी काटेकोरपणे परिभाषित तारखांवर दिसतात. मेंडेलीव्हची नियतकालिक प्रणाली.

6. आकृत्या नियतकालिक फंक्शन्सच्या आलेखांचे भाग दर्शवतात. फंक्शनचा कालावधी परिभाषित करा. फंक्शनचा कालावधी निश्चित करा.

उत्तर द्या: T=2; T=2; T=4; T=8.

7. तुमच्या जीवनात तुम्ही पुनरावृत्ती घटकांच्या बांधकामास कुठे भेटलात?

विद्यार्थी उत्तर देतात: दागिन्यांचे घटक, लोककला.

IV. सामूहिक समस्या सोडवणे.

(स्लाइड्सवर समस्या सोडवणे.)

नियतकालिकासाठी फंक्शनचा अभ्यास करण्याच्या एका पद्धतीचा विचार करूया.

ही पद्धत एक किंवा दुसरा कालावधी सर्वात लहान आहे हे सिद्ध करण्याशी संबंधित अडचणींना मागे टाकते आणि नियतकालिक फंक्शन्सवरील अंकगणित ऑपरेशन्स आणि जटिल फंक्शनच्या नियतकालिकतेबद्दलच्या प्रश्नांना स्पर्श करण्याची आवश्यकता नाही. तर्क केवळ नियतकालिक कार्याच्या व्याख्येवर आणि खालील वस्तुस्थितीवर आधारित आहे: जर T हा कार्याचा कालावधी असेल, तर nT(n? 0) हा त्याचा कालावधी आहे.

समस्या 1. f(x)=1+3(x+q>5) फंक्शनचा सर्वात लहान धनात्मक कालावधी शोधा

उपाय: या फंक्शनचा T-कालावधी गृहीत धरू. नंतर f(x+T)=f(x) सर्व x ∈ D(f) साठी, म्हणजे.

1+3(x+T+0.25)=1+3(x+0.25)
(x+T+0.25)=(x+0.25)

x=-0.25 मिळवू

(T)=0<=>T=n, n ∈ Z

आम्ही असे प्राप्त केले आहे की विचारात घेतलेल्या फंक्शनचे सर्व कालखंड (ते अस्तित्वात असल्यास) पूर्णांकांमध्ये आहेत. या संख्यांपैकी सर्वात लहान धन संख्या निवडा. ते 1 . खरंच पाळी आहे का ते तपासूया 1 .

f(x+1)=3(x+1+0.25)+1

कोणत्याही T साठी (T+1)=(T), नंतर f(x+1)=3((x+0.25)+1)+1=3(x+0.25)+1=f(x), म्हणजे 1 - कालावधी f. 1 सर्व धन पूर्णांकांमध्ये सर्वात लहान असल्याने, T=1.

कार्य 2. फंक्शन f(x)=cos 2 (x) नियतकालिक आहे हे दाखवा आणि त्याचा मुख्य कालावधी शोधा.

कार्य 3. कार्याचा मुख्य कालावधी शोधा

f(x)=sin(1.5x)+5cos(0.75x)

फंक्शनचा T-कालावधी गृहीत धरा, नंतर कोणत्याहीसाठी एक्सप्रमाण

sin1.5(x+T)+5cos0.75(x+T)=sin(1.5x)+5cos(0.75x)

जर x=0 तर

sin(1.5T)+5cos(0.75T)=sin0+5cos0

sin(1.5T)+5cos(0.75T)=5

जर x=-T, तर

sin0+5cos0=sin(-1.5T)+5cos0.75(-T)

5= - sin(1.5T)+5cos(0.75T)

sin(1.5T)+5cos(0.75T)=5 – sin(1.5Т)+5cos(0.75Т)=5

जोडून, ​​आम्हाला मिळते:

10cos(0.75T)=10

2π n, n € Z

चला सर्व संख्यांमधून "संशयास्पद" कालावधीसाठी सर्वात लहान सकारात्मक संख्या निवडा आणि तो f चा कालावधी आहे का ते तपासू. हा क्रमांक

f(x+)=sin(1.5x+4π)+5cos(0.75x+2π)= sin(1.5x)+5cos(0.75x)=f(x)

म्हणून, फंक्शनचा मुख्य कालावधी आहे.

कार्य 4. फंक्शन f(x)=sin(x) नियतकालिक आहे का ते तपासा

T हा फंक्शनचा कालावधी असू द्या. नंतर कोणत्याही x साठी

sin|x+T|=sin|x|

जर x=0 असेल, तर sin|T|=sin0, sin|T|=0 T=π n, n ∈ Z.

समजा. की काही n साठी π n हा कालावधी आहे

कार्य π n>0 मानले जाते. नंतर sin|π n+x|=sin|x|

याचा अर्थ असा होतो की n एकाच वेळी सम आणि विषम दोन्ही असणे आवश्यक आहे, जे अशक्य आहे. म्हणून, हे कार्य नियतकालिक नाही.

कार्य 5. कार्य नियतकालिक आहे का ते तपासा

f(x)=

T हा कालावधी f असू द्या

, म्हणून sinT=0, T=π n, n € Z. आपण असे गृहीत धरू की काही n साठी π n ही संख्या दिलेल्या फंक्शनचा कालावधी आहे. मग संख्या 2π n देखील एक कालावधी असेल

अंश समान असल्यामुळे त्यांचे भाजकही आहेत

म्हणून, फंक्शन नियतकालिक नाही.

गट काम.

गट १ साठी कार्ये.

गट २ साठी कार्ये.

फंक्शन f नियतकालिक आहे का ते तपासा आणि त्याचा मुख्य कालावधी शोधा (जर ते अस्तित्वात असेल).

f(x)=cos(2x)+2sin(2x)

गट 3 साठी कार्ये.

कामाच्या शेवटी, गट त्यांचे निराकरण सादर करतात.

सहावा. धड्याचा सारांश.

प्रतिबिंब.

शिक्षक विद्यार्थ्यांना रेखाचित्रे असलेली कार्डे देतात आणि पहिल्या रेखांकनाचा काही भाग रंगवण्याची ऑफर देतात, त्यांना दिसते त्या प्रमाणात, त्यांनी नियतकालिकतेसाठी कार्याचा अभ्यास करण्याच्या पद्धतींमध्ये प्रभुत्व मिळवले आहे आणि दुसर्‍या रेखाचित्राच्या काही भागात. , धड्यातील कामात त्यांच्या योगदानानुसार.

VII. गृहपाठ

एक). फंक्शन f नियतकालिक आहे का ते तपासा आणि त्याचा मुख्य कालावधी शोधा (जर ते अस्तित्वात असेल)

b). f(x)=x 2 -2x+4

c). f(x)=2tg(3x+5)

2). फंक्शन y=f(x) चा कालावधी आहे T=2 आणि f(x)=x 2 +2x साठी x € [-2; 0]. अभिव्यक्तीचे मूल्य -2f(-3)-4f(3,5) शोधा

साहित्य/

1. मोर्डकोविच ए.जी.बीजगणित आणि सखोल अभ्यासासह विश्लेषणाची सुरुवात.
2. गणित. परीक्षेची तयारी. एड. लिसेन्को एफ.एफ., कुलाबुखोवा एस.यू.
3. शेरेमेत्येवा टी.जी. , तारसोवा ई.ए.ग्रेड 10-11 साठी बीजगणित आणि सुरुवातीचे विश्लेषण.

त्रिकोणमितीय कार्ये नियतकालिक, म्हणजे, विशिष्ट कालावधीनंतर पुनरावृत्ती. परिणामी, या मध्यांतरावरील फंक्शनचा अभ्यास करणे आणि शोधलेले गुणधर्म इतर सर्व कालावधीसाठी वाढवणे पुरेसे आहे.

