Teoria dei limiti- una delle sezioni dell'analisi matematica che alcuni possono padroneggiare, mentre altri hanno difficoltà a calcolare i limiti. La questione della ricerca dei limiti è abbastanza generale, poiché esistono dozzine di tecniche limiti della soluzione vari tipi. Gli stessi limiti si possono trovare sia utilizzando la regola di L'Hopital che senza di essa. Accade che programmare una serie di funzioni infinitesimali permetta di ottenere velocemente il risultato desiderato. Esistono una serie di tecniche e trucchi che consentono di trovare il limite di una funzione di qualsiasi complessità. In questo articolo cercheremo di comprendere le principali tipologie di limiti che più spesso si riscontrano nella pratica. Non forniremo qui la teoria e la definizione del limite; ci sono molte risorse su Internet in cui se ne parla. Quindi passiamo ai calcoli pratici, è qui che il tuo "Non lo so! Non posso! Non ci hanno insegnato!"

Calcolo dei limiti utilizzando il metodo di sostituzione

Esempio 1. Trovare il limite di una funzione
Lim((x^2-3*x)/(2*x+5),x=3).
Soluzione: Esempi di questo tipo possono essere teoricamente calcolati utilizzando la consueta sostituzione

Il limite è 18/11.
Non c'è nulla di complicato o di saggio in tali limiti: abbiamo sostituito il valore, lo abbiamo calcolato e abbiamo annotato il limite come risposta. Tuttavia, sulla base di tali limiti, a tutti viene insegnato che prima di tutto bisogna sostituire il valore nella funzione. Inoltre, i limiti diventano più complicati, introducendo il concetto di infinito, incertezza e simili.

Un limite con incertezza come l'infinito diviso per l'infinito. Tecniche di divulgazione dell'incertezza

Esempio 2. Trovare il limite di una funzione
Lim((x^2+2x)/(4x^2+3x-4),x=infinito).
Soluzione: è dato un limite della forma polinomiale diviso per un polinomio e la variabile tende all'infinito

Sostituire semplicemente il valore a cui dovrebbe essere trovata la variabile per trovare i limiti non aiuta, otteniamo un'incertezza della forma infinito diviso per infinito.
Secondo la teoria dei limiti, l'algoritmo per calcolare il limite consiste nel trovare la potenza più grande di “x” nel numeratore o nel denominatore. Successivamente, il numeratore e il denominatore vengono semplificati e viene trovato il limite della funzione

Poiché il valore tende a zero quando la variabile si avvicina all'infinito, vengono trascurati o scritti nell'espressione finale sotto forma di zeri

Immediatamente dalla pratica puoi trarre due conclusioni che sono un suggerimento nei calcoli. Se una variabile tende all'infinito e il grado del numeratore è maggiore del grado del denominatore, allora il limite è uguale all'infinito. Altrimenti, se il polinomio al denominatore è di ordine superiore rispetto al numeratore, il limite è zero.
Il limite può essere scritto in formule come questa:

Se abbiamo una funzione della forma di un campo ordinario senza frazioni, allora il suo limite è uguale a infinito

Il prossimo tipo di limiti riguarda il comportamento delle funzioni vicine allo zero.

Esempio 3. Trovare il limite di una funzione
Lim((x^2+3x-5)/(x^2+x+2), x=0).
Soluzione: qui non è necessario rimuovere il fattore principale del polinomio. Esattamente il contrario, devi trovare la potenza più piccola del numeratore e del denominatore e calcolare il limite

Valore x^2; x tendono a zero quando la variabile tende a zero, quindi vengono trascurati e otteniamo

che il limite è 2,5.

Ora sai come trovare il limite di una funzione della forma, dividere un polinomio per un polinomio se la variabile tende all'infinito o allo 0. Ma questa è solo una piccola e facile parte degli esempi. Dal seguente materiale imparerai come scoprire le incertezze nei limiti di una funzione.

Limite con incertezza di tipo 0/0 e metodi per il suo calcolo

Tutti ricordano immediatamente la regola secondo cui non è possibile dividere per zero. Tuttavia, la teoria dei limiti in questo contesto implica funzioni infinitesime.
Vediamo alcuni esempi per chiarezza.

Esempio 4. Trovare il limite di una funzione
Lim((3x^2+10x+7)/(x+1), x=-1).
Soluzione: quando sostituiamo il valore della variabile x = -1 al denominatore, otteniamo zero e otteniamo la stessa cosa al numeratore. Quindi abbiamo incertezza della forma 0/0.
Affrontare tale incertezza è semplice: è necessario fattorizzare il polinomio, o meglio, selezionare il fattore che porta la funzione a zero.

Dopo l'espansione, il limite della funzione può essere scritto come

Questo è l'intero metodo per calcolare il limite di una funzione. Facciamo lo stesso se esiste un limite della forma polinomiale diviso per un polinomio.

Esempio 5. Trovare il limite di una funzione
Lim((2x^2-7x+6)/(3x^2-x-10), x=2).
Soluzione: viene mostrata la sostituzione diretta
2*4-7*2+6=0;
3*4-2-10=0
cosa abbiamo incertezza di tipo 0/0.
Dividiamo i polinomi per il fattore che introduce la singolarità


Ci sono insegnanti che insegnano che i polinomi del 2° ordine, cioè del tipo “equazioni quadratiche”, vanno risolti attraverso il discriminante. Ma la pratica reale dimostra che questo è più lungo e confuso, quindi elimina le funzionalità entro i limiti secondo l'algoritmo specificato. Pertanto, scriviamo la funzione sotto forma di fattori semplici e la calcoliamo nel limite

Come puoi vedere, non c'è nulla di complicato nel calcolare tali limiti. Quando studi i limiti, sai come dividere i polinomi, almeno secondo il programma dovresti averlo già superato.
Tra i compiti su incertezza di tipo 0/0 Ce ne sono alcuni in cui è necessario utilizzare formule di moltiplicazione abbreviate. Ma se non li conosci, dividendo un polinomio per un monomio puoi ottenere la formula desiderata.

