संख्यांचे नोड आणि नोड कसे शोधायचे. युक्लिडियन अल्गोरिदम - सर्वात मोठा सामान्य विभाजक शोधणे. दोनपेक्षा जास्त मूल्ये निर्दिष्ट केल्यास GCD निश्चित करणे आवश्यक असल्यास क्रिया

सर्वात मोठी नैसर्गिक संख्या ज्याने a आणि b या संख्यांना उर्वरित न करता भागले जाते त्याला म्हणतात सर्वात मोठा सामान्य विभाजकया संख्या. GCD(a, b) दर्शवा.

18 आणि 60 या दोन नैसर्गिक संख्यांचे उदाहरण वापरून GCD शोधण्याचा विचार करूया:

324 , 111 आणि 432

चला संख्यांचा मुख्य घटकांमध्ये घटक करू:

324 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3

111 = ३×३७

432 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3

पहिल्या क्रमांकापासून ज्या घटकांचे घटक दुसऱ्या आणि तिसऱ्या क्रमांकामध्ये नाहीत, ते ओलांडून आपल्याला मिळते:

2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 = 3

परिणामी, GCD( 324 , 111 , 432 )=3

युक्लिडियन अल्गोरिदम वापरून GCD शोधणे

सर्वात मोठा सामान्य विभाजक शोधण्याचा दुसरा मार्ग वापरत आहे युक्लिडियन अल्गोरिदम. युक्लिडियन अल्गोरिदम शोधण्याचा सर्वात प्रभावी मार्ग आहे GCD, त्याचा वापर करून तुम्हाला सतत भागाकार संख्यांची उर्वरित संख्या शोधणे आणि लागू करणे आवश्यक आहे पुनरावृत्ती सूत्र.

पुनरावृत्ती सूत्र GCD साठी, GCD(a, b)=GCD(b, a mod b), जेथे मॉड b हा भागाकार b चा उरलेला भाग आहे.

युक्लिडचा अल्गोरिदम

उदाहरण संख्यांचा सर्वात मोठा सामान्य विभाजक शोधा 7920 आणि 594

चला GCD शोधूया( 7920 , 594 ) युक्लिडियन अल्गोरिदम वापरून, आम्ही कॅल्क्युलेटर वापरून उर्वरित भागाची गणना करू.

• ७९२० मोड ५९४ = ७९२० - १३ × ५९४ = १९८
• 594 मोड 198 = 594 – 3 × 198 = 0

परिणामी, आम्हाला GCD( 7920 , 594 ) = 198

किमान सामान्य एकाधिक

भिन्न भाजकांसह अपूर्णांक जोडताना आणि वजा करताना सामान्य भाजक शोधण्यासाठी, तुम्हाला माहित असणे आणि गणना करण्यात सक्षम असणे आवश्यक आहे किमान सामान्य एकाधिक(NOK).

“a” या संख्येचा एक गुणाकार ही अशी संख्या आहे जी स्वतःच “a” या संख्येने उर्वरित न करता भागता येते.

ज्या संख्या 8 च्या गुणाकार आहेत (म्हणजे, या संख्यांना 8 ने निःशेष भाग जात नाही): या संख्या 16, 24, 32 आहेत...

9 चे गुणाकार: 18, 27, 36, 45…

दिलेल्या संख्येच्या अ-च्या संख्येच्या विभाजकांच्या विरुद्ध असीमपणे अनेक गुणाकार असतात. विभाजकांची संख्या मर्यादित आहे.

दोन नैसर्गिक संख्यांचा सामाईक गुणाकार ही अशी संख्या आहे जी या दोन्ही संख्यांनी भागता येते..

किमान सामान्य एकाधिकदोन किंवा अधिक नैसर्गिक संख्यांची (LCM) ही सर्वात लहान नैसर्गिक संख्या आहे जी स्वतः या प्रत्येक संख्येने भागता येते.

NOC कसा शोधायचा

LCM दोन प्रकारे शोधता आणि लिहिता येतो.

LOC शोधण्याचा पहिला मार्ग

ही पद्धत सहसा लहान संख्येसाठी वापरली जाते.

1. जोपर्यंत आम्हाला दोन्ही संख्यांसाठी समान गुण सापडत नाही तोपर्यंत आम्ही प्रत्येक संख्येचे गुणाकार एका ओळीवर लिहितो.
2. "a" या संख्येचा गुणाकार कॅपिटल अक्षर "K" द्वारे दर्शविला जातो.

उदाहरण. LCM 6 आणि 8 शोधा.

LOC शोधण्याचा दुसरा मार्ग

तीन किंवा अधिक संख्यांसाठी LCM शोधण्यासाठी ही पद्धत वापरण्यास सोयीस्कर आहे.

संख्यांच्या विघटनातील समान घटकांची संख्या भिन्न असू शकते.

तुम्ही खालीलप्रमाणे किमान सामान्य मल्टिपल (एलसीएम) शोधणे देखील औपचारिक करू शकता. चला LOC (12, 16, 24) शोधूया.

२४ = २ २ २ ३

जसे आपण संख्यांच्या विघटनावरून पाहतो, 12 चे सर्व घटक 24 (संख्यांपैकी सर्वात मोठे) च्या विघटनामध्ये समाविष्ट केले जातात, म्हणून आपण 16 क्रमांकाच्या विघटनापासून LCM मध्ये फक्त एक 2 जोडतो.

LCM (12, 16, 24) = 2 2 2 3 2 = 48

उत्तर: LCM (12, 16, 24) = 48

एनओसी शोधण्याची विशेष प्रकरणे

उदाहरणार्थ, LCM (60, 15) = 60
कॉप्राइम नंबर्समध्ये कोणतेही सामान्य अविभाज्य घटक नसल्यामुळे, त्यांचा किमान सामान्य गुणक या संख्यांच्या गुणाकाराच्या समान असतो.

आमच्या वेबसाइटवर तुम्ही तुमची गणना तपासण्यासाठी किमान सामान्य एकाधिक ऑनलाइन शोधण्यासाठी विशेष कॅल्क्युलेटर देखील वापरू शकता.

जर एखाद्या नैसर्गिक संख्येला केवळ 1 ने भाग जात असेल तर त्याला अविभाज्य म्हणतात.

कोणतीही नैसर्गिक संख्या नेहमी 1 आणि स्वतःच भागते.

संख्या 2 ही सर्वात लहान मूळ संख्या आहे. ही एकमेव सम मूळ संख्या आहे, बाकीच्या मूळ संख्या विषम आहेत.

अनेक मूळ संख्या आहेत आणि त्यापैकी पहिली संख्या 2 आहे. तथापि, शेवटची मूळ संख्या नाही. "अभ्यासासाठी" विभागात तुम्ही 997 पर्यंत मूळ संख्यांचा तक्ता डाउनलोड करू शकता.

परंतु अनेक नैसर्गिक संख्यांना इतर नैसर्गिक संख्यांनी देखील भाग जातो.

• 12 ही संख्या 1 ने, 2 ने, 3 ने, 4 ने, 6 ने, 12 ने भाग जाते;
• 36 ही संख्या 1 ने, 2 ने, 3 ने, 4 ने, 6 ने, 12 ने, 18 ने 36 ने भाग जातो.

ज्या संख्येने संख्येला पूर्ण भाग जातो (12 साठी हे 1, 2, 3, 4, 6 आणि 12 आहेत) त्यांना संख्येचे विभाजक म्हणतात.

नैसर्गिक संख्या a चा विभाजक ही एक नैसर्गिक संख्या आहे जी दिलेल्या संख्येला "a" शिवाय भागते.

दोन पेक्षा जास्त विभाजक असलेल्या नैसर्गिक संख्येला संयुक्त म्हणतात.

कृपया लक्षात घ्या की संख्या 12 आणि 36 मध्ये सामान्य घटक आहेत. या संख्या आहेत: 1, 2, 3, 4, 6, 12. या संख्यांचा सर्वात मोठा विभाजक 12 आहे.

"a" आणि "b" दिलेल्या दोन संख्यांचा सामाईक विभाजक ही अशी संख्या आहे ज्याद्वारे "a" आणि "b" या दोन्ही संख्यांना उर्वरित न करता भागले जाते.

सर्वात मोठा सामान्य विभाजकदोन दिलेल्या संख्यांची (GCD) “a” आणि “b” ही सर्वात मोठी संख्या आहे ज्याद्वारे “a” आणि “b” या दोन्ही संख्यांना उर्वरित न भागता येते.

थोडक्यात, “a” आणि “b” या संख्यांचा सर्वात मोठा सामान्य विभाजक खालीलप्रमाणे लिहिला आहे::

उदाहरण: gcd (12; 36) = 12.

सोल्यूशन नोटेशनमधील संख्यांचे विभाजक कॅपिटल अक्षर "D" द्वारे दर्शविले जातात.

संख्या 7 आणि 9 मध्ये फक्त एक समान विभाजक आहे - संख्या 1. अशा क्रमांकांना म्हणतात कॉप्राइम क्रमांक.

