Kaip rasti skaičių mazgą ir mazgą. Euklido algoritmas – didžiausio bendro daliklio radimas. Veiksmai, jei reikia nustatyti GCD, jei nurodytos daugiau nei dvi reikšmės

Vadinamas didžiausias natūralusis skaičius, iš kurio skaičiai a ir b dalijami be liekanos didžiausias bendras daliklisšiuos skaičius. Pažymėkite GCD(a, b).

Apsvarstykite galimybę rasti GCD, naudodamiesi dviejų natūraliųjų skaičių 18 ir 60 pavyzdžiu:

324 , 111 Ir 432

Išskaidykime skaičius į pirminius veiksnius:

324 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3

111 = 3×37

432 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3

Išbraukę iš pirmojo skaičiaus, kurio faktoriai nėra antrame ir trečiame skaičiais, gauname:

2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 = 3

Dėl to GCD ( 324 , 111 , 432 )=3

GCD paieška naudojant Euklido algoritmą

Antrasis būdas rasti didžiausią bendrą daliklį yra naudoti Euklido algoritmas. Euklido algoritmas yra efektyviausias būdas rasti GCD, naudojant jį reikia nuolat rasti dalijamųjų skaičių likutį ir taikyti pasikartojimo formulė.

Pasikartojimo formulė GCD, GCD(a, b)=GCD(b, a mod b), kur a mod b yra a liekana, padalyta iš b.

Euklido algoritmas

Pavyzdys Raskite didžiausią bendrąjį skaičių daliklį 7920 Ir 594

Raskime GCD( 7920 , 594 ) naudodamiesi euklido algoritmu, skaičiuotuvu apskaičiuosime dalybos likutį.

• 7920 mod 594 = 7920 - 13 × 594 = 198
• 594 mod 198 = 594 – 3 × 198 = 0

Dėl to gauname GCD ( 7920 , 594 ) = 198

Mažiausias bendras kartotinis

Norint rasti bendrą vardiklį sudėjus ir atimant trupmenas su skirtingais vardikliais, reikia žinoti ir mokėti skaičiuoti mažiausias bendras kartotinis(NOK).

Skaičiaus „a“ kartotinis yra skaičius, kuris pats dalijasi iš skaičiaus „a“ be liekanos.

Skaičiai, kurie yra 8 kartotiniai (tai yra, šie skaičiai dalijasi iš 8 be liekanos): tai skaičiai 16, 24, 32...

9 kartotiniai: 18, 27, 36, 45…

Tam tikro skaičiaus a kartotinių yra be galo daug, priešingai nei to paties skaičiaus dalikliai. Yra ribotas daliklių skaičius.

Bendrasis dviejų natūraliųjų skaičių kartotinis yra skaičius, kuris dalijasi iš abiejų šių skaičių..

Mažiausias bendras kartotinis Dviejų ar daugiau natūraliųjų skaičių (LCM) yra mažiausias natūralusis skaičius, kuris pats dalijasi iš kiekvieno iš šių skaičių.

Kaip rasti NOC

LCM galima rasti ir parašyti dviem būdais.

Pirmasis būdas rasti LOC

Šis metodas dažniausiai naudojamas mažiems skaičiams.

1. Kiekvieno skaičiaus kartotinius užrašome eilutėje, kol randame vienodą abiejų skaičių kartotinį.
2. Skaičiaus „a“ kartotinis žymimas didžiąja raide „K“.

Pavyzdys. Raskite LCM 6 ir 8.

Antrasis būdas rasti LOC

Šį metodą patogu naudoti norint rasti trijų ar daugiau skaičių LCM.

Identiškų veiksnių skaičius skaičių skaidyme gali būti skirtingas.

Mažiausiojo kartotinio (LCM) radimą taip pat galite formalizuoti taip. Raskime LOC (12, 16, 24).

24 = 2 2 2 3

Kaip matome iš skaičių skilimo, visi 12 faktoriai yra įtraukti į 24 skaidymą (didžiausias iš skaičių), todėl prie LCM pridedame tik vieną 2 iš skaičiaus 16 skaidymo.

LCM (12, 16, 24) = 2 2 2 3 2 = 48

Atsakymas: LCM (12, 16, 24) = 48

Ypatingi NPL radimo atvejai

Pavyzdžiui, LCM (60, 15) = 60
Kadangi pirminiai skaičiai neturi bendrų pirminių koeficientų, jų mažiausias bendras kartotinis yra lygus šių skaičių sandaugai.

Mūsų svetainėje taip pat galite naudoti specialų skaičiuotuvą, kad internete rastumėte rečiausią kartotinį ir patikrintumėte savo skaičiavimus.

Jei natūralusis skaičius dalijasi tik iš 1 ir savęs, tada jis vadinamas pirminiu.

Bet kuris natūralusis skaičius visada dalijasi iš 1 ir savęs.

Skaičius 2 yra mažiausias pirminis skaičius. Tai vienintelis lyginis pirminis skaičius, likusieji pirminiai skaičiai yra nelyginiai.

Yra daug pirminių skaičių, o pirmasis iš jų yra skaičius 2. Tačiau paskutinio pirminio skaičiaus nėra. Skiltyje „Studijuoti“ galite atsisiųsti pirminių skaičių lentelę iki 997.

Tačiau daugelis natūraliųjų skaičių dalijasi ir iš kitų natūraliųjų skaičių.

• skaičius 12 dalijasi iš 1, iš 2, iš 3, iš 4, iš 6, iš 12;
• Skaičius 36 dalijasi iš 1, iš 2, iš 3, iš 4, iš 6, iš 12, iš 18, iš 36.

Skaičiai, iš kurių skaičius dalijasi iš visumos (12 atveju tai yra 1, 2, 3, 4, 6 ir 12), vadinami skaičiaus dalikliais.

Natūralaus skaičiaus a daliklis yra natūralusis skaičius, dalijantis duotą skaičių „a“ be liekanos.

Natūralusis skaičius, turintis daugiau nei du daliklius, vadinamas sudėtiniu.

Atkreipkite dėmesį, kad skaičiai 12 ir 36 turi bendrų faktorių. Šie skaičiai yra: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Didžiausias šių skaičių daliklis yra 12.

Dviejų nurodytų skaičių „a“ ir „b“ bendras daliklis yra skaičius, iš kurio abu pateikti skaičiai „a“ ir „b“ dalijami be liekanos.

Didžiausias bendras daliklis(GCD) iš dviejų nurodytų skaičių „a“ ir „b“ yra didžiausias skaičius, iš kurio abu skaičiai „a“ ir „b“ dalijasi be liekanos.

Trumpai tariant, didžiausias bendras skaičių „a“ ir „b“ daliklis parašytas taip::

Pavyzdys: gcd (12; 36) = 12.

Skaičių dalikliai sprendinių žymėjime žymimi didžiąja raide „D“.

Skaičiai 7 ir 9 turi tik vieną bendrą daliklį – skaičių 1. Tokie skaičiai vadinami pirminiai skaičiai.

Kopirminiai skaičiai- tai yra natūralūs skaičiai, turintys tik vieną bendrą daliklį - skaičių 1. Jų gcd yra 1.

