Equazioni quadratiche senza radici. Radici di un'equazione quadratica

Continuando l'argomento "Risoluzione delle equazioni", il materiale in questo articolo ti introdurrà alle equazioni quadratiche.

Diamo un'occhiata a tutto in dettaglio: l'essenza e la notazione di un'equazione quadratica, definiamo i termini di accompagnamento, analizziamo lo schema per risolvere equazioni incomplete e complete, familiarizziamo con la formula delle radici e il discriminante, stabiliamo connessioni tra radici e coefficienti, e ovviamente daremo una soluzione visiva ad esempi pratici.

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Equazione quadratica, suoi tipi

Equazione quadrataè un'equazione scritta come ax2 + bx + c = 0, Dove X– variabile, a , b e C– alcuni numeri, mentre UN non è zero.

Spesso le equazioni quadratiche sono anche chiamate equazioni di secondo grado, poiché in sostanza un'equazione quadratica è un'equazione algebrica di secondo grado.

Facciamo un esempio per illustrare la definizione data: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0, ecc. Queste sono equazioni quadratiche.

Definizione 2

Numeri a, b e C sono i coefficienti dell'equazione quadratica ax2 + bx + c = 0, mentre il coefficiente UNè chiamato il primo, o senior, o coefficiente in x 2, b - il secondo coefficiente, o coefficiente in X, UN C chiamato membro gratuito.

Ad esempio, nell'equazione quadratica 6 x 2 − 2 x − 11 = 0 il coefficiente principale è 6, il secondo coefficiente è − 2 , e il termine libero è uguale a − 11 . Prestiamo attenzione al fatto che quando i coefficienti B e/o c sono negativi, viene utilizzata una forma abbreviata della forma 6 x 2 − 2 x − 11 = 0, ma no 6 x 2 + (- 2) x + (- 11) = 0.

Chiariamo anche questo aspetto: se i coefficienti UN e/o B pari 1 O − 1 , quindi potrebbero non prendere parte esplicita alla scrittura dell'equazione quadratica, il che è spiegato dalle peculiarità della scrittura dei coefficienti numerici indicati. Ad esempio, nell'equazione quadratica y2 − y+7 = 0 il coefficiente principale è 1 e il secondo coefficiente è − 1 .

Equazioni quadratiche ridotte e non ridotte

In base al valore del primo coefficiente, le equazioni quadratiche si dividono in ridotte e non ridotte.

Definizione 3

Equazione quadratica ridottaè un'equazione quadratica in cui il coefficiente principale è 1. Per altri valori del coefficiente principale, l'equazione quadratica non è ridotta.

Facciamo degli esempi: si riducono le equazioni quadratiche x 2 − 4 · x + 3 = 0, x 2 − x − 4 5 = 0, in ciascuna delle quali il coefficiente principale è 1.

9 x 2 − x − 2 = 0- equazione quadratica non ridotta, dove il primo coefficiente è diverso da 1 .

Qualsiasi equazione quadratica non ridotta può essere convertita in un'equazione ridotta dividendo entrambi i membri per il primo coefficiente (trasformazione equivalente). L'equazione trasformata avrà le stesse radici dell'equazione non ridotta data o non avrà alcuna radice.

La considerazione di un esempio specifico ci consentirà di dimostrare chiaramente la transizione da un'equazione quadratica non ridotta a una ridotta.

Esempio 1

Data l'equazione 6 x 2 + 18 x − 7 = 0 . È necessario convertire l'equazione originale nella forma ridotta.

Soluzione

Secondo lo schema sopra, dividiamo entrambi i membri dell'equazione originale per il coefficiente principale 6. Quindi otteniamo: (6 x 2 + 18 x − 7) : 3 = 0: 3, e questo è lo stesso di: (6 x 2) : 3 + (18 x) : 3 − 7: 3 = 0 e inoltre: (6: 6) x 2 + (18: 6) x − 7: 6 = 0. Da qui: x2 + 3x - 1 1 6 = 0 . Si ottiene così un'equazione equivalente a quella data.

Risposta: x2 + 3x - 1 1 6 = 0 .

Equazioni quadratiche complete e incomplete

Passiamo alla definizione di equazione quadratica. In esso lo abbiamo specificato un ≠ 0. Una condizione simile è necessaria per l'equazione ax2 + bx + c = 0 era esattamente quadrato, poiché at un = 0 si trasforma essenzialmente in un'equazione lineare bx+c = 0.

Nel caso in cui i coefficienti B E C sono uguali a zero (cosa possibile, sia singolarmente che congiuntamente), l'equazione quadratica si dice incompleta.

Definizione 4

Equazione quadratica incompleta- una tale equazione quadratica ax2 + bx + c = 0, dove almeno uno dei coefficienti B E C(o entrambi) è zero.

Equazione quadratica completa– un'equazione quadratica in cui tutti i coefficienti numerici non sono uguali a zero.

Parliamo del motivo per cui ai tipi di equazioni quadratiche vengono dati esattamente questi nomi.

Quando b = 0, l'equazione quadratica assume la forma ax2 + 0x + c = 0, che è lo stesso di ax2 + c = 0. A c = 0 l'equazione quadratica è scritta come ax2 + bx + 0 = 0, che è equivalente ax2 + bx = 0. A b = 0 E c = 0 l'equazione assumerà la forma ax2 = 0. Le equazioni che abbiamo ottenuto differiscono dall'equazione quadratica completa in quanto i loro lati di sinistra non contengono né un termine con la variabile x, né un termine libero, o entrambi. In realtà, questo fatto ha dato il nome a questo tipo di equazione – incompleta.

Ad esempio, x 2 + 3 x + 4 = 0 e − 7 x 2 − 2 x + 1, 3 = 0 sono equazioni quadratiche complete; x2 = 0, -5 x2 = 0; 11 x 2 + 2 = 0, − x 2 − 6 x = 0 – equazioni quadratiche incomplete.

Risoluzione di equazioni quadratiche incomplete

La definizione data sopra permette di distinguere i seguenti tipi di equazioni quadratiche incomplete:

• ax2 = 0, questa equazione corrisponde ai coefficienti b = 0 ec = 0;
• a · x 2 + c = 0 in b = 0 ;
• a · x 2 + b · x = 0 in c = 0.

Consideriamo in sequenza la soluzione di ciascun tipo di equazione quadratica incompleta.

Soluzione dell'equazione a x 2 =0

Come accennato in precedenza, questa equazione corrisponde ai coefficienti B E C, uguale a zero. L'equazione ax2 = 0 può essere convertito in un'equazione equivalente x2 = 0, che otteniamo dividendo entrambi i membri dell'equazione originale per il numero UN, non uguale a zero. Il fatto ovvio è che la radice dell'equazione x2 = 0 questo è zero perché 0 2 = 0 . Questa equazione non ha altre radici, il che può essere spiegato dalle proprietà del grado: per qualsiasi numero P, diverso da zero, la disuguaglianza è vera p2 > 0, da cui segue che quando p ≠ 0 uguaglianza p2 = 0 non sarà mai raggiunto.

Definizione 5

Pertanto, per l'equazione quadratica incompleta a x 2 = 0 esiste un'unica radice x = 0.

Esempio 2

Ad esempio, risolviamo un'equazione quadratica incompleta − 3×2 = 0. È equivalente all'equazione x2 = 0, la sua unica radice è x = 0, allora l'equazione originale ha un'unica radice - zero.

In breve, la soluzione è scritta come segue:

− 3x2 = 0, x2 = 0, x = 0.

Risolvere l'equazione a x 2 + c = 0

La prossima in linea è la soluzione delle equazioni quadratiche incomplete, dove b = 0, c ≠ 0, cioè equazioni della forma ax2 + c = 0. Trasformiamo questa equazione spostando un termine da un lato all'altro dell'equazione, cambiando il segno in quello opposto e dividendo entrambi i membri dell'equazione per un numero diverso da zero:

• trasferimento C a destra, che dà l'equazione unx2 = − c;
• dividi entrambi i membri dell'equazione per UN, alla fine avremo x = - c a .

Le nostre trasformazioni sono equivalenti; di conseguenza, l'equazione risultante è equivalente anche a quella originale, e questo fatto permette di trarre conclusioni sulle radici dell'equazione. Da quali sono i valori UN E C il valore dell'espressione - c a dipende: può avere un segno meno (ad esempio if un = 1 E c = 2, quindi - c a = - 2 1 = - 2) o un segno più (ad esempio, if un = −2 E c = 6, quindi - c a = - 6 - 2 = 3); non è zero perché c ≠ 0. Soffermiamoci più in dettaglio sulle situazioni in cui - c a< 0 и - c a > 0 .

Nel caso in cui - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа P l'uguaglianza p 2 = - c a non può essere vera.

Tutto è diverso quando - c a > 0: ricorda la radice quadrata, e diventerà ovvio che la radice dell'equazione x 2 = - c a sarà il numero - c a, poiché - c a 2 = - c a. Non è difficile comprendere che il numero - - c a è anche la radice dell'equazione x 2 = - c a: infatti, - - c a 2 = - c a.

