काही अतार्किक अभिव्यक्तींचे एकत्रीकरण. अपरिमेय फंक्शन्सचे इंटिग्रल्स. स्वतःला अभिन्न कमी करून

मुलांसाठी अँटीपायरेटिक्स बालरोगतज्ञांनी लिहून दिले आहेत. परंतु तापासह आपत्कालीन परिस्थिती असते जेव्हा मुलाला ताबडतोब औषध देणे आवश्यक असते. मग पालक जबाबदारी घेतात आणि अँटीपायरेटिक औषधे वापरतात. लहान मुलांना काय देण्याची परवानगी आहे? मोठ्या मुलांमध्ये तापमान कसे कमी करावे? कोणती औषधे सर्वात सुरक्षित आहेत?

या ऑनलाइन कॅल्क्युलेटरचा वापर , , , या फॉर्मच्या अपरिमेय अपूर्णांकांच्या पूर्णांकांची गणना करण्यासाठी केला जातो.

द्या चे तर्कसंगत कार्य हे फंक्शन, आणि म्हणून त्याचे अविभाज्य, x=t r बदलून तर्कसंगत केले जाते, जेथे r हा r 1, r 2,…, r n या संख्यांचा सर्वात कमी सामान्य गुणक आहे. नंतर dx=rt r -1 आणि इंटिग्रल अंतर्गत t चे परिमेय कार्य आहे. त्याचप्रमाणे, जर इंटिग्रँड चे तर्कसंगत कार्य आहे , नंतर integrand फंक्शन प्रतिस्थापनाद्वारे परिमेय बनवले जाते जेथे t हा r 1 , r 2 , … r n या संख्यांचा सर्वात कमी सामान्य गुणक आहे. नंतर मूळ अभिव्यक्तीमध्ये बदलून, आपल्याला t चे परिमेय कार्य मिळते.

उदाहरण. गणना करा. 2 आणि 3 चा सर्वात कमी सामान्य गुणक 6 आहे. म्हणून, आम्ही x = t 6 बदलतो. नंतर dx = 6t 5 dt आणि

अतार्किक कार्यांचे एकत्रीकरण

उदाहरण क्रमांक १. अपरिमेय फंक्शनच्या निश्चित इंटिग्रलची गणना करा:

उपाय. R(x α1, x α2,..., x αk)dx फॉर्मचे अविभाज्य, जेथे R हे x αi चे परिमेय कार्य आहे, α i =p i /q i - परिमेय अपूर्णांक (i = 1,2,... , k) , प्रतिस्थापन x = t q वापरून परिमेय फंक्शनच्या अविभाज्यतेपर्यंत कमी केले जाते, जेथे q हा a 1, a 2,..., a k या अपूर्णांकांच्या भाजकांचा सर्वात कमी सामान्य गुणक (LCM) आहे. आमच्या बाबतीत, a 1 = 2, a 2 = 3, a 3 = 6, त्यामुळे त्यांच्या भाजकांचा सर्वात कमी सामान्य गुणक q = LCM(2,3,6) = 6 आहे. x = t 6 व्हेरिएबल बदलल्यास अपूर्णांक परिमेय कार्याचा अविभाज्य भाग, ज्याची गणना उदाहरणात वर्णन केल्याप्रमाणे केली जाते:

व्याख्या १

दिलेल्या फंक्शन $y=f(x)$ च्या सर्व अँटीडेरिव्हेटिव्हजचा संच, एका विशिष्ट खंडावर परिभाषित केला आहे, याला दिलेल्या फंक्शन $y=f(x)$ चे अनिश्चित पूर्णांक म्हणतात. अनिश्चित पूर्णांक $\int f(x)dx $ या चिन्हाने दर्शविले जाते.

टिप्पणी

व्याख्या 2 खालीलप्रमाणे लिहिली जाऊ शकते:

\[\int f(x)dx =F(x)+C.\]

प्रत्येक अपरिमेय कार्य प्राथमिक फंक्शन्सद्वारे अविभाज्य म्हणून व्यक्त केले जाऊ शकत नाही. तथापि, यापैकी बहुतेक अविभाज्य परिमेय फंक्शन्सच्या अविभाज्य घटकांच्या प्रतिस्थापनाचा वापर करून कमी केले जाऊ शकतात, जे प्राथमिक कार्यांच्या संदर्भात व्यक्त केले जाऊ शकतात.

$\int R\left(x,x^(m/n),...,x^(r/s) \right)dx $;

$\int R\left(x,\left(\frac(ax+b)(cx+d) \right)^(m/n),...,\left(\frac(ax+b)(cx +d) \right)^(r/s) \right)dx $;

$\int R\left(x,\sqrt(ax^(2) +bx+c) \right)dx $.

आय

$\int R\left(x,x^(m/n) ,...,x^(r/s) \right)dx $ फॉर्मचा अविभाज्य भाग शोधताना खालील प्रतिस्थापन करणे आवश्यक आहे:

या प्रतिस्थापनासह, $x$ व्हेरिएबलची प्रत्येक अपूर्णांक पॉवर $t$ व्हेरिएबलच्या पूर्णांक पॉवरद्वारे व्यक्त केली जाते. परिणामी, इंटिग्रँड फंक्शनचे $t$ व्हेरिएबलच्या परिमेय फंक्शनमध्ये रूपांतर होते.

उदाहरण १

एकत्रीकरण करा:

\[\int \frac(x^(1/2) dx)(x^(3/4) +1) .\]

उपाय:

$k=4$ हा $\frac(1)(2) ,\, \, \frac(3)(4) $ या अपूर्णांकांचा सामान्य भाजक आहे.

\[\begin(ॲरे)(l) (\int \frac(x^(1/2) dx)(x^(3/4) +1) =4\int \frac(t^(2) ) (t^(3) +1) \cdot t^(3) dt =4\int \frac(t^(5) )(t^(3) +1) dt =4\int \left(t^( 2) -\frac(t^(2) )(t^(3) +1) \right)dt =4\int t^(2) dt -4\int \frac(t^(2) )(t ^(3) +1) dt =\frac(4)(3) \cdot t^(3) -) \\ (-\frac(4)(3) \cdot \ln |t^(3) +1 |+C)\end(ॲरे)\]

\[\int \frac(x^(1/2) dx)(x^(3/4) +1) =\frac(4)(3) \cdot \left+C\]

II

$\int R\left(x,\left(\frac(ax+b)(cx+d) \right)^(m/n) ,...,\left(\frac) फॉर्मचा अविभाज्य भाग शोधताना (ax+ b)(cx+d) \right)^(r/s) \right)dx $ खालील प्रतिस्थापन करणे आवश्यक आहे:

जेथे $k$ हा $\frac(m)(n) ,...,\frac(r)(s) $ चा सामान्य भाजक आहे.

या प्रतिस्थापनाचा परिणाम म्हणून, integrand फंक्शन $t$ व्हेरिएबलच्या परिमेय फंक्शनमध्ये रूपांतरित होते.