कॉप्राइम क्रमांक- या नैसर्गिक संख्या आहेत ज्यात फक्त एक समान विभाजक आहे - संख्या 1. त्यांचा gcd 1 आहे.

सर्वात मोठा सामान्य विभाजक कसा शोधायचा

दोन किंवा अधिक नैसर्गिक संख्यांचे gcd शोधण्यासाठी तुम्हाला आवश्यक आहे:

• संख्यांच्या विभाजकांचे अविभाज्य घटकांमध्ये विघटन करणे;

उभ्या पट्टीचा वापर करून गणना लिहिणे सोयीचे आहे. ओळीच्या डावीकडे आपण प्रथम लाभांश लिहितो, उजवीकडे - भाजक. पुढे, डाव्या स्तंभात आपण गुणांकांची मूल्ये लिहू.

चला एका उदाहरणाने ते लगेच समजावून घेऊ. चला 28 आणि 64 या संख्यांचा मूळ घटकांमध्ये घटक करू.

आम्ही दोन्ही संख्यांमध्ये समान मूळ घटकांवर जोर देतो.
२८ = २ २ ७

64 = 2 2 2 2 2 2
समान अविभाज्य घटकांचे गुणाकार शोधा आणि उत्तर लिहा;
GCD (28; 64) = 2 2 = 4

उत्तर: GCD (28; 64) = 4

तुम्ही GCD चे स्थान दोन प्रकारे औपचारिक करू शकता: स्तंभात (वर केल्याप्रमाणे) किंवा “एका ओळीत”.

GCD लिहिण्याचा पहिला मार्ग

gcd 48 आणि 36 शोधा.

GCD (48; 36) = 2 2 3 = 12

जीसीडी लिहिण्याचा दुसरा मार्ग

आता GCD शोधाचा उपाय एका ओळीत लिहू. gcd 10 आणि 15 शोधा.

आमच्या माहिती साइटवर तुम्ही तुमची गणना तपासण्यासाठी ग्रेटेस्ट कॉमन डिव्हायझर ऑनलाइन मदतनीस देखील वापरू शकता.

LCM शोधण्यासाठी किमान सामान्य बहुविध, पद्धती, उदाहरणे शोधणे.

खाली सादर केलेली सामग्री ही LCM शीर्षकाच्या लेखातील सिद्धांताची तार्किक निरंतरता आहे - किमान सामान्य एकाधिक, व्याख्या, उदाहरणे, LCM आणि GCD दरम्यानचे कनेक्शन. येथे आपण याबद्दल बोलू किमान सामान्य मल्टिपल (एलसीएम) शोधणे, आणि आम्ही उदाहरणे सोडवण्याकडे विशेष लक्ष देऊ. प्रथम, या संख्यांच्या GCD वापरून दोन संख्यांचा LCM कसा काढला जातो ते आपण दाखवू. पुढे, आम्ही प्राइम फॅक्टरमध्ये क्रमांकांचे फॅक्टरिंग करून कमीत कमी सामान्य गुणक शोधू. यानंतर, आम्ही तीन किंवा अधिक संख्यांचे LCM शोधण्यावर लक्ष केंद्रित करू, आणि ऋण संख्यांच्या LCM ची गणना करण्यावर देखील लक्ष देऊ.

पृष्ठ नेव्हिगेशन.

GCD द्वारे किमान सामान्य मल्टिपल (LCM) ची गणना करणे

LCM आणि GCD मधील संबंधांवर आधारित किमान सामान्य गुणक शोधण्याचा एक मार्ग आहे. LCM आणि GCD मधील विद्यमान कनेक्शन आम्हाला ज्ञात सर्वात सामान्य विभाजकाद्वारे दोन सकारात्मक पूर्णांकांच्या किमान सामान्य गुणाकाराची गणना करण्यास अनुमती देते. संबंधित सूत्र आहे LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). दिलेल्या सूत्राचा वापर करून LCM शोधण्याची उदाहरणे पाहू.

126 आणि 70 या दोन संख्यांचा किमान सामान्य गुणाकार शोधा.

या उदाहरणात a=126 , b=70 . LCM(a, b)=a·b:GCD(a, b) या सूत्राने व्यक्त केलेले LCM आणि GCD मधील कनेक्शन वापरू. म्हणजेच, प्रथम आपल्याला 70 आणि 126 या संख्यांचा सर्वात मोठा सामान्य विभाजक शोधावा लागेल, त्यानंतर आपण लिखित सूत्र वापरून या संख्यांचा LCM काढू शकतो.

युक्लिडियन अल्गोरिदम वापरून GCD(126, 70) शोधू: 126=70·1+56, 70=56·1+14, 56=14·4, म्हणून GCD(126, 70)=14.

आता आपल्याला आवश्यक किमान सामान्य गुणक सापडतो: LCM(126, 70)=126·70:GCD(126, 70)= 126·70:14=630.

LCM(68, 34) किती आहे?

६८ ला ३४ ने भाग जात असल्याने GCD(६८, ३४)=३४. आता आपण सर्वात कमी सामान्य गुणांक काढतो: LCM(68, 34)=68·34:GCD(68, 34)= 68·34:34=68.

लक्षात घ्या की मागील उदाहरण सकारात्मक पूर्णांक a आणि b साठी LCM शोधण्यासाठी खालील नियमात बसते: जर a ला b ने भाग जात असेल, तर या संख्यांचा सर्वात कमी सामान्य गुणक a आहे.

अविभाज्य घटकांमध्ये संख्यांचे गुणांकन करून LCM शोधणे

कमीत कमी सामान्य गुणक शोधण्याचा दुसरा मार्ग म्हणजे अविभाज्य घटकांमध्ये फॅक्टरिंग संख्यांवर आधारित. जर तुम्ही दिलेल्या संख्यांच्या सर्व अविभाज्य घटकांपासून उत्पादन तयार केले आणि त्यानंतर दिलेल्या संख्यांच्या विघटनामध्ये उपस्थित असलेले सर्व सामान्य मूळ घटक या गुणाकारातून वगळल्यास, परिणामी उत्पादन दिलेल्या संख्यांच्या किमान सामान्य गुणाकाराच्या समान असेल. .

LCM शोधण्यासाठी नमूद केलेला नियम LCM(a, b)=a·b:GCD(a, b) या समानतेवरून येतो. खरंच, संख्या a आणि b चे गुणाकार हे a आणि b संख्यांच्या विस्तारामध्ये सामील असलेल्या सर्व घटकांच्या गुणाकाराच्या समान आहे. या बदल्यात, GCD(a, b) संख्या a आणि b च्या विस्तारामध्ये एकाच वेळी उपस्थित असलेल्या सर्व अविभाज्य घटकांच्या गुणाकाराच्या समान आहे (संख्यांचा अविभाज्य घटकांमध्ये विस्तार वापरून GCD शोधण्याच्या विभागात वर्णन केल्याप्रमाणे).

एक उदाहरण देऊ. कळू द्या की ७५=३·५·५ आणि २१०=२·३·५·७. चला या विस्ताराच्या सर्व घटकांपासून उत्पादन तयार करू: 2·3·3·5·5·5·7 . आता या उत्पादनातून आपण संख्या 75 चा विस्तार आणि 210 क्रमांकाचा विस्तार (हे घटक 3 आणि 5 आहेत) दोन्हीमध्ये उपस्थित असलेले सर्व घटक वगळले आहेत, नंतर उत्पादन 2·3·5·5·7 रूप घेईल. . या उत्पादनाचे मूल्य 75 आणि 210 संख्यांच्या किमान सामान्य गुणाकाराच्या समान आहे, म्हणजे, LCM(75, 210)= 2·3·5·5·7=1050.

441 आणि 700 या संख्यांचा अविभाज्य घटकांमध्ये घटक करा आणि या संख्यांचा सर्वात कमी सामान्य गुणक शोधा.

441 आणि 700 या संख्यांचा मूळ घटकांमध्ये घटक करू:

आपल्याला ४४१=३·३·७·७ आणि ७००=२·२·५·५·७ मिळतात.

आता या संख्यांच्या विस्तारामध्ये सामील असलेल्या सर्व घटकांपासून एक उत्पादन तयार करू: 2·2·3·3·5·5·7·7·7. दोन्ही विस्तारांमध्ये एकाच वेळी उपस्थित असलेले सर्व घटक या उत्पादनातून वगळू या (असा एकच घटक आहे - हा क्रमांक 7 आहे): 2·2·3·3·5·5·7·7. अशा प्रकारे, LCM(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100 .

NOC(441, 700)= 44 100 .

अविभाज्य घटकांमध्ये संख्यांचे फॅक्टरायझेशन वापरून एलसीएम शोधण्याचा नियम थोड्या वेगळ्या पद्धतीने तयार केला जाऊ शकतो. संख्या b च्या विस्तारातील गहाळ घटक संख्या a च्या विस्तारातील घटकांमध्ये जोडल्यास परिणामी उत्पादनाचे मूल्य a आणि b संख्यांच्या किमान सामान्य गुणाकाराच्या समान असेल.