Esempio 6. Trovare il limite di una funzione
Lim((x^2-9)/(x-3), x=3).
Soluzione: Abbiamo un'incertezza di tipo 0/0. Al numeratore utilizziamo la formula di moltiplicazione abbreviata

e calcolare il limite richiesto

Metodo per rivelare l'incertezza moltiplicando per il suo coniugato

Il metodo si applica ai limiti in cui l'incertezza è generata da funzioni irrazionali. Il numeratore o il denominatore torna a zero nel punto di calcolo e non si sa come trovare il confine.

Esempio 7. Trovare il limite di una funzione
Lim((quadrato(x+2)-quadrato(7x-10))/(3x-6), x=2).
Soluzione: Rappresentiamo la variabile nella formula limite

Sostituendo si ottiene un'incertezza di tipo 0/0.
Secondo la teoria dei limiti, il modo per aggirare questa caratteristica è moltiplicare l'espressione irrazionale per il suo coniugato. Per garantire che l'espressione non cambi, il denominatore deve essere diviso per lo stesso valore

Utilizzando la regola della differenza dei quadrati, semplifichiamo il numeratore e calcoliamo il limite della funzione

Semplifichiamo i termini che creano la singolarità nel limite ed effettuiamo la sostituzione

Esempio 8. Trovare il limite di una funzione
Lim((quadrato(x-2)-quadrato(2x-5))/(3-x), x=3).
Soluzione: La sostituzione diretta mostra che il limite ha una singolarità della forma 0/0.

Per espandere, moltiplichiamo e dividiamo per il coniugato del numeratore

Scriviamo la differenza dei quadrati

Semplifichiamo i termini che introducono la singolarità e troviamo il limite della funzione

Esempio 9. Trovare il limite di una funzione
Lim((x^2+x-6)/(quadrato(3x-2)-2), x=2).
Soluzione: sostituisci due nella formula

Noi abbiamo incertezza 0/0.
Il denominatore deve essere moltiplicato per l'espressione coniugata e al numeratore l'equazione quadratica deve essere risolta o scomposta, tenendo conto della singolarità. Poiché è noto che 2 è una radice, troviamo la seconda radice utilizzando il teorema di Vieta

Pertanto, scriviamo il numeratore nella forma

e sostituirlo nel limite

Riducendo la differenza dei quadrati, eliminiamo le singolarità nel numeratore e nel denominatore

In questo modo, puoi eliminare le singolarità in molti esempi, e l'applicazione dovrebbe essere notata ogni volta che una data differenza di radici diventa zero durante la sostituzione. Altri tipi di limiti riguardano le funzioni esponenziali, le funzioni infinitesime, i logaritmi, i limiti speciali e altre tecniche. Ma puoi leggere questo argomento negli articoli elencati di seguito sui limiti.

Limite di funzione- numero UN sarà il limite di una certa quantità variabile se, nel processo del suo cambiamento, questa quantità variabile si avvicina indefinitamente UN.

O in altre parole, il numero UNè il limite della funzione y = f(x) al punto x0, se per qualsiasi sequenza di punti dal dominio di definizione della funzione , non è uguale x0, e che converge al punto x 0 (lim x n = x0), la sequenza dei valori della funzione corrispondente converge al numero UN.

Il grafico di una funzione il cui limite, dato un argomento che tende all'infinito, è uguale a l:

Senso UNÈ limite (valore limite) della funzione f(x) al punto x0 in caso di qualsiasi sequenza di punti , che converge a x0, ma che non contiene x0 come uno dei suoi elementi (cioè nelle vicinanze forate x0), sequenza di valori di funzione converge a UN.

Limite di una funzione di Cauchy.

Senso UN sarà limite della funzione f(x) al punto x0 se per qualsiasi numero non negativo preso in anticipo ε verrà trovato il numero non negativo corrispondente δ = δ(ε) tale che per ogni argomento X, soddisfacendo la condizione 0 < | x - x0 | < δ , la disuguaglianza sarà soddisfatta | f(x)A |< ε .

Sarà molto semplice se capisci l'essenza del limite e le regole di base per trovarlo. Qual è il limite della funzione F (X) A X lottando per UN equivale UN, è scritto così:

Inoltre, il valore a cui tende la variabile X, può essere non solo un numero, ma anche infinito (∞), a volte +∞ o -∞, oppure potrebbe non esserci alcun limite.

Per capire come trovare i limiti di una funzione, è meglio guardare esempi di soluzioni.

È necessario trovare i limiti della funzione F (x) = 1/X A:

X→ 2, X→ 0, X→ ∞.

Troviamo una soluzione al primo limite. Per fare questo, puoi semplicemente sostituire X il numero a cui tende, cioè 2, otteniamo:

Troviamo il secondo limite della funzione. Qui sostituisci invece puro 0 Xè impossibile, perché Non puoi dividere per 0. Ma possiamo assumere valori prossimi allo zero, ad esempio 0,01; 0,001; 0,0001; 0.00001 e così via, e il valore della funzione F (X) aumenterà: 100; 1000; 10000; 100.000 e così via. Quindi, si può capire che quando X→ 0 il valore della funzione che è sotto il segno limite aumenterà senza limite, cioè tendere all'infinito. Che significa:

Per quanto riguarda il terzo limite. La stessa situazione del caso precedente, è impossibile da sostituire ∞ nella sua forma più pura. Dobbiamo considerare il caso di aumento illimitato X. Sostituiamo 1000 uno per uno; 10000; 100000 e così via, abbiamo il valore della funzione F (x) = 1/X diminuirà: 0,001; 0,0001; 0,00001; e così via, tendendo a zero. Ecco perché:

È necessario calcolare il limite della funzione

Iniziando a risolvere il secondo esempio, vediamo l'incertezza. Da qui troviamo il grado più alto del numeratore e del denominatore: questo è x3, lo togliamo tra parentesi al numeratore e al denominatore e poi lo riduciamo di:

Risposta

Il primo passo avanti trovare questo limite, sostituire invece il valore 1 X, con conseguente incertezza. Per risolverlo, fattorizziamo il numeratore e facciamolo utilizzando il metodo per trovare le radici di un'equazione quadratica x2+2x-3:

D = 2 2 - 4*1*(-3) = 4 +12 = 16→ √ D=√16 = 4

x1,2 = (-2±4)/2→ x1 = -3;x2= 1.

