Kūgis kaip geometrinė figūra. Geometriniai kūnai. Kūgis Koks yra kūgio generatrix ilgis

Kurie kyla iš vieno taško (kūgio viršaus) ir kurie eina per plokščią paviršių.

Taip atsitinka, kad kūgis yra riboto tūrio kūno dalis, kuri gaunama sujungus kiekvieną segmentą, jungiantį plokščio paviršiaus viršūnę ir taškus. Pastarasis, šiuo atveju, yra kūgio pagrindas, o kūgis, kaip teigiama, remiasi ant šio pagrindo.

Kai kūgio pagrindas yra daugiakampis, jis jau yra piramidė .

Apvalus kūgis- tai kūnas, sudarytas iš apskritimo (kūgio pagrindo), taško, kuris nėra šio apskritimo plokštumoje (kūgio viršus ir visi segmentai, jungiantys kūgio viršūnę su jo taškais). bazė). Vadinamos atkarpos, jungiančios kūgio viršūnę ir pagrindo apskritimo taškus formuojant kūgį. Kūgio paviršius susideda iš pagrindo ir šoninio paviršiaus.

Šoninio paviršiaus plotas yra teisingas n- anglies piramidė, įrašyta į kūgį:

S n =½P n l n,

Kur Pn- piramidės pagrindo perimetras ir l n- apotemas.

Tuo pačiu principu: nupjauto kūgio su pagrindo spinduliu šoniniam paviršiaus plotui R 1, R 2 ir formavimas l gauname tokią formulę:

S=(R1+R2)l.

Tiesūs ir įstrižai apskriti kūgiai su vienodu pagrindu ir aukščiu. Šių kūnų tūris yra toks pat:

Kūgio savybės.

• Kai pagrindo plotas turi ribą, tai reiškia, kad kūgio tūris taip pat turi ribą ir yra lygus trečiajai pagrindo aukščio ir ploto sandaugos daliai.

Kur S- bazinis plotas, H- aukštis.

Taigi kiekvienas kūgis, kuris remiasi šiuo pagrindu ir turi viršūnę, esančią plokštumoje, lygiagrečioje pagrindui, turi vienodą tūrį, nes jų aukščiai yra vienodi.

• Kiekvieno kūgio, kurio tūris turi ribą, svorio centras yra ketvirtadalyje aukščio nuo pagrindo.
• Kietasis kampas tiesiojo apskrito kūgio viršūnėje gali būti išreikštas tokia formule:

Kur α - kūgio atidarymo kampas.

• Tokio kūgio šoninio paviršiaus plotas, formulė:

ir viso paviršiaus ploto (tai yra šoninio paviršiaus ir pagrindo plotų suma), formulė:

S=πR(l+R),

Kur R- pagrindo spindulys, l— generatrix ilgis.

• Apvalaus kūgio tūris, formulė:

• Nupjauto kūgio (ne tik tiesus ar apskritas) tūris, formulė:

Kur S 1 Ir S 2- viršutinio ir apatinio pagrindo plotas,

h Ir H- atstumai nuo viršutinio ir apatinio pagrindo plokštumos iki viršaus.

• Plokštumos sankirta su dešiniuoju apskritu kūgiu yra viena iš kūginių pjūvių.

Šioje pamokoje susipažinsime su tokia figūra kaip kūgis. Panagrinėkime kūgio elementus ir jo pjūvių tipus. Ir mes išsiaiškinsime, su kuria figūra kūgis turi daug bendrų savybių.

1 pav. Kūgio formos objektai

Pasaulyje daugybė dalykų yra kūgio formos. Dažnai mes jų net nepastebime. Kelio kūgiai, įspėjantys apie kelio darbus, pilių ir namų stogai, ledų kūgiai – visi šie objektai yra kūgio formos (žr. 1 pav.).

Ryžiai. 2. Statusis trikampis

Apsvarstykite savavališką statųjį trikampį su kojomis ir (žr. 2 pav.).

Ryžiai. 3. Tiesus apskritas kūgis

Sukant duotą trikampį aplink vieną iš kojų (neprarandant bendrumo, tegul tai yra koja), hipotenuzė apibūdins paviršių, o kojelė – apskritimą. Taip bus gautas kūnas, kuris vadinamas stačiu apskritu kūgiu (žr. 3 pav.).

Ryžiai. 4. Kūgių rūšys

Kadangi mes kalbame apie tiesų apskritą kūgį, matyt, yra ir netiesioginis, ir ne apskritas? Jeigu kūgio pagrindas yra apskritimas, bet viršūnė neprojektuota į šio apskritimo centrą, tai toks kūgis vadinamas pasvirusiuoju. Jei pagrindas yra ne apskritimas, o savavališka figūra, tai toks kūnas kartais dar vadinamas kūgiu, bet, žinoma, ne apskritu (žr. 4 pav.).

Taigi mes vėl pasiekiame analogiją, kuri mums jau pažįstama dirbant su cilindrais. Tiesą sakant, kūgis yra kažkas panašaus į piramidę, tiesiog piramidės pagrinde yra daugiakampis, o kūgis (kurį mes apsvarstysime) turi apskritimą (žr. 5 pav.).

Kūgio viduje uždarytas sukimosi ašies segmentas (mūsų atveju tai kojelė) vadinamas kūgio ašimi (žr. 6 pav.).