उदाहरणार्थ, समान संख्या 75 आणि 210 घेऊ, त्यांचे विघटन मूलभूत घटकांमध्ये खालीलप्रमाणे आहेत: 75=3·5·5 आणि 210=2·3·5·7. संख्या 75 च्या विस्तारापासून 3, 5 आणि 5 मध्ये आपण 210 क्रमांकाच्या विस्तारातून गहाळ घटक 2 आणि 7 जोडतो, आपल्याला उत्पादन 2·3·5·5·7 मिळते, ज्याचे मूल्य आहे LCM (75, 210) च्या बरोबरीचे.

84 आणि 648 चा किमान सामान्य गुणाकार शोधा.

आम्ही प्रथम 84 आणि 648 संख्यांचे विघटन मुख्य घटकांमध्ये मिळवतो. ते ८४=२·२·३·७ आणि ६४८=२·२·२·३·३·३·३ सारखे दिसतात. 84 क्रमांकाच्या विस्तारापासून घटक 2, 2, 3 आणि 7 मध्ये आम्ही 2, 3, 3 आणि 3 क्रमांक 648 च्या विस्तारातून गहाळ घटक जोडतो, आम्हाला 2 2 2 3 3 3 3 7 हे गुण मिळतात. जे 4 536 च्या बरोबरीचे आहे. अशा प्रकारे, 84 आणि 648 चा इच्छित किमान सामान्य गुणक 4,536 आहे.

तीन किंवा अधिक संख्यांचा LCM शोधणे

तीन किंवा अधिक संख्यांचा किमान सामान्य गुणाकार दोन संख्यांचा LCM क्रमवार शोधून शोधला जाऊ शकतो. आपण संबंधित प्रमेय आठवू या, जे तीन किंवा अधिक संख्यांचे LCM शोधण्याचा मार्ग देते.

सकारात्मक पूर्णांक संख्या a 1 , a 2 , …, a k देऊ द्या, या संख्यांपैकी सर्वात कमी सामान्य अनेक m k ही अनुक्रमे m 2 = LCM(a 1 , a 2) , m 3 = LCM(m 2 , a) मोजून आढळतात. ३) , … , m k = LCM(m k−1 , a k) .

चार संख्यांपैकी किमान सामान्य गुणक शोधण्याचे उदाहरण वापरून या प्रमेयाच्या वापराचा विचार करू.

140, 9, 54 आणि 250 या चार संख्यांचे LCM शोधा.

प्रथम आपण शोधू m 2 = LCM(a 1 , a 2) = LCM(140, 9) . हे करण्यासाठी, युक्लिडियन अल्गोरिदम वापरून, आम्ही GCD(140, 9) निर्धारित करतो, आमच्याकडे 140=9·15+5, 9=5·1+4, 5=4·1+1, 4=1·4, म्हणून, GCD(140, 9)=1, ज्यातून LCM(140, 9)=140·9:GCD(140, 9)= 140·9:1=1,260. म्हणजे, m 2 = 1 260.

आता आपल्याला m 3 = LCM(m 2 , a 3) = LCM(1 260, 54) सापडतो. चला GCD(1 260, 54) द्वारे त्याची गणना करू, जे आपण युक्लिडियन अल्गोरिदम वापरून देखील निर्धारित करतो: 1 260=54·23+18, 54=18·3. नंतर gcd(1,260, 54)=18, ज्यातून gcd(1,260, 54)= 1,260·54:gcd(1,260, 54)= 1,260·54:18=3,780. म्हणजे, m 3 = 3 780.

m 4 = LCM(m 3 , a 4) = LCM(3 780, 250) शोधणे बाकी आहे. हे करण्यासाठी, आम्ही युक्लिडियन अल्गोरिदम वापरून GCD(3,780, 250) शोधतो: 3,780=250·15+30, 250=30·8+10, 30=10·3. म्हणून, GCD(3,780, 250)=10, ज्यातून GCD(3,780, 250)= 3,780·250:GCD(3,780, 250)= 3,780·250:10=94,500. म्हणजे, m 4 = 94,500.

तर मूळ चार संख्यांचा सर्वात कमी सामान्य गुणक 94,500 आहे.

LCM(140, 9, 54, 250) = 94,500 .

अनेक प्रकरणांमध्ये, दिलेल्या संख्यांचे अविभाज्य गुणांकन वापरून तीन किंवा अधिक संख्यांचा किमान सामान्य गुणक शोधणे सोयीचे असते. या प्रकरणात, आपण खालील नियमांचे पालन केले पाहिजे. अनेक संख्यांचा किमान सामान्य गुणक हा गुणाकाराच्या बरोबरीचा असतो, जो खालील प्रमाणे बनलेला असतो: दुसऱ्या क्रमांकाच्या विस्तारातील गहाळ घटक पहिल्या संख्येच्या विस्तारापासूनच्या सर्व घटकांमध्ये जोडले जातात, च्या विस्तारातील गहाळ घटक तिसरी संख्या परिणामी घटकांमध्ये जोडली जाते, आणि असेच.

प्राइम फॅक्टरायझेशन वापरून किमान सामान्य गुणक शोधण्याचे उदाहरण पाहू.

84, 6, 48, 7, 143 या पाच संख्यांपैकी किमान सामान्य गुणाकार शोधा.

प्रथम, आपण या संख्यांचे विघटन मूळ घटकांमध्ये प्राप्त करतो: 84=2·2·3·7, 6=2·3, 48=2·2·2·2·3, 7 (7 ही मूळ संख्या आहे, ती एकरूप होते मुख्य घटकांमध्ये त्याचे विघटन) आणि 143=11·13.

या संख्यांचे एलसीएम शोधण्यासाठी, पहिल्या क्रमांक 84 च्या घटकांमध्ये (ते 2, 2, 3 आणि 7 आहेत), तुम्हाला दुसऱ्या क्रमांक 6 च्या विस्तारापासून गहाळ घटक जोडणे आवश्यक आहे. क्रमांक 6 च्या विघटनामध्ये गहाळ घटक नसतात, कारण पहिल्या क्रमांक 84 च्या विघटनामध्ये 2 आणि 3 दोन्ही आधीच उपस्थित आहेत. पुढे, घटक 2, 2, 3 आणि 7 मध्ये आपण तिसऱ्या क्रमांक 48 च्या विस्तारातून गहाळ घटक 2 आणि 2 जोडतो, आपल्याला 2, 2, 2, 2, 3 आणि 7 घटकांचा संच मिळतो. पुढील चरणात या सेटमध्ये गुणक जोडण्याची आवश्यकता नाही, कारण 7 मध्ये आधीच समाविष्ट आहे. शेवटी, घटक 2, 2, 2, 2, 3 आणि 7 मध्ये आम्ही 143 क्रमांकाच्या विस्तारापासून गहाळ घटक 11 आणि 13 जोडतो. आम्हाला उत्पादन २·२·२·२·३·७·११·१३ मिळते, जे ४८,०४८ इतके आहे.

म्हणून, LCM(84, 6, 48, 7, 143)=48,048.

LCM(84, 6, 48, 7, 143) = 48,048 .

ऋण संख्यांचा किमान सामान्य गुणक शोधणे

कधीकधी अशी कार्ये असतात ज्यात आपल्याला संख्यांचा किमान सामान्य गुणक शोधण्याची आवश्यकता असते, त्यापैकी एक, अनेक किंवा सर्व संख्या ऋण असतात. या प्रकरणांमध्ये, सर्व ऋण संख्या त्यांच्या विरुद्ध संख्यांनी बदलणे आवश्यक आहे आणि नंतर सकारात्मक संख्यांचा LCM शोधणे आवश्यक आहे. ऋण संख्यांचा LCM शोधण्याचा हा मार्ग आहे. उदाहरणार्थ, LCM(54, −34) = LCM(54, 34) आणि LCM(−622, −46, −54, −888) = LCM(622, 46, 54, 888) .

आपण हे करू शकतो कारण a च्या गुणाकारांचा संच −a (a आणि −a विरुद्ध संख्यांच्या संचाप्रमाणे आहे). खरंच, b हा a चा काही गुणक असू द्या, नंतर b हा a ने भाग जातो आणि विभाज्यतेची संकल्पना b=a·q पूर्णांक q चे अस्तित्व दर्शवते. परंतु समानता b=(−a)·(−q) देखील सत्य असेल, जे, विभाज्यतेच्या समान संकल्पनेमुळे, म्हणजे b हा −a ने भाग जातो, म्हणजेच b हा −a चा गुणक आहे. संभाषण देखील खरे आहे: जर b हा −a चा काही गुणाकार असेल, तर b हा a चा गुणक देखील असेल.

−145 आणि −45 या ऋण संख्यांचा किमान सामान्य गुणाकार शोधा.

चला ऋण संख्या −145 आणि −45 त्यांच्या विरुद्ध संख्या 145 आणि 45 ने बदलू. आमच्याकडे LCM(−145, −45) = LCM(145, 45) आहे. GCD(145, 45)=5 (उदाहरणार्थ, युक्लिडियन अल्गोरिदम वापरून) निश्चित केल्यावर, आम्ही GCM(145, 45)=145·45:GCD(145, 45)= 145·45:5=1 305 ची गणना करतो. अशा प्रकारे, ऋण पूर्णांक −145 आणि −45 मधील सर्वात कमी सामान्य गुणाकार 1,305 आहे.

www.cleverstudents.ru

आम्ही विभागाचा अभ्यास सुरू ठेवतो. या धड्यात आपण संकल्पना पाहू जसे की GCDआणि एनओसी.