L’equazione non avrà altre radici. Possiamo dimostrarlo utilizzando il metodo della contraddizione. Per cominciare, definiamo le notazioni per le radici trovate sopra come x1 E −x1. Supponiamo che anche l'equazione x 2 = - c a abbia una radice x2, che è diverso dalle radici x1 E −x1. Lo sappiamo sostituendo nell'equazione X sue radici, trasformiamo l'equazione in una giusta uguaglianza numerica.

Per x1 E −x1 scriviamo: x 1 2 = - c a , e for x2- x 2 2 = - c un . Sulla base delle proprietà delle uguaglianze numeriche, sottraiamo un termine di uguaglianza corretto da un altro termine, il che ci darà: x12 − x22 = 0. Usiamo le proprietà delle operazioni con i numeri per riscrivere l'ultima uguaglianza come (x 1 − x 2) · (x 1 + x 2) = 0. È noto che il prodotto di due numeri è zero se e solo se almeno uno dei numeri è zero. Da quanto sopra ne consegue che x1 − x2 = 0 e/o x1 + x2 = 0, che è lo stesso x2 = x1 e/o x2 = −x1. Ne è nata un'ovvia contraddizione, perché inizialmente si è convenuto che la radice dell'equazione x2 si differenzia da x1 E −x1. Quindi, abbiamo dimostrato che l'equazione non ha radici diverse da x = - c a e x = - - c a.

Riassumiamo tutti gli argomenti di cui sopra.

Definizione 6

Equazione quadratica incompleta ax2 + c = 0è equivalente all'equazione x 2 = - c a, che:

• non avrà radici in - c a< 0 ;
• avrà due radici x = - c a e x = - - c a per - c a > 0.

Diamo esempi di risoluzione delle equazioni ax2 + c = 0.

Esempio 3

Data un'equazione quadratica 9 x 2 + 7 = 0.È necessario trovare una soluzione.

Soluzione

Spostiamo il termine libero sul lato destro dell'equazione, quindi l'equazione assumerà la forma 9×2 = −7.
Dividiamo entrambi i membri dell'equazione risultante per 9 , arriviamo a x 2 = - 7 9 . Sul lato destro vediamo un numero con un segno meno, che significa: l'equazione data non ha radici. Quindi l'equazione quadratica incompleta originale 9 x 2 + 7 = 0 non avrà radici.

Risposta: l'equazione 9 x 2 + 7 = 0 non ha radici.

Esempio 4

L'equazione deve essere risolta −x2+36 = 0.

Soluzione

Spostiamo 36 sul lato destro: −x2 = −36.
Dividiamo entrambe le parti per − 1 , noi abbiamo x2 = 36. Sul lato destro c'è un numero positivo, da cui possiamo concludere x = 36 o x = - 36 .
Estraiamo la radice e scriviamo il risultato finale: equazione quadratica incompleta −x2+36 = 0 ha due radici x=6 O x = −6.

Risposta: x=6 O x = −6.

Soluzione dell'equazione a x 2 +b x=0

Analizziamo il terzo tipo di equazioni quadratiche incomplete, quando c = 0. Trovare la soluzione di un'equazione quadratica incompleta ax2 + bx = 0, utilizzeremo il metodo della fattorizzazione. Fattorizziamo il polinomio che si trova sul lato sinistro dell'equazione, togliendo il fattore comune tra parentesi X. Questo passaggio consentirà di trasformare l'equazione quadratica incompleta originale nel suo equivalente x (a x + b) = 0. E questa equazione, a sua volta, equivale a un insieme di equazioni x = 0 E ax+b = 0. L'equazione ax+b = 0 lineare e la sua radice: x = − b un.

Definizione 7

Pertanto, l'equazione quadratica incompleta ax2 + bx = 0 avrà due radici x = 0 E x = − b un.

Rafforziamo il materiale con un esempio.

Esempio 5

È necessario trovare una soluzione all'equazione 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0.

Soluzione

Lo tireremo fuori X fuori dalle parentesi otteniamo l'equazione x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 . Questa equazione è equivalente alle equazioni x = 0 e 2 3 x - 2 2 7 = 0. Ora dovresti risolvere l'equazione lineare risultante: 2 3 · x = 2 2 7, x = 2 2 7 2 3.

Scrivi brevemente la soluzione dell'equazione come segue:

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 oppure 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 oppure x = 3 3 7

Risposta: x = 0, x = 3 3 7.

Discriminante, formula per le radici di un'equazione quadratica

Per trovare soluzioni alle equazioni quadratiche, esiste una formula radice:

Definizione 8

x = - b ± D 2 · a, dove D = b 2 − 4 a c– il cosiddetto discriminante di un’equazione quadratica.

Scrivere x = - b ± D 2 · a significa essenzialmente che x 1 = - b + D 2 · a, x 2 = - b - D 2 · a.

Sarebbe utile capire come è stata ricavata questa formula e come applicarla.

Derivazione della formula per le radici di un'equazione quadratica

Affrontiamo il compito di risolvere un'equazione quadratica ax2 + bx + c = 0. Eseguiamo alcune trasformazioni equivalenti:

• dividere entrambi i membri dell'equazione per un numero UN, diversa da zero, si ottiene la seguente equazione quadratica: x 2 + b a · x + c a = 0 ;
• Selezioniamo il quadrato completo sul lato sinistro dell'equazione risultante:
  x 2 + b a · x + c a = x 2 + 2 · b 2 · a · x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = = x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + circa
  Successivamente l'equazione assumerà la forma: x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = 0;
• Ora è possibile trasferire gli ultimi due termini a destra, cambiando il segno nel contrario, dopodiché otteniamo: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
• Infine trasformiamo l'espressione scritta a destra dell'ultima uguaglianza:
  b 2 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 .

Arriviamo così all'equazione x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , equivalente all'equazione originale ax2 + bx + c = 0.

Abbiamo esaminato la soluzione di tali equazioni nei paragrafi precedenti (risoluzione di equazioni quadratiche incomplete). L'esperienza già acquisita permette di trarre una conclusione riguardo alle radici dell'equazione x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2:

• con b 2 - 4 a c 4 a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• quando b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0 l'equazione è x + b 2 · a 2 = 0, allora x + b 2 · a = 0.

Da qui risulta evidente l'unica radice x = - b 2 · a;

• per b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 > 0, sarà vero quanto segue: x + b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 oppure x = b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , che è uguale a x + - b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 oppure x = - b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , cioè. l'equazione ha due radici.

È possibile concludere che la presenza o assenza di radici dell'equazione x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 (e quindi dell'equazione originaria) dipende dal segno dell'espressione b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 scritto sul lato destro. E il segno di questa espressione è dato dal segno del numeratore, (denominatore 4 a 2 sarà sempre positivo), cioè il segno dell'espressione b2-4ac. Questa espressione b2-4ac viene dato il nome: il discriminante dell'equazione quadratica e la lettera D è definita come sua designazione. Qui puoi scrivere l'essenza del discriminante: in base al suo valore e segno, puoi concludere se l'equazione quadratica avrà radici reali e, in tal caso, qual è il numero di radici: una o due.

Torniamo all'equazione x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 . Riscrivilo usando la notazione discriminante: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .

Formuliamo nuovamente le nostre conclusioni:

Definizione 9

• A D< 0 l'equazione non ha radici reali;
• A D=0 l'equazione ha un'unica radice x = - b 2 · a ;
• A D > 0 l'equazione ha due radici: x = - b 2 · a + D 4 · a 2 oppure x = - b 2 · a - D 4 · a 2. In base alle proprietà dei radicali, queste radici possono essere scritte nella forma: x = - b 2 · a + D 2 · a oppure - b 2 · a - D 2 · a. E, quando apriamo i moduli e portiamo le frazioni a un denominatore comune, otteniamo: x = - b + D 2 · a, x = - b - D 2 · a.

Quindi, il risultato del nostro ragionamento è stata la derivazione della formula per le radici di un'equazione quadratica:

x = - b + D 2 a, x = - b - D 2 a, discriminante D calcolato dalla formula D = b 2 − 4 a c.

Queste formule permettono di determinare entrambe le radici reali quando il discriminante è maggiore di zero. Quando il discriminante è zero, l'applicazione di entrambe le formule darà la stessa radice come unica soluzione dell'equazione quadratica. Nel caso in cui il discriminante sia negativo, se proviamo a utilizzare la formula della radice quadratica, ci troveremo di fronte alla necessità di prendere la radice quadrata di un numero negativo, il che ci porterà oltre l'ambito dei numeri reali. Con un discriminante negativo, l'equazione quadratica non avrà radici reali, ma è possibile una coppia di radici coniugate complesse, determinate dalle stesse formule di radice che abbiamo ottenuto.

Algoritmo per la risoluzione di equazioni quadratiche utilizzando formule di radice

È possibile risolvere un'equazione quadratica utilizzando immediatamente la formula della radice, ma in genere ciò viene fatto quando è necessario trovare radici complesse.