Ryžiai. 5. Kūgis ir piramidė

Ryžiai. 6. - kūgio ašis

Ryžiai. 7. Kūgio pagrindas

Apskritimas, susidaręs sukantis antrajai kojelei (), vadinamas kūgio pagrindu (žr. 7 pav.).

O šios kojos ilgis yra kūgio pagrindo spindulys (arba, paprasčiau tariant, kūgio spindulys) (žr. 8 pav.).

Ryžiai. 8. - kūgio spindulys

Ryžiai. 9. - kūgio viršus

Ant sukimosi ašies gulinčio besisukančio trikampio smailiojo kampo viršūnė vadinama kūgio viršūne (žr. 9 pav.).

Ryžiai. 10. - kūgio aukštis

Kūgio aukštis yra atkarpa, nubrėžta nuo kūgio viršaus statmenai jo pagrindui (žr. 10 pav.).

Čia gali kilti klausimas: kuo tada sukimosi ašies segmentas skiriasi nuo kūgio aukščio? Tiesą sakant, jie sutampa tik tiesiojo kūgio atveju, jei pažvelgsite į pasvirusį kūgį, pastebėsite, kad tai yra du visiškai skirtingi segmentai (žr. 11 pav.).

Ryžiai. 11. Aukštis pasvirusiame kūge

Grįžkime prie tiesiojo kūgio.

Ryžiai. 12. Kūgio generatoriai

Atkarpos, jungiančios kūgio viršūnę su jo pagrindo apskritimo taškais, vadinamos kūgio generatoriais. Beje, visos stačiojo kūgio generatricos yra lygios viena kitai (žr. 12 pav.).

Ryžiai. 13. Natūralūs kūgio formos objektai

Išvertus iš graikų kalbos, konos reiškia „kankorėžis“. Gamtoje yra pakankamai objektų, kurie turi kūgio formą: eglė, kalnas, skruzdėlynas ir kt. (žr. 13 pav.).

Bet mes įpratę, kad kūgis tiesus. Jis turi vienodas generatricas, o jo aukštis sutampa su ašimi. Tokį kūgį vadinome tiesiu kūgiu. Mokyklos geometrijos kurse paprastai laikomi tiesūs kūgiai, o pagal nutylėjimą bet koks kūgis laikomas dešiniuoju apskritimu. Bet mes jau sakėme, kad yra ne tik tiesūs kūgiai, bet ir pasvirę.

Ryžiai. 14. Statmenas pjūvis

Grįžkime prie tiesių kūgių. „Iškirpkite“ kūgį plokštuma, statmena ašiai (žr. 14 pav.).

Kokia figūra bus ant pjūvio? Žinoma, tai ratas! Prisiminkime, kad plokštuma eina statmenai ašiai, taigi lygiagreti pagrindui, kuris yra apskritimas.

Ryžiai. 15. Pasvirusi atkarpa

Dabar palaipsniui pakreipkime pjūvio plokštumą. Tada mūsų ratas pradės palaipsniui virsti vis pailgėjusiu ovalu. Bet tik tol, kol pjūvio plokštuma nesusidurs su pagrindo apskritimu (žr. 15 pav.).

Ryžiai. 16. Pjūvių tipai pagal morkos pavyzdį

Mėgstantys tyrinėti pasaulį eksperimentiškai gali tuo įsitikinti morkos ir peilio pagalba (pabandykite iš morkos pjaustyti griežinėliais skirtingais kampais) (žr. 16 pav.).

Ryžiai. 17. Ašinė kūgio pjūvis

Kūgio pjūvis plokštuma, einanti per jo ašį, vadinama ašine kūgio pjūviu (žr. 17 pav.).

Ryžiai. 18. Lygiašonis trikampis – pjūvio figūra

Čia gauname visiškai kitokią pjūvio figūrą: trikampį. Šis trikampis yra lygiašonis (žr. 18 pav.).

Šioje pamokoje sužinojome apie cilindrinį paviršių, cilindrų tipus, cilindro elementus ir cilindro panašumą į prizmę.

Kūgio generatrix yra 12 cm ir pasvirusi į pagrindo plokštumą 30 laipsnių kampu. Raskite kūgio ašinį skerspjūvio plotą.

Sprendimas

Panagrinėkime reikiamą ašinę sekciją. Tai lygiašonis trikampis, kurio kraštinės yra 12 laipsnių, o pagrindo kampas yra 30 laipsnių. Tada galite veikti įvairiais būdais. Arba galite nubrėžti aukštį, rasti jį (pusė hipotenuzės, 6), tada pagrindą (naudojant Pitagoro teoremą) ir plotą.

Ryžiai. 19. Problemos iliustracija

Arba iš karto suraskite kampą viršūnėje – 120 laipsnių – ir apskaičiuokite plotą kaip kraštinių ir tarp jų esančio kampo sinuso pusgaminį (atsakymas bus toks pat).

1. Geometrija. Vadovėlis 10-11 klasei. Atanasyanas L.S. ir kiti 18 leid. - M.: Švietimas, 2009. - 255 p.
2. Geometrija 11 klasė, A.V. Pogorelovas, M.: Švietimas, 2002 m
3. Geometrijos užduočių knygelė 11 klasė, V.F. Butuzovas, Yu.A. Glazkovas

1. Yaklass.ru ().
2. Uztest.ru ().
3. Bitclass.ru ().

Namų darbai

Apibrėžimas. Kūgio viršus yra taškas (K), iš kurio kyla spinduliai.