GCDसर्वात मोठा सामान्य विभाजक आहे.

एनओसीसर्वात कमी सामान्य गुणाकार आहे.

विषय खूपच कंटाळवाणा आहे, परंतु तुम्हाला तो नक्कीच समजून घेणे आवश्यक आहे. हा विषय समजून घेतल्याशिवाय, तुम्ही गणितातील खरा अडथळा असलेल्या अपूर्णांकांसह प्रभावीपणे काम करू शकणार नाही.

सर्वात मोठा सामान्य विभाजक

व्याख्या. संख्यांचा सर्वात मोठा सामान्य विभाजक aआणि b aआणि bउर्वरित न करता विभागले.

ही व्याख्या नीट समजून घेण्यासाठी, चला बदलू aआणि bकोणत्याही दोन संख्या, उदाहरणार्थ, व्हेरिएबलऐवजी aचला संख्या 12 आणि व्हेरिएबल ऐवजी बदलू bसंख्या 9. आता ही व्याख्या वाचण्याचा प्रयत्न करूया:

संख्यांचा सर्वात मोठा सामान्य विभाजक 12 आणि 9 ज्याला सर्वात मोठी संख्या म्हणतात 12 आणि 9 उर्वरित न करता विभागले.

व्याख्येवरून हे स्पष्ट आहे की आम्ही 12 आणि 9 या संख्यांच्या सामान्य विभाजकाबद्दल बोलत आहोत आणि हा भाजक सर्व विद्यमान विभाजकांपैकी सर्वात मोठा आहे. हा सर्वात मोठा सामान्य विभाजक (GCD) शोधणे आवश्यक आहे.

दोन संख्यांचा सर्वात मोठा सामान्य विभाजक शोधण्यासाठी, तीन पद्धती वापरल्या जातात. पहिली पद्धत खूप श्रम-केंद्रित आहे, परंतु ती आपल्याला विषयाचे सार स्पष्टपणे समजून घेण्यास आणि त्याचा संपूर्ण अर्थ जाणवू देते.

दुसरी आणि तिसरी पद्धती अगदी सोप्या आहेत आणि त्वरीत GCD शोधणे शक्य करतात. आपण तिन्ही पद्धती पाहू. आणि सराव मध्ये कोणता वापरायचा ते निवडणे आपल्यावर अवलंबून आहे.

पहिली पद्धत म्हणजे दोन संख्यांचे सर्व संभाव्य विभाजक शोधणे आणि सर्वात मोठी निवडणे. खालील उदाहरण वापरून ही पद्धत पाहू. 12 आणि 9 या संख्यांचा सर्वात मोठा सामान्य विभाजक शोधा.

प्रथम, आम्ही 12 या संख्येचे सर्व संभाव्य विभाजक शोधू. हे करण्यासाठी, आम्ही 1 ते 12 च्या श्रेणीतील सर्व विभाजकांनी 12 ला भाग करू. जर विभाजक आम्हाला 12 ला उर्वरित भाग न देता भागू देतो, तर आम्ही ते ठळक करू. निळा आणि कंसात योग्य स्पष्टीकरण करा.

12: 1 = 12
(12 ला 1 ने भागाकार उरला नाही, याचा अर्थ 1 हा 12 च्या संख्येचा विभाजक आहे)

12: 2 = 6
(12 ला 2 ने भागाकार उरला नाही, याचा अर्थ 2 हा 12 च्या संख्येचा विभाजक आहे)

12: 3 = 4
(12 ला 3 ने भाग न घेता उर्वरित आहे, याचा अर्थ 3 हा 12 च्या संख्येचा विभाजक आहे)

12: 4 = 3
(12 ला 4 ने भागाकार उरलेला नाही, याचा अर्थ 4 हा 12 च्या संख्येचा विभाजक आहे)

12: 5 = 2 (2 शिल्लक)
(12 ला 5 ने भागाकार उरलेला नाही, याचा अर्थ 5 हा 12 च्या संख्येचा भागाकार नाही)

12: 6 = 2
(12 ला 6 ने भागाकार उरलेला नाही, याचा अर्थ 6 हा 12 च्या संख्येचा विभाजक आहे)

12: 7 = 1 (5 शिल्लक)
(12 ला 7 ने भागाकार उरलेला नाही, याचा अर्थ 7 हा 12 च्या संख्येचा भागाकार नाही)

12: 8 = 1 (4 शिल्लक)
(12 ला 8 ने भागाकार बाकी नसतो, याचा अर्थ 8 हा 12 चा भागाकार नाही)

12: 9 = 1 (3 शिल्लक)
(12 ला 9 ने भागाकार न करता, म्हणजे 9 हा 12 च्या संख्येचा भागाकार नाही)

12: 10 = 1 (2 शिल्लक)
(12 ला 10 ने भागाकार उरलेला नाही, याचा अर्थ 10 हा 12 च्या संख्येचा भागाकार नाही)

12: 11 = 1 (1 शिल्लक)
(12 ला 11 ने भागाकार उरलेला नाही, याचा अर्थ 11 हा 12 चा भागाकार नाही)

12: 12 = 1
(12 ला 12 ने भागाकार उरला नाही, याचा अर्थ 12 हा 12 चा विभाजक आहे)

आता 9 क्रमांकाचे विभाजक शोधू. हे करण्यासाठी 1 ते 9 पर्यंतचे सर्व विभाजक तपासा.

9: 1 = 9
(9 ला 1 ने भाग न घेता उर्वरित आहे, याचा अर्थ 1 हा 9 क्रमांकाचा विभाजक आहे)

9: 2 = 4 (1 शिल्लक)
(9 ला 2 ने भागाकार उरलेला नाही, याचा अर्थ 2 हा 9 या संख्येचा भागाकार नाही)

9: 3 = 3
(9 ला 3 ने भागाकार उरला नाही, याचा अर्थ 3 हा 9 क्रमांकाचा विभाजक आहे)

9: 4 = 2 (1 शिल्लक)
(9 ला 4 ने भागाकार उरलेला नाही, याचा अर्थ 4 हा 9 क्रमांकाचा भागाकार नाही)

9: 5 = 1 (4 शिल्लक)
(9 ला 5 ने भागाकार उरलेला नाही, याचा अर्थ 5 हा 9 या संख्येचा भागाकार नाही)

9: 6 = 1 (3 शिल्लक)
(9 ला 6 ने भागाकार उरलेला नाही, याचा अर्थ 6 हा 9 या संख्येचा भागाकार नाही)

9: 7 = 1 (2 शिल्लक)
(9 ला 7 ने भागाकार उरलेला नाही, याचा अर्थ 7 हा 9 या संख्येचा भागाकार नाही)

9: 8 = 1 (1 शिल्लक)
(9 ला 8 ने भागाकार भागाकार उरलेला नाही, याचा अर्थ 8 हा 9 क्रमांकाचा विभाजक नाही)

9: 9 = 1
(9 ला 9 ने भागाकार उरला नाही, याचा अर्थ 9 हा 9 या संख्येचा भागाकार आहे)

आता दोन्ही संख्यांचे विभाजक लिहू. निळ्या रंगात ठळक केलेल्या संख्या विभाजक आहेत. चला ते लिहूया:

विभाजक लिहिल्यानंतर, आपण ताबडतोब निर्धारित करू शकता की कोणता सर्वात मोठा आणि सर्वात सामान्य आहे.

व्याख्येनुसार, 12 आणि 9 या संख्यांचा सर्वात मोठा सामान्य विभाजक ही संख्या आहे जी 12 आणि 9 ला उर्वरित भागाशिवाय भागते. 12 आणि 9 या संख्यांचा सर्वात मोठा आणि सामान्य विभाजक हा क्रमांक 3 आहे

संख्या 12 आणि संख्या 9 दोन्ही 3 ने निःशेष भाग न जाता:

तर gcd (12 आणि 9) = 3

GCD शोधण्याचा दुसरा मार्ग

आता सर्वात मोठा सामान्य विभाजक शोधण्याची दुसरी पद्धत पाहू. या पद्धतीचे सार म्हणजे दोन्ही संख्यांचे अविभाज्य घटकांमध्ये विघटन करणे आणि सामान्य संख्यांचा गुणाकार करणे.

उदाहरण १. 24 आणि 18 क्रमांकांची gcd शोधा

प्रथम, दोन्ही संख्यांना अविभाज्य घटकांमध्ये घटक घेऊ या:

आता त्यांचे सामान्य घटक गुणाकार करूया. गोंधळ टाळण्यासाठी, सामान्य घटकांवर जोर दिला जाऊ शकतो.