Kaip rasti didžiausią bendrą daliklį

Norėdami rasti dviejų ar daugiau natūraliųjų skaičių gcd, jums reikia:

• išskaidyti skaičių daliklius į pirminius veiksnius;

Skaičiavimus patogu rašyti naudojant vertikalią juostą. Į kairę nuo eilutės pirmiausia užrašome dividendą, dešinėje - daliklį. Toliau kairiajame stulpelyje užrašome koeficientų reikšmes.

Iš karto paaiškinkime tai pavyzdžiu. Suskaičiuokime skaičius 28 ir 64 į pirminius koeficientus.

Abiejuose skaičiuose pabrėžiame tuos pačius pirminius veiksnius.
28 = 2 2 7

64 = 2 2 2 2 2 2
Raskite identiškų pirminių veiksnių sandaugą ir užrašykite atsakymą;
GCD (28; 64) = 2 2 = 4

Atsakymas: GCD (28; 64) = 4

GCD vietą galite formalizuoti dviem būdais: stulpelyje (kaip padaryta aukščiau) arba „eilėje“.

Pirmasis būdas rašyti GCD

Raskite gcd 48 ir 36.

GCD (48; 36) = 2 2 3 = 12

Antrasis būdas rašyti gcd

Dabar eilute užrašykime GCD paieškos sprendimą. Raskite gcd 10 ir 15.

Mūsų informacinėje svetainėje taip pat galite naudoti Greatest Common Divisor internetinį pagalbininką, kad patikrintumėte savo skaičiavimus.

Mažiausio bendro kartotinio radimas, LCM radimo metodai, pavyzdžiai.

Toliau pateikta medžiaga yra logiškas teorijos tęsinys iš straipsnio pavadinimu LCM – mažiausias bendras kartotinis, apibrėžimas, pavyzdžiai, ryšys tarp LCM ir GCD. Čia mes kalbėsime apie rasti mažiausią bendrą kartotinį (LCM), o ypač daug dėmesio skirsime pavyzdžių sprendimui. Pirmiausia parodysime, kaip dviejų skaičių LCM apskaičiuojamas naudojant šių skaičių GCD. Toliau panagrinėsime, kaip rasti mažiausią bendrą kartotinį, įtraukdami skaičius į pirminius veiksnius. Po to mes sutelksime dėmesį į trijų ar daugiau skaičių LCM suradimą, taip pat atkreipsime dėmesį į neigiamų skaičių LCM apskaičiavimą.

Puslapio naršymas.

Mažiausių bendrųjų kelių (LCM) apskaičiavimas per GCD

Vienas iš būdų rasti mažiausią bendrą kartotinį yra pagrįstas LCM ir GCD ryšiu. Esamas ryšys tarp LCM ir GCD leidžia mums apskaičiuoti mažiausią bendrą dviejų teigiamų sveikųjų skaičių kartotinį per žinomą didžiausią bendrą daliklį. Atitinkama formulė yra LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). Pažvelkime į LCM suradimo pagal pateiktą formulę pavyzdžius.

Raskite mažiausią bendrą dviejų skaičių 126 ir 70 kartotinį.

Šiame pavyzdyje a=126 , b=70 . Naudokime ryšį tarp LCM ir GCD, išreikštą formule LCM(a, b)=a·b:GCD(a, b) . Tai yra, pirmiausia turime rasti didžiausią skaičių 70 ir 126 bendrąjį daliklį, po kurio galime apskaičiuoti šių skaičių LCM naudodami rašytinę formulę.

Raskime GCD(126, 70) naudodami Euklido algoritmą: 126=70·1+56, 70=56·1+14, 56=14·4, todėl GCD(126, 70)=14.

Dabar randame reikiamą mažiausią bendrąjį kartotinį: LCM(126, 70)=126·70:GCD(126,70)=126·70:14=630.

Kam lygus LCM(68, 34)?

Kadangi 68 dalijasi iš 34, tada GCD(68, 34)=34. Dabar apskaičiuojame mažiausią bendrąjį kartotinį: LCM(68, 34)=68·34:GCD(68,34)=68·34:34=68.

Atkreipkite dėmesį, kad ankstesnis pavyzdys atitinka šią taisyklę, kaip rasti teigiamų sveikųjų skaičių a ir b LCM: jei a dalijasi iš b, tada mažiausias bendras šių skaičių kartotinis yra a.

LCM nustatymas faktorinuojant skaičius į pirminius veiksnius

Kitas būdas rasti mažiausią bendrąjį kartotinį yra pagrįstas skaičių įtraukimu į pirminius veiksnius. Jei sudarysite sandaugą iš visų nurodytų skaičių pirminių koeficientų, o tada iš šios sandaugos išbrauksite visus bendruosius pirminius veiksnius, esančius duotųjų skaičių skaidyme, tada gauta sandauga bus lygi mažiausiam bendrajam duotųjų skaičių kartotiniui. .

Nurodyta LCM radimo taisyklė išplaukia iš lygybės LCM(a, b)=a·b:GCD(a, b) . Iš tikrųjų skaičių a ir b sandauga yra lygi visų veiksnių, dalyvaujančių skaičių a ir b plėtime, sandaugai. Savo ruožtu GCD(a, b) yra lygus visų pirminių faktorių, vienu metu esančių skaičių a ir b plėtiniuose, sandaugai (kaip aprašyta skyriuje GCD radimas naudojant skaičių išplėtimą į pirminius veiksnius).

Pateikime pavyzdį. Žinokime, kad 75=3·5·5 ir 210=2·3·5·7. Sudarykime sandaugą iš visų šių plėtimų faktorių: 2·3·3·5·5·5·7 . Dabar iš šio produkto neįtraukiame visų faktorių, esančių tiek išplečiant skaičių 75, tiek išplečiant skaičių 210 (šie faktoriai yra 3 ir 5), tada sandauga bus 2·3·5·5·7. . Šios sandaugos reikšmė lygi mažiausiam skaičių 75 ir 210 bendrajam kartotiniui, ty LCM(75, 210)= 2·3·5·5·7=1050.

Padalinkite skaičius 441 ir 700 į pirminius koeficientus ir raskite mažiausią bendrą šių skaičių kartotinį.

Sudėkime skaičius 441 ir 700 į pirminius koeficientus:

Gauname 441=3·3·7·7 ir 700=2·2·5·5·7.

Dabar sudarykime sandaugą iš visų veiksnių, susijusių su šių skaičių išplėtimu: 2·2·3·3·5·5·7·7·7. Išskirkime iš šio produkto visus veiksnius, kurie vienu metu yra abiejuose plėtiniuose (tokių yra tik vienas – tai skaičius 7): 2·2·3·3·5·5·7·7. Taigi LCM(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100 .

NOC(441; 700) = 44 100 .

Taisyklė, kaip rasti LCM naudojant skaičių faktorius į pirminius veiksnius, gali būti suformuluota šiek tiek kitaip. Jei trūkstamus iš skaičiaus b išplėtimo koeficientus pridėsime prie koeficientų iš skaičiaus a išplėtimo, tada gautos sandaugos reikšmė bus lygi mažiausiam skaičių a ir b bendrajam kartotiniui.