Apibrėžimas. Kūgio pagrindas yra plokštuma, susidaranti susikirtus plokščiam paviršiui ir visiems spinduliams, sklindantiems iš kūgio viršaus. Kūgis gali turėti tokias bazes kaip apskritimas, elipsė, hiperbolė ir parabolė.

Apibrėžimas. Kūgio generatorius(L) yra bet kuri atkarpa, jungianti kūgio viršūnę su kūgio pagrindo riba. Generatorius yra spindulio segmentas, išeinantis iš kūgio viršūnės.

Formulė. Generatoriaus ilgis(L) dešiniojo apskrito kūgio per spindulį R ir aukštį H (pagal Pitagoro teoremą):

Apibrėžimas. Vadovas kūgis – tai kreivė, nusakanti kūgio pagrindo kontūrą.

Apibrėžimas. Šoninis paviršius kūgis yra visų kūgio sudedamųjų dalių visuma. Tai yra paviršius, kuris susidaro generatrix judant išilgai kūgio kreiptuvo.

Apibrėžimas. Paviršius Kūgis susideda iš šoninio paviršiaus ir kūgio pagrindo.

Apibrėžimas. Aukštis kūgis (H) yra atkarpa, kuri tęsiasi nuo kūgio viršaus ir yra statmena jo pagrindui.

Apibrėžimas. Ašis kūgis (a) yra tiesi linija, einanti per kūgio viršūnę ir kūgio pagrindo centrą.

Apibrėžimas. Kūginis (C) kūgis yra kūgio pagrindo skersmens ir jo aukščio santykis. Nupjauto kūgio atveju tai yra nupjauto kūgio skerspjūvių D ir d skersmenų skirtumo ir atstumo tarp jų santykis: čia R yra pagrindo spindulys, o H yra nupjauto kūgio aukštis. kūgis.

Kūgis (tiksliau, apskritas kūgis) yra kūnas, susidedantis iš apskritimo - kūgio pagrindo, taško, esančio ne šio apskritimo plokštumoje - kūgio viršaus ir visų atkarpų, jungiančių kūgio viršūnę. su pagrindo taškais (1 pav.) Linijų atkarpos, jungiančios kūgio viršūnę su pagrindo apskritimo taškais, vadinamos kūgio generatoriais. Visi kūgio generatoriai yra lygūs vienas kitam. Kūgio paviršius susideda iš pagrindo ir šoninio paviršiaus.
Ryžiai. 1
Kūgis vadinamas tiesiu, jei tiesi linija, jungianti kūgio viršūnę su pagrindo centru, yra statmena pagrindo plokštumai. Vizualiai tiesus apskritas kūgis gali būti įsivaizduojamas kaip kūnas, gautas sukant stačiakampį trikampį aplink savo koją kaip ašį (2 pav.).
Ryžiai. 2
Kūgio aukštis yra statmenas, nusileidęs nuo jo viršaus iki pagrindo plokštumos. Tiesiam kūgiui aukščio pagrindas sutampa su pagrindo centru. Dešiniojo apskrito kūgio ašis yra tiesi linija, kurioje yra jo aukštis.
Kūgio pjūvis plokštuma, einanti per jo viršūnę, yra lygiašonis trikampis, kurio kraštinės sudaro kūgį (3 pav.). Visų pirma lygiašonis trikampis yra ašinė kūgio pjūvis. Tai pjūvis, einantis per kūgio ašį (4 pav.).
Ryžiai. 3 pav. 4

Kūgio paviršiaus plotas
Kūgio šoninį paviršių, kaip ir cilindro šoninį paviršių, galima pasukti į plokštumą, perpjaunant jį išilgai vienos iš generatų (2 pav., a, b). Kūgio šoninio paviršiaus raida yra apskritas sektorius (2.6 pav.), kurio spindulys lygus kūgio generatrix, o sektoriaus lanko ilgis yra kūgio pagrindo apskritimas.
Kūgio šoninio paviršiaus plotas laikomas jo vystymosi sritimi. Kūgio šoninio paviršiaus plotą S išreikškime jo generatrix l ir pagrindo spinduliu r.
Apskritimo sektoriaus plotas – kūgio šoninio paviršiaus išsivystymas (2 pav.) – lygus (Pl2a)/360, kur a yra lanko ABA laipsnio matas“, todėl
Pusė = (Pl2a)/360. (*)
Išreikškime a kaip l ir r. Kadangi lanko ilgis ABA" lygus 2Pr (kūgio pagrindo perimetras), tai 2Pr = Pla/180, iš kur a=360r/l. Pakeitę šią išraišką į formulę (*), gauname:
Sside = Prl. (**)
Taigi kūgio šoninio paviršiaus plotas yra lygus pusės pagrindo ir generatoriaus perimetro sandaugai.
Bendras kūgio paviršiaus plotas yra šoninio paviršiaus ir pagrindo plotų suma. Apskaičiuojant viso kūgio paviršiaus plotą Scon, gaunama formulė: Scon = Pr (l + r). (***)

Frustum
Paimkime savavališką kūgį ir nubrėžkime jo ašiai statmeną pjovimo plokštumą. Ši plokštuma susikerta su kūgiu apskritime ir padalija kūgį į dvi dalis. Viena iš dalių yra kūgis, o kita vadinama nupjautu kūgiu. Pirminio kūgio pagrindas ir apskritimas, gautas perpjaunant šį kūgį plokštuma, vadinami nupjauto kūgio pagrindais, o jų centrus jungianti atkarpa – nupjauto kūgio aukščiu.