Quindi il numeratore sarà:

Risposta

Questa è la definizione del suo valore specifico o di una certa area in cui cade la funzione, che è limitata dal limite.

Per risolvere i limiti, seguire le regole:

Avendo compreso l'essenza e l'essenziale regole per risolvere il limite, acquisirai una conoscenza di base su come risolverli.

Argomento 4.6 Calcolo dei limiti

Il limite di una funzione non dipende dal fatto che sia definito o meno nel punto limite. Ma nella pratica del calcolo dei limiti delle funzioni elementari, questa circostanza è di notevole importanza.

1. Se la funzione è elementare e se il valore limite dell'argomento appartiene al suo dominio di definizione, allora il calcolo del limite della funzione si riduce ad una semplice sostituzione del valore limite dell'argomento, perché limite della funzione elementare f (x) a x lottare perUN , che è compreso nel dominio di definizione, è uguale al valore parziale della funzione in x = UN, cioè. lim f(x)=f( UN) .

2. Se x tende all'infinito oppure l'argomento tende a un numero che non appartiene al dominio di definizione della funzione, in ciascuno di questi casi la ricerca del limite della funzione richiede una ricerca speciale.

Di seguito sono riportati i limiti più semplici basati sulle proprietà dei limiti che possono essere utilizzati come formule:

Casi più complessi di ricerca del limite di una funzione:

ciascuno è considerato separatamente.

In questa sezione verranno illustrate le modalità principali per comunicare le incertezze.

1. Il caso in cui x lottare perUN la funzione f(x) rappresenta il rapporto tra due quantità infinitesime

a) Per prima cosa bisogna assicurarsi che il limite della funzione non sia trovabile per sostituzione diretta e, con la modifica indicata nell'argomento, rappresenti il ​​rapporto tra due quantità infinitesime. Si effettuano trasformazioni per ridurre la frazione di un fattore tendente a 0. Secondo la definizione di limite di una funzione, l'argomento x tende al suo valore limite, senza mai coincidere con esso.

In generale, se stiamo cercando il limite di una funzione a x lottare perUN , allora bisogna ricordare che x non assume valore UN, cioè. x non è uguale ad a.

b) Si applica il teorema di Bezout. Se stai cercando il limite di una frazione il cui numeratore e denominatore sono polinomi che si annullano nel punto limite x = UN, allora secondo il teorema precedente entrambi i polinomi sono divisibili per x- UN.

c) L'irrazionalità nel numeratore o nel denominatore viene distrutta moltiplicando il numeratore o il denominatore per il coniugato all'espressione irrazionale, quindi dopo aver semplificato la frazione viene ridotta.

d) Viene utilizzato il 1° limite notevole (4.1).

e) Si utilizza il teorema sull'equivalenza degli infinitesimi e i seguenti principi:

2. Il caso in cui x lottare perUN la funzione f(x) rappresenta il rapporto tra due quantità infinitamente grandi

a) Dividere il numeratore e il denominatore di una frazione per la potenza più alta dell'incognito.

b) In generale, puoi usare la regola

3. Il caso in cui x lottare perUN la funzione f(x) rappresenta il prodotto di una quantità infinitesima e di una infinitamente grande

La frazione viene trasformata in una forma il cui numeratore e denominatore tendono contemporaneamente a 0 o all'infinito, cioè il caso 3 si riduce al caso 1 o al caso 2.

4. Il caso in cui x lottare perUN la funzione f (x) rappresenta la differenza di due quantità positive infinitamente grandi

Questo caso è ridotto al tipo 1 o 2 in uno dei seguenti modi:

a) portare le frazioni a un denominatore comune;

b) convertire una funzione in una frazione;

c) sbarazzarsi dell'irrazionalità.

5. Il caso in cui x lottare perUN la funzione f(x) rappresenta una potenza con base tendente a 1 ed esponente all'infinito.

La funzione si trasforma in modo da utilizzare il 2° limite notevole (4.2).

Esempio. Trovare .

Perché x tende a 3, allora il numeratore della frazione tende al numero 3 2 +3 *3+4=22, e il denominatore tende al numero 3+8=11. Quindi,

Esempio

Ecco il numeratore e il denominatore della frazione x tendente a 2 tendono a 0 (incertezza del tipo), fattorizziamo numeratore e denominatore, otteniamo lim(x-2)(x+2)/(x-2)(x-5)

Esempio

Moltiplicando numeratore e denominatore per l'espressione coniugata al numeratore, abbiamo

Aprendo le parentesi al numeratore, otteniamo

Esempio

Livello 2. Esempio. Facciamo un esempio di applicazione del concetto di limite di una funzione nei calcoli economici. Consideriamo un'operazione finanziaria ordinaria: prestare una somma S 0 con la condizione che dopo un periodo di tempo T l'importo verrà rimborsato S T. Determiniamo il valore R crescita relativa formula

r=(S T -S 0)/S 0 (1)

La crescita relativa può essere espressa in percentuale moltiplicando il valore risultante R entro 100.

Dalla formula (1) è facile determinare il valore S T:

S T= S 0 (1 + R)

Quando si calcolano i prestiti a lungo termine che coprono diversi anni interi, viene utilizzato uno schema di interessi composti. Consiste nel fatto che se per il 1 ° anno l'importo S 0 aumenta a (1 + R) volte, poi per il secondo anno in (1+ R) volte la somma aumenta S 1 = S 0 (1 + R), questo è S 2 = S 0 (1 + R) 2 . Risulta allo stesso modo S 3 = S 0 (1 + R) 3 . Dagli esempi sopra riportati possiamo derivare una formula generale per calcolare la crescita dell'importo N anni se calcolati utilizzando il sistema dell’interesse composto:

S n= S 0 (1 + R) N.

Nei calcoli finanziari vengono utilizzati schemi in cui l'interesse composto viene calcolato più volte all'anno. In questo caso è previsto rata annuale R E numero di ratei all'anno K. Di norma, i ratei vengono effettuati a intervalli uguali, ovvero la durata di ciascun intervallo Grazie fa parte dell'anno. Poi per il periodo in T anni (qui T(non necessariamente un numero intero) importo S T calcolato dalla formula

(2)

dove è la parte intera del numero, che coincide con il numero stesso, se, ad esempio, T? numero intero.