उदाहरण २

एकत्रीकरण करा:

\[\int \frac(\sqrt(x+4) )(x) dx .\]

उपाय:

चला खालील प्रतिस्थापन करूया:

\[\int \frac(\sqrt(x+4) )(x) dx =\int \frac(t^(2) )(t^(2) -4) dt =2\int \left(1 +\frac(4)(t^(2) -4) \right)dt =2\int dt +8\int \frac(dt)(t^(2) -4) =2t+2\ln \लेफ्ट |\frac(t-2)(t+2) \right|+C\]

उलट प्रतिस्थापन केल्यानंतर, आम्हाला अंतिम परिणाम मिळतो:

\[\int \frac(\sqrt(x+4) )(x) dx =2\sqrt(x+4) +2\ln \left|\frac(\sqrt(x+4) -2)(\ sqrt(x+4) +2) \right|+C.\]

III

$\int R\left(x,\sqrt(ax^(2) +bx+c) \right)dx $ फॉर्मचा अविभाज्य भाग शोधताना, तथाकथित यूलर प्रतिस्थापन केले जाते (तीन संभाव्य प्रतिस्थापनांपैकी एक आहे वापरले).

यूलरचे पहिले प्रतिस्थापन

केस $a> साठी

$\sqrt(a) $ समोर “+” चिन्ह घेतल्यास, आपल्याला मिळेल

उदाहरण ३

एकत्रीकरण करा:

\[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) +c) ) .\]

उपाय:

चला खालील प्रतिस्थापन करूया (केस $a=1>0$):

\[\sqrt(x^(2) +c) =-x+t,\, \, x=\frac(t^(2) -c)(2t) ,\, \, dx=\frac(t ^(2) +c)(2t^(2) ) dt,\, \, \sqrt(x^(2) +c) =-\frac(t^(2) -c)(2t) +t= \frac(t^(2) +c)(2t) .\] \[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) +c) ) =\int \frac(\frac(t^) (2) +c)(2t^(2) ) dt)(\frac(t^(2) +c)(2t) ) =\int \frac(dt)(t) =\ln |t|+C \]

उलट प्रतिस्थापन केल्यानंतर, आम्हाला अंतिम परिणाम मिळतो:

\[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) +c) ) =\ln |\sqrt(x^(2) +c) +x|+C.\]

यूलरचा दुसरा पर्याय

केस $c>0$ साठी खालील प्रतिस्थापन करणे आवश्यक आहे:

$\sqrt(c) $ समोर “+” चिन्ह घेतल्यास, आपल्याला मिळेल

उदाहरण ४

एकत्रीकरण करा:

\[\int \frac((1-\sqrt(1+x+x^(2)))^(2) )(x^(2) \sqrt(1+x+x^(2) ) ) dx .\]

उपाय:

चला खालील प्रतिस्थापन करूया:

\[\sqrt(1+x+x^(2) ) =xt+1.\]

\[\sqrt(1+x+x^(2) ) =xt+1=\frac(t^(2) -t+1)(1-t^(2) ) \] \

$\int \frac((1-\sqrt(1+x+x^(2)))^(2) )(x^(2) \sqrt(1+x+x^(2) ) ) dx = \int \frac((-2t^(2) +t)^(2) (1-t)^(2) (1-t^(2))(2t^(2) -2t+2))( (1-t^(2))^(2) (2t-1)^(2) (t^(2) -t+1)(1-t^(2))^(2) ) dt =\ int \frac(t^(2) )(1-t^(2) ) dt =-2t+\ln \left|\frac(1+t)(1-t) \right|+C$ उलट करून प्रतिस्थापन, आम्हाला अंतिम परिणाम मिळतो:

\[\begin(array)(l) (\int \frac((1-\sqrt(1+x+x^(2)))^(2) )(x^(2) \sqrt(1+x +x^(2) ) dx =-2\cdot \frac(\sqrt(1+x+x^(2) ) -1)(x) +\ln \left|\frac(x+\sqrt(1 + x+x^(2) ) -1)(x-\sqrt(1+x+x^(2) ) +1) \right|+C=-2\cdot \frac(\sqrt(1+x + x^(2) ) -1)(x) +) \\ (+\ln \left|2x+2\sqrt(1+x+x^(2) ) +1\right|+C) \ end ( रचना)\]

यूलरचा तिसरा पर्याय

अंतर्गत तर्कहीनएक अभिव्यक्ती समजून घ्या ज्यामध्ये स्वतंत्र चल %%x%% किंवा बहुपदी %%P_n(x)%% पदवी %%n \in \mathbb(N)%% चिन्हाखाली समाविष्ट आहे संपूर्ण(लॅटिनमधून मूलांक- रूट), म्हणजे फ्रॅक्शनल पॉवरमध्ये वाढवले. व्हेरिएबल बदलून, %%x%% च्या संदर्भात अपरिमेय असलेल्या इंटिग्रँड्सचे काही वर्ग नवीन व्हेरिएबलच्या संदर्भात तर्कसंगत अभिव्यक्तींमध्ये कमी केले जाऊ शकतात.

एका व्हेरिएबलच्या तर्कसंगत कार्याची संकल्पना अनेक वितर्कांपर्यंत विस्तारित केली जाऊ शकते. जर प्रत्येक वितर्कासाठी %%u, v, \dotsc, w%% फंक्शनचे मूल्य मोजताना, फक्त अंकगणित ऑपरेशन्स आणि पूर्णांक पॉवर वाढवल्या गेल्या असतील, तर आपण या वितर्कांच्या तर्कसंगत कार्याबद्दल बोलतो, जे सामान्यतः %%R(u, v, \ dotsc, w)%% सूचित केले आहे. अशा फंक्शनचे आर्ग्युमेंट हे स्वतंत्र व्हेरिएबल %%x%% चे फंक्शन्स असू शकतात, ज्यात %%\sqrt[n](x), n \in \mathbb(N)%% फॉर्मचा समावेश होतो. उदाहरणार्थ, परिमेय फंक्शन $$ R(u,v,w) = \frac(u + v^2)(w) $$ सह %%u = x, v = \sqrt(x)%% आणि %% w = \sqrt(x^2 + 1)%% हे $$ R\left(x, \sqrt(x), \sqrt(x^2+1)\right) = \frac(x +) चे परिमेय कार्य आहे. \sqrt(x ^2))(\sqrt(x^2 + 1)) = f(x) $$ पासून %%x%% आणि रॅडिकल्स %%\sqrt(x)%% आणि %%\sqrt(x ^2 + 1 )%%, तर फंक्शन %%f(x)%% हे एका स्वतंत्र व्हेरिएबल %%x%% चे अपरिमेय (बीजगणितीय) कार्य असेल.

चला %%\int R(x, \sqrt[n](x)) \mathrm(d)x%% फॉर्मचे अविभाज्य विचार करू. अशा पूर्णांकांना %%t = \sqrt[n](x)%%, नंतर %%x = t^n, \mathrm(d)x = nt^(n-1)%% बदलून तर्कसंगत केले जाते.

उदाहरण १

%%\displaystyle\int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x) + \sqrt(x))%% शोधा.