Kūgio paviršiaus dalis, kuri riboja nupjautinį kūgį, vadinama jo šoniniu paviršiumi, o tarp pagrindų uždari kūginio paviršiaus generatrijų segmentai – nupjauto kūgio generatoriais. Visi nupjauto kūgio generatoriai yra lygūs vienas kitam (įrodykite tai patys).
Nupjauto kūgio šoninio paviršiaus plotas lygus pusės pagrindų ir generatoriaus apskritimų ilgių sandaugai: Sside = П (r + r1) l.

Papildoma informacija apie kūgį
1. Geologijoje yra „ventiliatoriaus“ sąvoka. Tai reljefo forma, susidariusi susikaupus klastingoms uolienoms (akmenims, žvyrui, smėliui), kurias kalnų upės nuneša į papėdės lygumą arba į plokštesnį, platesnį slėnį.
2. Biologijoje yra „augimo kūgio“ sąvoka. Tai yra augalų ūglio galiukas ir šaknis, susidedantis iš lavinamojo audinio ląstelių.
3. „Kurgiai“ – prosobranch poklasio jūrinių moliuskų šeima. Kiautas kūgiškas (2–16 cm), ryškiaspalvis. Yra daugiau nei 500 rūšių kūgių. Jie gyvena tropikuose ir subtropikuose, yra plėšrūnai ir turi nuodingą liauką. Kūgių įkandimas yra labai skausmingas. Mirtys žinomos. Kriauklės naudojamos kaip dekoracijos ir suvenyrai.
4. Pagal statistiką kasmet nuo žaibo trenksmo Žemėje miršta 6 žmonės 1 milijonui gyventojų (pietų šalyse dažniau). Taip neatsitiktų, jei visur būtų žaibolaidžiai, nes susidaro apsauginis kūgis. Kuo aukštesnis žaibolaidis, tuo didesnis tokio kūgio tūris. Kai kas bando slėptis nuo iškrovų po medžiu, tačiau medis nėra laidininkas, ant jo kaupiasi krūviai ir medis gali būti įtampos šaltinis.
5. Fizikoje susiduriama su „kietojo kampo“ sąvoka. Tai kūgio formos kampas, supjaustytas į rutulį. Kietojo kampo vienetas yra 1 steradianas. 1 steradianas yra kietasis kampas, kurio spindulys kvadratas yra lygus rutulio dalies, kurią jis išpjauna, plotui. Jeigu šiame kampe pastatysime 1 kandelės (1 žvakės) šviesos šaltinį, gausime 1 liumeno šviesos srautą. Kino kameros ar prožektorių šviesa sklinda kūgio pavidalu.

Mechaninėje inžinerijoje, kartu su cilindrinėmis, plačiai naudojamos dalys su kūginiais paviršiais išorinių kūgių arba kūginių skylių pavidalu. Pavyzdžiui, tekinimo staklės centre yra du išoriniai kūgiai, iš kurių vienas skirtas montuoti ir pritvirtinti kūginėje veleno angoje; grąžtas, įdubimas, sriegtuvas ir kt. taip pat turi išorinį kūgį, skirtą montavimui ir tvirtinimui.

1. Kūgio samprata ir jo elementai

Kūgio elementai. Jei apsuksite stačiąjį trikampį ABC aplink koją AB (202 pav., a), tada susidaro kūnas ABG, vadinamas pilnas kūgis. Tiesė AB vadinama ašimi arba kūgio aukštis, AB eilutė - kūgio generatrix. Taškas A yra kūgio viršus.

Kojai BV sukant aplink ašį AB susidaro apskritimo paviršius, vadinamas kūgio pagrindas.

Kampas VAG tarp šoninių kraštinių AB ir AG vadinamas kūgio kampas ir žymimas 2α. Pusė šio kampo, kurį sudaro šoninė kraštinė AG ir ašis AB, vadinama kūgio kampas ir žymimas α. Kampai išreiškiami laipsniais, minutėmis ir sekundėmis.

Jei viršutinę jo dalį nupjausime nuo pilno kūgio su plokštuma, lygiagrečia jo pagrindui (202 pav., b), gausime kūną, vadinamą nupjautas kūgis. Jis turi du pagrindus, viršutinį ir apatinį. Atstumas OO 1 išilgai ašies tarp bazių vadinamas nupjauto kūgio aukštis. Kadangi mechanikos inžinerijoje dažniausiai tenka susidurti su kūgių dalimis, t.y., nupjautais kūgiais, dažniausiai jie vadinami tiesiog kūgiais; Nuo šiol visus kūginius paviršius vadinsime kūgiais.

Ryšys tarp kūgio elementų. Brėžinyje dažniausiai nurodomi trys pagrindiniai kūgio matmenys: didesnis skersmuo D, mažesnis skersmuo d ir kūgio aukštis l (203 pav.).