सूचना

1. जर तुम्हाला एक आदिम अभिव्यक्ती दिली असेल ज्यामध्ये फक्त एक त्रिकोणमितीय फंक्शन असेल (sin, cos, tg, ctg, sec, cosec), आणि फंक्शनमधील कोन कोणत्याही संख्येने गुणाकार केला जात नाही आणि तो स्वतः कोणत्याही संख्येने वाढवला जात नाही. शक्ती - व्याख्या वापरा. sin, cos, sec, cosec असलेल्या अभिव्यक्तीसाठी धैर्याने कालावधी 2P वर सेट करा आणि समीकरणात tg, ctg असल्यास, P. म्हणा, y \u003d 2 sinx + 5 या कार्यासाठी, कालावधी 2P असेल .

2. त्रिकोणमितीय कार्याच्या चिन्हाखालील कोन x हा काही संख्येने गुणाकार केला असल्यास, या कार्याचा कालावधी शोधण्यासाठी, विशिष्ट कालावधीला या संख्येने विभाजित करा. समजा तुम्हाला y = sin 5x फंक्शन दिले आहे. साइनसाठी ठराविक कालावधी 2P आहे, त्याला 5 ने भागल्यास, आपल्याला 2P / 5 मिळेल - हा या अभिव्यक्तीचा इच्छित कालावधी आहे.

3. घातापर्यंत वाढवलेल्या त्रिकोणमितीय कार्याचा कालावधी शोधण्यासाठी, पॉवरच्या समतेचे मूल्यमापन करा. सम प्रमाणात, नमुना कालावधी अर्धा करा. म्हणा, जर तुम्हाला फंक्शन y \u003d 3 cos ^ 2x दिले असेल, तर ठराविक कालावधी 2P 2 पटीने कमी होईल, त्यामुळे कालावधी P च्या बरोबरीचा असेल. कृपया लक्षात घ्या की tg, ctg फंक्शन P कोणत्याही मर्यादेपर्यंत नियतकालिक आहेत. .

4. जर तुम्हाला 2 त्रिकोणमितीय फंक्शन्सचे उत्पादन किंवा भाग असलेले समीकरण दिले असेल, तर प्रथम त्या सर्वांचा कालावधी स्वतंत्रपणे शोधा. त्यानंतर, दोन्ही कालावधीच्या पूर्ण संख्येला बसणारी किमान संख्या शोधा. y=tgx*cos5x हे फंक्शन दिलेले आहे असे समजू. स्पर्शिकेसाठी, कालावधी P आहे, कोसाइन 5x साठी, कालावधी 2P/5 आहे. या दोन्ही कालावधीत बसण्यासाठी अनुमती असलेली किमान संख्या 2P आहे, म्हणून इच्छित कालावधी 2P आहे.

5. तुम्हाला प्रस्तावित मार्गाने करणे कठीण वाटत असल्यास किंवा परिणामाबद्दल शंका असल्यास, व्याख्येनुसार करण्याचा प्रयत्न करा. फंक्शनचा कालावधी म्हणून T घ्या, तो शून्यापेक्षा मोठा आहे. समीकरणामध्ये x ऐवजी (x + T) अभिव्यक्ती बदला आणि T हा पॅरामीटर किंवा संख्या असल्याप्रमाणे परिणामी समानता सोडवा. परिणामी, तुम्हाला त्रिकोणमितीय कार्याचे मूल्य सापडेल आणि सर्वात लहान कालावधी निवडण्यास सक्षम व्हाल. समजा, सुविधेचा परिणाम म्हणून, तुम्हाला आयडेंटिटी सिन (T/2) \u003d 0 मिळेल. T चे किमान मूल्य ज्यावर ते केले जाते ते 2P आहे आणि हे कार्याचा परिणाम असेल.

नियतकालिक फंक्शन हे एक फंक्शन आहे जे काही नॉन-शून्य कालावधीनंतर त्याची मूल्ये पुनरावृत्ती करते. फंक्शनचा कालावधी ही अशी संख्या आहे जिच्या फंक्शनच्या आर्ग्युमेंटला जोडल्याने फंक्शनचे मूल्य बदलत नाही.

तुला गरज पडेल

• प्राथमिक गणिताचे ज्ञान आणि सर्वेक्षणाची सुरुवात.

सूचना

1. फंक्शन f(x) चा कालावधी K या संख्येने दर्शवू या. K चे हे मूल्य शोधणे हे आमचे कार्य आहे. हे करण्यासाठी, नियतकालिक फंक्शनची व्याख्या वापरून फंक्शन f(x) ची बरोबरीची कल्पना करा. (x+K)=f(x).

2. आम्ही अज्ञात K साठी परिणामी समीकरण सोडवतो, जसे की x एक स्थिरांक आहे. K च्या मूल्यावर अवलंबून, अनेक पर्याय असतील.

3. जर K>0 असेल, तर हा तुमच्या फंक्शनचा कालावधी आहे. K=0 असल्यास, फंक्शन f(x) नियतकालिक नाही. f(x+K)=f(x) समीकरणाचे समाधान अस्तित्वात नसल्यास कोणत्याही K साठी शून्य समान नाही, तर अशा फंक्शनला एपिरिओडिक म्हणतात आणि त्याला कालावधी देखील नाही.

संबंधित व्हिडिओ

लक्षात ठेवा!
सर्व त्रिकोणमितीय कार्ये नियतकालिक आहेत, आणि 2 पेक्षा जास्त पदवी असलेली सर्व बहुपदीय कार्ये एपिरिओडिक आहेत.

उपयुक्त सल्ला
2 नियतकालिक फंक्शन्स असलेल्या फंक्शनचा कालावधी हा या फंक्शन्सच्या पूर्णविरामांचा सर्वात कमी सामान्य गुणक असतो.

त्रिकोणमितीय समीकरणे ही समीकरणे असतात ज्यात अज्ञात युक्तिवादाची त्रिकोणमितीय कार्ये असतात (उदाहरणार्थ: 5sinx-3cosx =7). ते कसे सोडवायचे हे शिकण्यासाठी, आपल्याला यासाठी काही पद्धती माहित असणे आवश्यक आहे.

सूचना

1. अशा समीकरणांच्या सोल्युशनमध्ये 2 टप्पे असतात. पहिले म्हणजे समीकरणाचे सर्वात सोपा स्वरूप प्राप्त करण्यासाठी सुधारणा करणे. सर्वात सोप्या त्रिकोणमितीय समीकरणांना खालील म्हणतात: Sinx=a; cosx=a इ.

2. दुसरे म्हणजे सर्वात सोप्या त्रिकोणमितीय समीकरणाचे समाधान. या प्रकारची समीकरणे सोडवण्याचे मूलभूत मार्ग आहेत: बीजगणितीय पद्धतीने सोडवणे. ही पद्धत शाळेपासून, बीजगणिताच्या अभ्यासक्रमापासून प्रसिद्ध आहे. याला अन्यथा व्हेरिएबल बदलण्याची आणि बदलण्याची पद्धत म्हणतात. कपात सूत्रे लागू करून, आम्ही रूपांतर करतो, बदली करतो, त्यानंतर आम्हाला मुळे सापडतात.

3. घटकांमध्ये समीकरणाचे विघटन. प्रथम, आम्ही सर्व संज्ञा डावीकडे हस्तांतरित करतो आणि घटकांमध्ये विघटित करतो.