आपण 24 या संख्येचा विस्तार पाहतो. त्याचा पहिला घटक 2 आहे. आपण 18 क्रमांकाच्या विस्तारामध्ये तोच घटक शोधतो आणि तो तिथेही आहे हे पाहतो. आम्ही दोन्ही दोन गोष्टींवर जोर देतो:

आपण 24 क्रमांकाच्या विस्ताराकडे पुन्हा पाहतो. त्याचा दुसरा घटक देखील 2 आहे. आपण 18 क्रमांकाच्या विस्तारामध्ये तोच घटक शोधतो आणि तो दुसऱ्यांदा नाही हे पाहतो. मग आपण कशावरही जोर देत नाही.

24 क्रमांकाच्या विस्तारातील पुढील दोन क्रमांक 18 च्या विस्तारात देखील अनुपस्थित आहेत.

चला संख्या 24 च्या विस्तारातील शेवटच्या घटकाकडे जाऊ या. हा घटक 3 आहे. आपण 18 क्रमांकाच्या विस्तारामध्ये तोच घटक शोधतो आणि तो तिथेही आहे हे पाहतो. आम्ही दोन्ही तीन गोष्टींवर जोर देतो:

तर, संख्या 24 आणि 18 चे सामान्य घटक 2 आणि 3 आहेत. GCD मिळवण्यासाठी, या घटकांचा गुणाकार करणे आवश्यक आहे:

तर gcd (24 आणि 18) = 6

GCD शोधण्याचा तिसरा मार्ग

आता सर्वात मोठा सामान्य विभाजक शोधण्याचा तिसरा मार्ग पाहू. या पद्धतीचा सार असा आहे की सर्वात मोठ्या सामान्य विभाजकासाठी शोधल्या जाणाऱ्या संख्या अविभाज्य घटकांमध्ये विघटित केल्या जातात. त्यानंतर, पहिल्या क्रमांकाच्या विस्तारापासून, दुसऱ्या क्रमांकाच्या विस्तारामध्ये समाविष्ट नसलेले घटक ओलांडले जातात. पहिल्या विस्तारातील उर्वरित संख्यांचा गुणाकार करून GCD प्राप्त होतो.

उदाहरणार्थ, या पद्धतीचा वापर करून 28 आणि 16 क्रमांकांसाठी GCD शोधू. सर्व प्रथम, आम्ही या संख्यांचे मुख्य घटकांमध्ये विघटन करतो:

आम्हाला दोन विस्तार मिळाले: आणि

आता पहिल्या संख्येच्या विघटनापासून आपण दुसऱ्या क्रमांकाच्या विघटनामध्ये समाविष्ट नसलेले घटक हटवू. दुसऱ्या क्रमांकाच्या विस्तारामध्ये सातचा समावेश नाही. पहिल्या विस्तारापासून ते पार करूया:

आता आम्ही उर्वरित घटक गुणाकार करतो आणि GCD मिळवतो:

संख्या 4 हा 28 आणि 16 या संख्यांचा सर्वात मोठा सामाईक विभाजक आहे. या दोन्ही संख्यांना 4 ने निःशेष भाग जात नाही:

उदाहरण २. 100 आणि 40 क्रमांकांची gcd शोधा

संख्या 100 चे गुणांकन

संख्या 40 चे गुणांकन

आम्हाला दोन विस्तार मिळाले:

आता पहिल्या संख्येच्या विघटनापासून आपण दुसऱ्या क्रमांकाच्या विघटनामध्ये समाविष्ट नसलेले घटक हटवू. दुसऱ्या क्रमांकाच्या विस्तारामध्ये एक पाच समाविष्ट नाही (तेथे फक्त एक पाच आहे). पहिल्या विस्तारापासून ते पार करूया

उर्वरित संख्यांचा गुणाकार करूया:

आम्हाला 20 चे उत्तर मिळाले. याचा अर्थ 20 हा अंक 100 आणि 40 चा सर्वात मोठा सामाईक विभाजक आहे. या दोन संख्यांना 20 ने निःशेष भाग न जाता:

GCD (100 आणि 40) = 20.

उदाहरण ३. 72 आणि 128 क्रमांकांची gcd शोधा

72 क्रमांकाचे गुणांकन

128 क्रमांकाचे गुणांकन

2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2

आता पहिल्या संख्येच्या विघटनापासून आपण दुसऱ्या क्रमांकाच्या विघटनामध्ये समाविष्ट नसलेले घटक हटवू. दुसऱ्या क्रमांकाच्या विस्तारामध्ये दोन तिप्पट समाविष्ट नाहीत (ते तिथे अजिबात नाहीत). चला त्यांना पहिल्या विस्तारापासून बाहेर काढूया:

आम्हाला 8 चे उत्तर मिळाले. याचा अर्थ असा की 8 ही संख्या 72 आणि 128 या संख्यांचा सर्वात मोठा सामाईक विभाजक आहे. या दोन संख्यांना 8 ने निःशेष भाग जात नाही:

GCD (72 आणि 128) = 8

अनेक संख्यांसाठी GCD शोधत आहे

सर्वात मोठा सामान्य विभाजक अनेक संख्यांसाठी आढळू शकतो, फक्त दोन नाही. हे करण्यासाठी, सर्वात मोठ्या सामान्य विभाजकासाठी शोधल्या जाणाऱ्या संख्यांचे अविभाज्य घटकांमध्ये विघटन केले जाते, त्यानंतर या संख्यांच्या सामान्य मूळ घटकांचे गुणाकार आढळतात.

उदाहरणार्थ, 18, 24 आणि 36 अंकांसाठी GCD शोधू

चला संख्या 18 चे फॅक्टराइज करू

चला संख्या 24 चे फॅक्टराइज करू

चला संख्या 36 चे फॅक्टराइज करू

आम्हाला तीन विस्तार मिळाले:

आता या संख्यांमधील सामान्य घटक हायलाइट आणि अधोरेखित करू या. तिन्ही संख्यांमध्ये सामान्य घटक दिसणे आवश्यक आहे:

आपण पाहतो की 18, 24 आणि 36 या संख्यांचे सामान्य घटक हे घटक 2 आणि 3 आहेत. या घटकांचा गुणाकार केल्यास, आपण शोधत असलेला gcd मिळेल:

आम्हाला उत्तर 6 मिळाले. याचा अर्थ 6 हा संख्या 18, 24 आणि 36 मधील सर्वात मोठा सामान्य विभाजक आहे. या तीन संख्यांना 6 ने निःशेष भाग जात नाही:

GCD (18, 24 आणि 36) = 6

उदाहरण २.संख्या 12, 24, 36 आणि 42 साठी GCD शोधा

प्रत्येक संख्येला प्राइम फॅक्टरमध्ये फॅक्टर करू. मग आपल्याला या संख्यांच्या सामान्य घटकांचे गुणांकन सापडते.

12 क्रमांकाचा घटक करा

चला संख्या 42 चे फॅक्टराइज करू

आम्हाला चार विस्तार मिळाले:

आता या संख्यांमधील सामान्य घटक हायलाइट आणि अधोरेखित करू या. सर्व चार संख्यांमध्ये सामान्य घटक दिसणे आवश्यक आहे:

आम्ही पाहतो की 12, 24, 36, आणि 42 या संख्यांचे सामान्य घटक हे 2 आणि 3 चे घटक आहेत. या घटकांचा एकत्रितपणे गुणाकार केल्यास, आम्ही शोधत असलेला gcd मिळेल:

आम्हाला उत्तर 6 मिळाले. याचा अर्थ असा की संख्या 6 हा 12, 24, 36 आणि 42 या संख्यांचा सर्वात मोठा सामान्य विभाजक आहे. या संख्यांना 6 ने निःशेष भाग जात नाही:

GCD (12, 24, 36 आणि 42) = 6

मागील धड्यावरून आपल्याला माहित आहे की जर एखाद्या संख्येला उरलेल्या संख्येशिवाय दुसऱ्याने भागले असेल तर त्याला या संख्येचा गुणाकार म्हणतात.

हे दिसून आले की गुणाकार अनेक संख्यांसाठी सामान्य असू शकतात. आणि आता आपल्याला दोन संख्यांच्या गुणाकारात स्वारस्य असेल आणि ते शक्य तितके लहान असावे.

व्याख्या. संख्यांची किमान सामान्य मल्टिपल (LCM). aआणि ब- aआणि b aआणि संख्या b.

व्याख्येमध्ये दोन चल असतात aआणि b. या व्हेरिएबल्सऐवजी कोणतीही दोन संख्या घेऊ. उदाहरणार्थ, व्हेरिएबलऐवजी aचला संख्या 9 आणि त्याऐवजी व्हेरिएबल घेऊ bचला संख्या 12 ची जागा घेऊ. आता व्याख्या वाचण्याचा प्रयत्न करूया:

संख्यांचा किमान सामान्य मल्टिपल (LCM). 9 आणि 12 - च्या गुणाकार असलेली सर्वात लहान संख्या आहे 9 आणि 12 . दुसऱ्या शब्दांत, ही इतकी लहान संख्या आहे जी संख्येने उर्वरित न भागता आहे 9 आणि संख्येनुसार 12 .