Kartais brėžinyje nurodomas tik vienas iš kūgio skersmenų, pavyzdžiui, didesnis D, kūgio aukštis l ir vadinamasis kūgis. Kūgis yra kūgio skersmenų ir jo ilgio skirtumo santykis. Tada smailę pažymėkime raide K

Jei kūgio matmenys: D = 80 mm, d = 70 mm ir l = 100 mm, tada pagal (10) formulę:

Tai reiškia, kad per 10 mm kūgio skersmuo sumažėja 1 mm arba kiekvienam kūgio ilgio milimetrui jo skersmenų skirtumas pasikeičia

Kartais brėžinyje jis nurodomas vietoj kūgio kampo kūgio nuolydis. Kūgio nuolydis parodo, kiek kūgio generatrix nukrypsta nuo savo ašies.
Kūgio nuolydis nustatomas pagal formulę

kur tan α yra kūgio nuolydis;


l yra kūgio aukštis mm.

Naudodami (11) formulę, galite naudoti trigonometrines lenteles, kad nustatytumėte kūgio kampą a.

6 pavyzdys. Duota D = 80 mm; d = 70 mm; l= 100 mm. Naudodami (11) formulę, turime Iš liestinių lentelės randame vertę, kuri yra artimiausia tan α = 0,05, ty tan α = 0,049, kuri atitinka kūgio nuolydžio kampą α = 2°50". Todėl kūgio kampas 2α = 2 ·2°50" = 5°40".

Kūgio nuolydis ir smailėjimas paprastai išreiškiami paprasta trupmena, pavyzdžiui: 1:10; 1:50 arba dešimtainė trupmena, pavyzdžiui, 0,1; 0,05; 0,02 ir kt.

2. Tekinimo staklių kūginių paviršių gamybos būdai

Tekinimo staklėje kūginiai paviršiai apdorojami vienu iš šių būdų:
a) sukant viršutinę apkabos dalį;
b) skersinis galinio koto korpuso poslinkis;
c) naudojant kūginę liniuotę;
d) naudojant platų pjaustytuvą.

3. Kūginių paviršių apdirbimas sukant viršutinę apkabos dalį

Tekinimo staklėmis gaminant trumpus išorinius ir vidinius kūginius paviršius su dideliu nuolydžio kampu, reikia pasukti viršutinę atramos dalį mašinos ašies atžvilgiu kūgio nuolydžio kampu α (žr. 204 pav.). Taikant šį veikimo būdą, padavimas gali būti atliekamas tik rankomis, sukant viršutinės atramos dalies švino sraigto rankenėlę, o tik moderniausios tekinimo staklės turi mechaninį viršutinės atramos dalies padavimą.

Norėdami nustatyti viršutinę apkabos dalį 1 reikiamu kampu, galite naudoti padalijas, pažymėtas ant sukamosios apkabos dalies flanšo 2 (204 pav.). Jei kūgio nuolydžio kampas α nurodytas pagal brėžinį, tai viršutinė apkabos dalis kartu su besisukančia jos dalimi pasukama reikiamu padalų skaičiumi, nurodant laipsnius. Padalijimų skaičius skaičiuojamas pagal ženklą, pažymėtą suporto apačioje.

Jeigu brėžinyje kampas α nepateiktas, bet nurodyti didesni ir mažesni kūgio skersmenys bei jo kūginės dalies ilgis, tai apkabos sukimosi kampo reikšmė nustatoma pagal formulę (11)

7 pavyzdys. Pateikti kūgio skersmenys yra D = 80 mm, d = 66 mm, kūgio ilgis l = 112 mm. Mes turime: Naudodami liestinių lentelę apytiksliai gauname: a = 3°35". Todėl viršutinė apkabos dalis turi būti pasukta 3°35".

Kūginių paviršių sukimo būdas sukant viršutinę apkabos dalį turi šiuos trūkumus: dažniausiai leidžia naudoti tik rankinį padavimą, o tai turi įtakos darbo našumui ir apdirbamo paviršiaus švarumui; leidžia šlifuoti palyginti trumpus kūginius paviršius, kuriuos riboja viršutinės apkabos dalies eigos ilgis.

4. Kūginių paviršių apdirbimas, naudojant skersinio galinės kojos korpuso poslinkio metodą

Norint gauti kūginį paviršių ant tekinimo staklių, sukant ruošinį, pjaustytuvo galą reikia perkelti ne lygiagrečiai, o tam tikru kampu su centrų ašimi. Šis kampas turi būti lygus kūgio nuolydžio kampui α. Paprasčiausias būdas gauti kampą tarp centrinės ašies ir tiekimo krypties yra perstumti vidurio liniją, judant nugaros centrą skersine kryptimi. Dėl šlifavimo paslinkus galinį centrą link frezos (į save), gaunamas kūgis, kurio didesnis pagrindas nukreiptas į galvutę; kai galinis centras pasislenka priešinga kryptimi, t.y., nutolęs nuo frezos (nuo jūsų), didesnis kūgio pagrindas bus uodegos šone (205 pav.).

Galinės kojos korpuso poslinkis nustatomas pagal formulę

čia S yra galinio koto korpuso poslinkis nuo svirties veleno ašies, mm;
D – didelio kūgio pagrindo skersmuo mm;
d – mažo kūgio pagrindo skersmuo mm;
L yra visos dalies ilgis arba atstumas tarp centrų mm;
l – detalės kūginės dalies ilgis mm.