Pavyzdžiui, paimkime tuos pačius skaičius 75 ir 210, jų skaidymai į pirminius veiksnius yra tokie: 75=3·5·5 ir 210=2·3·5·7. Prie koeficientų 3, 5 ir 5 iš skaičiaus 75 išplėtimo pridedame trūkstamus koeficientus 2 ir 7 iš skaičiaus 210 išplėtimo, gauname sandaugą 2·3·5·5·7, kurios reikšmė yra lygus LCM(75, 210).

Raskite mažiausią bendrą skaičių 84 ir 648 kartotinį.

Pirmiausia gauname skaičių 84 ir 648 skaidymus į pirminius veiksnius. Jie atrodo taip: 84=2·2·3·7 ir 648=2·2·2·3·3·3·3. Prie faktorių 2, 2, 3 ir 7 iš skaičiaus 84 išplėtimo pridedame trūkstamus koeficientus 2, 3, 3 ir 3 iš skaičiaus 648 išplėtimo, gauname sandaugą 2 2 2 3 3 3 3 7, kuri lygi 4 536 . Taigi, norimas mažiausias bendras 84 ir 648 kartotinis yra 4 536.

Raskite trijų ar daugiau skaičių LCM

Mažiausią bendrą trijų ar daugiau skaičių kartotinį galima rasti nuosekliai surandant dviejų skaičių LCM. Prisiminkime atitinkamą teoremą, kuri leidžia rasti trijų ar daugiau skaičių LCM.

Teigiami sveikieji skaičiai a 1 , a 2 , …, a k, šių skaičių mažiausias bendras kartotinis m k randamas nuosekliai apskaičiuojant m 2 = LCM(a 1 , a 2) , m 3 = LCM(m 2 , a 3) , … , m k = LCM(m k−1 , a k) .

Panagrinėkime šios teoremos taikymą, naudodami pavyzdį, kaip rasti mažiausią bendrą keturių skaičių kartotinį.

Raskite keturių skaičių 140, 9, 54 ir 250 LCM.

Pirmiausia randame m 2 = LCM(a 1 , a 2) = LCM(140, 9) . Norėdami tai padaryti, naudodami Euklido algoritmą, nustatome GCD(140, 9), turime 140=9·15+5, 9=5·1+4, 5=4·1+1, 4=1·4, todėl GCD(140, 9)=1, iš kurio LCM(140,9)=140·9:GCD(140,9)=140·9:1=1,260. Tai yra, m 2 = 1 260.

Dabar randame m 3 = LCM(m 2 , a 3) = LCM(1 260, 54). Apskaičiuokime jį per GCD(1 260, 54), kurį taip pat nustatome naudodami Euklido algoritmą: 1 260=54·23+18, 54=18·3. Tada gcd(1,260,54)=18, iš kurio gcd(1260,54)=1260·54:gcd(1260,54)=1260·54:18=3780. Tai yra, m 3 = 3 780.

Belieka rasti m 4 = LCM(m 3 , a 4) = LCM(3 780, 250). Tam naudojant Euklido algoritmą randame GCD(3,780, 250): 3,780=250·15+30, 250=30·8+10, 30=10·3. Todėl GCD(3,780,250)=10, iš kurio GCD(3,780, 250)= 3,780·250:GCD(3,780, 250)= 3,780·250:10=94,500. Tai yra, m 4 = 94 500.

Taigi mažiausias bendras pradinių keturių skaičių kartotinis yra 94 500.

LCM(140; 9; 54; 250) = 94 500 .

Daugeliu atvejų patogu rasti mažiausią bendrąjį trijų ar daugiau skaičių kartotinį, naudojant nurodytų skaičių pirminius faktorius. Tokiu atveju turėtumėte laikytis šios taisyklės. Mažiausias kelių skaičių bendras kartotinis yra lygus sandaugai, kuri sudaryta taip: trūkstami veiksniai iš antrojo skaičiaus išplėtimo pridedami prie visų faktorių iš pirmojo skaičiaus išplėtimo, trūkstami veiksniai iš plėtimosi iš antrojo skaičiaus. prie gautų faktorių pridedamas trečiasis skaičius ir pan.

Pažvelkime į mažiausio bendro kartotinio radimo pavyzdį naudojant pirminį faktorių.

Raskite mažiausią bendrą penkių skaičių 84, 6, 48, 7, 143 kartotinį.

Pirmiausia gauname šių skaičių skaidymus į pirminius veiksnius: 84=2·2·3·7, 6=2·3, 48=2·2·2·2·3, 7 (7 yra pirminis skaičius, jis sutampa su jo išskaidymu į pirminius veiksnius) ir 143=11·13.

Norėdami rasti šių skaičių LCM, prie pirmojo skaičiaus 84 koeficientų (jie yra 2, 2, 3 ir 7), turite pridėti trūkstamus veiksnius iš antrojo skaičiaus 6 išplėtimo. Skaičiaus 6 skaidyme nėra trūkstamų faktorių, nes ir 2, ir 3 jau yra pirmojo skaičiaus 84 skaidyme. Toliau prie faktorių 2, 2, 3 ir 7 pridedame trūkstamus faktorius 2 ir 2 iš trečiojo skaičiaus 48 išplėtimo, gauname faktorių 2, 2, 2, 2, 3 ir 7 aibę. Kitame veiksme prie šio rinkinio daugiklių pridėti nereikės, nes jame jau yra 7. Galiausiai prie koeficientų 2, 2, 2, 2, 3 ir 7 pridedame trūkstamus koeficientus 11 ir 13 iš skaičiaus 143 išplėtimo. Gauname sandaugą 2·2·2·2·3·7·11·13, kuri yra lygi 48 048.

Todėl LCM(84, 6, 48, 7, 143)=48 048.

LCM(84; 6; 48; 7; 143) = 48 048 .

Raskite mažiausią bendrą neigiamų skaičių kartotinį

Kartais yra užduočių, kuriose reikia rasti mažiausią bendrą skaičių kartotinį, tarp kurių vienas, keli arba visi skaičiai yra neigiami. Tokiais atvejais visi neigiami skaičiai turi būti pakeisti priešingais skaičiais, o tada reikia rasti teigiamų skaičių LCM. Taip galima rasti neigiamų skaičių LCM. Pavyzdžiui, LCM(54, −34) = LCM(54, 34) ir LCM(−622, −46, −54, −888) = LCM(622, 46, 54, 888) .

Tai galime padaryti, nes a kartotinių aibė yra tokia pati kaip −a kartotinių aibė (a ir −a yra priešingi skaičiai). Iš tiesų, tegul b yra koks nors a kartotinis, tada b dalijasi iš a, o dalijimosi sąvoka teigia, kad egzistuoja toks sveikasis skaičius q, kad b=a·q. Tačiau bus teisinga ir lygybė b=(−a)·(−q), kuri dėl tos pačios dalijimosi sampratos reiškia, kad b dalijasi iš −a, tai yra, b yra −a kartotinis. Taip pat yra atvirkščiai: jei b yra koks nors −a kartotinis, tai b taip pat yra a kartotinis.

Raskite mažiausią bendrą neigiamų skaičių –145 ir –45 kartotinį.