व्याख्येवरून हे स्पष्ट आहे की LCM ही सर्वात लहान संख्या आहे जी 9 आणि 12 ने भागली जाऊ शकते.

किमान सामान्य एकाधिक (एलसीएम) शोधण्यासाठी, तुम्ही दोन पद्धती वापरू शकता. पहिला मार्ग असा आहे की तुम्ही दोन संख्यांचे पहिले गुणाकार लिहू शकता आणि नंतर या गुणाकारांमधून एक संख्या निवडा जी संख्या आणि लहान दोन्हीसाठी समान असेल. चला ही पद्धत वापरुया.

सर्वप्रथम, 9 या संख्येचा पहिला गुणाकार शोधू या. 9 चा गुणाकार शोधण्यासाठी, तुम्हाला 1 ते 9 पर्यंतच्या संख्येने या नऊचा एक एक करून गुणाकार करावा लागेल. परिणामी उत्तरे 9 या संख्येचे गुणाकार असतील. तर, चला सुरवात करूया. आम्ही लाल रंगात गुणाकार हायलाइट करू:

आता आपल्याला 12 च्या संख्येचा गुणाकार सापडतो. हे करण्यासाठी, आपण 1 ते 12 या सर्व संख्यांनी 12 ला एक एक करून गुणाकार करतो.

LCM - किमान सामान्य एकाधिक. अशी संख्या जी दिलेल्या सर्व संख्यांना उर्वरित न करता भागेल.

उदाहरणार्थ, दिलेल्या संख्या 2, 3, 5 असल्यास, LCM=2*3*5=30

आणि जर दिलेल्या संख्या 2,4,8 असतील तर LCM = 8

GCD म्हणजे काय?

GCD हा सर्वात मोठा सामान्य विभाजक आहे. दिलेली प्रत्येक संख्या बाकी न ठेवता विभाजित करण्यासाठी वापरली जाऊ शकणारी संख्या.

हे तार्किक आहे की जर दिलेल्या संख्या अविभाज्य असतील, तर gcd एक समान असेल.

आणि जर दिलेल्या संख्या 2, 4, 8 असतील तर GCD 2 च्या बरोबरीचे आहे.

आम्ही त्याचे सामान्य शब्दात वर्णन करणार नाही, परंतु उदाहरणासह समाधान दर्शवू.

126 आणि 44 या दोन संख्या दिल्या आहेत. GCD शोधा.

मग जर आपल्याला फॉर्मचे दोन नंबर दिले असतील

मग GCD म्हणून गणना केली जाते

जेथे min हे pn संख्येच्या सर्व शक्तींचे किमान मूल्य आहे

आणि NOC म्हणून

जेथे कमाल हे pn संख्येच्या सर्व शक्तींचे कमाल मूल्य आहे

वरील सूत्रे पाहता, आपण सहजपणे सिद्ध करू शकता की दोन किंवा अधिक संख्यांची gcd एक समान असेल, जेव्हा दिलेल्या मूल्यांच्या किमान एक जोडीमध्ये तुलनेने अविभाज्य संख्या असतात.

म्हणून, 3, 25412, 3251, 7841, 25654, 7 सारख्या संख्यांची जीसीडी कशाचीही गणना न करता समान आहे या प्रश्नाचे उत्तर देणे सोपे आहे.

संख्या 3 आणि 7 तुलनेने अविभाज्य आहेत, आणि म्हणून GCD = 1

एक उदाहरण पाहू.

24654, 25473 आणि 954 हे तीन क्रमांक दिले आहेत

प्रत्येक संख्या खालील घटकांमध्ये विघटित होते

किंवा, जर आपण ते वैकल्पिक स्वरूपात लिहितो

म्हणजेच, या तीन संख्यांची gcd तीन समान आहे

बरं, आपण अशाच प्रकारे LCM ची गणना करू शकतो आणि ते समान आहे

आमचा बॉट तुम्हाला कोणत्याही दोन, तीन किंवा दहा पूर्णांकांच्या GCD आणि LCM ची गणना करण्यात मदत करेल.

सारांशाचे मुख्य शब्द:पूर्णांक. नैसर्गिक संख्यांवर अंकगणित क्रिया. नैसर्गिक संख्यांची विभाज्यता. अविभाज्य आणि संमिश्र संख्या. प्राइम फॅक्टर्समध्ये नैसर्गिक संख्येचे फॅक्टर करणे. 2, 3, 5, 9, 4, 25, 10, 11 ने विभाज्यता चिन्हे. ग्रेटेस्ट कॉमन विभाजक (GCD), तसेच किमान सामान्य मल्टिपल (LCD). उर्वरित सह विभागणी.

पूर्णांक- ही संख्या आहेत जी वस्तू मोजण्यासाठी वापरली जातात - 1, 2, 3, 4 , ... पण संख्या 0 नैसर्गिक नाही!

नैसर्गिक संख्यांचा संच द्वारे दर्शविला जातो एन. विक्रम "३ ∈ N"म्हणजे संख्या तीन नैसर्गिक संख्यांच्या संचाशी संबंधित आहे आणि नोटेशन "0 ∉ N"म्हणजे शून्य संख्या या संचाशी संबंधित नाही.

दशांश संख्या प्रणाली- पोझिशनल रेडिक्स नंबर सिस्टम 10 .

नैसर्गिक संख्यांवर अंकगणित क्रिया

नैसर्गिक संख्यांसाठी खालील क्रिया परिभाषित केल्या आहेत: बेरीज, वजाबाकी, गुणाकार, भागाकार,घातांक, रूट काढणे. पहिल्या चार क्रिया आहेत अंकगणित.

तर a, b आणि c या नैसर्गिक संख्या समजा

1. जोडणे. टर्म + टर्म = बेरीज

जोडण्याचे गुणधर्म
1. संप्रेषणात्मक a + b = b + a.
2. संयोजक a + (b + c) = (a + b) + c.
3. a + 0 = 0 + a = a.

2. वजा करा. Minuend - Subtrahend = फरक

वजाबाकीचे गुणधर्म
1. संख्या a - (b + c) = a - b - c मधून बेरीज वजा करणे.
2. बेरीजमधून संख्या वजा करणे (a + b) - c = a + (b - c); (a + b) - c = (a - c) + b.
3. a - 0 = a.
4. a - a = 0.

3. गुणाकार. गुणक * गुणक = उत्पादन

गुणाकाराचे गुणधर्म
1. संप्रेषणात्मक a*b = b*a.
2. संयोजक a*(b*c) = (a*b)*c.
3. 1 * a = a * 1 = a.
4. 0 * a = a * 0 = 0.
5. वितरणात्मक (a + b) * c = ac + bc; (a - b) * c = ac - bc.

4. विभाग. लाभांश: भाजक = भागफल

विभागणीचे गुणधर्म
1. a: 1 = a.
2. a: a = 1. तुम्ही शून्याने भागू शकत नाही!
3. 0: a = 0.

कार्यपद्धती

1. सर्व प्रथम, कंसातील क्रिया.
2. नंतर गुणाकार, भागाकार.
3. आणि फक्त शेवटी बेरीज आणि वजाबाकी.

नैसर्गिक संख्यांची विभाज्यता. अविभाज्य आणि संमिश्र संख्या.

नैसर्गिक संख्येचा विभाजक एज्याची नैसर्गिक संख्या आहे एउर्वरित न करता विभागले. क्रमांक 1 कोणत्याही नैसर्गिक संख्येचा विभाजक आहे.

नैसर्गिक संख्या म्हणतात सोपे, फक्त असेल तर दोनभाजक: एक आणि संख्या स्वतः. उदाहरणार्थ, संख्या 2, 3, 11, 23 या मूळ संख्या आहेत.

दोनपेक्षा जास्त विभाजक असलेल्या संख्येला म्हणतात संमिश्र. उदाहरणार्थ, 4, 8, 15, 27 या संमिश्र संख्या आहेत.

विभाज्यता चाचणी कार्य करतेअनेक संख्या: जर घटकांपैकी किमान एक विशिष्ट संख्येने भाग जात असेल, तर गुणाकार देखील या संख्येने भाग जातो. काम 24 15 77 द्वारे विभाजित 12 , या संख्येच्या गुणाकारापासून 24 द्वारे विभाजित 12 .

बेरीज (फरक) साठी विभाज्यता चाचणीसंख्या: जर प्रत्येक पद एका विशिष्ट संख्येने भाग जात असेल, तर संपूर्ण बेरीज या संख्येने भागली जाईल. तर a: bआणि c:b, ते (a + c): b. आणि जर a: b, ए cने विभाज्य नाही b, ते a+cसंख्येने भाग जात नाही b.

तर एसीआणि c:b, ते a: b. 72: 24 आणि 24: 12 या वस्तुस्थितीवर आधारित, आम्ही निष्कर्ष काढतो की 72: 12.

अविभाज्य संख्यांच्या शक्तींचे गुणाकार म्हणून संख्येचे प्रतिनिधित्व म्हणतात मुख्य घटकांमध्ये संख्येचे गुणांकन करणे.