8 pavyzdys. Nustatykite galinės atramos centro poslinkį sukant nupjautą kūgį, jei D = 100 mm, d = 80 mm, L = 300 mm ir l = 200 mm. Naudodami (12) formulę randame:

Galinės kojos korpusas perkeliamas naudojant 1 skyrelius (206 pav.), pažymėtus pagrindo plokštės gale, ir ženklą 2 ant galinės kojos korpuso galo.

Jei plokštės gale nėra padalų, perkelkite galinės kojos korpusą naudodami matavimo liniuotę, kaip parodyta Fig. 207.

Kūginių paviršių apdirbimo, išstumiant uodegos koto korpusą, pranašumas yra tas, kad šiuo metodu galima sukti ilgus kūgius ir šlifuoti mechaniniu padavimu.

Šio metodo trūkumai: nesugebėjimas išgręžti kūginių skylių; laiko praradimas pertvaroms pertvarkyti; galimybė apdoroti tik seklius kūgius; centrų nesutapimas centrinėse skylėse, dėl kurio greitai ir netolygiai susidėvi centrai ir centrinės skylės ir atsiranda defektų antrinio dalies montavimo metu tose pačiose centrinėse skylėse.

Netolygaus centrinių angų susidėvėjimo galima išvengti, jei vietoj įprasto naudojamas specialus rutulinis centras (208 pav.). Tokie centrai daugiausia naudojami apdorojant tikslius kūgius.

5. Kūginių paviršių apdirbimas kūgine liniuote

Norėdami apdoroti kūginius paviršius, kurių nuolydžio kampas yra iki 10-12°, šiuolaikinės tekinimo staklės dažniausiai turi specialų įrenginį, vadinamą kūgio liniuote. Kūgio apdorojimo kūgio liniuote schema parodyta fig. 209.

Prie mašinos lovos pritvirtinta plokštelė 11, ant kurios sumontuota kūginė liniuotė 9 Liniuotė gali būti pasukta aplink kaištį 8 reikiamu kampu a ruošinio ašies atžvilgiu. Norint pritvirtinti liniuotę reikiamoje padėtyje, naudojami du varžtai 4 ir 10. Slankiklis 7 laisvai slysta išilgai liniuotės, jungiantis prie apatinės skersinės dalies 12, naudojant strypą 5 ir spaustuką 6. Kad ši dalis suportas gali laisvai slysti išilgai kreiptuvų, jis atjungiamas nuo vežimėlio 3 atsukant skersinį varžtą arba atjungiant jo veržlę nuo apkabos.

Jei vežimėliui suteiksite išilginį pastūmą, slankiklis 7, užfiksuotas strypo 5, pradės judėti išilgai liniuote 9. Kadangi slankiklis pritvirtintas prie skersinio apkabos slankiklio, jie kartu su pjaustytuvu judėti lygiagrečiai liniuotei 9. Dėl to pjaustytuvas apdoros kūginį paviršių, kurio pasvirimo kampas lygus kūginės liniuotės sukimosi kampui α.

Po kiekvieno važiavimo pjoviklis nustatomas į pjovimo gylį, naudojant suporto viršutinės dalies 2 rankeną 1. Ši apkabos dalis turi būti pasukta 90° įprastos padėties atžvilgiu, t.y., kaip parodyta Fig. 209.

Jei pateikti kūgio D ir d pagrindų skersmenys ir jo ilgis l, tai liniuotės sukimosi kampą galima rasti naudojant (11) formulę.

Apskaičiavus tan α reikšmę, kampo α reikšmę lengva nustatyti naudojant liestinių lentelę.
Kūgio liniuotės naudojimas turi keletą privalumų:
1) liniuotę nustatyti patogu ir greita;
2) pereinant prie apdirbimo kūgių, nereikia trikdyti įprastos mašinos sąrankos, t.y., nereikia judinti galinės kojos korpuso; mašinos centrai lieka įprastoje padėtyje, t.y. toje pačioje ašyje, dėl ko neveikia detalės centrinės skylės ir mašinos centrai;
3) naudojant kūginę liniuotę galima ne tik šlifuoti išorinius kūginius paviršius, bet ir išgręžti kūgines skylutes;
4) galima dirbti su išilgine savaeigė mašina, kuri padidina darbo našumą ir pagerina apdirbimo kokybę.

Kūginės liniuotės trūkumas yra būtinybė atjungti apkabos slankiklį nuo skersinio padavimo varžto. Šis trūkumas pašalintas konstruojant kai kurias tekinimo stakles, kuriose varžtas nėra tvirtai sujungtas su rankračiu ir skersinės savaeigės mašinos krumpliaračiais.

6. Kūginių paviršių apdirbimas plačia freza

Kūgio formos paviršių (išorinių ir vidinių), kurių kūgio ilgis yra trumpas, apdirbimas gali būti atliekamas plačia freza, kurios planinis kampas atitinka kūgio nuolydžio kampą α (210 pav.). Pjovimo padavimas gali būti išilginis arba skersinis.

Tačiau plačią pjaustytuvą įprastose mašinose galima naudoti tik tada, kai kūgio ilgis neviršija 20 mm. Platesnius pjaustytuvus galima naudoti tik ypač kietoms staklėms ir detalėms, jei tai nesukelia frezos ir ruošinio vibracijos.

7. Kūginių kiaurymių gręžimas ir iškalimas

Kūginių skylių apdirbimas yra vienas iš sunkiausių tekinimo darbų; tai daug sunkiau nei apdoroti išorinius kūgius.