Lasciamo stare il tasso annuo R e viene prodotto N ratei annuali a intervalli regolari. Quindi per l'anno l'importo S 0 viene aumentato a un valore determinato dalla formula

(3)

Nell'analisi teorica e nella pratica dell'attività finanziaria si incontra spesso il concetto di “interessi maturati continuamente”. Per passare agli interessi maturati in modo continuo, è necessario aumentare indefinitamente nelle formule (2) e (3), rispettivamente, i numeri K E N(cioè dirigere K E N all'infinito) e calcolare fino a quale limite tenderanno le funzioni S T E S 1 . Applichiamo questa procedura alla formula (3):

Si noti che il limite tra parentesi graffe coincide con il secondo limite notevole. Ne consegue che con cadenza annuale R con interessi continuativamente maturati, l'importo S 0 in 1 anno aumenta al valore S 1 *, che è determinato dalla formula

S 1 * = S 0 e r (4)

Facciamo adesso la somma S 0 viene erogato come prestito con interessi maturati N una volta all'anno a intervalli regolari. Denotiamo Rif tasso annuo al quale alla fine dell'anno l'importo S 0 viene aumentato al valore S 1 * dalla formula (4). In questo caso lo diremo Rif- Questo tasso d'interesse annuale N una volta all'anno, equivalente all'interesse annuo R con maturazione continua. Dalla formula (3) otteniamo

S* 1 =S 0 (1+r e /n) n

Uguagliando i lati destri dell'ultima formula e della formula (4), assumendo in quest'ultima T= 1, possiamo ricavare relazioni tra le quantità R E Rif:

Queste formule sono ampiamente utilizzate nei calcoli finanziari.

Il primo limite notevole è la seguente uguaglianza:

\begin(equation)\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1 \end(equation)

Poiché per $\alpha\to(0)$ abbiamo $\sin\alpha\to(0)$, dicono che il primo limite notevole rivela un'incertezza della forma $\frac(0)(0)$. In generale, nella formula (1), al posto della variabile $\alpha$, qualsiasi espressione può essere posta sotto il segno del seno e al denominatore, purché siano soddisfatte due condizioni:

1. Le espressioni sotto il segno del seno e al denominatore tendono contemporaneamente a zero, cioè c'è incertezza della forma $\frac(0)(0)$.
2. Le espressioni sotto il segno del seno e al denominatore sono le stesse.

Spesso vengono utilizzati anche corollari dal primo limite notevole:

\begin(equation) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1 \end(equation) \begin(equation) \lim_(\alpha\to(0) )\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1 \end(equation) \begin(equation) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1 \end(equazione)

Undici esempi sono risolti in questa pagina. L'esempio n. 1 è dedicato alla dimostrazione delle formule (2)-(4). Gli esempi n. 2, n. 3, n. 4 e n. 5 contengono soluzioni con commenti dettagliati. Gli esempi n. 6-10 contengono soluzioni praticamente senza commenti, perché negli esempi precedenti sono state fornite spiegazioni dettagliate. La soluzione utilizza alcune formule trigonometriche che è possibile trovare.

Faccio notare che la presenza di funzioni trigonometriche abbinata all'incertezza $\frac (0) (0)$ non significa necessariamente l'applicazione del primo limite notevole. A volte sono sufficienti semplici trasformazioni trigonometriche, ad esempio vedi.

Esempio n. 1

Dimostrare che $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha ) (\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$.

a) Poiché $\tg\alpha=\frac(\sin\alpha)(\cos\alpha)$, allora:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg(\alpha))(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) $$

Poiché $\lim_(\alpha\to(0))\cos(0)=1$ e $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1$ , Quello:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) =\frac(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0)) \frac(\sin(\alpha))(\alpha))(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0))\cos(\alpha)) =\frac(1)(1) =1. $$

b) Effettuiamo la modifica $\alpha=\sin(y)$. Poiché $\sin(0)=0$, dalla condizione $\alpha\to(0)$ si ottiene $y\to(0)$. Inoltre, esiste un intorno allo zero in cui $\arcsin\alpha=\arcsin(\sin(y))=y$, quindi:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\sin(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\sin(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\sin(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$

L'uguaglianza $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1$ è stata dimostrata.

c) Facciamo la sostituzione $\alpha=\tg(y)$. Poiché $\tg(0)=0$, le condizioni $\alpha\to(0)$ e $y\to(0)$ sono equivalenti. Inoltre esiste un intorno dello zero in cui $\arctg\alpha=\arctg\tg(y))=y$, quindi in base ai risultati del punto a), avremo:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\tg(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\tg(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\tg(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$

L'uguaglianza $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$ è stata dimostrata.

Le uguaglianze a), b), c) vengono spesso utilizzate insieme al primo limite notevole.

Esempio n.2

Calcola il limite $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4) (x+7))$.

Poiché $\lim_(x\to(2))\frac(x^2-4)(x+7)=\frac(2^2-4)(2+7)=0$ e $\lim_( x \to(2))\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right)=\sin(0)=0$, cioè e sia il numeratore che il denominatore della frazione tendono contemporaneamente a zero, allora si tratta di un'incertezza della forma $\frac(0)(0)$, cioè Fatto. Inoltre, è chiaro che le espressioni sotto il segno del seno e al denominatore coincidono (cioè ed è soddisfatto):

Pertanto, entrambe le condizioni elencate all'inizio della pagina sono soddisfatte. Ne consegue che la formula è applicabile, vale a dire $\lim_(x\to(2)) \frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)(x+ 7 ))=1$.

Risposta: $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)(x +7))=1$.

Esempio n.3

Trova $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)$.