इच्छित युक्तिवादाचे इंटिग्रँड %%2%% आणि %%3%% च्या रॅडिकल्सचे कार्य म्हणून लिहिलेले आहे. %%2%% आणि %%3%% चा किमान सामान्य गुणक %%6%% असल्याने, हा अविभाज्य %%\int R(x, \sqrt(x)) \mathrm(d) प्रकाराचा अविभाज्य आहे. x %% आणि %%\sqrt(x) = t%% बदलून तर्कसंगत केले जाऊ शकते. नंतर %%x = t^6, \mathrm(d)x = 6t \mathrm(d)t, \sqrt(x) = t^3, \sqrt(x) =t^2%%. म्हणून, $$ \int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x) + \sqrt(x)) = \int \frac(6t^5 \mathrm(d)t)(t^3 + t^2) = 6\int\frac(t^3)(t+1)\mathrm(d)t. $$ चला %%t + 1 = z, \mathrm(d)t = \mathrm(d)z, z = t + 1 = \sqrt(x) + 1%% आणि $$ \begin(array)( घेऊ. ll ) \int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x) + \sqrt(x)) &= 6\int\frac((z-1)^3)(z) \mathrm(d ) t = \\ &= 6\int z^2 dz -18 \int z \mathrm(d)z + 18\int \mathrm(d)z -6\int\frac(\mathrm(d)z)( z ) = \\ &= 2z^3 - 9 z^2 + 18z -6\ln|z| + C = \\ &= 2 \left(\sqrt(x) + 1\right)^3 - 9 \left(\sqrt(x) + 1\right)^2 + \\ &+~ 18 \left( \sqrt(x) + 1\right) - 6 \ln\left|\sqrt(x) + 1\right| + C \end(ॲरे) $$

%%\int R(x, \sqrt[n](x)) \mathrm(d)x%% फॉर्मचे इंटिग्रल्स हे फ्रॅक्शनल रेखीय अपरिमेयतेचे एक विशेष प्रकरण आहेत, उदा. फॉर्मचे इंटिग्रल्स %%\displaystyle\int R\left(x, \sqrt[n](\dfrac(ax+b)(cd+d))\right) \mathrm(d)x%%, जेथे %% ad - bc \neq 0%%, जे व्हेरिएबल %%t = \sqrt[n](\dfrac(ax+b)(cd+d))%%, नंतर %%x = \dfrac बदलून तर्कसंगत केले जाऊ शकते (dt^n - b)(a - ct^n)%%. नंतर $$ \mathrm(d)x = \frac(n t^(n-1)(ad - bc))(\left(a - ct^n\right)^2)\mathrm(d)t. $$

उदाहरण २

%%\displaystyle\int \sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x))\dfrac(\mathrm(d)x)(x + 1)%% शोधा.

चला %%t = \sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x))%% घेऊ, नंतर %%x = \dfrac(1 - t^2)(1 + t^2)%%, $ $ \begin(array)(l) \mathrm(d)x = -\frac(4t\mathrm(d)t)(\left(1 + t^2\right)^2), \\ 1 + x = \ frac(2)(1 + t^2), \\ \frac(1)(x + 1) = \frac(1 + t^2)(2). \end(ॲरे) $$ म्हणून, $$ \begin(array)(l) \int \sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x))\frac(\mathrm(d)x)(x + 1) = \\ = \frac(t(1 + t^2))(2)\left(-\frac(4t \mathrm(d)t)(\left(1 + t^2\right)^2 )\right) = \\ = -2\int \frac(t^2\mathrm(d)t)(1 + t^2) = \\ = -2\int \mathrm(d)t + 2\int \frac(\mathrm(d)t)(1 + t^2) = \\ = -2t + \text(arctg)~t + C = \\ = -2\sqrt(\dfrac(1 -x)( 1 + x)) + \text(arctg)~\sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x)) + C. \end(ॲरे) $$

चला %%\int R\left(x, \sqrt(ax^2 + bx + c)\right) \mathrm(d)x%% फॉर्मचे अविभाज्य विचार करू. सर्वात सोप्या प्रकरणांमध्ये, संपूर्ण वर्ग वेगळे केल्यानंतर, चलांमध्ये बदल केल्यास, अशा अविभाज्यांना सारणीमध्ये कमी केले जाते.

उदाहरण ३

अविभाज्य %%\displaystyle\int \dfrac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x^2 + 4x + 5))%% शोधा.

%%x^2 + 4x + 5 = (x+2)^2 + 1%% लक्षात घेता, आपण %%t = x + 2, \mathrm(d)x = \mathrm(d)t%% घेतो, नंतर $$ \begin(array)(ll) \int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x^2 + 4x + 5)) &= \int \frac(\mathrm(d)t) (\sqrt(t^2 + 1)) = \\ &= \ln\left|t + \sqrt(t^2 + 1)\right| + C = \\ &= \ln\left|x + 2 + \sqrt(x^2 + 4x + 5)\right| + C. \end(ॲरे) $$

अधिक जटिल प्रकरणांमध्ये, %%\int R\left(x, \sqrt(ax^2 + bx + c)\right) \mathrm(d)x%% फॉर्मचे पूर्णांक शोधण्यासाठी वापरले जातात