4. समीकरण एकसंध आणणे. समीकरणांना एकसंध समीकरण म्हणतात जर सर्व संज्ञा समान अंशाच्या आणि त्याच कोनाचे साइन, कोसाइन असतील. ते सोडवण्यासाठी, तुम्ही: प्रथम त्याचे सर्व सदस्य उजवीकडून डावीकडे हस्तांतरित केले पाहिजेत; सर्व सामान्य घटक कंसाच्या बाहेर हलवा; घटक आणि कंस शून्यावर समान करा; समीकरण कंस कमी अंशाचे एकसंध समीकरण देतात, ज्याला cos (किंवा sin) ने उच्च अंशाने विभागले पाहिजे; टॅनसाठी परिणामी बीजगणितीय समीकरण सोडवा.

5. पुढचा मार्ग म्हणजे अर्ध्या कोपऱ्यात जाणे. म्हणा, समीकरण सोडवा: 3 sin x - 5 cos x \u003d 7. चला अर्ध्या कोनाकडे जाऊ: 6 sin (x / 2) cos (x / 2) - 5 cos ? (x / 2) + 5 पाप? (x / 2) = 7sin? (x / 2) + 7 cos? (x/ 2) , त्यानंतर आपण सर्व संज्ञा एका भागात कमी करू (अन्यथा उजवीकडे) आणि समीकरण सोडवू.

6. सहाय्यक कोपरा प्रवेश. जेव्हा आपण पूर्णांक मूल्य cos(a) किंवा sin(a) बदलतो. चिन्ह "a" एक सहायक कोन आहे.

7. उत्पादनास बेरीजमध्ये रीफॉर्मेट करण्याचा मार्ग. येथे आपल्याला योग्य सूत्रे लागू करण्याची आवश्यकता आहे. आपण दिलेले म्हणू: 2 sin x sin 3x = cos 4x. आपण डावी बाजूचे बेरीज मध्ये रूपांतर करून त्याचे निराकरण करतो, म्हणजे: cos 4x - cos 8x = cos 4x, cos 8x = 0, 8x = p / 2 + pk, x = p / 16 + pk / 8.

8. अंतिम मार्ग, ज्याला मल्टीफंक्शन प्रतिस्थापन म्हणतात. आपण अभिव्यक्ती बदलतो आणि प्रतिस्थापन करतो, Cos(x/2)=u म्हणा, त्यानंतर आपण u पॅरामीटरसह समीकरण सोडवू. एकूण मिळवताना, आम्ही मूल्याचे उलट भाषांतर करतो.

संबंधित व्हिडिओ

जर आपण वर्तुळावरील बिंदूंचा विचार केला तर बिंदू x, x + 2π, x + 4π इ. एकमेकांशी जुळतात. तर त्रिकोणमितीय कार्येसरळ रेषेवर वेळोवेळीत्यांचा अर्थ पुन्हा करा. काळ प्रसिद्ध असेल तर कार्ये, या कालावधीत फंक्शन तयार करण्याची आणि इतरांवर पुनरावृत्ती करण्याची परवानगी आहे.

सूचना

1. कालावधी ही संख्या T आहे जसे की f(x) = f(x+T). कालावधी शोधण्यासाठी, तर्क म्हणून x आणि x + T च्या जागी, संबंधित समीकरण सोडवा. या प्रकरणात, फंक्शन्ससाठी सुप्रसिद्ध कालावधी वापरल्या जातात. साइन आणि कोसाइन फंक्शन्ससाठी, कालावधी 2π आहे आणि स्पर्शिका आणि कोटॅंजंटसाठी, तो π आहे.

2. फंक्शन f(x) = sin^2(10x) देऊ. sin^2(10x) = sin^2(10(x+T)) या अभिव्यक्तीचा विचार करा. पदवी कमी करण्यासाठी सूत्र वापरा: sin^2(x) = (1 - cos 2x)/2. नंतर 1 - cos 20x = 1 - cos 20(x+T) किंवा cos 20x = cos (20x+20T) मिळवा. कोसाइनचा कालावधी 2π, 20T = 2π आहे हे जाणून घेणे. म्हणून, T = π/10. T हा किमान योग्य कालावधी आहे आणि फंक्शनची पुनरावृत्ती 2T नंतर आणि 3T नंतर आणि अक्षाच्या इतर दिशेने केली जाईल: -T, -2T, इ.

उपयुक्त सल्ला
फंक्शनची डिग्री कमी करण्यासाठी सूत्रे वापरा. तुम्हाला काही फंक्शन्सच्या कालावधीबद्दल अधिक माहिती असल्यास, विद्यमान फंक्शनला ज्ञात असलेल्यांपर्यंत कमी करण्याचा प्रयत्न करा.

सम आणि विषम साठी फंक्शन शोधणे फंक्शनचा आलेख तयार करण्यास आणि त्याच्या वर्तनाचे स्वरूप समजण्यास मदत करते. या संशोधनासाठी, तुम्हाला "x" वितर्क आणि "-x" युक्तिवादासाठी लिहिलेल्या फंक्शनची तुलना करणे आवश्यक आहे.

सूचना

1. तुम्हाला एक्सप्लोर करायचे असलेले फंक्शन y=y(x) म्हणून लिहा.

2. फंक्शन वितर्क "-x" ने बदला. या युक्तिवादाला कार्यात्मक अभिव्यक्तीमध्ये बदला.

3. अभिव्यक्ती सुलभ करा.

4. अशा प्रकारे, तुम्हाला "x" आणि "-x" वितर्कांसाठी समान कार्य लिहिले आहे. या दोन नोंदी पहा. जर y(-x)=y(x), तर हे सम फंक्शन आहे. जर y(-x)=-y(x), तर हे विषम फंक्शन आहे. अशक्य असल्यास y (-x)=y(x) किंवा y(-x)=-y(x) फंक्शनबद्दल म्हणा, तर, समतेच्या गुणधर्मानुसार, हे वैश्विक स्वरूपाचे कार्य आहे. म्हणजेच ते सम किंवा विषमही नाही.

5. तुमचे निकाल लिहा. आता तुम्ही त्यांचा उपयोग फंक्शन आलेख तयार करण्यासाठी किंवा फंक्शनच्या गुणधर्मांच्या भविष्यातील विश्लेषणात्मक शोधात करू शकता.

6. जेव्हा फंक्शनचा आलेख अधिक बारकाईने परिभाषित केला जातो तेव्हा सम आणि विषम कार्यांबद्दल बोलणे देखील शक्य आहे. ग्राफ हा एका भौतिक प्रयोगाचा परिणाम होता असे समजू. जर फंक्शन आलेख y-अक्षाबद्दल सममित असेल, तर y(x) हे सम फंक्शन आहे. जर फंक्शन आलेख x-अक्षाबद्दल सममित असेल, तर x(y) ) सम कार्य आहे. x(y) हे y(x) चे व्यस्त कार्य आहे. जर फंक्शनचा आलेख मूळ (0,0) बद्दल सममित असेल, तर y(x) हे विषम कार्य आहे. व्यस्त कार्य x(y) देखील विषम असेल.

7. हे लक्षात ठेवणे महत्त्वाचे आहे की सम आणि विषम कार्यांच्या संकल्पनेचा फंक्शनच्या डोमेनशी थेट संबंध आहे. जर, म्हणा, x=5 साठी सम किंवा विषम कार्य अस्तित्वात नसेल, तर ते x=-5 साठी अस्तित्वात नाही, जे सामान्य स्वरूपाच्या कार्याबद्दल सांगणे अशक्य आहे. सम आणि विषम स्थापित करताना, फंक्शनच्या डोमेनकडे लक्ष द्या.