Kūginės skylės tekinimo staklėse dažniausiai apdirbamos gręžiant pjaustytuvu sukant viršutinę atramos dalį ir rečiau naudojant kūginę liniuotę. Visi skaičiavimai, susiję su viršutinės apkabos dalies arba kūginės liniuotės pasukimu, atliekami taip pat, kaip ir sukant išorinius kūginius paviršius.

Jei skylė turi būti kietoje medžiagoje, pirmiausia išgręžiama cilindrinė skylė, kuri pjaustytuvu išgręžiama į kūgį arba apdirbama kūginiais įdubimais ir sriegtuvais.

Norint paspartinti gręžimą ar perpjovimą, pirmiausia reiktų gręžtuvu išgręžti skylę, skersmuo d, kuri yra 1-2 mm mažesnė už mažo kūgio pagrindo skersmenį (211 pav., a). Po to skylė išgręžiama vienu (211 pav., b) arba dviem (211 pav., c) grąžtais, kad būtų gauti žingsniai.

Pabaigus gręžti kūgį, jis perpjaunamas atitinkamo kūgio kūginiu išplūktu. Kūgiams, kurių kūgis yra nedidelis, kūgines skylutes naudingiau apdoroti iš karto po gręžimo specialių išpjovų rinkiniu, kaip parodyta Fig. 212.

8. Pjovimo režimai apdorojant skylutes kūginiais išspręstais

Kūginiai slystuvai dirba sunkesnėmis sąlygomis nei cilindriniai: kol cilindriniai slystuvai pašalina nedidelę prielaidą su mažais pjovimo briaunomis, kūginiai slysti pjauna visą pjovimo briaunų, esančių ant kūgio generatoriaus, ilgį. Todėl dirbant su kūginėmis išspręstais pastūmos ir pjovimo greičiai naudojami mažiau nei dirbant su cilindrinėmis slydimo staklėmis.

Apdorojant skylutes kūginiais išspręstais, padavimas atliekamas rankiniu būdu, sukant galinės dalies rankratį. Būtina užtikrinti, kad uodegos plunksna judėtų tolygiai.

Plienui plieną pastūma 0,1-0,2 mm/aps., plienui plieną 0,2-0,4 mm/aps.

Pjovimo greitis plieniniais plieniniais plieniniais plieniniais plieniniais išplitant kūgines skyles yra 6-10 m/min.

Norint palengvinti kūginių slankstelių darbą ir gauti švarų, lygų paviršių, reikia naudoti aušinimą. Apdorojant plieną ir ketų, naudojama emulsija arba sulfofrezolis.

9. Kūginių paviršių matavimas

Kūgių paviršiai tikrinami šablonais ir matuokliais; kūgio kampų matavimas ir tuo pačiu metu tikrinimas atliekamas naudojant transporterius. Fig. 213 parodytas kūgio patikrinimo metodas naudojant šabloną.

Universaliu goniometru galima išmatuoti įvairių dalių išorinius ir vidinius kampus (214 pav.). Jį sudaro pagrindas 1, ant kurio lanku 130 pažymėta pagrindinė skalė. Prie pagrindo 1 standžiai pritvirtinta liniuotė 5. 4 sektorius juda išilgai pagrindo lanko, nešdamas nonija 3. Kvadratas 2 gali būti pritvirtintas prie sektoriaus 4 naudojant laikiklį 7, kuriame, savo ruožtu, nuimama liniuotė 5 yra fiksuota Kvadratas 2 ir nuimama liniuotė 5 turi galimybę judėti išilgai 4 sektoriaus krašto.

Įvairiais deriniais montuojant matuoklio matavimo dalis galima išmatuoti kampus nuo 0 iki 320°. Skaitymo reikšmė ant nonija yra 2". Matuojant kampus gautas rodmuo matuojamas naudojant skalę ir nonerį (215 pav.) taip: nulinis nonijaus eiga rodo laipsnių skaičių, o nonerio eiga, sutampanti su bazinės skalės potėpis, rodomas 215 pav., 11-asis brūkšnys sutampa su bazinės skalės eiga, o tai reiškia, kad šiuo atveju kampas yra 76°22".

Fig. 216 pavaizduoti universalaus transporterio matavimo dalių deriniai, leidžiantys išmatuoti įvairius kampus nuo 0 iki 320°.

Tikslesniam kūgių tyrimui masinėje gamyboje naudojami specialūs matuokliai. Fig. 217, ir parodytas kūginis įvorės matuoklis, skirtas išoriniams kūgiams patikrinti, o Fig. 217, b-kūginis kamščio matuoklis kūginėms angoms patikrinti.

Ant matuoklių galuose padaromos briaunos 1 ir 2 arba uždedamos žymos 3, kurios padeda nustatyti tikrinamų paviršių tikslumą.

Ant. ryžių. 218 pateiktas kūginės skylės patikrinimo kamščio matuokliu pavyzdys.