हा विभाग तर्कसंगत कार्ये एकत्रित करण्याच्या पद्धतीवर चर्चा करेल. ७.१. परिमेय कार्यांबद्दल थोडक्यात माहिती सर्वात सोपी परिमेय फंक्शन हे टिथ डिग्रीचे बहुपदी आहे, म्हणजे. फॉर्मचे फंक्शन जेथे वास्तविक स्थिरांक असतात आणि a0 Ф 0. बहुपदी Qn(x) ज्याचा गुणांक a0 = 1 असतो त्याला कमी म्हटले जाते. जर Q„(b) = 0 असेल तर वास्तविक संख्या b ला बहुपदी Qn(z) चे मूळ म्हणतात. हे ज्ञात आहे की वास्तविक गुणांकांसह प्रत्येक बहुपदी Qn(x) अनन्यपणे फॉर्मच्या वास्तविक घटकांमध्ये विघटित होते जेथे p, q वास्तविक गुणांक आहेत, आणि द्विघाती घटकांना वास्तविक मुळे नाहीत आणि म्हणून, वास्तविक रेखीय घटकांमध्ये विघटन करता येत नाही. समान घटक एकत्र करून (असल्यास) आणि साधेपणासाठी, बहुपदी Qn(x) कमी झाले आहे असे गृहीत धरून, आपण नैसर्गिक संख्या असलेल्या फॉर्ममध्ये त्याचे गुणांक लिहू शकतो. बहुपदी Qn(x) ची पदवी n च्या समान असल्याने, सर्व घातांकांची बेरीज a, /3,..., A, सर्व घातांकांच्या दुहेरी बेरीज ω,..., q, समान असते ते n: बहुपदीच्या मूळ a ला साधे किंवा एकल म्हणतात, जर a = 1, आणि जर a > 1 असेल तर एकाधिक; a या संख्येला मूळ a चा गुणाकार म्हणतात. बहुपदीच्या इतर मुळांनाही हेच लागू होते. परिमेय फंक्शन f(x) किंवा परिमेय अपूर्णांक हे दोन बहुपदींचे गुणोत्तर आहे आणि असे गृहीत धरले जाते की बहुपदी Pm(x) आणि Qn(x) मध्ये सामान्य घटक नाहीत. जर अंशातील बहुपदीची पदवी भाजकातील बहुपदीच्या अंशापेक्षा कमी असेल तर परिमेय अपूर्णांकाला योग्य म्हटले जाते, उदा. जर m n असेल, तर परिमेय अपूर्णांकाला अयोग्य अपूर्णांक म्हणतात, आणि या प्रकरणात, बहुपदांना विभाजित करण्याच्या नियमानुसार अंशाने भागाकार केल्यास, ते काही बहुपदी आहेत त्या स्वरूपात दर्शवले जाऊ शकते आणि ^^ हे योग्य आहे. तर्कसंगत अपूर्णांक. उदाहरण 1. परिमेय अपूर्णांक हा अयोग्य अपूर्णांक आहे. "कोपरा" ने विभाजित केल्याने, आमच्याकडे आहे. येथे. आणि तो एक योग्य अंश आहे. व्याख्या. सर्वात सोपा (किंवा प्राथमिक) अपूर्णांक हे खालील चार प्रकारांचे परिमेय अपूर्णांक आहेत: जेथे वास्तविक संख्या आहेत, k ही नैसर्गिक संख्या 2 पेक्षा मोठी किंवा समान आहे, आणि चौरस त्रिपदी x2 + px + q ची वास्तविक मुळे नाहीत, म्हणून -2 _2 हे त्याचे भेदभाव आहे बीजगणितात खालील प्रमेय सिद्ध होते. प्रमेय 3. वास्तविक गुणांकांसह एक योग्य परिमेय अपूर्णांक, ज्याचा भाजक Qn(x) आहे तो विघटन करून साध्या अपूर्णांकांच्या बेरजेमध्ये नियमानुसार विघटित होतो परिमेय कार्यांचे एकीकरण परिमेय कार्यांबद्दल थोडक्यात माहिती साध्या अपूर्णांकांचे एकत्रीकरण सामान्य केस अपरिमेय फंक्शन्सचे एकत्रीकरण प्रथम यूलर प्रतिस्थापन दुसरे यूलर प्रतिस्थापन तिसरे यूलरचे प्रतिस्थापन या विस्तारामध्ये काही वास्तविक स्थिरांक आहेत, त्यापैकी काही शून्याच्या समान असू शकतात. हे स्थिरांक शोधण्यासाठी, समानतेची उजवीकडील बाजू (I) एका सामान्य भाजकावर आणली जाते आणि नंतर डाव्या आणि उजव्या बाजूंच्या अंकांमधील x च्या समान शक्तींवरील गुणांक समीकरण केले जातात. हे रेखीय समीकरणांची एक प्रणाली देते ज्यामधून आवश्यक स्थिरांक सापडतात. . अज्ञात स्थिरांक शोधण्याच्या या पद्धतीला अनिर्धारित गुणांकांची पद्धत म्हणतात. काहीवेळा अज्ञात स्थिरांक शोधण्याची दुसरी पद्धत वापरणे अधिक सोयीचे असते, ज्यामध्ये अंशांचे समीकरण केल्यानंतर, x च्या संदर्भात एक ओळख प्राप्त होते, ज्यामध्ये x ला काही मूल्ये दिली जातात, उदाहरणार्थ, मूल्ये. मुळांचा, परिणामी स्थिरांक शोधण्यासाठी समीकरणे. हे विशेषतः सोयीचे आहे जर Q„(x) ची फक्त वास्तविक साधी मुळे असतील. उदाहरण 2. परिमेय अपूर्णांकाचे सोप्या अपूर्णांकांमध्ये विघटन करा. आम्ही भाजकाचे गुणाकारांमध्ये विघटन करतो: भाजकाची मुळे वास्तविक आणि भिन्न असल्याने, सूत्र (1) च्या आधारे, अपूर्णांकाचे सर्वात सोप्यामध्ये विघटन करण्याचे स्वरूप असेल: त्या समानतेचा योग्य सन्मान कमी करणे. सामाईक भाजक आणि त्याच्या डाव्या आणि उजव्या बाजूंच्या अंशांचे समीकरण केल्याने आपल्याला ओळख मिळते किंवा आपल्याला अज्ञात गुणांक A. 2?, C दोन प्रकारे सापडतात. पहिला मार्ग x, t.v च्या समान शक्तींसाठी गुणांकांचे समीकरण करणे. (मुक्त पद) आणि ओळखीच्या डाव्या आणि उजव्या बाजूसह, आम्ही अज्ञात गुणांक A, B, C शोधण्यासाठी समीकरणांची एक रेखीय प्रणाली प्राप्त करतो: या प्रणालीमध्ये एक अद्वितीय समाधान आहे C दुसरी पद्धत. भाजकाची मुळे i 0 वर फाटलेली असल्याने, आपल्याला 2 = 2A मिळेल, जेथून A * 1; g i 1, आम्हाला -1 * -B मिळेल, ज्यातून 5 * 1; x i 2, आपल्याला 2 = 2C मिळेल. जेथून C» 1, आणि आवश्यक विस्ताराला फॉर्म 3 आहे. Rehlozhnt सर्वात सोपा अपूर्णांक परिमेय अपूर्णांक 4 आम्ही विरुद्ध दिशेने असलेल्या बहुपदीचे घटकांमध्ये विघटन करतो: . भाजकाची दोन भिन्न वास्तविक मुळे आहेत: x\ = 0 गुणाकाराचा गुणाकार 3. म्हणून, या