Poiché $\lim_(x\to(0))\sin(9x)=0$ e $\lim_(x\to(0))x=0$, abbiamo a che fare con un'incertezza della forma $\frac (0 )(0)$, cioè Fatto. Tuttavia le espressioni sotto il segno del seno e al denominatore non coincidono. Qui è necessario adattare l'espressione al denominatore alla forma desiderata. Abbiamo bisogno che l'espressione $9x$ sia al denominatore, quindi diventerà vera. In sostanza, ci manca un fattore di $9$ nel denominatore, che non è così difficile da inserire: basta moltiplicare l'espressione nel denominatore per $9$. Naturalmente, per compensare la moltiplicazione per $9$, dovrai dividere immediatamente per $9$:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x\cdot\frac(1)(9)) =9\lim_(x\to(0))\frac(\sin (9x))(9x)$$

Ora le espressioni al denominatore e sotto il segno seno coincidono. Entrambe le condizioni per il limite $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)$ sono soddisfatte. Pertanto, $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=1$. E questo significa che:

$$ 9\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=9\cdot(1)=9. $$

Risposta: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=9$.

Esempio n.4

Trova $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))$.

Poiché $\lim_(x\to(0))\sin(5x)=0$ e $\lim_(x\to(0))\tg(8x)=0$, qui abbiamo a che fare con l'incertezza della forma $\frac(0)(0)$. Tuttavia la forma del primo limite notevole è violata. Un numeratore contenente $\sin(5x)$ richiede un denominatore di $5x$. In questa situazione, il modo più semplice è dividere il numeratore per $5x$ e moltiplicarlo immediatamente per $5x$. Inoltre, eseguiremo un'operazione simile con il denominatore, moltiplicando e dividendo $\tg(8x)$ per $8x$:

$$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x) )$$

Riducendo di $x$ e portando la costante $\frac(5)(8)$ fuori dal segno limite, otteniamo:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))( 8x)) $$

Si noti che $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x)$ soddisfa pienamente i requisiti per il primo limite notevole. Per trovare $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(8x))(8x)$ è applicabile la seguente formula:

$$ \frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x))(\displaystyle\lim_(x\to (0))\frac(\tg(8x))(8x)) =\frac(5)(8)\cdot\frac(1)(1) =\frac(5)(8). $$

Risposta: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\frac(5)(8)$.

Esempio n.5

Trova $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)$.

Poiché $\lim_(x\to(0))(\cos(5x)-\cos^3(5x))=1-1=0$ (ricorda che $\cos(0)=1$) e $\ lim_(x\to(0))x^2=0$, allora abbiamo a che fare con un'incertezza della forma $\frac(0)(0)$. Tuttavia, per applicare il primo limite notevole, è necessario eliminare il coseno al numeratore, passando ai seni (per applicare poi la formula) o alle tangenti (per applicare poi la formula). Ciò può essere fatto con la seguente trasformazione:

$$\cos(5x)-\cos^3(5x)=\cos(5x)\cdot\sinistra(1-\cos^2(5x)\destra)$$ $$\cos(5x)-\cos ^3(5x)=\cos(5x)\cdot\sinistra(1-\cos^2(5x)\destra)=\cos(5x)\cdot\sin^2(5x).$$

Torniamo al limite:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)\cdot\sin^2(5x))(x^2) =\lim_(x\to(0))\left(\cos (5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\destra) $$

La frazione $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$ è già vicina alla forma richiesta per il primo limite notevole. Lavoriamo un po' con la frazione $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$, adattandola al primo limite notevole (nota che le espressioni al numeratore e sotto il seno devono corrispondere):

$$\frac(\sin^2(5x))(x^2)=\frac(\sin^2(5x))(25x^2\cdot\frac(1)(25))=25\cdot\ frac(\sin^2(5x))(25x^2)=25\cdot\sinistra(\frac(\sin(5x))(5x)\destra)^2$$

Torniamo al limite in questione:

$$ \lim_(x\to(0))\left(\cos(5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\right) =\lim_(x\to(0 ))\left(25\cos(5x)\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2\right)=\\ =25\cdot\lim_(x\to( 0))\cos(5x)\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2 =25\cdot(1)\cdot( 1^2) =25. $$

Risposta: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=25$.

Esempio n.6

Trova il limite $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))$.

Poiché $\lim_(x\to(0))(1-\cos(6x))=0$ e $\lim_(x\to(0))(1-\cos(2x))=0$, allora abbiamo a che fare con l'incertezza $\frac(0)(0)$. Riveliamolo con l'aiuto del primo limite notevole. Per fare ciò, passiamo dai coseni ai seni. Poiché $1-\cos(2\alpha)=2\sin^2(\alpha)$, allora:

$$1-\cos(6x)=2\sen^2(3x);\;1-\cos(2x)=2\sen^2(x).$$

Passando ai seni nel limite dato avremo:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(2\sin^2(3x))(2\sin^2(x)) =\lim_(x\to(0))\frac(\sin^ 2(3x))(\sin^2(x))=\\ =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin^2(3x))((3x)^2)\ cdot(3x)^2)(\frac(\sin^2(x))(x^2)\cdot(x^2)) =\lim_(x\to(0))\frac(\left(\ frac(\sin(3x))(3x)\right)^2\cdot(9x^2))(\left(\frac(\sin(x))(x)\right)^2\cdot(x^ 2)) =9\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(3x))(3x)\right)^2)(\displaystyle\lim_(x \to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\right)^2) =9\cdot\frac(1^2)(1^2) =9. $$

Risposta: $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=9$.

Esempio n.7

Calcolare il limite $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)$ soggetto a $\alpha\neq \beta$.

Spiegazioni dettagliate sono state fornite in precedenza, ma qui notiamo semplicemente che ancora una volta c'è l'incertezza $\frac(0)(0)$. Passiamo dai coseni ai seni utilizzando la formula

$$\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\sin\frac(\alpha-\beta)(2).$$

Usando questa formula, otteniamo:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\left|\frac(0)( 0)\destra| =\lim_(x\to(0))\frac(-2\sin\frac(\alpha(x)+\beta(x))(2)\cdot\sin\frac(\alpha(x)-\ beta(x))(2))(x^2)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta )(2)\destra)\cdot\sin\sinistra(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\destra))(x^2) =-2\cdot\lim_(x\to( 0))\left(\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x)\cdot\frac(\sin\left(x\cdot\frac (\alpha-\beta)(2)\right))(x)\right)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin\left(x \cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\frac (\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2))\cdot\frac(\alpha- \beta)(2)\right)=\\ =-\frac((\alpha+\beta)\cdot(\alpha-\beta))(2)\lim_(x\to(0))\frac(\ sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\lim_(x\to(0)) \frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)) =-\frac(\ alpha^2-\beta^2)(2)\cdot(1)\cdot(1) =\frac(\beta^2-\alpha^2)(2). $$

Risposta: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\frac(\beta^2-\ alfa^2)(2)$.