Norint patikrinti skylę, į angą lengvai spaudžiamas įkišamas matuoklis (žr. 218 pav.), kurio atbraila 1 tam tikru atstumu nuo galo 2 ir dvi žymos 3, ir patikrinama, ar matuoklis siūbuoja. skylė. Joks svyravimas rodo, kad kūgio kampas yra teisingas. Įsitikinę, kad kūgio kampas yra teisingas, patikrinkite jo dydį. Norėdami tai padaryti, stebėkite, iki kurio taško matuoklis pateks į bandomą dalį. Jei detalės kūgio galas sutampa su kairiuoju atbrailos 1 galu arba su vienu iš žymių 3 arba yra tarp ženklų, tada kūgio matmenys yra teisingi. Bet gali atsitikti taip, kad matuoklis taip giliai įsiskverbia į dalį, kad abu ženklai 3 patenka į skylę arba iš jos išeina abu atbrailos 1 galai. Tai rodo, kad skylės skersmuo yra didesnis nei nurodyta. Jei, priešingai, abi rizikos yra už skylės ribų arba nė vienas atbrailos galas neišeina iš jos, tada skylės skersmuo yra mažesnis nei reikalaujamas.

Norėdami tiksliai patikrinti kūgį, naudokite šį metodą. Matuojamos dalies arba matuoklio paviršiuje kreida arba pieštuku nubrėžkite dvi ar tris linijas išilgai kūgio generatoriaus, tada įkiškite arba uždėkite matuoklį ant dalies ir pasukite dalį posūkio. Jei linijos ištrinamos netolygiai, tai reiškia, kad detalės kūgis nėra tiksliai apdorotas ir jį reikia taisyti. Linijų ištrynimas matuoklio galuose rodo neteisingą nusmailėjimą; ištrynus linijas vidurinėje kalibro dalyje, matyti, kad kūgis turi nedidelį įdubimą, kuris dažniausiai atsiranda dėl netikslios pjaustytuvo galo padėties išilgai centrų aukščio. Vietoj kreidos linijų galite padengti ploną specialių dažų (mėlynų) sluoksnį visą kūginį detalės arba matuoklio paviršių. Šis metodas suteikia didesnį matavimo tikslumą.

10. Kūginių paviršių apdirbimo defektai ir jų prevencijos priemonės

Apdorojant kūginius paviršius, be minėtų cilindrinių paviršių defektų tipų, galimi ir šie defektų tipai:
1) neteisingas smailėjimas;
2) kūgio matmenų nuokrypiai;
3) pagrindų skersmenų nuokrypiai su teisingu kūgiu;
4) kūginio paviršiaus generatrix netiesumas.

1. Neteisingas kūgiškumas daugiausia susijęs su netiksliu galūnės korpuso nesutapimu, netiksliai pasukta viršutinė apkabos dalis, neteisingai sumontuota kūginė liniuotė, neteisingas galandimas arba plataus pjoviklio montavimas. Todėl prieš pradedant apdorojimą tiksliai nustatant galinės dalies korpusą, viršutinę apkabos dalį arba kūginę liniuotę, galima išvengti defektų. Šio tipo defektas gali būti ištaisytas tik tuo atveju, jei paklaida per visą kūgio ilgį nukreipiama į detalės korpusą, tai yra, visi įvorės skersmenys yra mažesni, o kūginio strypo - didesni nei reikalaujama.

2. Netinkamas kūgio dydis tinkamu kampu, t. y. netinkamas skersmenų dydis per visą kūgio ilgį, jei pašalinama nepakankamai arba per daug medžiagos. Defektų galima išvengti tik kruopščiai nustatant pjovimo gylį išilgai ratuko apdailos važiavimuose. Jei nebuvo nufilmuota pakankamai medžiagos, defektą ištaisysime.

3. Gali pasirodyti, kad esant teisingam kūgio kūgio ir tikslių vieno kūgio galo matmenų, antrojo galo skersmuo yra neteisingas. Vienintelė priežastis – reikalingo visos kūginės detalės dalies ilgio nesilaikymas. Defektą ištaisysime, jei dalis per ilga. Norint išvengti tokio tipo defektų, prieš apdorojant kūgį būtina atidžiai patikrinti jo ilgį.

4. Apdorojamo kūgio generatoriaus netiesumas gaunamas, kai pjaustytuvas įrengiamas aukščiau (219 pav., b) arba žemiau (219 pav., c) centro (šiuose paveiksluose, siekiant didesnio aiškumo, iškraipymai kūgio generatrix rodomi labai perdėta forma). Taigi tokio tipo defektas yra neatidaus tekintojo darbo rezultatas.

Kontroliniai klausimai 1. Kokiais būdais tekinimo staklėmis galima apdirbti kūginius paviršius?
2. Kokiais atvejais rekomenduojama pasukti viršutinę apkabos dalį?
3. Kaip apskaičiuojamas viršutinės atramos dalies sukimosi kampas kūgiui pasukti?
4. Kaip patikrinti, ar suporto viršus pasuktas teisingai?
5. Kaip patikrinti galinės kojos korpuso poslinkį?. Kaip apskaičiuoti poslinkio dydį?
6. Kokie yra pagrindiniai kūgio liniuotės elementai? Kaip šiai daliai nustatyti kūginę liniuotę?
7. Universaliame transporteryje nustatykite šiuos kampus: 50°25"; 45°50"; 75°35".
8. Kokie įrankiai naudojami kūginiams paviršiams matuoti?
9. Kodėl ant kūginių gabaritų yra atbrailos ar rizikos ir kaip jas naudoti?
10. Išvardykite defektų tipus apdorojant kūginius paviršius. Kaip jų išvengti?