Neigiamus skaičius −145 ir −45 pakeiskime jiems priešingais skaičiais 145 ir 45. Turime LCM(−145, −45) = LCM(145, 45) . Nustačius GCD(145, 45)=5 (pavyzdžiui, naudojant euklido algoritmą), apskaičiuojame GCM(145, 45)=145·45:GCD(145, 45)= 145·45:5=1 305. Taigi mažiausias bendras neigiamų sveikųjų skaičių –145 ir –45 kartotinis yra 1 305.

www.cleverstudents.ru

Mes ir toliau studijuojame skyrių. Šioje pamokoje apžvelgsime tokias sąvokas kaip GCD Ir NOC.

GCD yra didžiausias bendras daliklis.

NOC yra mažiausias bendras kartotinis.

Tema gana nuobodi, bet būtinai reikia ją suprasti. Nesuprasdami šios temos, negalėsite efektyviai dirbti su trupmenomis, kurios yra tikra kliūtis matematikoje.

Didžiausias bendras daliklis

Apibrėžimas. Didžiausias bendras skaičių daliklis a Ir b a Ir b padalintas be liekanos.

Norėdami gerai suprasti šį apibrėžimą, pakeiskime kintamuosius a Ir b bet kokie du skaičiai, pavyzdžiui, vietoj kintamojo a Pakeiskime skaičių 12, o vietoj kintamojo b skaičius 9. Dabar pabandykime perskaityti šį apibrėžimą:

Didžiausias bendras skaičių daliklis 12 Ir 9 vadinamas didžiausiu skaičiumi, kuriuo 12 Ir 9 padalintas be liekanos.

Iš apibrėžimo aišku, kad kalbame apie bendrą skaičių 12 ir 9 daliklį, o šis daliklis yra didžiausias iš visų esamų daliklių. Reikia rasti šį didžiausią bendrą daliklį (GCD).

Norint rasti didžiausią bendrą dviejų skaičių daliklį, naudojami trys metodai. Pirmasis metodas yra gana daug darbo reikalaujantis, tačiau leidžia aiškiai suprasti temos esmę ir pajusti visą jos prasmę.

Antrasis ir trečiasis metodai yra gana paprasti ir leidžia greitai rasti GCD. Išnagrinėsime visus tris būdus. O kurį iš jų naudoti praktikoje, galite pasirinkti.

Pirmasis būdas – surasti visus galimus dviejų skaičių daliklius ir pasirinkti didžiausią. Pažvelkime į šį metodą naudodami šį pavyzdį: Raskite didžiausią skaičių 12 ir 9 bendrąjį daliklį.

Pirmiausia rasime visus galimus skaičiaus 12 daliklius. Norėdami tai padaryti, 12 padalinsime iš visų daliklių diapazone nuo 1 iki 12. Jei daliklis leidžia padalyti 12 be liekanos, tai paryškinsime mėlynai ir skliausteliuose pateikite atitinkamą paaiškinimą.

12: 1 = 12
(12 yra padalintas iš 1 be liekanos, o tai reiškia, kad 1 yra skaičiaus 12 daliklis)

12: 2 = 6
(12 yra padalintas iš 2 be liekanos, o tai reiškia, kad 2 yra skaičiaus 12 daliklis)

12: 3 = 4
(12 yra padalintas iš 3 be liekanos, o tai reiškia, kad 3 yra skaičiaus 12 daliklis)

12: 4 = 3
(12 yra padalintas iš 4 be liekanos, o tai reiškia, kad 4 yra skaičiaus 12 daliklis)

12: 5 = 2 (liko 2)
(12 nėra padalintas iš 5 be liekanos, o tai reiškia, kad 5 nėra skaičiaus 12 daliklis)

12: 6 = 2
(12 yra padalintas iš 6 be liekanos, o tai reiškia, kad 6 yra skaičiaus 12 daliklis)

12: 7 = 1 (likę 5)
(12 nėra padalintas iš 7 be liekanos, o tai reiškia, kad 7 nėra skaičiaus 12 daliklis)

12: 8 = 1 (likę 4)
(12 nėra padalintas iš 8 be liekanos, o tai reiškia, kad 8 nėra 12 daliklis)

12: 9 = 1 (3 likučiai)
(12 nėra padalintas iš 9 be liekanos, o tai reiškia, kad 9 nėra skaičiaus 12 daliklis)

12:10 = 1 (2 likučiai)
(12 nėra padalintas iš 10 be liekanos, o tai reiškia, kad 10 nėra skaičiaus 12 daliklis)

12: 11 = 1 (1 likutis)
(12 nėra padalintas iš 11 be liekanos, o tai reiškia, kad 11 nėra 12 daliklis)

12: 12 = 1
(12 yra padalintas iš 12 be liekanos, o tai reiškia, kad 12 yra skaičiaus 12 daliklis)

Dabar suraskime skaičiaus 9 daliklius. Norėdami tai padaryti, patikrinkite visus daliklius nuo 1 iki 9

9: 1 = 9
(9 dalijamas iš 1 be liekanos, o tai reiškia, kad 1 yra skaičiaus 9 daliklis)

9: 2 = 4 (1 likutis)
(9 nėra padalintas iš 2 be liekanos, o tai reiškia, kad 2 nėra skaičiaus 9 daliklis)

9: 3 = 3
(9 dalijamas iš 3 be liekanos, o tai reiškia, kad 3 yra skaičiaus 9 daliklis)

9: 4 = 2 (1 likutis)
(9 nėra padalintas iš 4 be liekanos, o tai reiškia, kad 4 nėra skaičiaus 9 daliklis)

9: 5 = 1 (likę 4)
(9 nėra padalintas iš 5 be liekanos, o tai reiškia, kad 5 nėra skaičiaus 9 daliklis)

9: 6 = 1 (likę 3)
(9 nėra padalintas iš 6 be liekanos, o tai reiškia, kad 6 nėra skaičiaus 9 daliklis)

9: 7 = 1 (2 likučiai)
(9 nėra padalintas iš 7 be liekanos, o tai reiškia, kad 7 nėra skaičiaus 9 daliklis)

9: 8 = 1 (1 likutis)
(9 nėra padalintas iš 8 be liekanos, o tai reiškia, kad 8 nėra skaičiaus 9 daliklis)

9: 9 = 1
(9 yra padalintas iš 9 be liekanos, o tai reiškia, kad 9 yra skaičiaus 9 daliklis)

Dabar užrašykite abiejų skaičių daliklius. Mėlyna spalva pažymėti skaičiai yra dalikliai. Užsirašykime juos:

Išrašę daliklius, galite iš karto nustatyti, kuris yra didžiausias ir labiausiai paplitęs.

Pagal apibrėžimą didžiausias bendras skaičių 12 ir 9 daliklis yra skaičius, dalijantis 12 ir 9 be liekanos. Didžiausias ir bendras skaičių 12 ir 9 daliklis yra skaičius 3

Ir skaičius 12, ir skaičius 9 dalijasi iš 3 be liekanos:

Taigi gcd (12 ir 9) = 3

Antrasis būdas rasti GCD

Dabar pažvelkime į antrąjį metodą, kaip rasti didžiausią bendrą daliklį. Šio metodo esmė – išskaidyti abu skaičius į pirminius veiksnius ir padauginti bendruosius.