Nella maggior parte dei casi, di solito significa cercare non le radici complesse, ma quelle reali di un'equazione quadratica. Allora è ottimale, prima di utilizzare le formule per le radici di un'equazione quadratica, determinare prima il discriminante e assicurarsi che non sia negativo (altrimenti concluderemo che l'equazione non ha radici reali), e poi procedere a calcolare il valore delle radici.

Il ragionamento di cui sopra consente di formulare un algoritmo per risolvere un'equazione quadratica.

Definizione 10

Risolvere un'equazione quadratica ax2 + bx + c = 0, necessario:

• secondo la formula D = b 2 − 4 a c trovare il valore discriminante;
• a D< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• per D = 0, trova l'unica radice dell'equazione utilizzando la formula x = - b 2 · a ;
• per D > 0, determinare due radici reali dell'equazione quadratica utilizzando la formula x = - b ± D 2 · a.

Nota che quando il discriminante è zero, puoi usare la formula x = - b ± D 2 · a, darà lo stesso risultato della formula x = - b 2 · a.

Diamo un'occhiata agli esempi.

Esempi di risoluzione di equazioni quadratiche

Diamo soluzioni ad esempi per diversi valori del discriminante.

Esempio 6

Dobbiamo trovare le radici dell'equazione x2 + 2x-6 = 0.

Soluzione

Scriviamo i coefficienti numerici dell'equazione quadratica: a = 1, b = 2 e c = −6. Successivamente procediamo secondo l'algoritmo, cioè Cominciamo a calcolare il discriminante, al quale sostituiremo i coefficienti a, b E C nella formula discriminante: D = b 2 − 4 · a · c = 2 2 − 4 · 1 · (− 6) = 4 + 24 = 28 .

Quindi otteniamo D > 0, il che significa che l'equazione originale avrà due radici reali.
Per trovarli usiamo la formula radice x = - b ± D 2 · a e, sostituendo i valori corrispondenti, otteniamo: x = - 2 ± 28 2 · 1. Semplifichiamo l'espressione risultante togliendo il fattore dal segno della radice e quindi riducendo la frazione:

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 oppure x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 oppure x = - 1 - 7

Risposta: x = - 1 + 7 ​​​​​​, x = - 1 - 7 .

Esempio 7

Necessità di risolvere un'equazione quadratica − 4×2 + 28×−49 = 0.

Soluzione

Definiamo il discriminante: D = 28 2 − 4 · (− 4) · (− 49) = 784 − 784 = 0. Con questo valore del discriminante l'equazione originale avrà una sola radice, determinata dalla formula x = - b 2 · a.

x = - 28 2 (- 4) x = 3,5

Risposta: x = 3,5.

Esempio 8

L'equazione deve essere risolta 5 e 2 + 6 e + 2 = 0

Soluzione

I coefficienti numerici di questa equazione saranno: a = 5, b = 6 e c = 2. Usiamo questi valori per trovare il discriminante: D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4 . Il discriminante calcolato è negativo, quindi l'equazione quadratica originale non ha radici reali.

Nel caso in cui il compito sia indicare radici complesse, applichiamo la formula della radice, eseguendo azioni con numeri complessi:

x = - 6 ± - 4 2 5,

x = - 6 + 2 i 10 oppure x = - 6 - 2 i 10,

x = - 3 5 + 1 5 · i oppure x = - 3 5 - 1 5 · i.

Risposta: non ci sono vere radici; le radici complesse sono le seguenti: - 3 5 + 1 5 · i, - 3 5 - 1 5 · i.

Nel curriculum scolastico non esiste l'obbligo standard di cercare radici complesse, quindi, se durante la soluzione il discriminante viene determinato come negativo, si scrive subito la risposta che non esistono radici vere e proprie.

Formula di radice per coefficienti secondi pari

La formula radice x = - b ± D 2 · a (D = b 2 − 4 · a · c) permette di ottenere un'altra formula, più compatta, che permette di trovare soluzioni ad equazioni quadratiche con coefficiente pari per x ( o con un coefficiente della forma 2 · n, ad esempio 2 3 o 14 ln 5 = 2 7 ln 5). Mostriamo come si ricava questa formula.

Affrontiamo il compito di trovare una soluzione all'equazione quadratica a · x 2 + 2 · n · x + c = 0 . Procediamo secondo l'algoritmo: determiniamo il discriminante D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 − a c), e quindi utilizziamo la formula della radice:

x = - 2 n ± D 2 a, x = - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x = - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a · c a .

Lascia che l'espressione n 2 − a · c sia indicata come D 1 (a volte è indicata D "). Quindi la formula per le radici dell'equazione quadratica in esame con il secondo coefficiente 2 · n assumerà la forma:

x = - n ± D 1 a, dove D 1 = n 2 − a · c.

È facile vedere che D = 4 · D 1, ovvero D 1 = D 4. In altre parole, D 1 è un quarto del discriminante. Ovviamente, il segno di D 1 è uguale al segno di D, il che significa che il segno di D 1 può anche servire come indicatore della presenza o dell'assenza di radici di un'equazione quadratica.

Definizione 11

Pertanto, per trovare la soluzione di un'equazione quadratica con secondo coefficiente pari a 2 n, è necessario:

• trovare D 1 = n 2 − a · c ;
• in D1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• quando D 1 = 0, determinare l'unica radice dell'equazione utilizzando la formula x = - n a;
• per D 1 > 0, determinare due radici reali utilizzando la formula x = - n ± D 1 a.

Esempio 9

È necessario risolvere l'equazione quadratica 5 x 2 − 6 x − 32 = 0.

Soluzione

Possiamo rappresentare il secondo coefficiente dell'equazione data come 2 · (− 3) . Quindi riscriviamo l'equazione quadratica data come 5 x 2 + 2 (− 3) x − 32 = 0, dove a = 5, n = − 3 e c = − 32.

Calcoliamo la quarta parte del discriminante: D 1 = n 2 − a · c = (− 3) 2 − 5 · (− 32) = 9 + 160 = 169. Il valore risultante è positivo, il che significa che l'equazione ha due radici reali. Determiniamoli utilizzando la formula radice corrispondente:

x = - n ± D 1 a, x = - - 3 ± 169 5, x = 3 ± 13 5,

x = 3 + 13 5 oppure x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 oppure x = - 2

Sarebbe possibile eseguire i calcoli utilizzando la solita formula per le radici di un'equazione quadratica, ma in questo caso la soluzione sarebbe più complicata.

Risposta: x = 3 1 5 oppure x = - 2 .

Semplificazione della forma delle equazioni quadratiche

A volte è possibile ottimizzare la forma dell'equazione originale, il che semplificherà il processo di calcolo delle radici.

Ad esempio, l’equazione quadratica 12 x 2 − 4 x − 7 = 0 è chiaramente più conveniente da risolvere rispetto a 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0.

Più spesso, la semplificazione della forma di un'equazione quadratica viene effettuata moltiplicando o dividendo entrambi i lati per un certo numero. Ad esempio, sopra abbiamo mostrato una rappresentazione semplificata dell'equazione 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0, ottenuta dividendo entrambi i membri per 100.

Tale trasformazione è possibile quando i coefficienti dell'equazione quadratica non sono numeri coprimi. Quindi di solito dividiamo entrambi i lati dell'equazione per il massimo comun divisore dei valori assoluti dei suoi coefficienti.

Ad esempio, utilizziamo l'equazione quadratica 12 x 2 − 42 x + 48 = 0. Determiniamo il MCD dei valori assoluti dei suoi coefficienti: MCD (12, 42, 48) = MCD(MCD (12, 42), 48) = MCD (6, 48) = 6. Dividiamo entrambi i lati dell'equazione quadratica originale per 6 e otteniamo l'equazione quadratica equivalente 2 x 2 − 7 x + 8 = 0.

Moltiplicando entrambi i lati di un'equazione quadratica, di solito si eliminano i coefficienti frazionari. In questo caso si moltiplicano per il minimo comune multiplo dei denominatori dei suoi coefficienti. Ad esempio, se ciascuna parte dell'equazione quadratica 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 = 0 viene moltiplicata per MCM (6, 3, 1) = 6, verrà scritta nella forma più semplice x 2 + 4 x −18 = 0 .

Infine, notiamo che quasi sempre eliminiamo il meno nel primo coefficiente di un'equazione quadratica cambiando i segni di ciascun termine dell'equazione, cosa che si ottiene moltiplicando (o dividendo) entrambi i membri per − 1. Ad esempio, dall'equazione quadratica − 2 x 2 − 3 x + 7 = 0, puoi passare alla sua versione semplificata 2 x 2 + 3 x − 7 = 0.

Relazione tra radici e coefficienti

La formula per le radici delle equazioni quadratiche, a noi già nota, x = - b ± D 2 · a, esprime le radici dell'equazione attraverso i suoi coefficienti numerici. Sulla base di questa formula, abbiamo l'opportunità di specificare altre dipendenze tra radici e coefficienti.

Le formule più famose e applicabili sono il teorema di Vieta:

x 1 + x 2 = - b a e x 2 = c a.

In particolare, per la data equazione quadratica, la somma delle radici è il secondo coefficiente di segno opposto, e il prodotto delle radici è uguale al termine libero. Ad esempio, osservando la forma dell'equazione quadratica 3 x 2 − 7 x + 22 = 0, è possibile determinare immediatamente che la somma delle sue radici è 7 3 e il prodotto delle radici è 22 3.