8. सम आणि विषम फंक्शन्स शोधणे हे फंक्शन व्हॅल्यूजचा संच शोधण्याशी संबंधित आहे. सम फंक्शनच्या मूल्यांचा संच शोधण्यासाठी, फंक्शनचा अर्धा भाग, शून्याच्या उजवीकडे किंवा डावीकडे पाहणे पुरेसे आहे. जर x>0 साठी सम फंक्शन y(x) ने A पासून B पर्यंत मूल्ये घेतली, तर ती x साठी समान मूल्ये घेईल<0.Для нахождения множества значений, принимаемых нечетной функцией, тоже довольно разглядеть только одну часть функции. Если при x>0 विषम कार्य y(x) A पासून B पर्यंत मूल्यांची श्रेणी घेते, नंतर x साठी<0 она будет принимать симметричный диапазон значений от (-В) до (-А).

"त्रिकोणमितीय" ला एकदा फंक्शन म्हटले जाऊ लागले जे त्याच्या बाजूंच्या लांबीवर काटकोन त्रिकोणातील तीव्र कोनांच्या अवलंबनाद्वारे निर्धारित केले जाते. या फंक्शन्समध्ये, सर्व प्रथम, साइन आणि कोसाइन आणि दुसरे म्हणजे, सेकंट आणि कोसेकंट, जे या फंक्शन्सच्या व्यस्त आहेत, त्यातील स्पर्शक आणि कोटॅंजेंट डेरिव्हेटिव्ह्ज, तसेच व्यस्त फंक्शन्स आर्क्साइन, आर्ककोसाइन इ. अशा फंक्शन्सच्या "सोल्यूशन" बद्दल बोलणे अधिक सकारात्मक नाही, परंतु त्यांच्या "गणनेबद्दल", म्हणजे संख्यात्मक मूल्य शोधण्याबद्दल.

सूचना

1. त्रिकोणमितीय फंक्शनचा युक्तिवाद अज्ञात असल्यास, या फंक्शन्सच्या व्याख्यांवर आधारित अप्रत्यक्ष पद्धतीने त्याचे मूल्य मोजण्याची परवानगी आहे. हे करण्यासाठी, तुम्हाला त्रिकोणाच्या बाजूंची लांबी, तुम्हाला ज्या कोनाची गणना करायची आहे त्यापैकी एकासाठी त्रिकोणमितीय कार्य माहित असणे आवश्यक आहे. समजा, व्याख्येनुसार, काटकोन त्रिकोणातील तीव्र कोनाचे साइन हे या कोनाच्या विरुद्ध असलेल्या पायाच्या लांबीचे कर्णाच्या लांबीचे गुणोत्तर असते. यावरून असे दिसते की कोनाची साइन शोधण्यासाठी, या 2 बाजूंची लांबी जाणून घेणे पुरेसे आहे. तत्सम व्याख्या सांगते की तीव्र कोनाचे साइन हे या कोनाला लागून असलेल्या पायाच्या लांबीच्या कर्णाच्या लांबीचे गुणोत्तर असते. तीव्र कोनाची स्पर्शिका विरुद्ध पायाची लांबी समीपच्या लांबीने भागून काढली जाऊ शकते आणि कोटॅंजंटला समीप पायाची लांबी विरुद्धच्या लांबीने भागणे आवश्यक आहे. तीव्र कोनाच्या सेकंटची गणना करण्यासाठी, आपल्याला आवश्यक कोनाला लागून असलेल्या कर्णाच्या लांबीच्या लांबीचे गुणोत्तर शोधणे आवश्यक आहे आणि कोसेकंट कर्णच्या लांबीच्या लांबीच्या गुणोत्तराने निर्धारित केले जाते. विरुद्ध पाय च्या.

2. जर त्रिकोणमितीय फंक्शनचा युक्तिवाद केला गेला असेल, तर त्रिकोणाच्या बाजूंच्या लांबी जाणून घेणे आवश्यक नाही - त्यास मूल्यांचे तक्ते किंवा त्रिकोणमितीय कार्यांचे कॅल्क्युलेटर वापरण्याची परवानगी आहे. असा कॅल्क्युलेटर विंडोज ऑपरेटिंग सिस्टमच्या मानक प्रोग्रामपैकी एक आहे. ते चालवण्यासाठी, तुम्ही Win + R की संयोजन दाबा, कॅल्क कमांड एंटर करा आणि ओके बटण क्लिक करा. प्रोग्राम इंटरफेसमध्ये, "पहा" विभाग उघडा आणि "अभियांत्रिकी" किंवा "वैज्ञानिक" आयटम निवडा. नंतर, त्रिकोणमितीय कार्याचा युक्तिवाद सादर करण्याची परवानगी आहे. sine, cosine आणि tangent फंक्शन्सची गणना करण्यासाठी, त्याऐवजी मूल्य प्रविष्ट केल्यानंतर, संबंधित इंटरफेस बटणावर क्लिक करा (sin, cos, tg), आणि arcsine, arccosine आणि arctangent चे परस्परसंबंध शोधण्यासाठी, Inv चेकबॉक्स आगाऊ तपासा.

3. पर्यायी पद्धती देखील आहेत. त्यापैकी एक म्हणजे निगम किंवा Google शोध इंजिनच्या साइटवर जा आणि शोध क्वेरी म्हणून इच्छित कार्य आणि त्याचा युक्तिवाद (म्हणा, sin 0.47) प्रविष्ट करा. या शोध इंजिनमध्ये अंगभूत कॅल्क्युलेटर आहेत, म्हणून, अशी विनंती पाठविल्यानंतर, आपण प्रविष्ट केलेल्या त्रिकोणमितीय कार्याचे मूल्य प्राप्त होईल.

संबंधित व्हिडिओ

टीप 7: त्रिकोणमितीय कार्यांचे मूल्य कसे शोधायचे

त्रिकोणमितीय फंक्शन्स प्रथम त्याच्या बाजूंच्या लांबीवर काटकोन त्रिकोणामध्ये तीव्र कोनांच्या परिमाणांच्या अवलंबनाच्या अमूर्त गणितीय गणनेसाठी साधने म्हणून दिसल्या. आता ते मानवी क्रियाकलापांच्या वैज्ञानिक आणि तांत्रिक क्षेत्रात मोठ्या प्रमाणावर वापरले जातात. दिलेल्या वितर्कांमधून त्रिकोणमितीय फंक्शन्सच्या उपयुक्ततावादी गणनेसाठी, विविध साधने वापरण्याची परवानगी आहे - त्यापैकी काही सर्वात प्रवेशयोग्य खाली वर्णन केले आहेत.

सूचना

1. ऑपरेटिंग सिस्टमसह डिफॉल्टनुसार स्थापित केलेला कॅल्क्युलेटर प्रोग्राम वापरा. ते "सर्व प्रोग्राम्स" विभागात स्थित "नमुनेदार" उपविभागातील "उपयुक्तता" फोल्डरमधील "कॅल्क्युलेटर" आयटम निवडून उघडते. "प्रारंभ" बटणावर क्लिक करून ऑपरेटिंग सिस्टमचा मुख्य मेनू उघडून हा विभाग शोधला जाऊ शकतो. आपण Windows 7 आवृत्ती वापरत असल्यास, आपण मुख्य मेनूच्या "प्रोग्राम्स आणि फाइल्स शोधा" फील्डमध्ये "कॅल्क्युलेटर" हा शब्द प्रथम प्रविष्ट करू शकता आणि नंतर शोध परिणामांमधील योग्य दुव्यावर क्लिक करू शकता.