1 pavyzdys. Raskite skaičių 24 ir 18 gcd

Pirmiausia abu skaičius suskaidykime į pirminius veiksnius:

Dabar padauginkime jų bendrus veiksnius. Siekiant išvengti painiavos, galima pabrėžti bendrus veiksnius.

Mes žiūrime į skaičiaus 24 išplėtimą. Jo pirmasis koeficientas yra 2. To paties koeficiento ieškome skaičiaus 18 išplėtime ir matome, kad jis taip pat yra. Mes pabrėžiame abu:

Dar kartą žiūrime į skaičiaus 24 išplėtimą. Antrasis jo veiksnys taip pat yra 2. To paties koeficiento ieškome skaičiaus 18 išplėtime ir matome, kad antrą kartą jo nebėra. Tada nieko neakcentuojame.

Kitų dviejų skaičiaus 24 išplėtimo taip pat nėra išplečiant skaičių 18.

Pereikime prie paskutinio skaičiaus 24 išplėtimo veiksnio. Tai koeficientas 3. Ieškome to paties koeficiento skaičiaus 18 plėtime ir matome, kad jis taip pat yra. Mes pabrėžiame abu tris:

Taigi, bendri skaičių 24 ir 18 faktoriai yra faktoriai 2 ir 3. Norint gauti GCD, šiuos veiksnius reikia padauginti:

Taigi gcd (24 ir 18) = 6

Trečias būdas rasti GCD

Dabar pažvelkime į trečiąjį būdą, kaip rasti didžiausią bendrą daliklį. Šio metodo esmė ta, kad didžiausio bendro daliklio skaičiai yra išskaidomi į pirminius veiksnius. Tada nuo pirmojo skaičiaus išplėtimo perbraukiami veiksniai, kurie neįtraukti į antrojo skaičiaus išplėtimą. Likę pirmojo išplėtimo skaičiai padauginami ir gaunamas GCD.

Pavyzdžiui, naudodamiesi šiuo metodu suraskime skaičių 28 ir 16 GCD. Pirmiausia šiuos skaičius išskaidome į pirminius veiksnius:

Gavome du išplėtimus: ir

Dabar iš pirmojo skaičiaus skaidymo ištrinsime veiksnius, kurie neįtraukti į antrojo skaičiaus skaidymą. Antrojo numerio išplėtimas neapima septynių. Išbraukime jį iš pirmojo išplėtimo:

Dabar padauginame likusius veiksnius ir gauname GCD:

Skaičius 4 yra didžiausias bendras skaičių 28 ir 16 daliklis. Abu šie skaičiai dalijasi iš 4 be liekanos:

2 pavyzdys. Raskite skaičių 100 ir 40 gcd

Skaičiaus 100 faktorius

Skaičiaus faktorius 40

Gavome du išplėtimus:

Dabar iš pirmojo skaičiaus skaidymo ištrinsime veiksnius, kurie neįtraukti į antrojo skaičiaus skaidymą. Antrojo skaičiaus išplėtimas neapima vieno penketuko (yra tik vienas penketas). Išbraukime jį iš pirmosios išplėtimo

Padauginkime likusius skaičius:

Gavome atsakymą 20. Tai reiškia, kad skaičius 20 yra didžiausias bendras skaičių 100 ir 40 daliklis. Šie du skaičiai dalijasi iš 20 be liekanos:

GCD (100 ir 40) = 20.

3 pavyzdys. Raskite skaičių 72 ir 128 gcd

Faktoringas skaičius 72

Faktoringas skaičius 128

2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2

Dabar iš pirmojo skaičiaus skaidymo ištrinsime veiksnius, kurie neįtraukti į antrojo skaičiaus skaidymą. Antrojo skaičiaus išplėtimas neapima dviejų trynukų (jų visai nėra). Išbraukime juos iš pirmojo išplėtimo:

Gavome atsakymą 8. Tai reiškia, kad skaičius 8 yra didžiausias bendras skaičių 72 ir 128 daliklis. Šie du skaičiai dalijasi iš 8 be liekanos:

GCD (72 ir 128) = 8

Kelių skaičių GCD radimas

Didžiausią bendrą daliklį galima rasti keliems skaičiams, o ne tik dviems. Norėdami tai padaryti, didžiausio bendrojo daliklio skaičiai išskaidomi į pirminius veiksnius, tada randama šių skaičių bendrųjų pirminių koeficientų sandauga.

Pavyzdžiui, suraskime GCD skaičiams 18, 24 ir 36

Išskaidykime skaičių 18

Išskaidykime skaičių 24

Išskaidykime skaičių 36

Gavome tris išplėtimus:

Dabar pabrėžkime ir pabrėžkime bendrus šių skaičių veiksnius. Bendri veiksniai turi būti rodomi visuose trijuose skaičiuose:

Matome, kad bendri skaičių 18, 24 ir 36 faktoriai yra faktoriai 2 ir 3. Padauginus šiuos veiksnius, gauname ieškomą gcd:

Gavome atsakymą 6. Tai reiškia, kad skaičius 6 yra didžiausias bendras skaičių 18, 24 ir 36 daliklis. Šie trys skaičiai dalijasi iš 6 be liekanos:

GCD (18, 24 ir 36) = 6

2 pavyzdys. Suraskite 12, 24, 36 ir 42 skaičių GCD

Padalinkime kiekvieną skaičių į pirminius veiksnius. Tada randame šių skaičių bendrųjų veiksnių sandaugą.

Paskaičiuokite skaičių 12

Išskaidykime skaičių 42

Gavome keturis išplėtimus:

Dabar pabrėžkime ir pabrėžkime bendrus šių skaičių veiksnius. Bendri veiksniai turi būti rodomi visuose keturiuose skaičiuose:

Matome, kad bendri skaičių 12, 24, 36 ir 42 koeficientai yra koeficientai 2 ir 3. Padauginus šiuos veiksnius kartu, gauname ieškomą gcd:

Gavome atsakymą 6. Tai reiškia, kad skaičius 6 yra didžiausias bendras skaičių 12, 24, 36 ir 42 daliklis. Šie skaičiai dalijasi iš 6 be liekanos:

GCD (12, 24, 36 ir 42) = 6

Iš ankstesnės pamokos žinome, kad jei skaičius padalytas iš kito be liekanos, jis vadinamas šio skaičiaus kartotiniu.

Pasirodo, keli skaičiai gali turėti bendrą kartotinį. O dabar mus domina dviejų skaičių kartotinis, kuris turėtų būti kuo mažesnis.

Apibrėžimas. Mažiausias skaičių kartotinis (LCM). a Ir b- a Ir b a ir numeris b.

Apibrėžime yra du kintamieji a Ir b. Vietoj šių kintamųjų pakeiskime bet kuriuos du skaičius. Pavyzdžiui, vietoj kintamojo a Pakeiskime skaičių 9, o vietoj kintamojo b Pakeiskime skaičių 12. Dabar pabandykime perskaityti apibrėžimą:

Mažiausias skaičių kartotinis (LCM). 9 Ir 12 - yra mažiausias skaičius, kuris yra kartotinis 9 Ir 12 . Kitaip tariant, tai yra toks mažas skaičius, kuris dalijasi iš skaičiaus be likučio 9 ir pagal skaičių 12 .

Iš apibrėžimo aišku, kad LCM yra mažiausias skaičius, kuris dalijasi iš 9 ir 12 be liekanos.