Esempio n.8

Trova il limite $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)$.

Poiché $\lim_(x\to(0))(\tg(x)-\sin(x))=0$ (ricorda che $\sin(0)=\tg(0)=0$) e $\ lim_(x\to(0))x^3=0$, allora qui abbiamo a che fare con un'incertezza della forma $\frac(0)(0)$. Analizziamolo come segue:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(x))(\cos(x))-\sin(x))(x^3) =\lim_(x\to( 0))\frac(\sin(x)\cdot\left(\frac(1)(\cos(x))-1\right))(x^3) =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot\left(1-\cos(x)\right))(x^3\cdot\cos(x))=\\ =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot(2)\sin^2\frac(x)(2))(x^3\cdot\cos(x)) =\frac(1)(2)\cdot\ lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\cdot\left(\frac(\sin\frac(x)(2))(\frac(x)( 2))\destra)^2\cdot\frac(1)(\cos(x))\destra) =\frac(1)(2)\cdot(1)\cdot(1^2)\cdot(1 ) =\frac(1)(2). $$

Risposta: $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\frac(1)(2)$.

Esempio n.9

Trova il limite $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))$.

Poiché $\lim_(x\to(3))(1-\cos(x-3))=0$ e $\lim_(x\to(3))(x-3)\tg\frac(x - 3)(2)=0$, allora c'è incertezza della forma $\frac(0)(0)$. Prima di procedere alla sua espansione, conviene effettuare un cambio di variabile in modo tale che la nuova variabile tenda a zero (notare che nelle formule la variabile $\alpha \to 0$). Il modo più semplice è introdurre la variabile $t=x-3$. Tuttavia, per comodità di ulteriori trasformazioni (questo vantaggio può essere visto nel corso della soluzione seguente), vale la pena effettuare la seguente sostituzione: $t=\frac(x-3)(2)$. Noto che in questo caso sono applicabili entrambe le sostituzioni, solo che la seconda sostituzione ti permetterà di lavorare meno con le frazioni. Da $x\to(3)$, allora $t\to(0)$.

$$ \lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=\left|\frac (0)(0)\destra| =\left|\begin(aligned)&t=\frac(x-3)(2);\\&t\to(0)\end(aligned)\right| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\cos(2t))(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^ 2t)(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\tg(t))=\\ =\lim_(t\ to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\frac(\sin(t))(\cos(t))) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin (t)\cos(t))(t) =\lim_(t\to(0))\left(\frac(\sin(t))(t)\cdot\cos(t)\right) =\ lim_(t\to(0))\frac(\sin(t))(t)\cdot\lim_(t\to(0))\cos(t) =1\cdot(1) =1. $$

Risposta: $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=1$.

Esempio n. 10

Trova il limite $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^ 2)$.

Ancora una volta abbiamo a che fare con l'incertezza $\frac(0)(0)$. Prima di procedere alla sua espansione, conviene effettuare un cambio di variabile in modo tale che la nuova variabile tenda a zero (notare che nelle formule la variabile è $\alpha\to(0)$). Il modo più semplice è introdurre la variabile $t=\frac(\pi)(2)-x$. Poiché $x\to\frac(\pi)(2)$, allora $t\to(0)$:

$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\sinistra|\frac(0)(0)\destra| =\left|\begin(aligned)&t=\frac(\pi)(2)-x;\\&t\to(0)\end(aligned)\right| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\sin\left(\frac(\pi)(2)-t\right))(t^2) =\lim_(t\to(0 ))\frac(1-\cos(t))(t^2)=\\ =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^2\frac(t)(2))( t^2) =2\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2\frac(t)(2))(t^2) =2\lim_(t\to(0))\ frac(\sin^2\frac(t)(2))(\frac(t^2)(4)\cdot(4)) =\frac(1)(2)\cdot\lim_(t\to( 0))\sinistra(\frac(\sin\frac(t)(2))(\frac(t)(2))\destra)^2 =\frac(1)(2)\cdot(1^2 ) =\frac(1)(2). $$

Risposta: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\frac(1)(2)$.

Esempio n. 11

Trova i limiti $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)$, $\lim_(x\to\frac(2 \ pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)$.

In questo caso non dobbiamo utilizzare il primo limite meraviglioso. Tieni presente che sia il primo che il secondo limite contengono solo funzioni e numeri trigonometrici. Spesso in esempi di questo tipo è possibile semplificare l'espressione posta sotto il segno limite. Inoltre, dopo la suddetta semplificazione e riduzione di alcuni fattori, l’incertezza scompare. Ho fatto questo esempio per un solo scopo: mostrare che la presenza di funzioni trigonometriche sotto il segno limite non significa necessariamente l'uso del primo limite notevole.

Poiché $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))(1-\sin(x))=0$ (ricorda che $\sin\frac(\pi)(2)=1$ ) e $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\cos^2x=0$ (permettetemi di ricordarvi che $\cos\frac(\pi)(2)=0$), allora abbiamo che si occupa dell'incertezza della forma $\frac(0)(0)$. Tuttavia, ciò non significa che dovremo utilizzare il primo meraviglioso limite. Per rivelare l’incertezza è sufficiente tenere conto che $\cos^2x=1-\sin^2x$:

$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x) =\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(1-\sin^2x) =\lim_(x\to\frac(\pi)( 2))\frac(1-\sin(x))((1-\sin(x))(1+\sin(x))) =\lim_(x\to\frac(\pi)(2) )\frac(1)(1+\sin(x)) =\frac(1)(1+1) =\frac(1)(2). $$

Esiste una soluzione simile nel libro delle soluzioni di Demidovich (n. 475). Per quanto riguarda il secondo limite, come negli esempi precedenti di questa sezione, abbiamo un'incertezza della forma $\frac(0)(0)$. Perché sorge? Si verifica perché $\tg\frac(2\pi)(3)=-\sqrt(3)$ e $2\cos\frac(2\pi)(3)=-1$. Usiamo questi valori per trasformare le espressioni nel numeratore e nel denominatore. L'obiettivo delle nostre azioni è scrivere la somma al numeratore e al denominatore come prodotto. Tra l'altro, spesso all'interno di una tipologia simile conviene modificare una variabile, fatta in modo tale che la nuova variabile tenda a zero (vedi ad esempio gli esempi n. 9 o n. 10 di questa pagina). Tuttavia, in questo esempio non ha senso sostituire, anche se, se lo si desidera, la sostituzione della variabile $t=x-\frac(2\pi)(3)$ non è difficile da implementare.