2. ज्या कोनासाठी तुम्हाला त्रिकोणमितीय कार्याची गणना करायची आहे त्याचे मूल्य प्रविष्ट करा आणि नंतर या फंक्शनशी संबंधित बटणावर क्लिक करा - sin, cos किंवा tan. जर तुम्ही व्यस्त त्रिकोणमितीय फंक्शन्स (आर्क्साइन, आर्कोसाइन किंवा आर्कटॅंजेंट) बद्दल चिंतित असाल, तर प्रथम Inv लेबल असलेल्या बटणावर क्लिक करा - ते कॅल्क्युलेटरच्या नियंत्रण बटणांना नियुक्त केलेल्या फंक्शन्सला उलट करते.

3. OS च्या पूर्वीच्या आवृत्त्यांमध्ये (म्हणजे, Windows XP), त्रिकोणमितीय कार्ये ऍक्सेस करण्यासाठी, तुम्हाला कॅल्क्युलेटर मेनूमधील "दृश्य" विभाग उघडणे आवश्यक आहे आणि "अभियांत्रिकी" लाइनला प्राधान्य देणे आवश्यक आहे. याव्यतिरिक्त, प्रोग्रामच्या जुन्या आवृत्त्यांच्या इंटरफेसमध्ये इनव्ह बटणाऐवजी, त्याच शिलालेखासह एक चेकबॉक्स आहे.

4. आपल्याकडे इंटरनेट प्रवेश असल्यास आपण कॅल्क्युलेटरशिवाय करू शकता. वेबवर अशा अनेक सेवा आहेत ज्या वेगळ्या पद्धतीने आयोजित केलेल्या त्रिकोणमितीय फंक्शन कॅल्क्युलेटर देतात. निगमा शोध इंजिनमध्ये एक विशेषतः सुलभ पर्याय तयार केला आहे. त्याच्या मुख्य पृष्ठावर गेल्यानंतर, शोध क्वेरी फील्डमध्ये आपल्याला उत्तेजित करणारे मूल्य प्रथम प्रविष्ट करा - म्हणा, “30 अंशांचा आर्क स्पर्शिका”. "डिस्कव्हर!" दाबल्यानंतर शोध इंजिन गणना करेल आणि गणनाचा परिणाम दर्शवेल - 0.482347907101025.

संबंधित व्हिडिओ

त्रिकोणमिती ही कार्ये समजून घेण्यासाठी गणिताची एक शाखा आहे जी कर्णातील तीव्र कोनांच्या परिमाणांवर काटकोन त्रिकोणाच्या बाजूंचे भिन्न अवलंबन व्यक्त करते. अशा फंक्शन्सना त्रिकोणमितीय म्हणतात, आणि त्यांच्यासोबत काम करण्याच्या सोयीसाठी, त्रिकोणमितीय फंक्शन्स व्युत्पन्न केले गेले. ओळख .

कामगिरी ओळखगणितात समानता दर्शवते जी त्यात समाविष्ट केलेल्या फंक्शन्सच्या वितर्कांच्या कोणत्याही मूल्यांसाठी समाधानी आहे. त्रिकोणमितीय ओळख- ही त्रिकोणमितीय फंक्शन्सची समानता आहेत, ज्याची पुष्टी केली जाते आणि त्रिकोणमितीय सूत्रांसह कार्य सुलभ करण्यासाठी स्वीकारले जाते. त्रिकोणमितीय फंक्शन हे कर्णातील तीव्र कोनाच्या परिमाणावर काटकोन त्रिकोणाच्या पायांपैकी एकाच्या अवलंबनाचे प्राथमिक कार्य आहे. बहुतेक वेळा, सहा मूलभूत त्रिकोणमितीय कार्ये वापरली जातात: sin (sine), cos (cosine), tg (tangent), ctg (cotangent), sec (secant) आणि cosec (cosecant). या फंक्शन्सना डायरेक्ट म्हणतात, तेथे व्यस्त फंक्शन्स देखील आहेत, म्हणा, साइन - आर्क्साइन, कोसाइन - आर्ककोसाइन इ. सुरुवातीला, त्रिकोणमितीय फंक्शन्स भूमितीमध्ये प्रतिबिंबित होतात, त्यानंतर ते विज्ञानाच्या इतर क्षेत्रांमध्ये पसरले: भौतिकशास्त्र, रसायनशास्त्र, भूगोल, प्रकाशशास्त्र. , संभाव्यता सिद्धांत , तसेच ध्वनिशास्त्र, संगीत सिद्धांत, ध्वन्यात्मकता, संगणक ग्राफिक्स आणि इतर अनेक. आता या फंक्शन्सशिवाय गणितीय गणनेची कल्पना करणे अधिक कठीण आहे, जरी दूरच्या भूतकाळात ते फक्त खगोलशास्त्र आणि आर्किटेक्चरमध्ये वापरले जात होते. त्रिकोणमितीय ओळखलांब त्रिकोणमितीय सूत्रांसह कार्य सुलभ करण्यासाठी आणि त्यांना पचण्याजोगे स्वरूपात आणण्यासाठी वापरले जातात. सहा मूलभूत त्रिकोणमितीय ओळख आहेत, त्या थेट त्रिकोणमितीय कार्यांशी संबंधित आहेत: tg ? = पाप?/cos?; पाप^2? + cos^2? = 1; 1 + tg^2? = 1/cos^2?; 1 + 1/tg^2? = 1/पाप^2?; sin (? / 2 -?) \u003d cos ?; cos (? / 2 -?) \u003d पाप?. हे ओळखकाटकोन त्रिकोणातील बाजू आणि कोनांच्या गुणोत्तराच्या गुणधर्मावरून पुष्टी करणे सोपे आहे: sin ? = BC/AC = b/c; कारण? = AB/AC = a/c; tg? = b/a. पहिली ओळख tg ? = पाप?/cos? त्रिकोणातील बाजूंच्या गुणोत्तरावरून आणि sin ला cos ने विभाजित करताना बाजू c (hypotenuse) वगळून पुढे येते. त्याच प्रकारे, ओळख ctg परिभाषित आहे? = cos ?/sin ?, कारण ctg ? = 1/tg?. पायथागोरियन प्रमेयानुसार, a^2 + b^2 = c^2. या समानतेला c^2 ने विभाजित केल्यावर दुसरी ओळख मिळते: a^2/c^2 + b^2/c^2 = 1 => sin^2 ? + cos^2 ? = 1. तिसरा आणि चौथा ओळखअनुक्रमे b^2 आणि a^2 ने भागून मिळते: a^2/b^2 + 1 = c^2/b^2 => tg^2 ? + 1 = 1/cos^2 ?;1 + b^2/a^2 = c^2/a^2 => 1 + 1/tg^2 ? = 1/पाप^ ? किंवा 1 + ctg^2 ? \u003d 1 / sin ^ 2?. पाचवा आणि सहावा मुख्य ओळखकाटकोन त्रिकोणाच्या तीव्र कोनांची बेरीज ठरवून सिद्ध केली जाते, जी 90° किंवा? / 2. अधिक कठीण त्रिकोणमितीय ओळख: वितर्क जोडण्यासाठी सूत्रे, दुहेरी आणि तिहेरी कोन, पदवी कमी करणे, कार्यांची बेरीज किंवा गुणाकार सुधारणे, तसेच त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन सूत्रे, म्हणजे अर्धकोन tg: sin ?= (2) च्या दृष्टीने मुख्य त्रिकोणमितीय कार्यांची अभिव्यक्ती * tg ? / 2) / (1 + tg^2 ?/2); cos ? = (1 – tg^2 ?/2)/(1 = tg^2 ?/2);tg ? = (2*tg ?/2)/(1 – tg^2 ?/2).