Puoi anche trovare una serie di altre connessioni tra le radici e i coefficienti di un'equazione quadratica. Ad esempio, la somma dei quadrati delle radici di un'equazione quadratica può essere espressa in termini di coefficienti:

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c a 2.

Se noti un errore nel testo, evidenzialo e premi Ctrl+Invio

Equazione quadratica: facile da risolvere! *Di seguito denominato “KU”. Amici, sembrerebbe che in matematica non ci sia niente di più semplice che risolvere un'equazione del genere. Ma qualcosa mi diceva che molte persone hanno problemi con lui. Ho deciso di vedere quante impressioni su richiesta fornisce Yandex al mese. Ecco cosa è successo, guarda:

Cosa significa? Ciò significa che circa 70.000 persone al mese cercano queste informazioni, e questa è l'estate e, cosa accadrà durante l'anno scolastico, ci saranno il doppio delle richieste. Ciò non sorprende, perché queste informazioni sono alla ricerca di quei ragazzi e ragazze che si sono diplomati a scuola molto tempo fa e si stanno preparando per l'esame di stato unificato, e anche gli scolari si sforzano di rinfrescare la loro memoria.

Nonostante ci siano molti siti che spiegano come risolvere questa equazione, ho deciso di contribuire e pubblicare anche il materiale. In primo luogo, voglio che i visitatori arrivino al mio sito in base a questa richiesta; in secondo luogo, in altri articoli, quando verrà affrontato l'argomento "KU", fornirò un collegamento a questo articolo; in terzo luogo, ti dirò qualcosa in più sulla sua soluzione rispetto a quanto solitamente affermato su altri siti. Iniziamo! Il contenuto dell'articolo:

Un'equazione quadratica è un'equazione della forma:

dove i coefficienti a,Be c sono numeri arbitrari, con a≠0.

Nel corso scolastico, il materiale viene fornito nella seguente forma: le equazioni sono divise in tre classi:

1. Hanno due radici.

2. *Avere una sola radice.

3. Non hanno radici. Vale soprattutto la pena notare qui che non hanno radici vere

Come vengono calcolate le radici? Appena!

Calcoliamo il discriminante. Sotto questa parola “terribile” si nasconde una formula molto semplice:

Le formule di radice sono le seguenti:

*Devi conoscere queste formule a memoria.

Puoi immediatamente scrivere e risolvere:

Esempio:

1. Se D > 0, l'equazione ha due radici.

2. Se D = 0, l'equazione ha una radice.

3. Se D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Consideriamo l'equazione:

A questo proposito, quando il discriminante è pari a zero, il corso scolastico dice che si ottiene una radice, qui è pari a nove. Tutto è corretto, è così, ma...

Questa idea è alquanto errata. In realtà, ci sono due radici. Sì, sì, non stupirti, ottieni due radici uguali e, per essere matematicamente precisi, la risposta dovrebbe scrivere due radici:

x1 = 3x2 = 3

Ma è così: una piccola digressione. A scuola puoi scriverlo e dire che esiste una radice.

Ora il prossimo esempio:

Come sappiamo, la radice di un numero negativo non può essere calcolata, quindi in questo caso non c'è soluzione.

Questo è l'intero processo decisionale.

Funzione quadratica.

Questo mostra come appare geometricamente la soluzione. Questo è estremamente importante da capire (in futuro, in uno degli articoli analizzeremo in dettaglio la soluzione alla disuguaglianza quadratica).

Questa è una funzione della forma:

dove x e y sono variabili

a, b, c – dati numeri, con a ≠ 0

Il grafico è una parabola:

Cioè si scopre che risolvendo un'equazione quadratica con “y” uguale a zero, troviamo i punti di intersezione della parabola con l'asse x. Possono esserci due di questi punti (il discriminante è positivo), uno (il discriminante è zero) e nessuno (il discriminante è negativo). Dettagli sulla funzione quadratica Puoi visualizzare articolo di Inna Feldman.

Diamo un'occhiata agli esempi:

Esempio 1: risolvere 2x 2 +8 X–192=0

a=2 b=8 c= –192

D=b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

Risposta: x 1 = 8 x 2 = –12

*È stato possibile dividere immediatamente i lati sinistro e destro dell'equazione per 2, ovvero semplificarla. I calcoli saranno più facili.

Esempio 2: Decidere x2–22 x+121 = 0

a=1 b=–22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

Abbiamo scoperto che x 1 = 11 e x 2 = 11

È consentito scrivere x = 11 nella risposta.

Risposta: x = 11

Esempio 3: Decidere x2 –8x+72 = 0

a=1 b= –8 c=72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

Il discriminante è negativo, non esiste soluzione nei numeri reali.

Risposta: nessuna soluzione

Il discriminante è negativo. C'è una soluzione!

Qui parleremo della risoluzione dell'equazione nel caso in cui si ottenga un discriminante negativo. Sai qualcosa sui numeri complessi? Non entrerò qui nei dettagli sul perché e dove sono sorti e quale sia il loro ruolo specifico e la loro necessità in matematica; questo è un argomento per un ampio articolo a parte.

Il concetto di numero complesso.

Una piccola teoria.

Un numero complesso z è un numero della forma

z = a + bi

dove a e b sono numeri reali, i è la cosiddetta unità immaginaria.

a+bi – questo è un NUMERO SINGOLO, non un’addizione.

L'unità immaginaria è uguale alla radice di meno uno:

Consideriamo ora l'equazione:

Otteniamo due radici coniugate.

Equazione quadratica incompleta.

Consideriamo casi particolari, ovvero quando il coefficiente “b” o “c” è pari a zero (o entrambi sono pari a zero). Possono essere risolti facilmente senza alcuna discriminante.

Caso 1. Coefficiente b = 0.

L'equazione diventa:

Trasformiamo:

Esempio:

4x 2 –16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = –2

Caso 2. Coefficiente c = 0.

L'equazione diventa:

Trasformiamo e fattorizziamo:

*Il prodotto è uguale a zero quando almeno uno dei fattori è uguale a zero.

Esempio:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 oppure x–5 =0

x1 = 0 x2 = 5

Caso 3. Coefficienti b = 0 e c = 0.

Qui è chiaro che la soluzione dell’equazione sarà sempre x = 0.

Proprietà utili e modelli di coefficienti.

Esistono proprietà che ti consentono di risolvere equazioni con coefficienti grandi.

UNX 2 + bx+ C=0 vale l'uguaglianza

UN + B+ c = 0, Quello

- se per i coefficienti dell'equazione UNX 2 + bx+ C=0 vale l'uguaglianza

UN+ c =B, Quello

Queste proprietà aiutano a risolvere un certo tipo di equazione.

Esempio 1: 5001 X 2 –4995 X – 6=0

La somma delle quote è 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, il che significa

Esempio 2: 2501 X 2 +2507 X+6=0

Vale l’uguaglianza UN+ c =B, Significa

Regolarità dei coefficienti.

1. Se nell'equazione ax 2 + bx + c = 0 il coefficiente “b” è uguale a (a 2 +1) e il coefficiente “c” è numericamente uguale al coefficiente “a”, allora le sue radici sono uguali

ax 2 + (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = –a x 2 = –1/a.

Esempio. Considera l'equazione 6x 2 + 37x + 6 = 0.

x1 = –6 x2 = –1/6.

2. Se nell'equazione ax 2 – bx + c = 0 il coefficiente “b” è uguale a (a 2 +1) e il coefficiente “c” è numericamente uguale al coefficiente “a”, allora le sue radici sono uguali

ax 2 – (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = a x 2 = 1/a.

Esempio. Considera l'equazione 15x 2 –226x +15 = 0.

x1 = 15 x2 = 1/15.

3. Se nell'eq. ax 2 + bx – c = 0 coefficiente “b” è uguale a (a 2 – 1), e coefficiente “c” è numericamente uguale al coefficiente “a”, allora le sue radici sono uguali

ax 2 + (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = – a x 2 = 1/a.

Esempio. Considera l'equazione 17x 2 +288x – 17 = 0.

x1 = –17 x2 = 1/17.

4. Se nell'equazione ax 2 – bx – c = 0 il coefficiente “b” è uguale a (a 2 – 1) e il coefficiente c è numericamente uguale al coefficiente “a”, allora le sue radici sono uguali

ax 2 – (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = a x 2 = – 1/a.

Esempio. Considera l'equazione 10x 2 – 99x –10 = 0.

x1 = 10 x2 = – 1/10

Il teorema di Vieta.

Il teorema di Vieta prende il nome dal famoso matematico francese François Vieta. Usando il teorema di Vieta, possiamo esprimere la somma e il prodotto delle radici di una KU arbitraria in termini di coefficienti.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

In totale, il numero 14 dà solo 5 e 9. Queste sono radici. Con una certa abilità, utilizzando il teorema presentato, puoi risolvere oralmente molte equazioni quadratiche immediatamente.