अपूर्णांकाचे विघटन सर्वात सोपे नाही: उजवीकडील बाजू एका सामान्य भाजकापर्यंत कमी करणे, आम्ही शोधतो किंवा पहिली पद्धत. शेवटच्या ओळखीच्या डाव्या आणि उजव्या बाजूस x च्या समान शक्तींसाठी गुणांक समीकरण करणे. आम्ही समीकरणांची एक रेखीय प्रणाली प्राप्त करतो या प्रणालीमध्ये एक अद्वितीय समाधान आहे आणि आवश्यक विस्तार ही दुसरी पद्धत असेल. परिणामी ओळखीमध्ये, x = 0 टाकल्यावर, आपल्याला 1 a A2 किंवा A2 = 1 मिळेल; फील्ड* गे x = -1, आम्हाला -3 i B), किंवा Bj i -3 मिळेल. गुणांक A\ आणि B) ची आढळलेली मूल्ये बदलताना) आणि ओळख फॉर्म घेईल किंवा x = 0, आणि नंतर x = -I टाकेल. आम्हाला आढळले की = 0, B2 = 0 आणि. याचा अर्थ B\ = 0. अशाप्रकारे, आम्ही पुन्हा उदाहरण 4 प्राप्त करतो. परिमेय अपूर्णांक 4 ला साध्या अपूर्णांकांमध्ये विस्तृत करा, कारण x च्या कोणत्याही वास्तविक मूल्यांसाठी x2 + 1 हे कार्य नाहीसे होत नाही. म्हणून, साध्या अपूर्णांकांमध्ये विघटन असे दिसले पाहिजे की येथून आपल्याला मिळते किंवा. शेवटच्या समानतेच्या डाव्या आणि उजव्या बाजूस x च्या सिनॅक्स पॉवर्सच्या गुणांकांचे समीकरण केल्यास, आपल्याला जिथे सापडेल ते आपल्याला मिळेल आणि म्हणून, हे लक्षात घेतले पाहिजे की काही प्रकरणांमध्ये साध्या अपूर्णांकांमध्ये विघटन कृती करून जलद आणि सोपे मिळवता येते. इतर कोणत्याही प्रकारे, अनिश्चित गुणांकांची पद्धत न वापरता उदाहरणार्थ, उदाहरण 3 मध्ये अपूर्णांकाचे विघटन मिळविण्यासाठी, तुम्ही 3x2 अंशामध्ये जोडू आणि वजा करू शकता आणि खाली दर्शविल्याप्रमाणे भागाकार करू शकता. ७.२. साध्या अपूर्णांकांचे एकत्रीकरण, वर नमूद केल्याप्रमाणे, कोणताही अयोग्य परिमेय अपूर्णांक काही बहुपदी आणि योग्य परिमेय अपूर्णांक (§7) ची बेरीज म्हणून दर्शविला जाऊ शकतो आणि हे प्रतिनिधित्व अद्वितीय आहे. बहुपदी समाकलित करणे कठीण नाही, म्हणून योग्य परिमेय अपूर्णांक एकत्रित करण्याच्या प्रश्नाचा विचार करा. कोणताही योग्य परिमेय अपूर्णांक साध्या अपूर्णांकांची बेरीज म्हणून दर्शवता येत असल्याने, त्याचे एकत्रीकरण साध्या अपूर्णांकांच्या एकत्रीकरणात कमी केले जाते. आता त्यांच्या एकात्मतेच्या प्रश्नावर विचार करूया. III. तिसऱ्या प्रकारातील सर्वात सोप्या अपूर्णांकाचा अविभाज्य भाग शोधण्यासाठी, आम्ही द्विपदीचा पूर्ण वर्ग त्रिपदी वर्गापासून विलग करतो: दुसरी संज्ञा a2 च्या बरोबरीची असल्याने, आम्ही कुठे आणि नंतर प्रतिस्थापन करतो. नंतर, इंटिग्रलचे रेषीय गुणधर्म लक्षात घेऊन, आम्हाला आढळते: उदाहरण 5. अविभाज्य शोधा 4 इंटिग्रँड फंक्शन हा तिस-या प्रकाराचा सर्वात सोपा अपूर्णांक आहे, कारण चौरस त्रिपदी x1 + Ax + 6 चे कोणतेही वास्तविक मूळ नाही (त्याचे भेदभाव ऋण आहे: , आणि अंशामध्ये प्रथम अंशाचा बहुपद आहे म्हणून, आम्ही पुढीलप्रमाणे पुढे जाऊ: 1) भाजकामध्ये एक परिपूर्ण वर्ग निवडा 2) एक प्रतिस्थापन (येथे 3) * एक पूर्णांक शोधण्यासाठी. चौथ्या प्रकारातील सर्वात सोपा अपूर्णांक, आम्ही वरीलप्रमाणे, ठेवतो. मग आपल्याला A ने दर्शविलेले उजव्या बाजूचे इंटिग्रल मिळते आणि त्याचे खालीलप्रमाणे रूपांतर होते: उजव्या बाजूचे इंटिग्रल भागांद्वारे एकत्रित केले जाते, हे गृहीत धरून किंवा परिमेय फंक्शन्सचे एकत्रीकरण परिमेय कार्यांबद्दल थोडक्यात माहिती साध्या अपूर्णांकांचे एकत्रीकरण सामान्य केस अपरिमेयचे एकत्रीकरण फंक्शन्स यूलरचे पहिले प्रतिस्थापन दुसरे यूलर प्रतिस्थापन तिसरे प्रतिस्थापन यूलर आम्ही तथाकथित आवर्ती सूत्र प्राप्त केले आहे, जे आम्हाला कोणत्याही k = 2, 3, साठी अविभाज्य Jk शोधण्याची परवानगी देते. ... खरंच, अविभाज्य J\ हे सारणीबद्ध आहे: पुनरावृत्ती सूत्रात ठेवल्यास, आपल्याला Knowing सापडतो आणि A = 3 ठेवल्यास, आपण सहज Jj आणि असेच शोधू शकतो. अंतिम परिणामामध्ये, x आणि गुणांक p आणि q च्या दृष्टीने t आणि a ऐवजी सर्वत्र बदलून, आम्ही x आणि दिलेल्या संख्या M, LG, p, q च्या दृष्टीने प्रारंभिक अविभाज्य अभिव्यक्तीसाठी प्राप्त करतो. उदाहरण 8. नवीन इंटिग्रल “इंटिग्रँड फंक्शन हा चौथ्या प्रकाराचा सर्वात सोपा अपूर्णांक आहे, कारण चौरस त्रिपदाचा भेदभाव ऋणात्मक आहे, म्हणजे. याचा अर्थ असा की भाजकाला कोणतीही वास्तविक मुळे नाहीत आणि अंश हा 1ल्या अंशाचा बहुपदी आहे. १) आम्ही भाजकामध्ये पूर्ण वर्ग निवडतो 2) आम्ही एक प्रतिस्थापन करतो: अविभाज्य फॉर्म घेईल: पुनरावृत्ती सूत्र * = 2, a3 = 1 मध्ये टाकणे. आपल्याकडे असेल, आणि म्हणून, आवश्यक पूर्णांक समान आहे व्हेरिएबल x वर परत आल्यावर आपल्याला शेवटी ७.