किमान शोधण्याची गरज आहे अर्थगणितीय कार्येउपयोजित समस्यांचे निराकरण करण्यात वास्तविक स्वारस्य आहे, म्हणा, अर्थशास्त्रात. प्रचंड अर्थउद्योजकीय क्रियाकलापांसाठी कमीत कमी तोटा आहे.

सूचना

1. किमान शोधण्यासाठी अर्थ कार्ये, असमानता y(x0) वितर्क x0 च्या कोणत्या मूल्यावर समाधानी होईल हे निर्धारित करणे आवश्यक आहे? y(x), कुठे x? x0. नेहमीप्रमाणे, ही समस्या ठराविक अंतराने किंवा मूल्यांच्या प्रत्येक श्रेणीमध्ये सोडवली जाते कार्ये, एक सेट केले नसल्यास. निराकरणाचा एक पैलू म्हणजे निश्चित बिंदू शोधणे.

2. स्थिर बिंदू म्हणतात अर्थयुक्तिवाद की व्युत्पन्न कार्येशून्यावर जाते. फर्मॅटच्या प्रमेयानुसार, जर भिन्नता कार्य एक एक्स्ट्रिमल घेते अर्थकाही क्षणी (या प्रकरणात, स्थानिक किमान), नंतर हा बिंदू स्थिर आहे.

3. किमान अर्थफंक्शन बर्‍याचदा या टप्प्यावर अचूकपणे घेते, तथापि, ते नेहमीच निश्चित केले जाऊ शकत नाही. शिवाय, किमान किती आहे हे नेहमीच सांगता येत नाही कार्येकिंवा तो एक असीम लहान स्वीकारतो अर्थ. मग, नेहमीप्रमाणे, ते कमी करताना गुरुत्वाकर्षणाची मर्यादा शोधतात.

4. किमान निश्चित करण्यासाठी अर्थ कार्ये, चार टप्प्यांचा समावेश असलेल्या क्रियांचा क्रम करणे आवश्यक आहे: व्याख्येचे क्षेत्र शोधणे कार्ये, निश्चित गुणांचे संपादन, मूल्यांचे विहंगावलोकन कार्येया बिंदूंवर आणि अंतराच्या शेवटी, किमान शोधणे.

5. असे दिसून आले की काही फंक्शन y(x) बिंदू A आणि B वरील सीमा असलेल्या मध्यांतरावर देऊ द्या. त्याचे परिभाषेचे क्षेत्र शोधा आणि मध्यांतर हा त्याचा उपसंच आहे का ते शोधा.

6. व्युत्पन्न गणना करा कार्ये. परिणामी अभिव्यक्तीचे शून्यावर समीकरण करा आणि समीकरणाची मुळे शोधा. हे स्थिर बिंदू मध्यांतरात येतात का ते तपासा. नसेल तर पुढच्या टप्प्यावर ते विचारात घेतले जात नाही.

7. सीमांच्या प्रकारासाठी अंतर पहा: उघडे, बंद, कंपाऊंड किंवा आकारहीन. आपण किमान कसे शोधता यावर ते अवलंबून आहे अर्थ. समजा खंड [A, B] एक बंद अंतराल आहे. त्यांना फंक्शनमध्ये बदला आणि मूल्यांची गणना करा. स्थिर बिंदूसह असेच करा. सर्वात लहान एकूण निवडा.

8. खुल्या आणि अमर्याद मध्यांतरांसह, परिस्थिती थोडी अधिक कठीण आहे. येथे आपल्याला एकतर्फी मर्यादा शोधणे आवश्यक आहे, जे नेहमीच अस्पष्ट परिणाम देत नाहीत. म्हणा, एक बंद आणि एक पंक्चर केलेली सीमा [A, B) असलेल्या मध्यांतरासाठी, x = A वर फंक्शन आणि x वर एक-बाजूची मर्यादा lim y शोधली पाहिजे? B-0.

वितर्क x, नंतर कोणत्याही x F(x + T) = F(x) साठी T अशी संख्या असल्यास त्याला नियतकालिक म्हणतात. T या संख्येला फंक्शनचा कालावधी म्हणतात.

अनेक कालावधी असू शकतात. उदाहरणार्थ, फंक्शन F = const वितर्काच्या कोणत्याही मूल्यांसाठी समान मूल्य घेते आणि म्हणून कोणतीही संख्या तिचा कालावधी मानली जाऊ शकते.

सामान्यतः फंक्शनच्या सर्वात लहान-शून्य कालावधीमध्ये स्वारस्य असते. संक्षिप्ततेसाठी, त्याला फक्त कालावधी म्हणतात.

नियतकालिक फंक्शन्सचे उत्कृष्ट उदाहरण म्हणजे त्रिकोणमितीय: साइन, कोसाइन आणि स्पर्शिका. त्यांचा कालावधी समान आणि 2π च्या समान आहे, म्हणजे, sin(x) = sin(x + 2π) = sin(x + 4π) आणि असेच. तथापि, अर्थातच, त्रिकोणमितीय कार्ये केवळ नियतकालिक नसतात.

साध्या, मूलभूत कार्यांच्या संदर्भात, त्यांची नियतकालिकता किंवा नॉन-पीरियडिकिटी स्थापित करण्याचा एकमेव मार्ग म्हणजे गणना. परंतु जटिल कार्यांसाठी, आधीच काही साधे नियम आहेत.

जर F(x) कालावधी T सह असेल, आणि त्यासाठी व्युत्पन्न परिभाषित केले असेल, तर हे व्युत्पन्न f(x) = F′(x) देखील कालावधी T सह नियतकालिक कार्य आहे. शेवटी, व्युत्पन्नाचे मूल्य बिंदू x हा त्याच्या अँटीडेरिव्हेटिव्हच्या आलेखाच्या स्पर्शिकेच्या स्पर्शिकेच्या या बिंदूवर x-अक्षाच्या बरोबरीचा आहे, आणि अँटीडेरिव्हेटिव्हची वेळोवेळी पुनरावृत्ती होत असल्याने, व्युत्पन्न देखील पुनरावृत्ती करणे आवश्यक आहे. उदाहरणार्थ, फंक्शन sin(x) चे व्युत्पन्न cos(x) आहे आणि ते नियतकालिक आहे. cos(x) चे व्युत्पन्न घेतल्यास तुम्हाला -sin(x) मिळते. नियतकालिकता अपरिवर्तित राहते.

तथापि, उलट नेहमीच खरे नसते. अशाप्रकारे, फंक्शन f(x) = const हे नियतकालिक आहे, परंतु त्याचे antiderivative F(x) = const*x + C नाही.

जर F(x) हे पीरियड T सह नियतकालिक फंक्शन असेल, तर G(x) = a*F(kx + b), जेथे a, b, आणि k स्थिरांक आहेत आणि k हे शून्याच्या बरोबरीचे नाही - एक नियतकालिक कार्य देखील, आणि त्याचा कालावधी T/k च्या बरोबरीचा आहे. उदाहरणार्थ sin(2x) हे नियतकालिक कार्य आहे आणि त्याचा कालावधी π आहे. दृष्यदृष्ट्या, हे खालीलप्रमाणे दर्शविले जाऊ शकते: x ला काही संख्येने गुणाकार करून, आपण फंक्शनचा आलेख क्षैतिजरित्या किती वेळा संकुचित करतो असे दिसते.