Inoltre il teorema di Vieta. È conveniente in quanto dopo aver risolto un'equazione quadratica nel solito modo (tramite un discriminante), è possibile verificare le radici risultanti. Consiglio di farlo sempre.

METODO DI TRASPORTO

Con questo metodo il coefficiente “a” viene moltiplicato per il termine libero, come se gli fosse “gettato”, motivo per cui viene chiamato metodo del "trasferimento". Questo metodo viene utilizzato quando le radici dell'equazione possono essere facilmente trovate utilizzando il teorema di Vieta e, soprattutto, quando il discriminante è un quadrato esatto.

Se UN± b+c≠ 0, allora viene utilizzata la tecnica del trasferimento, ad esempio:

2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

Usando il teorema di Vieta nell'equazione (2), è facile determinare che x 1 = 10 x 2 = 1

Le radici risultanti dell'equazione devono essere divise per 2 (poiché le due sono state “lanciate” da x 2), otteniamo

x1 = 5 x2 = 0,5.

Qual è la logica? Guarda cosa sta succedendo.

I discriminanti delle equazioni (1) e (2) sono uguali:

Se guardi le radici delle equazioni, ottieni solo denominatori diversi, e il risultato dipende proprio dal coefficiente di x 2:

Il secondo (modificato) ha radici 2 volte più grandi.

Pertanto dividiamo il risultato per 2.

*Se rilanciamo i tre, divideremo il risultato per 3, ecc.

Risposta: x 1 = 5 x 2 = 0,5

mq. ur-ie e l'esame di stato unificato.

Ti racconto brevemente la sua importanza: DEVI SAPER DECIDERE velocemente e senza pensare, devi conoscere a memoria le formule delle radici e dei discriminanti. Molti dei problemi inclusi nelle attività dell'Esame di Stato Unificato si riducono alla risoluzione di un'equazione quadratica (incluse quelle geometriche).

Qualcosa che vale la pena notare!

1. La forma di scrittura di un'equazione può essere “implicita”. Ad esempio è possibile la seguente voce:

15+ 9x 2 - 45x = 0 o 15x+42+9x 2 - 45x=0 o 15 -5x+10x 2 = 0.

Devi portarlo in un modulo standard (in modo da non confonderti durante la risoluzione).

2. Ricorda che x è una quantità sconosciuta e può essere denotata con qualsiasi altra lettera: t, q, p, h e altre.

Tra l'intero curriculum scolastico di algebra, uno degli argomenti più estesi è l'argomento delle equazioni quadratiche. In questo caso, un'equazione quadratica è intesa come un'equazione della forma ax 2 + bx + c = 0, dove a ≠ 0 (leggi: a moltiplicato per x al quadrato più be x più ce è uguale a zero, dove a non è uguale a zero). In questo caso, il posto principale è occupato dalle formule per trovare il discriminante di un'equazione quadratica del tipo specificato, intesa come un'espressione che consente di determinare la presenza o l'assenza di radici di un'equazione quadratica, nonché la loro numero (se presente).

Formula (equazione) del discriminante di un'equazione quadratica

La formula generalmente accettata per il discriminante di un'equazione quadratica è la seguente: D = b 2 – 4ac. Calcolando il discriminante utilizzando la formula specificata, non solo puoi determinare la presenza e il numero di radici di un'equazione quadratica, ma anche scegliere un metodo per trovare queste radici, di cui ce ne sono diverse a seconda del tipo di equazione quadratica.

Cosa significa se il discriminante è zero \ Formula per le radici di un'equazione quadratica se il discriminante è zero

Il discriminante, come segue dalla formula, è indicato con la lettera latina D. Nel caso in cui il discriminante sia uguale a zero, si dovrebbe concludere che un'equazione quadratica della forma ax 2 + bx + c = 0, dove a ≠ 0, ha una sola radice, che viene calcolata con una formula semplificata. Questa formula si applica solo quando il discriminante è zero e assomiglia a questo: x = –b/2a, dove x è la radice dell'equazione quadratica, b e a sono le variabili corrispondenti dell'equazione quadratica. Per trovare la radice di un'equazione quadratica, devi dividere il valore negativo della variabile b per il doppio del valore della variabile a. L'espressione risultante sarà la soluzione di un'equazione quadratica.

Risolvere un'equazione quadratica utilizzando un discriminante

Se, calcolando il discriminante utilizzando la formula precedente, si ottiene un valore positivo (D è maggiore di zero), l'equazione quadratica ha due radici, che vengono calcolate utilizzando le seguenti formule: x 1 = (–b + vD)/ 2a, x 2 = (–b – vD) /2a. Molto spesso il discriminante non viene calcolato separatamente, ma l'espressione radicale sotto forma di formula discriminante viene semplicemente sostituita nel valore D da cui viene estratta la radice. Se la variabile b ha un valore pari, allora per calcolare le radici di un'equazione quadratica della forma ax 2 + bx + c = 0, dove a ≠ 0, puoi anche utilizzare le seguenti formule: x 1 = (–k + v(k2 – ac))/a , x 2 = (–k + v(k2 – ac))/a, dove k = b/2.

In alcuni casi, per risolvere praticamente le equazioni quadratiche, si può utilizzare il Teorema di Vieta, il quale afferma che per la somma delle radici di un'equazione quadratica della forma x 2 + px + q = 0 vale il valore x 1 + x 2 = –p sarà vero, e per il prodotto delle radici dell'equazione specificata – espressione x 1 x x 2 = q.

Il discriminante può essere minore di zero?

Quando si calcola il valore discriminante, è possibile che si verifichi una situazione che non rientra in nessuno dei casi descritti, ovvero quando il discriminante ha un valore negativo (ovvero inferiore a zero). In questo caso, è generalmente accettato che un'equazione quadratica della forma ax 2 + bx + c = 0, dove a ≠ 0, non abbia radici reali, pertanto la sua soluzione sarà limitata al calcolo del discriminante e alle formule di cui sopra poiché le radici di un'equazione quadratica non si applicheranno, in questo caso ci saranno. Allo stesso tempo, nella risposta all'equazione quadratica è scritto che "l'equazione non ha radici reali".

Video esplicativo:

Continuiamo a studiare l’argomento” risolvere equazioni" Abbiamo già conosciuto le equazioni lineari e stiamo passando alla conoscenza equazioni quadratiche.

Per prima cosa vedremo cos'è un'equazione quadratica, come è scritta in forma generale e forniremo le relative definizioni. Successivamente, utilizzeremo degli esempi per esaminare in dettaglio come vengono risolte le equazioni quadratiche incomplete. Successivamente passeremo alla risoluzione di equazioni complete, otterremo la formula della radice, familiarizzeremo con il discriminante di un'equazione quadratica e considereremo le soluzioni di esempi tipici. Infine, tracciamo le connessioni tra radici e coefficienti.

Navigazione della pagina.

Cos'è un'equazione quadratica? I loro tipi

Per prima cosa devi capire chiaramente cos'è un'equazione quadratica. Pertanto, è logico iniziare una conversazione sulle equazioni quadratiche con la definizione di equazione quadratica e le relative definizioni. Successivamente, puoi considerare i principali tipi di equazioni quadratiche: equazioni ridotte e non ridotte, nonché equazioni complete e incomplete.

Definizione ed esempi di equazioni quadratiche

Definizione.

Equazione quadrataè un'equazione della forma ax2+bx+c=0, dove x è una variabile, a, b e c sono alcuni numeri e a è diverso da zero.

Diciamo subito che le equazioni quadratiche sono spesso chiamate equazioni di secondo grado. Ciò è dovuto al fatto che l'equazione quadratica è equazione algebrica secondo grado.

La definizione riportata ci consente di fornire esempi di equazioni quadratiche. Quindi 2 x 2 +6 x+1=0, 0,2 x 2 +2,5 x+0,03=0, ecc. Queste sono equazioni quadratiche.

Definizione.

Numeri si chiamano a, b e c coefficienti dell'equazione quadratica a·x 2 +b·x+c=0, e il coefficiente a è detto il primo, o il più alto, o il coefficiente di x 2, b è il secondo coefficiente, o il coefficiente di x, e c è il termine libero .

Ad esempio, prendiamo un'equazione quadratica della forma 5 x 2 −2 x −3=0, qui il coefficiente principale è 5, il secondo coefficiente è uguale a −2 e il termine libero è uguale a −3. Si noti che quando i coefficienti b e/o c sono negativi, come nell'esempio appena fornito, la forma breve dell'equazione quadratica è 5 x 2 −2 x−3=0 , anziché 5 x 2 +(−2 ) ·x+(−3)=0 .

Vale la pena notare che quando i coefficienti a e/o b sono uguali a 1 o −1, di solito non sono esplicitamente presenti nell'equazione quadratica, il che è dovuto alle peculiarità della scrittura di tale . Ad esempio, nell'equazione quadratica y 2 −y+3=0 il coefficiente principale è uno e il coefficiente di y è uguale a −1.

Equazioni quadratiche ridotte e non ridotte

A seconda del valore del coefficiente principale, si distinguono equazioni quadratiche ridotte e non ridotte. Diamo le definizioni corrispondenti.

Definizione.