Norėdami rasti mažiausią bendrąjį kartotinį (LCM), galite naudoti du metodus. Pirmasis būdas yra tai, kad galite užrašyti pirmuosius dviejų skaičių kartotinius, o tada iš šių kartotinių pasirinkti skaičių, kuris bus bendras ir skaičiams, ir mažas. Taikykime šį metodą.

Visų pirma, suraskime pirmuosius skaičiaus 9 kartotinius. Norėdami rasti 9 kartotinius, turite padauginti šį devynis po vieną iš skaičių nuo 1 iki 9. Gauti atsakymai bus skaičiaus 9 kartotiniai. Taigi, Pradėkime. Kartinius paryškinsime raudonai:

Dabar randame skaičiaus 12 kartotinius. Norėdami tai padaryti, 12 padauginame po vieną iš visų skaičių nuo 1 iki 12.

LCM – mažiausias bendras kartotinis. Skaičius, kuris padalins visus pateiktus skaičius be liekanos.

Pavyzdžiui, jei pateikti skaičiai yra 2, 3, 5, tada LCM=2*3*5=30

Ir jei pateikti skaičiai yra 2,4,8, tai LCM =8

kas yra GCD?

GCD yra didžiausias bendras daliklis. Skaičius, kuriuo galima padalyti kiekvieną iš nurodytų skaičių nepaliekant likučio.

Logiška, kad jei pateikti skaičiai yra pirminiai, tada gcd yra lygus vienetui.

Ir jei pateikti skaičiai yra 2, 4, 8, tada GCD yra lygus 2.

Neapibūdinsime jo bendrais bruožais, o tiesiog parodysime sprendimą pavyzdžiu.

Duoti du skaičiai 126 ir 44. Raskite GCD.

Tada, jei mums duoti du formos skaičiai

Tada GCD apskaičiuojamas kaip

čia min yra mažiausia visų skaičiaus pn laipsnių reikšmė

ir NOC as

kur max yra didžiausia visų skaičiaus pn laipsnių reikšmė

Žvelgdami į aukščiau pateiktas formules, galite lengvai įrodyti, kad dviejų ar daugiau skaičių gcd bus lygus vienetui, kai bent vienoje nurodytų reikšmių poroje yra santykinai pirminių skaičių.

Todėl į klausimą, kam lygus gcd tokių skaičių kaip 3, 25412, 3251, 7841, 25654, 7, nesunku nieko neskaičiuojant.

skaičiai 3 ir 7 yra santykinai pirminiai, todėl GCD = 1

Pažiūrėkime į pavyzdį.

Duoti trys skaičiai 24654, 25473 ir 954

Kiekvienas skaičius išskaidomas į šiuos veiksnius

Arba, jei parašytume alternatyvia forma

Tai yra, šių trijų skaičių gcd yra lygus trims

Na, mes galime apskaičiuoti LCM panašiu būdu, ir jis yra lygus

Mūsų robotas padės apskaičiuoti bet kokių sveikųjų skaičių – dviejų, trijų ar dešimties – GCD ir LCM.

Pagrindiniai santraukos žodžiai:Sveikieji skaičiai. Aritmetinės operacijos su natūraliaisiais skaičiais. Natūraliųjų skaičių dalijamumas. Pirminiai ir sudėtiniai skaičiai. Natūralaus skaičiaus faktorinavimas į pirminius veiksnius. Dalijimosi ženklai iš 2, 3, 5, 9, 4, 25, 10, 11. Didžiausias bendras daliklis (GCD), taip pat mažiausias bendras kartotinis (LCD). Padalijimas su likusia dalimi.

Sveikieji skaičiai- tai yra skaičiai, naudojami objektams skaičiuoti - 1, 2, 3, 4 , ... Bet skaičius 0 nėra natūralu!

Natūraliųjų skaičių aibė žymima N. Įrašas "3 ∈ N" reiškia, kad skaičius trys priklauso natūraliųjų skaičių aibei, ir žymėjimas "0 ∉ N" reiškia, kad skaičius nulis nepriklauso šiai aibei.

Dešimtainė skaičių sistema- padėties radikso skaičių sistema 10 .

Aritmetinės operacijos su natūraliaisiais skaičiais

Natūraliųjų skaičių atveju apibrėžiami šie veiksmai: sudėjimas, atimtis, daugyba, padalijimas, eksponencija, šaknų ištraukimas. Pirmieji keturi veiksmai yra aritmetika.

Tada tegul a, b ir c yra natūralieji skaičiai

1. PAPILDYMAS. Terminas + terminas = suma

Papildymo savybės
1. Komunikacinis a + b = b + a.
2. Jungiamasis a + (b + c) = (a + b) + c.
3. a + 0= 0 + a = a.

2. ATIMTI. Minuend - Subtrahend = skirtumas

Atimties savybės
1. Sumos atėmimas iš skaičiaus a - (b + c) = a - b - c.
2. Skaičiaus atėmimas iš sumos (a + b) - c = a + (b - c); (a + b) - c = (a - c) + b.
3. a - 0 = a.
4. a - a = 0.

3. PAdauginimas. Daugiklis * Daugiklis = Produktas

Daugybos savybės
1. Komunikacinis a*b = b*a.
2. Jungiamasis a*(b*c) = (a*b)*c.
3. 1 * a = a * 1 = a.
4. 0 * a = a * 0 = 0.
5. Paskirstomasis (a + b) * c = ac + bc; (a - b) * c = ac - bc.

4. SKYRIUS. Dividendas: daliklis = koeficientas

Padalijimo savybės
1. a: 1 = a.
2. a: a = 1. Jūs negalite dalyti iš nulio!
3. 0: a = 0.

Procedūra

1. Pirmiausia skliausteliuose esantys veiksmai.
2. Tada daugyba, dalyba.
3. Ir tik pabaigoje sudėjimas ir atėmimas.

Natūraliųjų skaičių dalijamumas. Pirminiai ir sudėtiniai skaičiai.

Natūralaus skaičiaus daliklis A yra natūralusis skaičius, prie kurio A padalintas be liekanos. Skaičius 1 yra bet kurio natūraliojo skaičiaus daliklis.

Natūralusis skaičius vadinamas paprastas, jei tik turi du daliklis: vienas ir pats skaičius. Pavyzdžiui, skaičiai 2, 3, 11, 23 yra pirminiai skaičiai.

Vadinamas skaičius, turintis daugiau nei du daliklius sudėtinis. Pavyzdžiui, skaičiai 4, 8, 15, 27 yra sudėtiniai skaičiai.

Dalijamumo testas darbai keli skaičiai: jei bent vienas iš veiksnių dalijasi iš tam tikro skaičiaus, tai sandauga taip pat dalijasi iš šio skaičiaus. Darbas 24 15 77 padalytą 12 , nes šio skaičiaus daugiklis 24 padalytą 12 .

Sumos (skirtumo) dalijamumo testas skaičiai: jei kiekvienas narys dalijasi iš tam tikro skaičiaus, tada visa suma dalijama iš šio skaičiaus. Jeigu a: b Ir c: b, Tai (a + c) : b. Ir jeigu a: b, A c nedalomas iš b, Tai a+c nedalomas iš skaičiaus b.