जर F1(x) आणि F2(x) नियतकालिक फंक्शन्स असतील आणि त्यांचे पूर्णविराम अनुक्रमे T1 आणि T2 सारखे असतील, तर या फंक्शन्सची बेरीज देखील नियतकालिक असू शकते. तथापि, त्याचा कालावधी T1 आणि T2 कालावधीची साधी बेरीज नसेल. जर T1/T2 भागाकाराचा परिणाम परिमेय संख्या असेल, तर फंक्शन्सची बेरीज नियतकालिक असेल आणि तिचा कालावधी T1 आणि T2 कालावधीच्या किमान सामान्य मल्टिपल (LCM) च्या समान असेल. उदाहरणार्थ, जर पहिल्या फंक्शनचा कालावधी 12 असेल आणि दुसऱ्या कार्याचा कालावधी 15 असेल, तर त्यांच्या बेरजेचा कालावधी LCM (12, 15) = 60 असेल.

दृष्यदृष्ट्या, हे खालीलप्रमाणे दर्शविले जाऊ शकते: फंक्शन्स वेगवेगळ्या "स्टेप रुंदी" सह येतात, परंतु जर त्यांच्या रुंदीचे प्रमाण तर्कसंगत असेल, तर लवकरच किंवा नंतर (किंवा त्याऐवजी, तंतोतंत चरणांच्या एलसीएमद्वारे) ते पुन्हा समान होतील. , आणि त्यांची बेरीज नवीन कालावधी सुरू होईल.

तथापि, जर पूर्णविरामांचे गुणोत्तर अपरिमेय असेल, तर एकूण कार्य नियतकालिक होणार नाही. उदाहरणार्थ, F1(x) = x mod 2 (x चा उरलेला भाग 2 ने) आणि F2(x) = sin(x). येथे T1 2 बरोबर असेल आणि T2 2π च्या बरोबर असेल. पूर्णविरामांचे गुणोत्तर π - एक अपरिमेय संख्या आहे. म्हणून, फंक्शन sin(x) + x mod 2 नियतकालिक नाही.

असमानता प्रणालीचे समाधान करणे:

b) असमानतेची प्रणाली पूर्ण करणार्‍या संख्या अक्षावरील संख्यांचा संच विचारात घ्या:

हा संच बनवणाऱ्या विभागांच्या लांबीची बेरीज शोधा.

§ 7. सर्वात सोपी सूत्रे

§ 3 मध्ये आम्ही तीव्र कोन α साठी खालील सूत्र स्थापित केले:

			sin2α + cos2α = 1.
				तेच सूत्र			कधी,
				जेव्हा α कोणताही असतो			de-
				le, M हा त्रिकोणमितीचा बिंदू असू द्या
				संबंधित कॅलिक वर्तुळ
				संख्या α (Fig. 7.1). मग		एम आहे सह-
				ordinates x = cos α, y
				तथापि, प्रत्येक बिंदू (x; y) वर पडलेला आहे
				केंद्रासह एकक त्रिज्येची वर्तुळे
				मूळ येथे trom, समाधानकारक
				x2 + y2 समीकरण सोडवते		1, कुठून
				cos2 α + sin2 α = 1, आवश्यकतेनुसार.

तर, cos2 α + sin2 α = 1 हे सूत्र वर्तुळ समीकरणावरून येते. असे दिसते की अशा प्रकारे आम्ही तीव्र कोनांसाठी या सूत्राचा एक नवीन पुरावा दिला आहे (§ 3 मध्ये सूचित केलेल्या तुलनेत, जेथे आम्ही पायथागोरियन प्रमेय वापरला होता). फरक, तथापि, पूर्णपणे बाह्य आहे: वर्तुळ समीकरण x2 + y2 = 1 काढताना, समान पायथागोरियन प्रमेय वापरला जातो.

तीव्र कोनांसाठी, आम्ही इतर सूत्रे देखील मिळवली, उदाहरणार्थ

चिन्ह, उजवी बाजू नेहमी नकारात्मक नसलेली असते, तर डावी बाजू नकारात्मक असू शकते. सूत्र सर्व α साठी सत्य असण्यासाठी, तो वर्ग केला पाहिजे. आम्हाला समानता मिळते: cos2 α = 1/(1 + tg2 α). हे सूत्र सर्व α:1 साठी खरे आहे हे सिद्ध करूया

1/(1 + tg2			sin2α			cos2α	Cos2α.
			cos2α			sin2α + cos2α

समस्या 7.1. खालील सर्व सूत्रे व्याख्या आणि सूत्र sin2 α + cos2 α = 1 (आम्ही त्यापैकी काही आधीच सिद्ध केले आहेत):

sin2α + cos2α = 1;

tg2α =

tg2α

sin2α =

tg α ctg α = 1;

cos2α

1 + tg2α

ctg2α

Ctg2

cos2α =

1 + ctg2α

sin2

ही सूत्रे, दिलेल्या संख्येच्या त्रिकोणमितीय फंक्शन्सपैकी एकाचे मूल्य जाणून, जवळजवळ सर्व उर्वरित शोधण्याची परवानगी देतात.

होय उदाहरणार्थ, आपल्याला माहित आहे की sin x = 1/2. नंतर cos2 x =

1−sin2 x = 3/4, म्हणून cos x एकतर 3/2 किंवा − 3/2 आहे. या दोनपैकी कोणती संख्या cos x समान आहे हे शोधण्यासाठी, अतिरिक्त माहिती आवश्यक आहे.

समस्या 7.2. वरील दोन्ही प्रकरणे शक्य आहेत हे उदाहरणांसह दाखवा.

समस्या 7.3. a) tgx = −1 द्या. sinx शोधा. या समस्येची किती उत्तरे आहेत?

b) चला, बिंदू a च्या अटींव्यतिरिक्त), आपल्याला माहित आहे की sin x< 0. Сколько теперь ответов у задачи?

1 ज्यासाठी tg α परिभाषित केला आहे, म्हणजे cos α 6= 0.

समस्या 7.4. sin x = 3/5, x [π/2; 3π/2]. tgx शोधा.

समस्या 7.5. tg x = 3, cos x > sin x समजा. cos x, sin x शोधा.

समस्या 7.6. चला tgx = 3/5. sin x + 2 cos x शोधा. cos x − 3 sin x

समस्या 7.7. ओळख सिद्ध करा:

tgα - sinα

c) sin α + cos α ctg α + sin α tg α + cos α =

समस्या 7.8. अभिव्यक्ती सुलभ करा:

a) (sin α + cos α)2 + (sin α − cos α)2 ; b) (tg α + ctg α)2 + (tg α − ctg α)2 ;

c) sin α(2 + ctg α)(2 ctg α + 1) − 5 cos α.

§ 8. त्रिकोणमितीय कार्यांचा कालावधी

x, x+2π, x−2π या संख्या त्रिकोणमितीय वर्तुळावरील समान बिंदूशी संबंधित आहेत (जर तुम्ही त्रिकोणमितीय वर्तुळाच्या बाजूने एक अतिरिक्त वर्तुळ पार केले, तर तुम्ही जिथे होता तिथेच संपाल). हे खालील ओळख सूचित करते, ज्याची आधीच § 5 मध्ये चर्चा केली गेली होती:

sin(x + 2π) = sin(x − 2π) = sin x; cos(x + 2π) = cos(x − 2π) = cosx.

या ओळखींच्या संबंधात, आम्ही आधीच "कालावधी" हा शब्द वापरला आहे. आम्ही आता अचूक व्याख्या देतो.

व्याख्या. समानता f(x − T) = f(x + T) = f(x) सर्व x साठी सत्य असल्यास (x + T आणि x असे गृहीत धरले जाते) संख्या T 6= 0 या कार्याचा कालावधी f म्हणतात. − T फंक्शनच्या डोमेनमध्ये समाविष्ट केले जातात, जर त्यात x समाविष्ट असेल). एखाद्या फंक्शनचा कालावधी (किमान एक) असल्यास त्याला नियतकालिक म्हणतात.