अंकगणिताचे मूलभूत प्रमेय: कोणतीही नैसर्गिक संख्या (वगळून 1 ) किंवा आहे सोपे, किंवा ते फक्त एकाच प्रकारे फॅक्टर केले जाऊ शकते.

एखाद्या संख्येचे अविभाज्य घटकांमध्ये विघटन करताना, विभाज्यतेची चिन्हे वापरली जातात आणि "स्तंभ" नोटेशन वापरले जाते, या प्रकरणात, विभाजक उभ्या रेषेच्या उजवीकडे स्थित असतो आणि भागफल लाभांश खाली लिहिलेला असतो.

उदाहरणार्थ, कार्य: अविभाज्य घटकांमध्ये संख्येचा घटक करा 330 . उपाय:

मध्ये विभाज्यतेची चिन्हे 2, 5, 3, 9, 10, 4, 25 आणि 11.

मध्ये विभाज्य होण्याची चिन्हे आहेत 6, 15, 45 इ., म्हणजे, संख्यांमध्ये ज्यांचे उत्पादन घटकबद्ध केले जाऊ शकते 2, 3, 5, 9 आणि 10 .

सर्वात मोठा सामान्य विभाजक

सर्वात मोठी नैसर्गिक संख्या ज्याने दोन दिलेल्या नैसर्गिक संख्यांपैकी प्रत्येकाला भाग जातो त्याला म्हणतात सर्वात मोठा सामान्य विभाजकहे आकडे ( GCD). उदाहरणार्थ, GCD (10; 25) = 5; आणि GCD (18; 24) = 6; GCD (7; 21) = 1.

जर दोन नैसर्गिक संख्यांचा सर्वात मोठा सामान्य विभाजक समान असेल 1 , नंतर या क्रमांकांना कॉल केले जातात परस्पर प्रधान.

सर्वात मोठा सामान्य विभाजक शोधण्यासाठी अल्गोरिदम(NOD)

जीसीडी बहुतेकदा समस्यांमध्ये वापरली जाते. उदाहरणार्थ, एका वर्गातील विद्यार्थ्यांमध्ये 155 नोटबुक आणि 62 पेन समान रीतीने विभागले गेले. या वर्गात किती विद्यार्थी आहेत?

उपाय: या वर्गातील विद्यार्थ्यांची संख्या शोधणे हे 155 आणि 62 या संख्यांचा सर्वात मोठा सामाईक विभाजक शोधण्यापर्यंत खाली येतो, कारण वही आणि पेन समान प्रमाणात विभागले गेले होते. 155 = 5 31; ६२ = २ ३१. GCD (155; 62) = 31.

उत्तर: वर्गात 31 विद्यार्थी.

किमान सामान्य एकाधिक

नैसर्गिक संख्येचे गुणाकार एएक नैसर्गिक संख्या आहे जी याने भाग जाते एकाहीही माग न सोडता. उदाहरणार्थ, संख्या 8 गुणाकार आहेत: 8, 16, 24, 32 , ... कोणतीही नैसर्गिक संख्या असते अमर्यादपणे अनेक गुणाकार.

किमान सामान्य एकाधिक(LCM) ही सर्वात लहान नैसर्गिक संख्या आहे जी या संख्यांचा गुणाकार आहे.

किमान सामान्य गुणक शोधण्यासाठी अल्गोरिदम ( एनओसी):

LCM देखील अनेकदा समस्या वापरले जाते. उदाहरणार्थ, दोन सायकलस्वार एकाच वेळी सायकल ट्रॅकवरून एकाच दिशेने निघाले. एक 1 मिनिटात वर्तुळ बनवतो आणि दुसरा 45 सेकंदात. चळवळ सुरू झाल्यानंतर किमान किती मिनिटांत ते सुरुवातीला भेटतील?

उपाय: ज्या मिनिटांनंतर ते सुरूवातीला पुन्हा भेटतील त्या संख्येने भागले पाहिजे 1 मिनिट, तसेच चालू ४५ से. 1 मिनिट = 60 सेकंदात. म्हणजेच, LCM (45; 60) शोधणे आवश्यक आहे.
45 = 3 2 5;
60 = 2 2 3 5.
एनओसी (४५; ६०)= 2 2 3 2 5 = 4 9 5 = 180 .
याचा परिणाम असा आहे की सायकलस्वार सुरुवातीला 180 s = 3 मिनिटांमध्ये भेटतील.

उत्तर: 3 मि.

उर्वरित सह विभागणी

जर नैसर्गिक संख्या एनैसर्गिक संख्येने भाग जात नाही b, नंतर आपण करू शकता उर्वरित सह विभागणी. या प्रकरणात, परिणामी भागांक म्हणतात अपूर्ण. समानता न्याय्य आहे:

a = b n + r,

कुठे ए- विभाज्य, b- दुभाजक, n- अपूर्ण भागफल, आर- उर्वरित. उदाहरणार्थ, लाभांश समान असू द्या 243 , विभाजक - 4 , नंतर २४३: ४ = ६० (उर्वरित ३). म्हणजे, a = 243, b = 4, n = 60, r = 3, नंतर 243 = 60 4 + 3 .

ज्या संख्यांनी भाग जातो 2 बाकीशिवाय, म्हणतात अगदी: a = 2n, एन ∈ एन.

उर्वरित क्रमांकांना कॉल केले जातात विषम: b = 2n + 1, एन ∈ एन.

हा विषयाचा सारांश आहे "पूर्णांक. विभाज्यतेची चिन्हे". सुरू ठेवण्यासाठी, पुढील पायऱ्या निवडा:

• पुढील सारांशावर जा:

धडा 1. नैसर्गिक संख्या

१.६. सर्वोत्कृष्ट सामान्य विभाजक आणि सर्वात कमी सामान्य गुणाकार

आधी आम्ही संख्यांच्या विभाजकांना नावे दिली. आता संमिश्र संख्यांना अविभाज्य घटकांमध्ये कारक करण्याचा प्रयत्न करूया.

व्याख्या

एखाद्या संख्येला मूळ घटकांमध्ये घटक बनवणे म्हणजे मूळ संख्यांचा समान गुणाकार म्हणून त्याचे प्रतिनिधित्व करणे.

संख्यांच्या मूळ घटकांमध्ये विघटन असे दिसेल:
; .
संख्यांच्या अविभाज्य घटकांमधील विघटन , , दुसऱ्या स्वरूपात दर्शविले जाऊ शकते:

आता मी हे एका ओळीवर लिहीन
.

खुप छान! तू फक्त एक प्रतिभावान आहेस.

मला अजूनही समजले नाही की तुम्ही इतक्या लवकर अंदाज कसा लावला की संख्या ने भाग जाते?

आणि ते सोपे आहे. मी द्वारे विभाज्यतेची चाचणी वापरली. चला याकडे लक्ष द्या की आपण नुकत्याच रेकॉर्ड केलेल्या कामांमध्ये, संख्या पुनरावृत्ती झाली आहे.

व्याख्या

यातील प्रत्येक संख्या ज्या संख्येने भागली जाते त्याला या संख्यांचा सामाईक भाजक म्हणतात.

त्या. आमच्या बाबतीत, संख्या सामान्य विभाजक आहे?

होय, मला तेच म्हणायचे होते. आणि जर आपण संख्या घेतली आणि , तर, जसे आपण पाहू शकता, त्यांच्याकडे तीन सामान्य विभाजक आहेत: , आणि (मोजत नाही).

मला समजले नाही?...

व्याख्या

या संख्यांच्या सर्वात मोठ्या सामाईक विभाजकाला त्यांचा सर्वात मोठा सामान्य विभाजक म्हणतात आणि संक्षिप्त रूपात GCD असे म्हणतात.

तुम्ही हे लक्षात ठेवले पाहिजे की GCD गणितात मोठी भूमिका बजावते.

मी आधीच पाहू शकतो की गणितामध्ये सर्व संकल्पना मोठी भूमिका बजावतात. आणि ते सर्व कसे लक्षात ठेवायचे? हा GCD कसा शोधायचा?

काळजी करू नका, तुम्ही त्यांचा नियमित वापर केल्यास ते कालांतराने संस्मरणीय होतील.
चला तर मग सुरू ठेवूया. शोधण्यासाठी GCDअनेक संख्या, तुम्ही त्यांना अविभाज्य घटकांमध्ये घटक बनवू शकता, त्यांचे सामान्य मूळ घटक लिहू शकता आणि गुणाकार करू शकता.

हे चांगले आहे. पण असे संख्या आहेत ज्यांना एक व्यतिरिक्त कोणतेही समान विभाजक नाहीत! उदाहरणार्थ, आणि, आणि .

होय, तुम्ही बरोबर लक्षात घेतले.

व्याख्या

ज्या संख्यांमध्ये सामान्य विभाजक नसतात (एक वगळता) त्यांना तुलनेने अविभाज्य म्हणतात.

तर याचा अर्थ काय: सर्व मूळ संख्या देखील तुलनेने अविभाज्य असतील?

आणि या प्रकरणात आपण बरोबर आहात! तथापि, आम्हाला अजूनही LCM च्या किमान सामान्य गुणाकार म्हणून अशा संकल्पनेचा विचार करणे आवश्यक आहे.