$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1) =\lim_(x\ to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cdot\left(\cos(x)+\frac(1)(2)\right )) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)-\tg\frac(2\pi)(3))(2\cdot\left(\ cos(x)-\cos\frac(2\pi)(3)\right))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\frac(\sin \left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)))(-4\sin\frac(x+\frac (2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3 ))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\ sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))=\\ =\lim_(x\to\frac (2\pi)(3))\frac(2\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos\frac(x-\frac(2\pi)(3 ))(2))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2) \cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\cos\frac(x-\frac(2 \pi)(3))(2))(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3 ))=\\ =\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3))(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left( -\frac(1)(2)\right)) =-\frac(4)(\sqrt(3)). $$

Come puoi vedere, non abbiamo dovuto applicare il primo meraviglioso limite. Naturalmente, puoi farlo se vuoi (vedi nota sotto), ma non è necessario.

Qual è la soluzione utilizzando il primo limite notevole? mostra nascondi

Utilizzando il primo limite notevole otteniamo:

$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(-4\sin\frac (x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi )(3))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\left(\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\ destra))(x-\frac(2\pi)(3))\cdot\frac(1)(\frac(\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) (\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)))\cdot\frac(1)(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))( 2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))\right) =1\cdot(1)\cdot\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3) )(2)\cdot\sinistra(-\frac(1)(2)\destra)\cdot\sinistra(-\frac(1)(2)\destra)) =-\frac(4)(\sqrt( 3)). $$

Risposta: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)=\frac(1)(2)$, $\lim_( x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)=-\frac(4)(\sqrt( 3))$.

Dall'articolo sopra puoi scoprire qual è il limite e con cosa viene mangiato: questo è MOLTO importante. Perché? Potresti non capire cosa sono i determinanti e risolverli con successo; potresti non capire affatto cosa sia un derivato e trovarli con una “A”. Ma se non capisci cos'è un limite, sarà difficile risolvere compiti pratici. Sarebbe anche una buona idea familiarizzare con le soluzioni campione e i miei consigli di progettazione. Tutte le informazioni sono presentate in una forma semplice e accessibile.

E ai fini di questa lezione avremo bisogno del seguente materiale didattico: Limiti meravigliosi E Formule trigonometriche. Si possono trovare nella pagina. È meglio stampare i manuali: è molto più conveniente e inoltre dovrai spesso consultarli offline.

Cosa c'è di così speciale nei limiti notevoli? La cosa notevole di questi limiti è che sono stati dimostrati dalle più grandi menti di famosi matematici, e i discendenti riconoscenti non dovranno soffrire di limiti terribili con una pila di funzioni trigonometriche, logaritmi, potenze. Cioè, quando troveremo i limiti, utilizzeremo risultati già pronti che sono stati dimostrati teoricamente.

Esistono diversi meravigliosi limiti, ma in pratica, nel 95% dei casi, gli studenti part-time hanno due meravigliosi limiti: Il primo meraviglioso limite, Secondo meraviglioso limite. Va notato che questi sono nomi storicamente stabiliti e quando, ad esempio, parlano del "primo limite notevole", intendono con questo una cosa molto specifica, e non un limite casuale preso dal soffitto.

Il primo meraviglioso limite

Considera il seguente limite: (al posto della lettera nativa “egli” userò la lettera greca “alfa”, questo è più conveniente dal punto di vista della presentazione del materiale).

Secondo la nostra regola per la ricerca dei limiti (vedi articolo Limiti. Esempi di soluzioni) proviamo a sostituire lo zero nella funzione: al numeratore otteniamo zero (il seno di zero è zero), e al denominatore, ovviamente, c'è anche zero. Ci troviamo quindi di fronte ad un'incertezza della forma che, fortunatamente, non ha bisogno di essere rivelata. Nel corso dell’analisi matematica, è dimostrato che:

Questo fatto matematico si chiama Il primo meraviglioso limite. Non darò una dimostrazione analitica del limite, ma ne vedremo il significato geometrico nella lezione su funzioni infinitesimali.

Spesso nei compiti pratici le funzioni possono essere organizzate diversamente, questo non cambia nulla:

- lo stesso primo meraviglioso limite.

Ma non puoi riorganizzare il numeratore e il denominatore da solo! Se un limite è dato nella forma , allora deve essere risolto nella stessa forma, senza riorganizzare nulla.

In pratica, non solo una variabile, ma anche una funzione elementare o una funzione complessa possono fungere da parametro. L'unica cosa importante è che tenda a zero.

Esempi:
, , ,

Qui , , , e tutto va bene: vale il primo meraviglioso limite.

Ma la seguente voce è un'eresia:

Perché? Poiché il polinomio non tende a zero, tende a cinque.

A proposito, una domanda veloce: qual è il limite? ? La risposta si trova alla fine della lezione.

In pratica, non tutto è così fluido: quasi mai allo studente viene offerto di risolvere un limite gratuito e ottenere un passaggio facile. Hmmm... Sto scrivendo queste righe e mi è venuto in mente un pensiero molto importante: dopo tutto, è meglio ricordare a memoria le definizioni e le formule matematiche "libere", questo può fornire un aiuto inestimabile nel test, quando la domanda sarà si decide tra “due” e “tre”, e l'insegnante decide di porre allo studente qualche semplice domanda o offrirsi di risolvere un semplice esempio (“forse sa ancora cosa?!”).

Passiamo a considerare esempi pratici:

Esempio 1

Trova il limite

Se notiamo un seno nel limite, ciò dovrebbe immediatamente portarci a pensare alla possibilità di applicare il primo limite notevole.