नियतकालिक कार्ये नैसर्गिकरित्या दोलन प्रक्रियांच्या वर्णनात उद्भवतात. यापैकी एक प्रक्रिया आधीच § 5 मध्ये चर्चा केली गेली आहे. येथे अधिक उदाहरणे आहेत:

1) ϕ = ϕ(t) हा घड्याळाच्या स्विंगिंग पेंडुलमच्या उभ्यापासून t या क्षणी विचलनाचा कोन असू द्या. नंतर ϕ हे t चे नियतकालिक कार्य आहे.

2) एसी आउटलेटमधील दोन सॉकेटमधील व्होल्टेज ("संभाव्य फरक," भौतिकशास्त्रज्ञ म्हणतील), es-

वेळेचे कार्य म्हणून विचार करायचा की नियतकालिक कार्य1.

3) चला संगीताचा आवाज ऐकू या. मग दिलेल्या बिंदूवर हवेचा दाब हे वेळेचे नियतकालिक कार्य आहे.

जर फंक्शनचा कालावधी T असेल तर या फंक्शनचे पूर्णविराम −T , 2T , −2T या संख्या देखील असतील. . . - एका शब्दात, सर्व संख्या nT , जेथे n हा पूर्णांक शून्याच्या समान नाही. खरंच, उदाहरणार्थ, f(x + 2T) = f(x) तपासू:

f(x + 2T) = f((x + T) + T) = f(x + T) = f(x).

व्याख्या. फंक्शन f चा सर्वात लहान सकारात्मक कालावधी आहे - शब्दांच्या शाब्दिक अर्थानुसार - एक सकारात्मक संख्या T आहे जसे की T हा f चा कालावधी आहे आणि T पेक्षा कमी कोणतीही सकारात्मक संख्या f चा कालावधी नाही.

नियतकालिक फंक्शनला सर्वात लहान सकारात्मक कालावधी असणे आवश्यक नसते (उदाहरणार्थ, स्थिर असलेल्या फंक्शनमध्ये सर्वसाधारणपणे कोणत्याही संख्येचा कालावधी असतो आणि म्हणून, त्याचा सर्वात लहान सकारात्मक कालावधी नसतो). नॉन-स्टंट नियतकालिक फंक्शन्सची उदाहरणे देखील दिली जाऊ शकतात ज्यात सर्वात लहान सकारात्मक कालावधी नसतो. तरीसुद्धा, बर्याच मनोरंजक प्रकरणांमध्ये, नियतकालिक कार्यांमध्ये सर्वात लहान सकारात्मक कालावधी असतो.

1 जेव्हा ते म्हणतात की "नेटवर्कमधील व्होल्टेज 220 व्होल्ट आहे", तेव्हा त्यांचा अर्थ "rms व्हॅल्यू" असा होतो, ज्याबद्दल आपण § 21 मध्ये बोलू. व्होल्टेज स्वतःच नेहमी बदलत असतो.

तांदूळ. ८.१. स्पर्शिका आणि कोटॅंजंटचा कालावधी.

विशेषतः, साइन आणि कोसाइन दोन्हीचा सर्वात लहान सकारात्मक कालावधी 2π आहे. हे सिद्ध करू, उदाहरणार्थ, y = sin x या फंक्शनसाठी. चला, आपण जे म्हणतो त्याच्या विरुद्ध, साइनचा कालावधी T असतो 0 इतका< T < 2π. При x = π/2 имеем sin x = = 1. Будем теперь увеличивать x. В точке x + T значение синуса должно быть также равно 1. Но в следующий раз синус будет равен 1 только при x = (π/2) + 2π. Поэтому период синуса быть меньше 2π не может. Доказательство для косинуса аналогично.

दोलनांचे वर्णन करणाऱ्या फंक्शनच्या सर्वात लहान सकारात्मक कालावधीला (आमच्या उदाहरण 1-3 प्रमाणे) या दोलनांचा कालावधी म्हणतात.

संख्या 2π हा साइन आणि कोसाइनचा कालावधी असल्याने, तो स्पर्शिका आणि कोटॅंजंटचा कालावधी देखील असेल. तथापि, या कार्यांसाठी, 2π हा सर्वात लहान कालावधी नाही: स्पर्शिका आणि कोटॅंजंटचा सर्वात लहान धनात्मक कालावधी π आहे. खरंच, त्रिकोणमितीय वर्तुळावरील x आणि x + π या संख्यांशी संबंधित असलेले बिंदू डायमेट्रिकली विरुद्ध आहेत: बिंदू x पासून x + 2π पर्यंत बिंदू π पर्यंत जाणे आवश्यक आहे, जे अर्ध्या वर्तुळाच्या बरोबर आहे. आता, जर आपण स्पर्शिका आणि कोटॅन्जंटच्या अक्षांचा वापर करून स्पर्शिका आणि कोटॅंजेंटची व्याख्या वापरली, तर समानता tg (x + π) = tg x आणि ctg (x + π) = ctg x स्पष्ट होतात (चित्र 8.1). हे तपासणे सोपे आहे (आम्ही हे समस्यांमध्ये करण्याचा प्रस्ताव देऊ) की π हा स्पर्शिका आणि कोटॅंजंटचा सर्वात लहान सकारात्मक कालावधी आहे.

शब्दावलीबद्दल एक टीप. अनेकदा "फंक्शनचा कालावधी" हे शब्द "सर्वात लहान सकारात्मक कालावधी" या अर्थाने वापरले जातात. म्हणून जर तुम्हाला परीक्षेत विचारले गेले की: "100π हा साइन फंक्शनचा कालावधी आहे का?", उत्तरासह तुमचा वेळ घ्या, परंतु तुमचा अर्थ सर्वात लहान सकारात्मक कालावधी आहे की पूर्णविरामांपैकी फक्त एक आहे हे स्पष्ट करा.

त्रिकोणमितीय फंक्शन्स हे नियतकालिक फंक्शन्सचे एक विशिष्ट उदाहरण आहे: कोणतेही "खूप वाईट नाही" नियतकालिक फंक्शन काही अर्थाने त्रिकोणमितीय फंक्शन्सच्या संदर्भात व्यक्त केले जाऊ शकते.

समस्या 8.1. फंक्शन्सचे सर्वात लहान सकारात्मक कालावधी शोधा:

				c) y = cos πx;

d) y = cosx + cos(1.01x).

समस्या 8.2. वेळेवर AC नेटवर्कमधील व्होल्टेजचे अवलंबन U = U0 sin ωt या सूत्राद्वारे दिले जाते (येथे t वेळ आहे, U व्होल्टेज आहे, U0 आणि ω स्थिरांक आहेत). पर्यायी प्रवाहाची वारंवारता 50 हर्ट्झ आहे (याचा अर्थ असा की व्होल्टेज प्रति सेकंद 50 दोलन करते).

a) ω शोधा, असे गृहीत धरून की t सेकंदात मोजला जातो;

b) t चे कार्य म्हणून U (सर्वात लहान धनात्मक) कालावधी शोधा.

समस्या 8.3. अ) कोसाइनचा सर्वात लहान धनात्मक कालावधी 2π आहे हे सिद्ध करा;

b) स्पर्शिकेचा सर्वात लहान धनात्मक कालावधी π आहे हे सिद्ध करा.

समस्या 8.4. फंक्शनचा किमान सकारात्मक कालावधी T च्या बरोबरीचा असू द्या. इतर सर्व पूर्णविराम काही पूर्णांकांसाठी nT या स्वरूपाचे आहेत हे सिद्ध करा.

समस्या 8.5. खालील कार्ये नियतकालिक नाहीत हे सिद्ध करा.