Jeigu a: c Ir c: b, Tai a: b. Remdamiesi tuo, kad 72:24 ir 24:12, darome išvadą, kad 72:12.

Vadinamas skaičiaus vaizdavimas pirminių skaičių laipsnių sandauga skaičiuojant skaičių į pirminius veiksnius.

Pagrindinė aritmetikos teorema: bet koks natūralusis skaičius (išskyrus 1 ) arba yra paprastas, arba jis gali būti suskaidytas tik vienu būdu.

Skaičius skaidant į pirminius koeficientus, naudojami dalijimosi ženklai ir užrašas „stulpelis“ Šiuo atveju daliklis yra dešinėje nuo vertikalios linijos, o dalinys rašomas po dividendu.

Pavyzdžiui, užduotis: padalykite skaičių į pirminius veiksnius 330 . Sprendimas:

Dalyvavimo į 2, 5, 3, 9, 10, 4, 25 ir 11.

Yra dalijimosi į 6, 15, 45 t. t., tai yra į skaičius, kurių sandaugą galima koeficientuoti 2, 3, 5, 9 Ir 10 .

Didžiausias bendras daliklis

Vadinamas didžiausias natūralusis skaičius, iš kurio dalijasi kiekvienas iš dviejų pateiktų natūraliųjų skaičių didžiausias bendras daliklisšie skaičiai ( GCD). Pavyzdžiui, gcd (10; 25) = 5; ir GCD (18; 24) = 6; GCD (7; 21) = 1.

Jei dviejų natūraliųjų skaičių didžiausias bendras daliklis yra lygus 1 , tada šie skaičiai vadinami abipusiai pirminis.

Algoritmas ieškant didžiausio bendro daliklio(NOD)

GCD dažnai naudojamas problemoms spręsti. Pavyzdžiui, 155 sąsiuviniai ir 62 rašikliai buvo padalinti po lygiai vienos klasės mokiniams. Kiek mokinių yra šioje klasėje?

Sprendimas: Norint rasti šios klasės mokinių skaičių, reikia rasti didžiausią skaičių 155 ir 62 bendrąjį daliklį, nes sąsiuviniai ir rašikliai buvo padalinti po lygiai. 155 = 5 31; 62 = 2 31. GCD (155; 62) = 31.

Atsakymas: klasėje 31 mokinys.

Mažiausias bendras kartotinis

Natūralaus skaičiaus kartotiniai A yra natūralusis skaičius, kuris dalijasi iš A be pėdsakų. Pavyzdžiui, skaičius 8 turi kartotinius: 8, 16, 24, 32 , ... Bet kuris natūralusis skaičius turi be galo daug kartotinių.

Mažiausias bendras kartotinis(LCM) yra mažiausias natūralusis skaičius, kuris yra šių skaičių kartotinis.

Algoritmas ieškant mažiausiojo bendro kartotinio ( NOC):

LCM taip pat dažnai naudojamas problemoms spręsti. Pavyzdžiui, du dviratininkai vienu metu pajudėjo dviračių taku ta pačia kryptimi. Vienas apsuka ratą per 1 minutę, o kitas – per 45 sekundes. Po kiek mažiausiai minučių nuo judėjimo pradžios jie susitiks starte?

Sprendimas: Minučių skaičius, po kurio jie vėl susitiks starte, turi būti padalintas iš 1 minutė, taip pat toliau 45 s. Per 1 min = 60 s. Tai yra, reikia rasti LCM (45; 60).
45 = 3 2 5;
60 = 2 2 3 5.
NOC (45; 60)= 2 2 3 2 5 = 4 9 5 = 180 .
Rezultatas – dviratininkai starte susitiks per 180 s = 3 min.

Atsakymas: 3 min.

Padalijimas su likusia dalimi

Jei natūralusis skaičius A nėra dalijamasi iš natūraliojo skaičiaus b, tada galite padaryti padalijimas su likusia dalimi. Tokiu atveju gaunamas koeficientas vadinamas Nebaigtas. Lygybė teisinga:

a = b n + r,

Kur A- dalytis, b- skirstytuvas, n- nepilnas koeficientas, r- priminimas. Pavyzdžiui, tegul dividendas yra lygus 243 , daliklis - 4 , Tada 243: 4 = 60 (likęs 3). Tai yra, a = 243, b = 4, n = 60, r = 3, tada 243 = 60 4 + 3 .

Skaičiai, kurie dalijasi iš 2 be likučio, yra vadinami net: a = 2n, n ∈ N.

Likę numeriai skambina nelyginis: b = 2n + 1, n ∈ N.

Tai yra temos santrauka "Sveikieji skaičiai. Dalijimosi ženklai“. Norėdami tęsti, pasirinkite kitus veiksmus:

• Eikite į kitą santrauką:

1 skyrius. Natūralūs skaičiai

1.6. Didžiausias bendras daliklis ir mažiausias bendras kartotinis

Anksčiau pavadinome skaičių daliklius. Dabar pabandykime sudėtinius skaičius sudėti į pirminius veiksnius.

Apibrėžimas

Suskaičiuoti skaičių į pirminius veiksnius reiškia pavaizduoti jį kaip lygią pirminių skaičių sandaugą.

Skaičių skaidymas į pirminius veiksnius atrodys taip:
; .
Skaičių , , išskaidymas į pirminius veiksnius gali būti pavaizduotas kita forma:

Dabar tai parašysiu vienoje eilutėje
.

Labai gerai! Tu tiesiog genijus.

Vis dar nesuprantu, kaip taip greitai atspėjai, kad skaičius dalijasi iš ?

Ir tai paprasta. Naudojau dalijimosi iš testą. Atkreipkime dėmesį į tai, kad kūriniuose, kuriuos ką tik įrašėte, skaičius kartojasi.

Apibrėžimas

Skaičius, iš kurio padalytas kiekvienas iš šių skaičių, vadinamas bendruoju šių skaičių dalikliu.

Tie. mūsų atveju skaičius yra bendras daliklis?

Taip, tą ir norėjau pasakyti. Ir jei paimsime skaičius ir , tada, kaip matote, jie turi tris bendrus daliklius: , ir (neskaičiuojant ).

nesuprantu?...

Apibrėžimas

Didžiausias bendras šių skaičių daliklis vadinamas didžiausiu bendru dalikliu ir sutrumpintas kaip GCD.

Turite prisiminti, kad GCD vaidina svarbų vaidmenį matematikoje.

Jau dabar matau, kad matematikoje visos sąvokos vaidina didelį vaidmenį. Ir kaip juos visus prisiminti? Kaip rasti šį GCD?

Nesijaudinkite, laikui bėgant jie taps įsimintini, jei juos naudosite reguliariai.
Taigi tęskime. Rasti GCD kelis skaičius, galite sudėti juos į pirminius veiksnius, užrašyti jų bendruosius pirminius veiksnius ir padauginti.

Tai yra gerai. Tačiau yra skaičių, kurie neturi bendrų daliklių, išskyrus vieną! Pavyzdžiui, ir , ir .

Taip, jūs pastebėjote teisingai.

Apibrėžimas

Skaičiai, neturintys bendrų daliklių (išskyrus vieną), vadinami santykinai pirminiais.

