Модульные функции их свойства и графики. Свойства функции y =

Эрднигоряева Марина

Данная работа является результатом изучения темы на факультативе в 8 классе. Здесь показываются геометрические преобразования графиков и их применение к построению графиков с модулями. Вводится понятие модуля и его свойства. Показано как строить графики с модулями различными способами: с помощью преобразований и на основе понятия модуля.Тема проекта является одной из трудных в курсе математики, относится к вопросам, рассматриваемых на факультативах,изучается в классах с улгубленным изучением математики. Тем не меннн такие задания даются во второй части ГИА, в ЕГЭ. Данная работа поможет понять как строить графики с модулями не только линейных, но и других функций(квадратичных, обратно- пропорциональных и др.) Работа поможет при подготовке к ГИА и ЕГЭ.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Графики линейной функции с модулями Работа Эрднигоряевой Марины, ученицы 8 класса МКОУ «Камышовская ООШ» Руководитель Горяева Зоя Эрднигоряевна, учитель математики МКОУ « Камышовская ООШ» с. Камышово, 2013г.

Цель проекта: Ответить на вопрос как строить графики линейных функций с модулями. Задачи проекта: Изучить литературу по данному вопросу. Изучить геометрические преобразования графиков и их применение к построению графиков с модулями. Изучить понятие модуля и его свойства. Научиться строить графики с модулями различными способами.

Прямая пропорциональность Прямой пропорциональностью называется функция, которую можно задать формулой вида y=kx , где x –независимая переменная, k -не равное нулю число.

Построим график функции y = x x 0 2 y 0 2

Геометрическое преобразование графиков Правило №1 График функции y = f (x)+ k – линейная функция - получается параллельным переносом графика функции y = f (x) на + k единиц вверх по оси О y при k> 0 или на |- k| единиц вниз по оси О y при k

Построим графики y=x+3 y=x-2

Правило № 2 График функции y=kf(x) получается растягиванием графика функции y = f (x) вдоль оси О y в a раз при a>1 и сжатием вдоль оси О y в a раз при 0Слайд 9

Построим график y=x y= 2 x

Правило № 3 График функции y =- f (x) получается симметричным отображением графика y = f (x) относительно оси О x

Правило № 4 График функции y=f(- x) получается симметричным отображением графика функции y = f (x) относительно оси О y

Правило № 5 График функции y=f(x+c) получается параллельным переносом графика функции y=f(x) вдоль оси О x вправо, если c 0 .

Построим графики y=f(x) y=f(x+2)

Определение модуля Модуль неотрицательного числа а равен самому числу а; модуль отрицательного числа а равен противоположному ему положительному числу -а. Или, |а|=а, если а ≥0 |а|=-а, если а

Графики линейных функций с модулями строятся: с использованием геометрических преобразований с помощью раскрытия определения модуля.

Правило № 6 График функции y=|f(x)| получается следующим образом: часть графика y=f(x) , лежащая над осью О x , сохраняется; часть, лежащая под осью О x , отображается симметрично, относительно оси О x .

Построить график функции y=-2| x-3|+4 Строим y ₁=| x | Строим y₂= |x - 3 | → параллельный перенос на +3 единицы вдоль оси Ох (сдвиг вправо) Строим y ₃ =+2|x-3| → растягиваем вдоль оси О y в 2 раза = 2 y₂ Строим у ₄ =-2|x-3| → симметрия относительно оси абсцисс = - y₃ Строим y₅ =-2|x-3|+4 → параллельный перенос на +4 единицы вдоль оси О y (сдвиг вверх) = y ₄ +4

График функции y =-2|x-3|+4

График функции у= 3|х|+2 y₁=|x| y₂=3|x|= 3 y₁ → растяжение в 3 раза y₃=3|x| +2= y₄+2 → сдвиг вверх на 2 единицы

Правило № 7 График функции y=f(| x |) получается из графика функции y=f(x) следующим образом: При x > 0 график функции сохраняется, и эта же часть графика симметрично отображается относительно оси О y

Построить график функции y = || x-1 | -2 |

У₁= |х| у₂=|х-1| у₃= у₂-2 у₄= |у₃| У=||х-1|-2|

Алгоритм построения графика функции y=│f(│x│)│ построить график функции y=f(│x│) . далее оставить без изменений все части построенного графика, которые лежат выше оси x . части, расположенные ниже оси x , отобразить симметрично относительно этой оси.

У=|2|х|-3| Построение: а) у= 2х-3 для х >0, б) у=-2х-3 для х Слайд 26

Правило № 8 График зависимости | y|=f(x) получается из графика функции y=f(x) если все точки, для которых f(x) > 0 сохраняются и они же симметрично переносятся относительно оси абсцисс.

Построить множество точек на плоскости, декартовы координаты которых х и у удовлетворяют уравнению |у|=||х-1|-1|.

| y|=||x-1| -1| строим два графика 1) у=||х-1|-1| и 2) у =-|| х-1|-1| y₁=|x| y₂=| x-1 | → сдвиг по оси Ох вправо на 1 единицу y₃ = | x -1 |- 1= → сдвиг на 1 единицу вниз y ₄ = || x-1|- 1| → симметрия точек графика для которых y₃ 0 относительно О x

График уравнения |y|=||x-1|-1| получаем следующим образом: 1)строим график функции y=f(x) и о с тавляем без изменений ту его часть, где y≥0 2) с помощью симметрии относительно оси Оx построим другую часть графика, соответствующую y

Построить график функции y =|x | − | 2 − x | . Решение. Здесь знак модуля входит в два различных слагаемых и его нужно снимать. 1) Найдём корни подмодульных выражений: х=0, 2-х=0, х=2 2) Установим знаки на интервалах:

График функции

Вывод Тема проекта является одной из трудных в курсе математики, относится к вопросам, рассматриваемых на факультативах, изучается в классах по углубленному изучению курса математики. Тем не менее такие задания даются во второй части ГИА. Данная работа поможет понять как строить графики с модулями не только линейных функций, но и других функций(квадратичных, обратно пропорциональных и др.). Работа поможет при подготовке к ГИА и ЕГЭ и позволит получить высокие баллы по математике.