Per prima cosa proviamo a sostituire 0 nell'espressione sotto il segno limite (lo facciamo mentalmente o in una bozza):

Quindi abbiamo un’incertezza della forma assicurati di indicare nel prendere una decisione. L'espressione sotto il segno limite è simile al primo meraviglioso limite, ma non è esattamente così, è sotto il seno, ma al denominatore.

In questi casi è necessario organizzare noi stessi il primo limite notevole, utilizzando una tecnica artificiale. Il ragionamento potrebbe essere il seguente: “sotto il seno abbiamo , il che significa che dobbiamo inserire anche il denominatore”.
E questo viene fatto in modo molto semplice:

Cioè, il denominatore in questo caso viene moltiplicato artificialmente per 7 e diviso per gli stessi sette. Ora la nostra registrazione ha assunto una forma familiare.
Quando il compito viene redatto a mano, è consigliabile segnare con una matita semplice il primo limite notevole:

Quello che è successo? In effetti, la nostra espressione cerchiata si è trasformata in un'unità ed è scomparsa nell'opera:

Ora non resta che eliminare la frazione di tre piani:

Chi ha dimenticato la semplificazione delle frazioni multilivello, aggiorna il materiale nel libro di consultazione Formule calde per il corso di matematica scolastica .

Pronto. Risposta finale:

Se non vuoi usare i segni della matita, la soluzione può essere scritta in questo modo:

“

Usiamo il primo limite meraviglioso

“

Esempio 2

Trova il limite

Ancora una volta vediamo una frazione e un seno al limite. Proviamo a sostituire lo zero al numeratore e al denominatore:

Abbiamo infatti incertezza e quindi bisogna cercare di organizzare il primo meraviglioso limite. Alla lezione Limiti. Esempi di soluzioni abbiamo considerato la regola secondo cui quando abbiamo incertezza, dobbiamo fattorizzare il numeratore e il denominatore. Qui è la stessa cosa, rappresenteremo i gradi come un prodotto (moltiplicatori):

Similmente all’esempio precedente, disegniamo con una matita i limiti notevoli (qui ce ne sono due), e indichiamo che tendono all’unità:

In realtà la risposta è già pronta:

Nei seguenti esempi, non realizzerò disegni con Paint, penso a come elaborare correttamente una soluzione su un taccuino: lo capisci già.

Esempio 3

Trova il limite

Sostituiamo lo zero nell'espressione sotto il segno limite:

È stata ottenuta un'incertezza che deve essere divulgata. Se c'è una tangente nel limite, viene quasi sempre convertita in seno e coseno usando la nota formula trigonometrica (a proposito, fanno approssimativamente la stessa cosa con la cotangente, vedi materiale metodologico Formule trigonometriche calde Sulla pagina Formule matematiche, tabelle e materiali di riferimento).

In questo caso:

Il coseno di zero è uguale a uno, ed è facile eliminarlo (non dimenticare di segnare che tende a uno):

Pertanto, se al limite il coseno è un MOLTIPLICATORE, allora, grosso modo, deve essere trasformato in un'unità, che scompare nel prodotto.

Qui tutto si è rivelato più semplice, senza moltiplicazioni e divisioni. Anche il primo limite notevole si trasforma in uno e scompare nel prodotto:

Di conseguenza, si ottiene l'infinito e questo accade.

Esempio 4

Trova il limite

Proviamo a sostituire lo zero al numeratore e al denominatore:

Si ottiene l'incertezza (il coseno di zero, come ricordiamo, è uguale a uno)

Usiamo la formula trigonometrica. Prendi nota! Per qualche ragione, i limiti che utilizzano questa formula sono molto comuni.

Spostiamo i fattori costanti oltre l'icona limite:

Organizziamo il primo meraviglioso limite:

Qui abbiamo solo un limite notevole, che si trasforma in uno e scompare nel prodotto:

Eliminiamo la struttura a tre piani:

Il limite è effettivamente risolto, indichiamo che il seno rimanente tende a zero:

Esempio 5

Trova il limite

Questo esempio è più complicato, prova a capirlo da solo:

Alcuni limiti possono essere ridotti al 1° limite notevole modificando una variabile, puoi leggere questo argomento più avanti nell'articolo Metodi per risolvere i limiti.

Secondo meraviglioso limite

Nella teoria dell’analisi matematica è stato dimostrato che:

Questo fatto si chiama secondo meraviglioso limite.

Riferimento: è un numero irrazionale.

Il parametro può essere non solo una variabile, ma anche una funzione complessa. L’unica cosa importante è che tende all’infinito.

Esempio 6

Trova il limite

Quando l'espressione sotto il segno limite è in un grado, questo è il primo segno che devi provare ad applicare il secondo meraviglioso limite.

Ma prima, come sempre, proviamo a sostituire un numero infinitamente grande nell'espressione, il principio con cui ciò viene fatto è discusso nella lezione Limiti. Esempi di soluzioni.

È facile notare che quando la base del grado è , e l'esponente è , cioè c'è incertezza della forma:

Questa incertezza viene rivelata proprio con l'aiuto del secondo limite notevole. Ma, come spesso accade, il secondo meraviglioso limite non è posto su un piatto d’argento, e necessita di essere organizzato artificialmente. Puoi ragionare così: in questo esempio il parametro è , il che significa che dobbiamo organizzare anche l'indicatore. Per fare ciò eleviamo la base alla potenza, e affinché l'espressione non cambi, la eleviamo alla potenza:

Quando l'attività è completata a mano, segniamo con una matita:

Quasi tutto è pronto, la terribile laurea si è trasformata in una bella lettera:

In questo caso, spostiamo l'icona del limite stessa sull'indicatore:

Esempio 7

Trova il limite

Attenzione! Questo tipo di limite si verifica molto spesso, studia questo esempio con molta attenzione.

Proviamo a sostituire un numero infinitamente grande nell'espressione sotto il segno limite:

Il risultato è l’incertezza. Ma il secondo notevole limite riguarda l’incertezza della forma. Cosa fare? Dobbiamo convertire la base della laurea. Ragioniamo così: al denominatore abbiamo , il che significa che al numeratore dobbiamo organizzare anche .