३ मिळते. परिच्छेदांच्या परिणामांमधून सामान्य प्रकरण. या विभागातील 1 आणि 2 ताबडतोब एका महत्त्वाच्या प्रमेयाचे अनुसरण करतात. प्रमेय! 4. कोणत्याही परिमेय फंक्शनचा अनिश्चित अविभाज्य घटक नेहमी अस्तित्वात असतो (अंतरालांवर ज्यामध्ये अपूर्णांक Q „(x) φ 0 चा भाजक असतो) आणि प्राथमिक फंक्शन्सच्या मर्यादित संख्येद्वारे व्यक्त केला जातो, म्हणजे, ही बीजगणितीय बेरीज आहे, अटी ज्याचा फक्त गुणाकार केला जाऊ शकतो , परिमेय अपूर्णांक, नैसर्गिक लॉगरिदम आणि आर्कटॅजंट. तर, अपूर्णांक-परिमेय फंक्शनचा अनिश्चित पूर्णांक शोधण्यासाठी, खालील प्रकारे पुढे जावे: 1) जर परिमेय अपूर्णांक अयोग्य असेल, तर अंशाला भाजकाने भागून, संपूर्ण भाग वेगळा केला जातो, म्हणजे, हे कार्य बहुपदी आणि योग्य परिमेय अपूर्णांकाची बेरीज म्हणून प्रस्तुत केले जाते; 2) नंतर परिणामी योग्य अपूर्णांकाचा भाजक रेखीय आणि द्विघाती घटकांच्या गुणाकारात विघटित होतो; 3) हा योग्य अपूर्णांक साध्या अपूर्णांकांच्या बेरीजमध्ये विघटित होतो; 4) इंटिग्रलची रेखीयता आणि चरण 2 ची सूत्रे वापरून, प्रत्येक पदाचे अविभाज्य स्वतंत्रपणे आढळतात. उदाहरण 7. अविभाज्य M शोधा. भाजक हा तिस-या क्रमाचा बहुपदी असल्यामुळे, इंटिग्रँड फंक्शन हा अयोग्य अपूर्णांक आहे. आम्ही त्यातील संपूर्ण भाग हायलाइट करतो: म्हणून, आमच्याकडे असेल. योग्य अपूर्णांकाच्या भाजकाला phi भिन्न वास्तविक मुळे असतात: आणि म्हणून त्याचे विघटन साध्या अपूर्णांकांमध्ये होते म्हणून आपल्याला आढळते. x ची मूल्ये भाजकाच्या मुळाशी समान आहेत असा युक्तिवाद देताना, आम्हाला या ओळखीवरून असे आढळून येते की: परिणामी, आवश्यक अविभाज्य हे उदाहरण 8 च्या बरोबरीचे असेल. अविभाज्य 4 शोधा हा एक योग्य अपूर्णांक आहे, ज्याचा भाजक आहे दोन भिन्न वास्तविक मुळे: x - 1 चे O गुणक आणि गुणाकार 3 चे x = 1, म्हणून, समाकलनाचा साध्या अपूर्णांकांमध्ये विस्तार करणे या समानतेची उजवी बाजू एका सामान्य भाजकाकडे आणणे आणि समानतेच्या दोन्ही बाजू कमी करणे या भाजकाद्वारे, आम्ही प्राप्त करतो किंवा. आम्ही या ओळखीच्या डाव्या आणि उजव्या बाजूस x च्या समान शक्तींसाठी गुणांकांची समानता करतो: येथून आम्हाला आढळते. गुणांकांची सापडलेली मूल्ये विस्तारामध्ये बदलून, आपल्याला आढळेल: उदाहरण 9. अविभाज्य शोधा 4 अपूर्णांकाच्या भाजकाला वास्तविक मुळे नाहीत. त्यामुळे, साध्या अपूर्णांकांमध्ये इंटिग्रँडच्या विस्ताराचे स्वरूप आहे म्हणून किंवा या ओळखीच्या डाव्या आणि उजव्या बाजूस x च्या समान शक्तींसाठी गुणांक समीकरण करणे, आपल्याला जिथून सापडेल तेथून आपल्याला रिमार्क मिळेल. दिलेल्या उदाहरणात, इंटिग्रँड फंक्शन हे साध्या अपूर्णांकांची बेरीज म्हणून सोप्या पद्धतीने दर्शविले जाऊ शकते, म्हणजे, अपूर्णांकाच्या अंशामध्ये आपण भाजकातील बायनरी निवडतो आणि नंतर आपण टर्म-दर-टर्म भागाकार करतो. : §8. अपरिमेय फंक्शन्सचे इंटिग्रेशन फॉर्मचे एक फंक्शन जेथे Pm आणि £?„ ही पदवी प्रकारची बहुपदी आहेत, अनुक्रमे uub2,... या चलनात ubu2j चे परिमेय फंक्शन म्हणतात... उदाहरणार्थ, दुसऱ्या पदवीचे बहुपद दोन व्हेरिएबल्समध्ये u\ आणि u2 चे फॉर्म आहे जेथे - काही वास्तविक स्थिरांक, आणि उदाहरण 1, फंक्शन हे r आणि y व्हेरिएबल्सचे परिमेय कार्य आहे, कारण ते तृतीय अंशाच्या बहुपदी आणि बहुपदीच्या गुणोत्तराचे प्रतिनिधित्व करते पाचवी पदवी, परंतु एक यू फंक्शन नाही. जर व्हेरिएबल्स, या बदल्यात, व्हेरिएबल x ची फंक्शन्स असतात: तेव्हा फंक्शन ] ला उदाहरणाच्या फंक्शन्सचे परिमेय फंक्शन म्हणतात. फंक्शन हे r आणि rvdikvlv Pryaivr 3 चे परिमेय फंक्शन आहे. फॉर्मचे फंक्शन हे x आणि रॅडिकल y/r1 + 1 चे परिमेय फंक्शन नाही, तर ते फंक्शन्सचे परिमेय फंक्शन आहे, जसे की उदाहरणे दाखवतात, अपरिमेय फंक्शन्स नेहमी प्राथमिक फंक्शन्सद्वारे व्यक्त होत नाहीत. उदाहरणार्थ, ऍप्लिकेशन्समध्ये अनेकदा आढळणारे अविभाज्य घटक प्राथमिक कार्यांच्या संदर्भात व्यक्त केले जात नाहीत; या अविभाज्यांना अनुक्रमे पहिल्या आणि दुसऱ्या प्रकारचे लंबवर्तुळ अविभाज्य म्हणतात. जेव्हा तर्कहीन कार्यांचे एकत्रीकरण काही प्रतिस्थापनांच्या मदतीने कमी केले जाऊ शकते तेव्हा आपण त्या प्रकरणांचा विचार करू या. 1. अविभाज्य शोधणे आवश्यक आहे जेथे R(x, y) हे त्याच्या वितर्क x आणि y चे परिमेय कार्य आहे; m £2 - नैसर्गिक संख्या; a, 6, c, d हे वास्तविक स्थिरांक आहेत जे ad - bc ^ O (जाहिरात - be = 0 साठी, गुणांक a आणि b हे गुणांक c आणि d च्या प्रमाणात आहेत, आणि म्हणून संबंध x वर अवलंबून नाही ; याचा अर्थ असा की या प्रकरणात integrand फंक्शन हे व्हेरिएबल x चे परिमेय फंक्शन असेल, ज्याच्या एकत्रीकरणाची आधी चर्चा केली होती). चला या इंटिग्रलमध्ये व्हेरिएबलचा बदल करू या म्हणून आपण x हे व्हेरिएबल नवीन व्हेरिएबलच्या रूपात व्यक्त करू. पुढे आपण शोधतो किंवा, सरलीकरणानंतर, म्हणून जेथे A1 (t) हे * चे परिमेय फंक्शन आहे, कारण परिमेय फंक्शनचे परिमेय फनाडिया, तसेच परिमेय फंक्शन्सचे उत्पादन, परिमेय कार्ये आहेत. तर्कसंगत कार्ये कशी एकत्रित करायची हे आपल्याला माहित आहे. मग आवश्यक अविभाज्य At बरोबर असू द्या. IvYti इंटिग्रल 4 इंटिग्रँड* फंक्शन चे परिमेय फंक्शन आहे. म्हणून, आम्ही सेट करतो t = नंतर परिमेय फंक्शन्सचे