Литература Виленкин Н.Я. , Жохов В.И.. Математика”. Учебник 6 класс Москва. Издательство “ Мнемозина”, 2010г Виленкин Н.Я., Виленкин Л.Н., Сурвилло Г.С. и др. Алгебра. 8 класс: учебн. Пособие для учащихся и классов с углубленным изучением математики. – Москва. Просвещение, 2009 г Гайдуков И.И. “Абсолютная величина”. Москва. Просвещение, 1968. Гурский И.П. “Функции и построение графиков”. Москва. Просвещение, 1968. Ящина Н.В. Приёмы построения графиков, содержащих модули. Ж/л «Математика в школе»,№3,1994г Детская энциклопедия. Москва. «Педагогика», 1990. Дынкин Е.Б., Молчанова С.А. Математические задачи. М., «Наука», 1993. Петраков И.С. Математические кружки в 8-10 классах. М., «Просвещение», 1987 . Галицкий М.Л. и др. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов: Учебное пособие для учащихся и классов с углубленным изучением математики. – 12-е изд. – М.: Просвещение, 2006. – 301 с. Макрычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Алгебра: Дополнительные главы к школьному учебнику 9 кл.: Учебное пособие для учащихся школы и классов с углубленным изучением математики / Под редакцией Г.В.Дорофеева. – М.: Просвещение, 1997. – 224 с. Садыкина Н. Построение графиков и зависимостей, содержащих знак модуля /Математика. - №33. – 2004. – с.19-21 .. Кострикина Н.П “ Задачи повышенной трудности в курсе алгебры для 7-9 классов ”... Москва.: Просвещение, 2008г.

Функция $f(x)=|x|$

$|x|$ - модуль. Он определяется следующим образом: Если действительное число будет неотрицательным, то значение модуля совпадает с самим числом. Если же отрицательно, то значение модуля совпадает с абсолютным значением данного числа.

Математически это можно записать следующим образом:

Пример 1

Функция $f(x)=[x]$

Функция $f\left(x\right)=[x]$ - функция целой части числа. Она находится округлением числа (если оно само не целое) «в меньшую сторону».

Пример: $=2.$

Пример 2

Исследуем и построим её график.

1. $D\left(f\right)=R$.
2. Очевидно, что эта функция принимает только целые значения, то есть $\ E\left(f\right)=Z$
3. $f\left(-x\right)=[-x]$. Следовательно, эта функция будет общего вида.
4. $(0,0)$ -- единственная точка пересечения с осями координат.
5. $f"\left(x\right)=0$
6. Функция имеет точки разрыва (скачка функции) при всех $x\in Z$.

Рисунок 2.

Функция $f\left(x\right)=\{x\}$

Функция $f\left(x\right)=\{x\}$ -- функция дробной части числа. Она находится «отбрасыванием» целой части этого числа.

Пример 3

Исследуем и построим график функции

Функция $f(x)=sign(x)$

Функция $f\left(x\right)=sign(x)$ -- сигнум-функция. Эта функция показывает, какой знак имеет действительное число. Если число отрицательно, то функция имеет значение $-1$. Если число положительно, то функция равняется единице. При нулевом значении числа, значение функции также будет принимать нулевое значение.

«Свойства квадратного корня» - Ответы. Подведение итогов. Решение упражнений. План урока. Устная работа. Свойства квадратных корней. Литература. Самостоятельно. Вычислите. Вариант.

«Арифметический квадратный корень и его свойства» - Ученик. Теорема. Преобразование. Решай снова. Ошибкам тебя точно не догнать. Пример. Крошка Ро. Свойства арифметических квадратных корней. Применение. Свойства. Я огорчён твоими знаниями. Пройди тест. Твой путь был нелёгок. Тест.

«Функция и свойства квадратного корня» - Функция. Самостоятельная работа. Подготовка к решению тестовых заданий. Найдите значение выражения. Привитие интереса к предмету. Рациональное число. Вариант. Значение выражения. Новые математические модели функции. Информация для учителя. Сократите дробь. Новые обозначения. Вычислите. Найдите значение выражения наиболее рациональным способом. Разложите на множители. Найдите значение.

«Задачи на неравенства» - Соедините отрезками числовые промежутки. Промежутки, являющиеся решением. Реши неравенства. Заполнить пропуски в таблице. Проверка домашнего задания. Самостоятельная работа. Неравенства. Пропуски в таблице. Решите неравенство. Верные ответы. Алгебра. Систематизация и совершенствование знаний. Что лишнее. Подчеркнуть верные ответы. Найди ошибку. Контрольный тест. Выписать промежутки. Решений нет.

«Примеры неравенств» - Три случая. Задача. Правила действий с неравенствами. Виды неравенств. Неотрицательное число. Дайте определение неравенства. Решите двойное неравенство. Сложение. Определения понятий. Неравенства, входящие в систему. Свойства числовых неравенств. Запись. Неравенство содержит только числа. Неравенства. Дидактический материал. Ax+b>0. Решение системы линейных неравенств.

«Сокращённое умножение» - Игра ""Смотри не ошибись."". Урок математики. Задания на карточках. Проверочная работа. Таблица. Формулы сокращенного умножения. Игра Счастливый случай. Задания на отработку понимания математической речи на слух. Выбери правильный ответ. Проверка.