Taigi, ką tai reiškia: visi pirminiai skaičiai taip pat bus santykinai pirminiai?

Ir šiuo atveju tu teisus! Tačiau tokią sąvoką vis tiek turime laikyti mažiausiu bendruoju LCM kartotiniu.

Apibrėžimas

Skaičius, kuris dalijasi iš kiekvieno iš šių skaičių, vadinamas bendruoju šių skaičių kartotiniu.

Taigi, skaičiams ir bendras kartotinis bus kiekvienas iš skaičių: , , , , LCM.

Šauniai padirbėta. Kaip manote, koks bus kopirminių skaičių LCM?

Dabar išsiaiškinsiu. Jie neturi bendrų daliklių, išskyrus vienybę, todėl jų produktas yra jų LCM!

Tai tiesiog nuostabu! Kokia puiki išvada.
Ir mūsų tyrimo pabaigoje noriu pasakyti, kaip rasti LOC, jei jis nėra akivaizdus.

Šiuo atveju šie skaičiai išskaidomi į pirminius veiksnius. Tada iš didžiausio skaičiaus išrašomi visi faktoriai ir prie jų pridedami trūkstami faktoriai iš likusių skaičių išplėtimų.

Taip, esu patenkinta, man patiko.

Tačiau daugelis natūraliųjų skaičių dalijasi ir iš kitų natūraliųjų skaičių.

Pavyzdžiui:

Skaičius 12 dalijasi iš 1, iš 2, iš 3, iš 4, iš 6, iš 12;

Skaičius 36 dalijasi iš 1, iš 2, iš 3, iš 4, iš 6, iš 12, iš 18, iš 36.

Skaičiai, iš kurių skaičius dalijasi iš visumos (12 yra 1, 2, 3, 4, 6 ir 12), vadinami skaičių dalikliai. Natūralaus skaičiaus daliklis a- yra natūralusis skaičius, dalijantis nurodytą skaičių a be pėdsakų. Vadinamas natūralusis skaičius, turintis daugiau nei du daliklius sudėtinis. Atkreipkite dėmesį, kad skaičiai 12 ir 36 turi bendrų faktorių. Šie skaičiai yra: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Didžiausias šių skaičių daliklis yra 12.

Bendras dviejų nurodytų skaičių daliklis a Ir b- tai yra skaičius, iš kurio abu pateikti skaičiai dalijami be liekanos a Ir b. Bendras kelių skaičių daliklis (GCD) yra skaičius, kuris yra kiekvieno iš jų daliklis.

Trumpai didžiausias bendras skaičių daliklis a Ir b parašyk taip:

Pavyzdys: GCD (12; 36) = 12.

Skaičių dalikliai sprendinių žymėjime žymimi didžiąja raide „D“.

Pavyzdys:

GCD (7; 9) = 1

Skaičiai 7 ir 9 turi tik vieną bendrą daliklį – skaičių 1. Tokie skaičiai vadinami abipusiai pirminischi slami.

Kopirminiai skaičiai- tai yra natūralūs skaičiai, turintys tik vieną bendrą daliklį - skaičių 1. Jų gcd yra 1.

Didžiausias bendras daliklis (GCD), savybės.

• Pagrindinė savybė: didžiausias bendras daliklis m Ir n dalijasi iš bet kurio bendro šių skaičių daliklio. Pavyzdys: Skaičių 12 ir 18 didžiausias bendras daliklis yra 6; jis dalijamas iš visų bendrų šių skaičių daliklių: 1, 2, 3, 6.
• 1 išvada: bendrųjų daliklių rinkinys m Ir n sutampa su GCD daliklių rinkiniu ( m, n).
• 2 išvada: bendrųjų kartotinių rinkinys m Ir n sutampa su kelių LCM rinkiniu ( m, n).

Tai visų pirma reiškia, kad norint sumažinti trupmeną iki neredukuojamos formos, jos skaitiklį ir vardiklį reikia padalyti iš jų gcd.

• Didžiausias bendras skaičių daliklis m Ir n gali būti apibrėžtas kaip mažiausias teigiamas visų jų linijinių derinių aibės elementas:

ir todėl pavaizduokite jį kaip tiesinę skaičių kombinaciją m Ir n:

Šis santykis vadinamas Bezouto santykiai, ir koeficientus u Ir v — Bezout koeficientai. Beout koeficientai efektyviai apskaičiuojami išplėstiniu Euklido algoritmu. Šis teiginys apibendrina natūraliųjų skaičių aibes – jo reikšmė ta, kad aibės sugeneruotas grupės pogrupis yra ciklinis ir generuojamas vieno elemento: GCD ( a 1 , a 2 , … , a n).

Apskaičiuokite didžiausią bendrą daliklį (GCD).

Veiksmingi būdai apskaičiuoti dviejų skaičių gcd yra Euklido algoritmas Ir dvejetainisalgoritmas. Be to, gcd ( m,n) galima nesunkiai apskaičiuoti, jei žinoma kanoninė skaičių plėtra m Ir nį pagrindinius veiksnius:

kur yra skirtingi pirminiai skaičiai ir ir yra neneigiami sveikieji skaičiai (jie gali būti nuliai, jei atitinkamo pirminio skaičiaus nėra plėtinyje). Tada GCD ( m,n) ir NOC ( m,n) išreiškiami formulėmis:

Jei yra daugiau nei du skaičiai: , jų gcd randamas naudojant šį algoritmą:

- tai norimas GCD.

Be to, norint rasti didžiausias bendras daliklis, kiekvieną nurodytą skaičių galite sudėti į pirminius veiksnius. Tada atskirai užrašykite tik tuos veiksnius, kurie yra įtraukti į visus pateiktus skaičius. Tada parašytus skaičius dauginame kartu – daugybos rezultatas yra didžiausias bendras daliklis .

Pažvelkime į didžiausio bendro daliklio apskaičiavimą žingsnis po žingsnio:

1. Išskaidykite skaičių daliklius į pirminius veiksnius:

Skaičiavimus patogu rašyti naudojant vertikalią juostą. Į kairę nuo eilutės pirmiausia užrašome dividendą, dešinėje - daliklį. Toliau kairiajame stulpelyje užrašome koeficientų reikšmes. Iš karto paaiškinkime tai pavyzdžiu. Suskaičiuokime skaičius 28 ir 64 į pirminius koeficientus.

2. Abiejuose skaičiuose pabrėžiame tuos pačius pirminius veiksnius:

28 = 2 . 2 . 7

64 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2

3. Raskite identiškų pirminių veiksnių sandaugą ir užrašykite atsakymą:

GCD (28; 64) = 2. 2 = 4

Atsakymas: GCD (28; 64) = 4

GCD vietą galite formalizuoti dviem būdais: stulpelyje (kaip padaryta aukščiau) arba „eilėje“.

Pirmasis būdas parašyti GCD:

Raskite gcd 48 ir 36.

GCD (48; 36) = 2. 2. 3 = 12

Antrasis GCD rašymo būdas:

Dabar eilute užrašykime GCD paieškos sprendimą. Raskite gcd 10 ir 15.

D (10) = (1, 2, 5, 10)

D (15) = (1, 3, 5, 15)

D (10, 15) = (1, 5)