Viene chiamata un'equazione quadratica in cui il coefficiente principale è 1 data equazione quadratica. Altrimenti l'equazione quadratica lo è intatto.

Secondo questa definizione, le equazioni quadratiche x 2 −3·x+1=0, x 2 −x−2/3=0, ecc. – dato che in ciascuno di essi il primo coefficiente è pari a uno. A5 x 2 −x−1=0, ecc. - equazioni quadratiche non ridotte, i cui coefficienti direttivi sono diversi da 1.

Da qualsiasi equazione quadratica non ridotta, dividendo entrambi i membri per il coefficiente principale, puoi passare a quella ridotta. Questa azione è una trasformazione equivalente, cioè l'equazione quadratica ridotta ottenuta in questo modo ha le stesse radici dell'equazione quadratica non ridotta originale, o, come questa, non ha radici.

Consideriamo un esempio di come viene eseguita la transizione da un'equazione quadratica non ridotta a una ridotta.

Esempio.

Dall'equazione 3 x 2 +12 x−7=0, vai alla corrispondente equazione quadratica ridotta.

Soluzione.

Dobbiamo solo dividere entrambi i membri dell'equazione originale per il coefficiente principale 3, è diverso da zero, quindi possiamo eseguire questa azione. Abbiamo (3 x 2 +12 x−7):3=0:3, che è lo stesso, (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0, e quindi (3: 3) x 2 +(12:3) x−7:3=0, da dove . È così che abbiamo ottenuto l'equazione quadratica ridotta, che è equivalente a quella originale.

Risposta:

Equazioni quadratiche complete e incomplete

La definizione di un'equazione quadratica contiene la condizione a≠0. Questa condizione è necessaria affinché l'equazione a x 2 + b x + c = 0 sia quadratica, poiché quando a = 0 diventa effettivamente un'equazione lineare della forma b x + c = 0.

Per quanto riguarda i coefficienti b e c, essi possono essere pari a zero, sia singolarmente che insieme. In questi casi, l'equazione quadratica è detta incompleta.

Definizione.

Si chiama l'equazione quadratica a x 2 +b x+c=0 incompleto, se almeno uno dei coefficienti b, c è uguale a zero.

Nel suo turno

Definizione.

Equazione quadratica completaè un'equazione in cui tutti i coefficienti sono diversi da zero.

Tali nomi non sono stati dati per caso. Ciò risulterà chiaro dalle discussioni seguenti.

Se il coefficiente b è zero, allora l'equazione quadratica assume la forma a·x 2 +0·x+c=0, ed è equivalente all'equazione a·x 2 +c=0. Se c=0, cioè l'equazione quadratica ha la forma a·x 2 +b·x+0=0, allora può essere riscritta come a·x 2 +b·x=0. E con b=0 e c=0 otteniamo l'equazione quadratica a·x 2 =0. Le equazioni risultanti differiscono dall'equazione quadratica completa in quanto i loro lati di sinistra non contengono né un termine con la variabile x, né un termine libero, o entrambi. Da qui il loro nome: equazioni quadratiche incomplete.

Quindi le equazioni x 2 +x+1=0 e −2 x 2 −5 x+0.2=0 sono esempi di equazioni quadratiche complete e x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3=0 , −x 2 −5 x=0 sono equazioni quadratiche incomplete.

Risoluzione di equazioni quadratiche incomplete

Dalle informazioni del paragrafo precedente ne consegue che esiste tre tipi di equazioni quadratiche incomplete:

• a·x 2 =0, ad esso corrispondono i coefficienti b=0 e c=0;
• ax2 +c=0 quando b=0 ;
• e a·x 2 +b·x=0 quando c=0.

Esaminiamo in ordine come vengono risolte le equazioni quadratiche incomplete di ciascuno di questi tipi.

ax2 =0

Cominciamo risolvendo equazioni quadratiche incomplete in cui i coefficienti bec sono uguali a zero, cioè con equazioni della forma a x 2 =0. L'equazione a·x 2 =0 è equivalente all'equazione x 2 =0, che si ottiene dall'originale dividendo entrambe le parti per un numero a diverso da zero. Ovviamente la radice dell'equazione x 2 =0 è zero, poiché 0 2 =0. Questa equazione non ha altre radici, il che si spiega con il fatto che per ogni numero p diverso da zero vale la disuguaglianza p 2 >0, il che significa che per p≠0 l'uguaglianza p 2 =0 non è mai raggiunta.

Quindi, l'equazione quadratica incompleta a·x 2 =0 ha una sola radice x=0.

Ad esempio, diamo la soluzione dell'equazione quadratica incompleta −4 x 2 =0. È equivalente all'equazione x 2 =0, la sua unica radice è x=0, quindi l'equazione originale ha un'unica radice zero.

Una breve soluzione in questo caso può essere scritta come segue:
−4x2 =0 ,
x2 =0,
x=0.

ax2+c=0

Vediamo ora come si risolvono le equazioni quadratiche incomplete in cui il coefficiente b è zero e c≠0, cioè equazioni della forma a x 2 +c=0. Sappiamo che spostare un termine da un lato all'altro dell'equazione con il segno opposto, così come dividere entrambi i lati dell'equazione per un numero diverso da zero, dà un'equazione equivalente. Possiamo quindi effettuare le seguenti trasformazioni equivalenti dell'equazione quadratica incompleta a x 2 + c=0:

• sposta c a destra, ottenendo l'equazione a x 2 =−c,
• e dividiamo entrambi i membri per a, otteniamo .

L'equazione risultante ci consente di trarre conclusioni sulle sue radici. A seconda dei valori di a e c, il valore dell'espressione può essere negativo (ad esempio, se a=1 e c=2, allora ) o positivo (ad esempio, se a=−2 e c=6, allora ), non è zero , poiché per la condizione c≠0. Consideriamo i casi separatamente.

Se , allora l'equazione non ha radici. Questa affermazione deriva dal fatto che il quadrato di qualsiasi numero è un numero non negativo. Ne consegue che quando , allora per qualsiasi numero p l'uguaglianza non può essere vera.

Se , allora la situazione con le radici dell'equazione è diversa. In questo caso, se ricordiamo , la radice dell'equazione diventa immediatamente ovvia: è il numero, poiché . È facile intuire che il numero è anche la radice dell’equazione, infatti, . Questa equazione non ha altre radici, il che può essere dimostrato, ad esempio, per contraddizione. Facciamolo.

Indichiamo le radici dell'equazione appena annunciata con x 1 e −x 1 . Supponiamo che l'equazione abbia una radice in più x 2, diversa dalle radici x 1 e −x 1 indicate. È noto che sostituendo le sue radici in un'equazione invece di x si trasforma l'equazione in un'uguaglianza numerica corretta. Per x 1 e −x 1 abbiamo , e per x 2 abbiamo . Le proprietà delle uguaglianze numeriche ci consentono di eseguire la sottrazione termine per termine delle uguaglianze numeriche corrette, quindi sottraendo le parti corrispondenti delle uguaglianze si ottiene x 1 2 −x 2 2 =0. Le proprietà delle operazioni con i numeri ci permettono di riscrivere l'uguaglianza risultante come (x 1 −x 2)·(x 1 +x 2)=0. Sappiamo che il prodotto di due numeri è uguale a zero se e solo se almeno uno di essi è uguale a zero. Pertanto, dall’uguaglianza risultante segue che x 1 −x 2 =0 e/o x 1 +x 2 =0, che è la stessa cosa, x 2 =x 1 e/o x 2 =−x 1. Siamo quindi arrivati ​​ad una contraddizione, poiché all’inizio abbiamo detto che la radice dell’equazione x 2 è diversa da x 1 e −x 1. Ciò dimostra che l'equazione non ha radici diverse da e .

Riassumiamo le informazioni in questo paragrafo. L'equazione quadratica incompleta a x 2 + c=0 è equivalente all'equazione that

• non ha radici se,
• ha due radici e, se .

Consideriamo esempi di risoluzione di equazioni quadratiche incomplete della forma a·x 2 +c=0.

Cominciamo con l'equazione quadratica 9 x 2 +7=0. Dopo aver spostato il termine libero sul lato destro dell'equazione, assumerà la forma 9 x 2 =−7. Dividendo entrambi i membri dell'equazione risultante per 9, arriviamo a . Poiché il lato destro ha un numero negativo, questa equazione non ha radici, quindi l'equazione quadratica incompleta originale 9 x 2 +7 = 0 non ha radici.

Risolviamo un'altra equazione quadratica incompleta −x 2 +9=0. Spostiamo i nove a destra: −x 2 = −9. Ora dividiamo entrambi i membri per −1 e otteniamo x 2 =9. Sul lato destro c'è un numero positivo, dal quale concludiamo che o . Poi scriviamo la risposta finale: l'equazione quadratica incompleta −x 2 +9=0 ha due radici x=3 o x=−3.

ax2+bx=0

Resta da affrontare la soluzione dell'ultimo tipo di equazioni quadratiche incomplete per c=0. Equazioni quadratiche incomplete della forma a x 2 + b x = 0 ti permettono di risolvere metodo di fattorizzazione. Ovviamente possiamo, situato sul lato sinistro dell'equazione, per cui è sufficiente togliere il fattore comune x tra parentesi. Ciò ci consente di passare dall'equazione quadratica incompleta originale a un'equazione equivalente della forma x·(a·x+b)=0. E questa equazione è equivalente a un insieme di due equazioni x=0 e a·x+b=0, l'ultima delle quali è lineare e ha radice x=−b/a.