व्याख्या

या प्रत्येक संख्येने ज्या संख्येला भाग जातो त्याला या संख्यांचा सामान्य गुणक म्हणतात.

तर, संख्यांसाठी आणि सामान्य गुणाकार ही प्रत्येक संख्या असेल: , , , , LCM.

चांगले केले. कॉप्राइम नंबर्सचा LCM किती असेल असे तुम्हाला वाटते?

मी आता शोधून काढेन. त्यांच्याकडे एकतेशिवाय इतर कोणतेही समान विभाजक नाहीत आणि म्हणूनच त्यांचे उत्पादन त्यांचे एलसीएम आहे!

हे फक्त आश्चर्यकारक आहे! किती छान निष्कर्ष.
आणि आमच्या संशोधनाच्या शेवटी, मी तुम्हाला सांगू इच्छितो की एलओसी स्पष्ट नसल्यास ते कसे शोधायचे.

या प्रकरणात, या संख्या मुख्य घटकांमध्ये विघटित केल्या जातात. मग सर्व घटक सर्वात मोठ्या संख्येतून लिहून काढले जातात आणि उर्वरित संख्यांच्या विस्तारातील गहाळ घटक त्यांना जोडले जातात.

होय, मी समाधानी आहे, मला ते आवडले.

परंतु अनेक नैसर्गिक संख्यांना इतर नैसर्गिक संख्यांनी देखील भाग जातो.

उदाहरणार्थ:

12 या संख्येला 1 ने, 2 ने, 3 ने, 4 ने, 6 ने, 12 ने भाग जातो;

36 ही संख्या 1 ने, 2 ने, 3 ने, 4 ने, 6 ने, 12 ने, 18 ने 36 ने भाग जातो.

ज्या संख्येने संख्या पूर्णतः भाग जाते (12 साठी हे 1, 2, 3, 4, 6 आणि 12 आहेत) म्हणतात. संख्यांचे विभाजक. नैसर्गिक संख्येचा विभाजक a- ही नैसर्गिक संख्या आहे जी दिलेल्या संख्येला विभाजित करते aकाहीही माग न सोडता. दोन पेक्षा जास्त विभाजक असलेल्या नैसर्गिक संख्येला म्हणतात संमिश्र. कृपया लक्षात घ्या की संख्या 12 आणि 36 मध्ये सामान्य घटक आहेत. या संख्या आहेत: 1, 2, 3, 4, 6, 12. या संख्यांचा सर्वात मोठा विभाजक 12 आहे.

दिलेल्या दोन संख्यांचा सामाईक विभाजक aआणि b- ही अशी संख्या आहे ज्याद्वारे दिलेल्या दोन्ही संख्यांना उर्वरित न करता भागले जाते aआणि b. अनेक संख्यांचा सामान्य विभाजक (GCD)अशी संख्या आहे जी त्या प्रत्येकासाठी विभाजक म्हणून काम करते.

संख्यांचा थोडक्यात सर्वात मोठा सामान्य विभाजक aआणि bअसे लिहा:

उदाहरण: GCD (12; 36) = 12.

सोल्यूशन नोटेशनमधील संख्यांचे विभाजक कॅपिटल अक्षर "D" द्वारे दर्शविले जातात.

उदाहरण:

GCD (7; 9) = 1

संख्या 7 आणि 9 मध्ये फक्त एक समान विभाजक आहे - संख्या 1. अशा संख्या म्हणतात परस्पर प्रधानची स्लामी.

कॉप्राइम क्रमांक- या नैसर्गिक संख्या आहेत ज्यांचा फक्त एक समान भाजक आहे - संख्या 1. त्यांची gcd 1 आहे.

ग्रेटेस्ट कॉमन विभाजक (GCD), गुणधर्म.

• मूलभूत गुणधर्म: सर्वात मोठा सामान्य विभाजक मीआणि nया संख्यांच्या कोणत्याही सामाईक विभाजकाने भाग जातो. उदाहरण: संख्या 12 आणि 18 साठी, सर्वात मोठा सामान्य विभाजक 6 आहे; या संख्यांच्या सर्व सामाईक विभाजकांद्वारे ते विभाजित केले आहे: 1, 2, 3, 6.
• परिणाम 1: सामान्य विभाजकांचा संच मीआणि n GCD विभाजकांच्या संचाशी जुळते( मी, n).
• परिणाम 2: सामान्य गुणाकारांचा संच मीआणि nएकाधिक LCM च्या संचाशी एकरूप होते ( मी, n).

याचा अर्थ, विशेषतः, अपूर्णांक अपरिवर्तनीय स्वरूपात कमी करण्यासाठी, तुम्हाला त्याचा अंश आणि भाजक त्यांच्या gcd द्वारे विभाजित करणे आवश्यक आहे.

• संख्यांचा सर्वात मोठा सामान्य विभाजक मीआणि nत्यांच्या सर्व रेखीय संयोजनांच्या संचाचा सर्वात लहान सकारात्मक घटक म्हणून परिभाषित केले जाऊ शकते:

आणि म्हणून ते संख्यांचे एक रेषीय संयोजन म्हणून प्रस्तुत करा मीआणि n:

या गुणोत्तराला म्हणतात बेझाउटचे नाते, आणि गुणांक uआणि v — बेझाउट गुणांक. विस्तारित युक्लिडियन अल्गोरिदमद्वारे बेझआउट गुणांक कार्यक्षमतेने मोजले जातात. हे विधान नैसर्गिक संख्यांच्या संचाचे सामान्यीकरण करते - त्याचा अर्थ असा आहे की संचाद्वारे व्युत्पन्न केलेल्या गटाचा उपसमूह चक्रीय असतो आणि एका घटकाद्वारे व्युत्पन्न होतो: GCD ( a 1 , a 2 , … , एक एन).

सर्वात मोठा सामान्य विभाजक (GCD) मोजा.

दोन संख्यांची जीसीडी मोजण्याचे कार्यक्षम मार्ग आहेत युक्लिडियन अल्गोरिदमआणि बायनरीअल्गोरिदम. याव्यतिरिक्त, जीसीडीचे मूल्य ( मी,nजर संख्यांचा प्रामाणिक विस्तार माहीत असेल तर ) सहज काढता येईल मीआणि nमुख्य घटकांमध्ये:

भिन्न अविभाज्य संख्या कोठे आहेत आणि आणि नॉन-ऋणात्मक पूर्णांक आहेत (संबंधित अविभाज्य विस्तारामध्ये नसल्यास ते शून्य असू शकतात). नंतर GCD ( मी,n) आणि एनओसी ( मी,n) सूत्रांद्वारे व्यक्त केले जातात:

जर दोनपेक्षा जास्त संख्या असतील: , त्यांचे gcd खालील अल्गोरिदम वापरून आढळतात:

- हे इच्छित GCD आहे.

तसेच, शोधण्यासाठी सर्वात मोठा सामान्य विभाजक, तुम्ही दिलेल्या प्रत्येक संख्येचा अविभाज्य घटकांमध्ये घटक करू शकता. नंतर सर्व दिलेल्या संख्यांमध्ये समाविष्ट असलेले घटक स्वतंत्रपणे लिहा. मग आपण लिखित संख्या एकत्रितपणे गुणाकार करतो - गुणाकाराचा परिणाम हा सर्वात मोठा सामान्य भाजक असतो .

चला सर्वात मोठ्या सामान्य विभाजकाची टप्प्याटप्प्याने गणना पाहू:

1. संख्यांच्या विभाजकांचे अविभाज्य घटकांमध्ये विघटन करा:

उभ्या पट्टीचा वापर करून गणना लिहिणे सोयीचे आहे. ओळीच्या डावीकडे आपण प्रथम लाभांश लिहितो, उजवीकडे - भाजक. पुढे, डाव्या स्तंभात आपण गुणांकांची मूल्ये लिहू. चला एका उदाहरणाने ते लगेच समजावून घेऊ. चला 28 आणि 64 या संख्यांचा मूळ घटकांमध्ये घटक करू.

2. आम्ही दोन्ही संख्यांमध्ये समान अविभाज्य घटकांवर जोर देतो:

28 = 2 . 2 . 7

64 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2

3. समान अविभाज्य घटकांचे गुणाकार शोधा आणि उत्तर लिहा:

GCD (28; 64) = 2. 2 = 4

उत्तर: GCD (28; 64) = 4

तुम्ही GCD चे स्थान दोन प्रकारे औपचारिक करू शकता: स्तंभात (वर केल्याप्रमाणे) किंवा “एका ओळीत”.

GCD लिहिण्याचा पहिला मार्ग:

gcd 48 आणि 36 शोधा.

GCD (48; 36) = 2. 2. ३ = १२

GCD लिहिण्याचा दुसरा मार्ग:

आता GCD शोधाचा उपाय एका ओळीत लिहू. gcd 10 आणि 15 शोधा.

D (10) = (1, 2, 5, 10)

D (15) = (1, 3, 5, 15)

D (10, 15) = (1, 5)