एकत्रीकरण परिमेय फंक्शन्सची थोडक्यात माहिती साध्या अपूर्णांकांचे एकत्रीकरण सामान्य केस अपरिमेय फंक्शन्सचे एकत्रीकरण यूलरचे पहिले प्रतिस्थापन यूलरचे दुसरे प्रतिस्थापन यूलरचे तिसरे प्रतिस्थापन अशा प्रकारे, आम्हाला प्राइमर 5 प्राप्त होते. सामान्य डी इंटिग्रलचे इंटिग्रल शोधा. x चे घातांक 12 च्या बरोबरीचे आहेत, त्यामुळे फंक्शनचे इंटिग्रँड 1 _ 1_ या फॉर्ममध्ये दर्शविले जाऊ शकते जे दर्शविते की ते एक तर्कसंगत कार्य आहे: हे लक्षात घेऊन, आपण ठेवू. परिणामी, 2. फॉर्मचे intephs विचारात घ्या जेथे सबइंटेफल फंक्शन असे आहे की त्यामध्ये रॅडिकल \/ax2 + bx + c ला y ने बदलून, आम्हाला R(x) y) - दोन्ही वितर्कांच्या संदर्भात परिमेय प्राप्त होतो आणि y. हे इंटिग्रल यूलरच्या प्रतिस्थापनांचा वापर करून दुसऱ्या व्हेरिएबलच्या परिमेय फंक्शनच्या इंटिग्रलमध्ये कमी केले जाते. ८.१. यूलरचे पहिले प्रतिस्थापन गुणांक a > 0. सेट करू या किंवा म्हणून x हे u चे परिमेय कार्य म्हणून शोधू, ज्याचा अर्थ असा आहे की, सूचित प्रतिस्थापन * च्या दृष्टीने तर्कशुद्धपणे व्यक्त करते. म्हणून, आमच्याकडे एक टिप्पणी असेल. पहिले यूलर प्रतिस्थापन उदाहरण 6 मध्ये देखील घेतले जाऊ शकते. चला अविभाज्य शोधूया म्हणून, आपल्याकडे dx यूलरचे प्रतिस्थापन असेल, Y 8.2 दर्शवा. यूलरचे दुसरे प्रतिस्थापन त्रिपदी ax2 + bx + c ची भिन्न वास्तविक मुळे R] आणि x2 असू द्या (गुणकाला कोणतेही चिन्ह असू शकते). या प्रकरणात, आपण तेव्हापासून x,dxn y/ax2 + be + c हे t च्या संदर्भात तर्कशुद्धपणे व्यक्त केले जात असल्याने प्राप्त झाले असे गृहीत धरू, त्यानंतर मूळ अविभाज्य परिमेय फंक्शनच्या अविभाज्यतेपर्यंत कमी केले जाईल, म्हणजे जिथे समस्या आहे. यूलरचे पहिले प्रतिस्थापन वापरून, ते t चे परिमेय कार्य आहे ते दाखवा. उदाहरण 7. इंटिग्रल dx M फंक्शन शोधा] - x1 ची वास्तविक मुळे भिन्न आहेत. म्हणून, आम्ही दुसरे यूलर प्रतिस्थापन लागू करतो. आम्हाला 8.3 मिळते. थर्ड यूलर सबस्टास्कॉम गुणांक c > 0 द्या. आपण टाकून व्हेरिएबलमध्ये बदल करतो. लक्षात घ्या की परिमेय फंक्शनच्या अविभाज्य ते अविभाज्य कमी करण्यासाठी, प्रथम आणि द्वितीय यूलर प्रतिस्थापन पुरेसे आहेत. खरं तर, जर भेदभाव b2 -4ac > 0 असेल, तर चतुर्भुज त्रिपदी ax + bx + c ची मुळे वास्तविक आहेत आणि या प्रकरणात दुसरा यूलर प्रतिस्थापन लागू आहे. जर, त्रिपदी ax2 + bx + c चे चिन्ह गुणांक a च्या चिन्हाशी जुळत असेल आणि त्रिपद धनात्मक असणे आवश्यक आहे, तर a > 0. या प्रकरणात, यूलरचा पहिला पर्याय लागू आहे. वर दर्शविलेल्या प्रकाराचे अविभाज्य घटक शोधण्यासाठी, युलरचे पर्याय वापरणे नेहमीच उचित नाही, कारण त्यांच्यासाठी इतर एकीकरणाच्या पद्धती शोधणे शक्य आहे ज्यामुळे लक्ष्य जलद होते. यापैकी काही अविभाज्य घटकांचा विचार करूया. 1. फॉर्मचे अविभाज्य शोधण्यासाठी, व्या त्रिपदाच्या वर्गापासून परिपूर्ण वर्ग वेगळे करा: जेथे यानंतर, एक प्रतिस्थापन करा आणि जेथे a आणि P गुणांक भिन्न आहेत किंवा ते दोन्ही सकारात्मक आहेत ते मिळवा. साठी, आणि > 0 साठी देखील, अविभाज्य लॉगरिदममध्ये कमी केले जाईल आणि तसे असल्यास, आर्कसिनमध्ये. येथे मग अविभाज्य 4 तक्कक शोधा. गृहीत धरून, आपल्याला Prmmar 9 मिळेल. शोधा. x - गृहीत धरून, आपल्याकडे 2 असेल. फॉर्मचा अविभाज्य भाग खालीलप्रमाणे चरण 1 वरून y मध्ये कमी केला जातो. व्युत्पन्न ()" = 2 हे लक्षात घेऊन, आम्ही ते अंशामध्ये हायलाइट करतो: 4 आम्ही अंशातील मूलगामी अभिव्यक्तीचे व्युत्पन्न ओळखतो. (x, नंतर, उदाहरण 9, 3 चे परिणाम लक्षात घेऊन आपल्याकडे असेल. P„(x) ही बहुपदी n -th पदवी आहे, त्या फॉर्मचे अविभाज्य घटक अनिश्चित गुणांकांच्या पद्धतीद्वारे शोधले जाऊ शकतात, ज्यामध्ये खालील गोष्टींचा समावेश आहे, असे समजू की समानता उदाहरण 10. Mighty integral जेथे Qn-i (s) अनिश्चित गुणांकांसह (n - 1) पदवी आहे: अज्ञात गुणांक शोधण्यासाठी आपण (1) च्या दोन्ही बाजूंना वेगळे करतो: नंतर आपण समानता (2) च्या समान भाजकापर्यंत कमी करतो. डाव्या बाजूचा भाजक, म्हणजे y/ax2 + bx + c, (2) च्या दोन्ही बाजू कमी करणे ज्याद्वारे आपण दोन्ही बाजूंना ओळख प्राप्त करतो ज्यामध्ये डिग्री n च्या समान अंशांसाठी गुणांक असतात (3) च्या डाव्या आणि उजव्या बाजू, आम्हाला n + 1 समीकरणे मिळतात, ज्यातून आम्हाला आवश्यक गुणांक j4*(fc = 0,1,2,..., n) मिळतात पैकी (1) आणि अविभाज्य + c शोधून आपल्याला या पूर्णांकाचे उत्तर मिळते. उदाहरण 11. अविभाज्य शोधा, समानतेचे दोन्ही दावे वेगळे करू या, आपल्याला उजवी बाजू समान भाजकाकडे आणणे आणि त्याद्वारे दोन्ही बाजू कमी करणे, आपल्याला ओळख मिळेल किंवा. x च्या समान शक्तींवर गुणांक समीकरण करून, आपण समीकरणांच्या एका प्रणालीवर पोहोचतो ज्यातून आपल्याला सापडतो = नंतर आपल्याला समानतेच्या उजव्या बाजूला अविभाज्य सापडतो (4): परिणामी, आवश्यक पूर्णांक समान असेल