Quindi, l'equazione quadratica incompleta a·x 2 +b·x=0 ha due radici x=0 e x=−b/a.

Per consolidare il materiale, analizzeremo la soluzione con un esempio specifico.

Esempio.

Risolvi l'equazione.

Soluzione.

Togliendo x dalle parentesi si ottiene l'equazione . È equivalente a due equazioni x=0 e . Risolviamo l'equazione lineare risultante: , e dividendo il numero misto per una frazione ordinaria, troviamo . Pertanto, le radici dell'equazione originale sono x=0 e .

Dopo aver acquisito la pratica necessaria, le soluzioni a tali equazioni possono essere scritte brevemente:

Risposta:

x=0, .

Discriminante, formula per le radici di un'equazione quadratica

Per risolvere le equazioni quadratiche, esiste una formula radice. Scriviamolo formula per le radici di un'equazione quadratica: , Dove D=b 2 −4 a c- cosiddetto discriminante di un'equazione quadratica. La voce essenzialmente significa che .

È utile sapere come è stata derivata la formula della radice e come viene utilizzata per trovare le radici delle equazioni quadratiche. Scopriamolo.

Derivazione della formula per le radici di un'equazione quadratica

Dobbiamo risolvere l'equazione quadratica a·x 2 +b·x+c=0. Eseguiamo alcune trasformazioni equivalenti:

• Possiamo dividere entrambi i lati di questa equazione per un numero diverso da zero a, ottenendo la seguente equazione quadratica.
• Ora seleziona un quadrato completo sul lato sinistro: . Successivamente l'equazione assumerà la forma .
• A questo punto è possibile trasferire gli ultimi due termini a destra con il segno opposto, abbiamo .
• E trasformiamo anche l’espressione a destra: .

Di conseguenza, arriviamo a un'equazione equivalente all'equazione quadratica originale a·x 2 +b·x+c=0.

Abbiamo già risolto equazioni simili nella forma nei paragrafi precedenti, quando le abbiamo esaminate. Ciò ci consente di trarre le seguenti conclusioni riguardo alle radici dell’equazione:

• se , allora l'equazione non ha soluzioni reali;
• se , allora l'equazione ha la forma , quindi, , da cui è visibile la sua unica radice;
• se , allora o , che è uguale a o , cioè l'equazione ha due radici.

Pertanto, la presenza o l'assenza di radici dell'equazione, e quindi dell'equazione quadratica originale, dipende dal segno dell'espressione a destra. A sua volta il segno di questa espressione è determinato dal segno del numeratore, poiché il denominatore 4·a 2 è sempre positivo, cioè dal segno dell'espressione b 2 −4·a·c. Questa espressione è stata chiamata b 2 −4 a c discriminante di un'equazione quadratica e designato dalla lettera D. Da qui l'essenza del discriminante è chiara: in base al suo valore e segno, concludono se l'equazione quadratica ha radici reali e, in tal caso, qual è il loro numero: uno o due.

Torniamo all'equazione e riscriviamola utilizzando la notazione discriminante: . E traiamo le conclusioni:

• se d<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• se D=0, allora questa equazione ha una radice unica;
• infine, se D>0, allora l'equazione ha due radici o, che può essere riscritta nella forma o, e dopo aver espanso e portato le frazioni a un denominatore comune si ottiene.

Quindi abbiamo derivato le formule per le radici dell'equazione quadratica, assomigliano a , dove il discriminante D è calcolato con la formula D=b 2 −4·a·c.

Con il loro aiuto, con un discriminante positivo, puoi calcolare entrambe le radici reali di un'equazione quadratica. Quando il discriminante è uguale a zero, entrambe le formule danno lo stesso valore della radice, corrispondente ad un'unica soluzione dell'equazione quadratica. E con un discriminante negativo, quando proviamo a utilizzare la formula per le radici di un'equazione quadratica, ci troviamo di fronte all'estrazione della radice quadrata di un numero negativo, il che ci porta oltre l'ambito del curriculum scolastico. Con un discriminante negativo, l'equazione quadratica non ha radici reali, ma ha una coppia complesso coniugato radici, che possono essere trovate utilizzando le stesse formule di radice che abbiamo ottenuto.

Algoritmo per la risoluzione di equazioni quadratiche utilizzando formule di radice

In pratica, quando risolvi equazioni quadratiche, puoi immediatamente utilizzare la formula radice per calcolarne i valori. Ma questo è più legato alla ricerca di radici complesse.

Tuttavia, in un corso di algebra scolastica di solito non si parla di radici complesse, ma di radici reali di un'equazione quadratica. In questo caso è consigliabile, prima di utilizzare le formule per le radici di un'equazione quadratica, trovare prima il discriminante, assicurarsi che sia non negativo (altrimenti si può concludere che l'equazione non ha radici reali), e solo dopo calcolare i valori delle radici.

Il ragionamento di cui sopra ci permette di scrivere algoritmo per risolvere un'equazione quadratica. Per risolvere l'equazione quadratica a x 2 +b x+c=0, devi:

• utilizzando la formula discriminante D=b 2 −4·a·c, calcolarne il valore;
• concludere che un'equazione quadratica non ha radici reali se il discriminante è negativo;
• calcolare l'unica radice dell'equazione utilizzando la formula se D=0;
• trova due radici reali di un'equazione quadratica utilizzando la formula della radice se il discriminante è positivo.

Qui notiamo solo che se il discriminante è uguale a zero, potete anche usare la formula; darà lo stesso valore di .

Puoi passare agli esempi di utilizzo dell'algoritmo per risolvere equazioni quadratiche.

Esempi di risoluzione di equazioni quadratiche

Consideriamo le soluzioni di tre equazioni quadratiche con discriminante positivo, negativo e zero. Dopo aver affrontato la loro soluzione, per analogia sarà possibile risolvere qualsiasi altra equazione quadratica. Cominciamo.

Esempio.

Trova le radici dell'equazione x 2 +2·x−6=0.

Soluzione.

In questo caso, abbiamo i seguenti coefficienti dell'equazione quadratica: a=1, b=2 e c=−6. Secondo l'algoritmo, devi prima calcolare il discriminante; per fare ciò, sostituiamo le a, b e c indicate nella formula discriminante, abbiamo D=b 2 −4·a·c=2 2 −4·1·(−6)=4+24=28. Poiché 28>0, cioè il discriminante è maggiore di zero, l'equazione quadratica ha due radici reali. Troviamoli usando la formula della radice, otteniamo , qui puoi semplificare le espressioni risultanti facendo spostando il moltiplicatore oltre il segno della radice seguita dalla riduzione della frazione:

Risposta:

Passiamo al prossimo esempio tipico.

Esempio.

Risolvi l'equazione quadratica −4 x 2 +28 x−49=0 .

Soluzione.

Iniziamo trovando il discriminante: D=28 2 −4·(−4)·(−49)=784−784=0. Pertanto, questa equazione quadratica ha un'unica radice, che troviamo come , cioè

Risposta:

x=3,5.

Resta da considerare la risoluzione di equazioni quadratiche con discriminante negativo.

Esempio.

Risolvi l'equazione 5·y 2 +6·y+2=0.

Soluzione.

Ecco i coefficienti dell'equazione quadratica: a=5, b=6 e c=2. Sostituiamo questi valori nella formula discriminante, abbiamo D=b 2 −4·a·c=6 2 −4·5·2=36−40=−4. Il discriminante è negativo, quindi questa equazione quadratica non ha radici reali.

Se è necessario indicare radici complesse, applichiamo la nota formula per le radici di un'equazione quadratica ed eseguiamo operazioni con numeri complessi:

Risposta:

non esistono radici vere e proprie, le radici complesse sono: .

Notiamo ancora una volta che se il discriminante di un'equazione quadratica è negativo, a scuola di solito scrivono immediatamente una risposta in cui indicano che non ci sono radici reali e non si trovano radici complesse.

Formula di radice per coefficienti secondi pari

La formula per le radici di un'equazione quadratica, dove D=b 2 −4·a·c consente di ottenere una formula di forma più compatta, consentendo di risolvere equazioni quadratiche con un coefficiente pari per x (o semplicemente con a coefficiente avente la forma 2·n, ad esempio, oppure 14· ln5=2·7·ln5 ). Tiriamola fuori.

Diciamo che dobbiamo risolvere un'equazione quadratica della forma a x 2 +2 n x+c=0. Troviamo le sue radici utilizzando la formula che conosciamo. Per fare ciò calcoliamo il discriminante D=(2 n) 2 −4 a c=4 n 2 −4 a c=4 (n 2 −a c), e quindi usiamo la formula radice:

Denotiamo l'espressione n 2 −a c come D 1 (a volte è indicato D "). Quindi la formula per le radici dell'equazione quadratica in esame con il secondo coefficiente 2 n assumerà la forma , dove D 1 =n 2 −a·c.

È facile vedere che D=4·D 1, ovvero D 1 =D/4. In altre parole, D 1 è la quarta parte del discriminante. È chiaro che il segno di D 1 è lo stesso del segno di D . Cioè, il segno D 1 è anche un indicatore della presenza o dell'assenza di radici di un'equazione quadratica.

Quindi, per risolvere un'equazione quadratica con un secondo coefficiente 2·n, è necessario

• Calcola D 1 =n 2 −a·c ;
• Se D1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• Se D 1 =0, calcola l'unica radice dell'equazione utilizzando la formula;
• Se D 1 >0, trova due radici reali utilizzando la formula.

Consideriamo di risolvere l'esempio utilizzando la formula radice ottenuta in questo paragrafo.

Esempio.

Risolvi l'equazione quadratica 5 x 2 −6 x −32=0 .

Soluzione.

Il secondo coefficiente di questa equazione può essere rappresentato come 2·(−3) . Cioè, puoi riscrivere l'equazione quadratica originale nella forma 5 x 2 +2 (−3) x−32=0, qui a=5, n=−3 e c=−32, e calcolare la quarta parte dell'equazione discriminante: D 1 =n 2 −a·c=(−3) 2 −5·(−32)=9+160=169. Poiché il suo valore è positivo, l'equazione ha due radici reali. Troviamoli utilizzando la formula radice appropriata:

Si noti che era possibile utilizzare la solita formula per le radici di un'equazione quadratica, ma in questo caso sarebbe stato necessario un lavoro computazionale maggiore.

Risposta:

Semplificazione della forma delle equazioni quadratiche

A volte, prima di iniziare a calcolare le radici di un'equazione quadratica utilizzando le formule, non fa male porre la domanda: "È possibile semplificare la forma di questa equazione?" Concordo sul fatto che in termini di calcoli sarà più facile risolvere l'equazione quadratica 11 x 2 −4 x−6=0 che 1100 x 2 −400 x−600=0.

In genere, la semplificazione della forma di un'equazione quadratica si ottiene moltiplicando o dividendo entrambi i membri per un certo numero. Ad esempio, nel paragrafo precedente è stato possibile semplificare l’equazione 1100 x 2 −400 x −600=0 dividendo entrambi i membri per 100.

Una trasformazione simile viene eseguita con equazioni quadratiche, i cui coefficienti non sono . In questo caso, entrambi i lati dell'equazione sono solitamente divisi per i valori assoluti dei suoi coefficienti. Ad esempio, prendiamo l'equazione quadratica 12 x 2 −42 x+48=0. valori assoluti dei suoi coefficienti: MCD(12, 42, 48)= MCD(MCD(12, 42), 48)= MCD(6, 48)=6. Dividendo entrambi i lati dell'equazione quadratica originale per 6, arriviamo all'equazione quadratica equivalente 2 x 2 −7 x+8=0.

E la moltiplicazione di entrambi i lati di un'equazione quadratica viene solitamente eseguita per eliminare i coefficienti frazionari. In questo caso, la moltiplicazione viene eseguita per i denominatori dei suoi coefficienti. Ad esempio, se entrambi i lati dell'equazione quadratica vengono moltiplicati per LCM(6, 3, 1)=6, assumerà la forma più semplice x 2 +4·x−18=0.

In conclusione di questo punto, notiamo che quasi sempre eliminano il meno al coefficiente più alto di un'equazione quadratica cambiando i segni di tutti i termini, il che corrisponde a moltiplicare (o dividere) entrambi i membri per −1. Ad esempio, solitamente si passa dall'equazione quadratica −2 x 2 −3 x+7=0 alla soluzione 2 x 2 +3 x−7=0 .

Relazione tra radici e coefficienti di un'equazione quadratica

La formula per le radici di un'equazione quadratica esprime le radici dell'equazione attraverso i suoi coefficienti. In base alla formula della radice si possono ottenere altre relazioni tra radici e coefficienti.

Le formule più conosciute e applicabili del teorema di Vieta sono della forma e . In particolare, per la data equazione quadratica, la somma delle radici è uguale al secondo coefficiente con segno opposto, e il prodotto delle radici è uguale al termine libero. Ad esempio, osservando la forma dell'equazione quadratica 3 x 2 −7 x + 22 = 0, possiamo immediatamente dire che la somma delle sue radici è uguale a 7/3 e il prodotto delle radici è uguale a 22 /3.

Utilizzando le formule già scritte, puoi ottenere una serie di altre connessioni tra le radici e i coefficienti dell'equazione quadratica. Ad esempio, puoi esprimere la somma dei quadrati delle radici di un'equazione quadratica attraverso i suoi coefficienti: .

Bibliografia.

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• Mordkovich A.G. Algebra. 8 ° grado. In 2 ore Parte 1. Libro di testo per studenti di istituti di istruzione generale / A. G. Mordkovich. - 11a edizione, cancellata. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 p.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.

In questo articolo esamineremo la risoluzione di equazioni quadratiche incomplete.

Ma prima ripetiamo quali equazioni sono chiamate quadratiche. Un'equazione della forma ax 2 + bx + c = 0, dove x è una variabile, e i coefficienti a, b e c sono alcuni numeri, e a ≠ 0, si chiama piazza. Come vediamo, il coefficiente per x 2 non è uguale a zero, e quindi i coefficienti per x o il termine libero possono essere uguali a zero, nel qual caso otteniamo un'equazione quadratica incompleta.

Esistono tre tipi di equazioni quadratiche incomplete:

1) Se b = 0, c ≠ 0, allora ax 2 + c = 0;

2) Se b ≠ 0, c = 0, allora ax 2 + bx = 0;

3) Se b = 0, c = 0, allora ax 2 = 0.

• Scopriamo come risolvere equazioni della forma ax 2 + c = 0.

Per risolvere l'equazione, spostiamo il termine libero c sul lato destro dell'equazione, otteniamo

asse 2 = ‒s. Poiché a ≠ 0, dividiamo entrambi i membri dell'equazione per a, quindi x 2 = ‒c/a.

Se ‒с/а > 0, l'equazione ha due radici

x = ±√(–c/a) .

Se ‒c/a< 0, то это уравнение решений не имеет. Более наглядно решение данных уравнений представлено на схеме.

Proviamo a capire con esempi come risolvere tali equazioni.

Esempio 1. Risolvi l'equazione 2x 2 ‒ 32 = 0.

Risposta: x 1 = - 4, x 2 = 4.

Esempio 2. Risolvi l'equazione 2x 2 + 8 = 0.

Risposta: l'equazione non ha soluzioni.

• Scopriamo come risolverlo equazioni della forma ax 2 + bx = 0.

Per risolvere l'equazione ax 2 + bx = 0, fattorizziamola, ovvero togliendo x tra parentesi, otteniamo x(ax + b) = 0. Il prodotto è uguale a zero se almeno uno dei fattori è uguale a zero. Allora o x = 0, oppure ax + b = 0. Risolvendo l'equazione ax + b = 0, otteniamo ax = - b, da cui x = - b/a. Un'equazione della forma ax 2 + bx = 0 ha sempre due radici x 1 = 0 e x 2 = ‒ b/a. Guarda come appare la soluzione di equazioni di questo tipo nel diagramma.

Consolidiamo la nostra conoscenza con un esempio specifico.

Esempio 3. Risolvi l'equazione 3x 2 ‒ 12x = 0.

x(3x ‒ 12) = 0

x= 0 oppure 3x – 12 = 0

Risposta: x1 = 0, x2 = 4.

• Equazioni del terzo tipo ax 2 = 0 si risolvono in modo molto semplice.

Se ax 2 = 0, allora x 2 = 0. L'equazione ha due radici uguali x 1 = 0, x 2 = 0.

Per chiarezza, diamo un'occhiata al diagramma.

Quando risolviamo l'Esempio 4 assicuriamoci che equazioni di questo tipo possano essere risolte in modo molto semplice.

Esempio 4. Risolvi l'equazione 7x 2 = 0.

Risposta: x 1, 2 = 0.

Non è sempre immediatamente chiaro quale tipo di equazione quadratica incompleta dobbiamo risolvere. Considera il seguente esempio.

Esempio 5. Risolvi l'equazione

Moltiplichiamo entrambi i lati dell'equazione per un denominatore comune, cioè per 30

Tagliamolo

5(5x 2 + 9) – 6(4x 2 – 9) = 90.

Apriamo le parentesi

25x2 + 45 – 24x2 + 54 = 90.

Diamo simili

Spostiamo 99 dal lato sinistro dell'equazione a destra, cambiando il segno al contrario

Risposta: nessuna radice.

Abbiamo esaminato come vengono risolte le equazioni quadratiche incomplete. Spero che ora non avrai alcuna difficoltà con tali compiti. Fai attenzione quando determini il tipo di equazione quadratica incompleta, quindi avrai successo.

Se hai domande su questo argomento, iscriviti alle mie lezioni, risolveremo insieme i problemi che si presentano.

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