अतार्किक कार्ये (मुळे) एकत्रित करण्याच्या मूलभूत पद्धती दिल्या आहेत. त्यामध्ये हे समाविष्ट आहे: रेखीय अपूर्णांक अपरिमेयतेचे एकत्रीकरण, विभेदक द्विपदी, चौरस त्रिपदाच्या वर्गमूळासह अविभाज्य. त्रिकोणमितीय पर्याय आणि युलर पर्याय दिले आहेत. प्राथमिक कार्यांद्वारे व्यक्त केलेल्या काही लंबवर्तुळाकार अविभाज्यांचा विचार केला जातो.

सामग्री

विभेदक द्विपदी पासून पूर्णांक

विभेदक द्विपदींमधील अविभाज्यांचे स्वरूप आहे:
,
जेथे m, n, p या परिमेय संख्या आहेत, a, b या वास्तविक संख्या आहेत.
असे अविभाज्य तीन प्रकरणांमध्ये परिमेय फंक्शन्सच्या अविभाज्यांपर्यंत कमी करतात.

1) जर p पूर्णांक असेल. प्रतिस्थापन x = t N, जेथे N हा m आणि n या अपूर्णांकांचा सामान्य भाजक आहे.
2) जर - एक पूर्णांक. प्रतिस्थापन a x n + b = t M, जेथे M हा p या संख्येचा भाजक आहे.
3) जर - एक पूर्णांक. प्रतिस्थापन a + b x - n = t M, जेथे M हा p या संख्येचा भाजक आहे.

इतर प्रकरणांमध्ये, असे अविभाज्य प्राथमिक कार्यांद्वारे व्यक्त केले जात नाहीत.

काहीवेळा अशा अविभाज्यांना घट सूत्रे वापरून सरलीकृत केले जाऊ शकते:
;
.

चौरस त्रिपदाचे वर्गमूळ असलेले पूर्णांक

अशा अविभाज्यांचे स्वरूप आहे:
,
जेथे R हे तर्कसंगत कार्य आहे. अशा प्रत्येक अविभाज्यतेसाठी ते सोडविण्याच्या अनेक पद्धती आहेत.
1) ट्रान्सफॉर्मेशन्स वापरल्याने सोप्या इंटिग्रल्स होतात.
2) त्रिकोणमितीय किंवा हायपरबोलिक पर्याय लागू करा.
3) यूलर पर्याय लागू करा.

चला या पद्धतींचा अधिक तपशीलवार विचार करूया.

1) इंटिग्रँड फंक्शनचे परिवर्तन

सूत्र लागू करून आणि बीजगणितीय परिवर्तने करून, आम्ही फॉर्ममध्ये इंटिग्रँड फंक्शन कमी करतो:
,
जेथे φ(x), ω(x) परिमेय कार्ये आहेत.

I टाइप करा

फॉर्मचा अविभाज्य भाग:
,
जेथे P n (x) ही पदवी n चा बहुपदी आहे.

असे अविभाज्य ओळख वापरून अनिश्चित गुणांकांच्या पद्धतीद्वारे आढळतात:

.
या समीकरणात फरक करून आणि डाव्या आणि उजव्या बाजूचे समीकरण केल्यास, आपल्याला A i गुणांक सापडतो.

प्रकार II

फॉर्मचा अविभाज्य भाग:
,
जेथे P m (x) हा अंश m चा बहुपदी आहे.

प्रतिस्थापन टी = (x - α) -1हे अविभाज्य मागील प्रकारात कमी केले आहे. m ≥ n असल्यास, अपूर्णांकात पूर्णांक भाग असावा.

III प्रकार

येथे आम्ही प्रतिस्थापन करतो:
.
ज्यानंतर इंटिग्रल फॉर्म घेईल:
.
पुढे, स्थिरांक α, β अशा प्रकारे निवडणे आवश्यक आहे की भाजकातील t चे गुणांक शून्य होतील:
B = 0, B 1 = 0.
मग अविभाज्य दोन प्रकारच्या अविभाज्यांच्या बेरीजमध्ये विघटित होते:
,
,
जे प्रतिस्थापनांद्वारे एकत्रित केले जातात:
u 2 = A 1 t 2 + C 1,
v 2 = A 1 + C 1 t -2 .

2) त्रिकोणमितीय आणि हायपरबोलिक प्रतिस्थापन

फॉर्मच्या अविभाज्य घटकांसाठी, ए > 0 ,
आमच्याकडे तीन मुख्य पर्याय आहेत:
;
;
;

अविभाज्य घटकांसाठी, ए > 0 ,
आमच्याकडे खालील पर्याय आहेत:
;
;
;

आणि शेवटी, इंटिग्रल्ससाठी, ए > 0 ,
प्रतिस्थापन खालीलप्रमाणे आहेत:
;
;
;

3) यूलर पर्याय

तसेच, इंटिग्रल्स तीन यूलर प्रतिस्थापनांपैकी एकाच्या तर्कसंगत कार्यांच्या अविभाज्यांमध्ये कमी केले जाऊ शकतात:
, a > 0 साठी;
, c > 0 साठी;
, जेथे x 1 हे समीकरण a x 2 + b x + c = 0 आहे. जर या समीकरणाची खरी मुळे असतील.

लंबवर्तुळाकार इंटिग्रल्स

शेवटी, फॉर्मचे अविभाज्य घटक विचारात घ्या:
,
जेथे R हे परिमेय कार्य आहे, . अशा अविभाज्यांना लंबवर्तुळाकार म्हणतात. सर्वसाधारणपणे, ते प्राथमिक कार्यांद्वारे व्यक्त केले जात नाहीत. तथापि, अशी प्रकरणे आहेत जेव्हा गुणांक A, B, C, D, E यांच्यातील संबंध असतात, ज्यामध्ये असे अविभाज्य प्राथमिक कार्यांद्वारे व्यक्त केले जातात.

खाली रिफ्लेक्सिव्ह बहुपदांशी संबंधित एक उदाहरण आहे. अशा इंटिग्रल्सची गणना प्रतिस्थापन वापरून केली जाते:
.