Ինչպես գտնել թվերի հանգույցը և հանգույցը: Էվկլիդեսյան ալգորիթմ - գտնել ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը: Գործողություններ, եթե անհրաժեշտ է որոշել GCD-ն, եթե նշված են երկուից ավելի արժեքներ

Ամենամեծ բնական թիվը, որով a և b թվերը բաժանվում են առանց մնացորդի, կոչվում է ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարըայս թվերը. Նշեք GCD(a, b):

Դիտարկենք GCD-ի հայտնաբերումը երկու բնական թվերի 18 և 60 օրինակով.

324 , 111 Եվ 432

Եկեք թվերը դասավորենք պարզ գործոնների.

324 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3

111 = 3×37

432 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3

Անցնելով առաջին թվից, որի գործակիցները երկրորդ և երրորդ թվերում չկան, ստանում ենք.

2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 = 3

Արդյունքում, GCD ( 324 , 111 , 432 )=3

Գտեք GCD-ն՝ օգտագործելով Էվկլիդեսյան ալգորիթմը

Մեծագույն ընդհանուր բաժանարարը գտնելու երկրորդ եղանակը օգտագործումն է Էվկլիդեսյան ալգորիթմ. Էվկլիդեսյան ալգորիթմը գտնելու ամենաարդյունավետ միջոցն է GCD, օգտագործելով այն պետք է անընդհատ գտնել թվերի բաժանման մնացորդը և կիրառել կրկնության բանաձեւ.

Կրկնության բանաձեւ GCD-ի համար, GCD(a, b)=GCD(b, a mod b), որտեղ a mod b-ը a-ի մնացորդն է, որը բաժանվում է b-ի:

Էվկլիդեսի ալգորիթմը

Օրինակ Գտե՛ք թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը 7920 Եվ 594

Եկեք գտնենք GCD ( 7920 , 594 ) օգտագործելով Էվկլիդեսյան ալգորիթմը, մենք հաշվարկելու ենք բաժանման մնացորդը հաշվիչի միջոցով:

• 7920 mod 594 = 7920 - 13 × 594 = 198
• 594 mod 198 = 594 – 3 × 198 = 0

Արդյունքում մենք ստանում ենք GCD( 7920 , 594 ) = 198

Ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը

Տարբեր հայտարարներով կոտորակներ գումարել-հանելիս ընդհանուր հայտարար գտնելու համար պետք է իմանալ և կարողանալ հաշվել. նվազագույն ընդհանուր բազմապատիկ(NOK):

«Ա» թվի բազմապատիկը այն թիվն է, որն ինքնին բաժանվում է «ա» թվի վրա՝ առանց մնացորդի:

8-ի բազմապատիկ թվեր (այսինքն՝ այս թվերը առանց մնացորդի բաժանվում են 8-ի). սրանք 16, 24, 32 թվերն են...

9-ի բազմապատիկները՝ 18, 27, 36, 45…

Տրված a թվի բազմապատիկները անսահմանորեն շատ են՝ ի տարբերություն նույն թվի բաժանարարների։ Կա սահմանափակ թվով բաժանարարներ:

Երկու բնական թվերի ընդհանուր բազմապատիկը այն թիվն է, որը բաժանվում է այս երկու թվերի վրա:.

Ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկըԵրկու կամ ավելի բնական թվերի (LCM) ամենափոքր բնական թիվն է, որն ինքնին բաժանվում է այս թվերից յուրաքանչյուրի վրա։

Ինչպես գտնել NOC-ը

LCM-ը կարելի է գտնել և գրել երկու եղանակով.

LOC-ը գտնելու առաջին միջոցը

Այս մեթոդը սովորաբար օգտագործվում է փոքր թվերի համար:

1. Յուրաքանչյուր թվի բազմապատիկները գրում ենք տողի վրա, մինչև գտնենք մի բազմապատիկ, որը նույնն է երկու թվերի համար:
2. «Ա» թվի բազմապատիկը նշվում է «Կ» մեծատառով:

Օրինակ. Գտեք LCM 6 և 8:

LOC-ն գտնելու երկրորդ ճանապարհը

Այս մեթոդը հարմար է օգտագործել երեք կամ ավելի թվերի համար LCM-ն գտնելու համար:

Թվերի տարրալուծման մեջ նույնական գործոնների թիվը կարող է տարբեր լինել:

Դուք կարող եք նաև պաշտոնականացնել նվազագույն ընդհանուր բազմապատիկը (LCM) գտնելը հետևյալ կերպ. Եկեք գտնենք LOC-ը (12, 16, 24):

24 = 2 2 2 3

Ինչպես տեսնում ենք թվերի տարրալուծումից, 12-ի բոլոր գործոնները ներառված են 24-ի տարրալուծման մեջ (թվերից ամենամեծը), ուստի LCM-ին ավելացնում ենք միայն մեկ 2-ը 16 թվի տարրալուծումից։

LCM (12, 16, 24) = 2 2 2 3 2 = 48

Պատասխան՝ LCM (12, 16, 24) = 48

NPL-ի հայտնաբերման հատուկ դեպքեր

Օրինակ, LCM (60, 15) = 60
Քանի որ համատեղ պարզ թվերը չունեն ընդհանուր պարզ գործակիցներ, նրանց ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը հավասար է այս թվերի արտադրյալին:

Մեր կայքում դուք կարող եք նաև օգտագործել հատուկ հաշվիչ՝ ձեր հաշվարկները ստուգելու համար առցանց ամենաքիչ տարածված բազմապատիկը գտնելու համար:

Եթե ​​բնական թիվը բաժանվում է միայն 1-ի և ինքն իրեն, ապա այն կոչվում է պարզ:

Ցանկացած բնական թիվ միշտ բաժանվում է 1-ի և ինքն իր վրա։

2 թիվը ամենափոքր պարզ թիվն է։ Սա միակ պարզ թիվն է, մնացած պարզ թվերը կենտ են։

Պարզ թվերը շատ են, և դրանցից առաջինը 2-ն է։ Այնուամենայնիվ, վերջին պարզ թիվ չկա: «Ուսումնասիրության համար» բաժնում կարող եք ներբեռնել մինչև 997 պարզ թվերի աղյուսակ:

Բայց շատ բնական թվեր բաժանվում են նաև այլ բնական թվերի։

• 12 թիվը բաժանվում է 1-ի, 2-ի, 3-ի, 4-ի, 6-ի, 12-ի;
• 36 թիվը բաժանվում է 1-ի, 2-ի, 3-ի, 4-ի, 6-ի, 12-ի, 18-ի, 36-ի։

Այն թվերը, որոնցով թիվը բաժանվում է ամբողջի (12-ի համար դրանք 1, 2, 3, 4, 6 և 12 են) կոչվում են թվի բաժանարարներ։

Ա բնական թվի բաժանարարը այն բնական թիվն է, որը տրված «ա» թիվը բաժանում է առանց մնացորդի։

Այն բնական թիվը, որն ունի երկուից ավելի բաժանարար, կոչվում է բաղադրյալ:

Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ 12 և 36 թվերն ունեն ընդհանուր գործոններ: Այս թվերն են՝ 1, 2, 3, 4, 6, 12։ Այս թվերի ամենամեծ բաժանարարը 12-ն է։

Երկու տրված «a» և «b» թվերի ընդհանուր բաժանարարն այն թիվն է, որով երկու տրված «a» և «b» թվերը բաժանվում են առանց մնացորդի:

Ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարըԵրկու տրված «a» և «b» թվերի (GCD) ամենամեծ թիվն է, որով երկու «a» և «b» թվերը բաժանվում են առանց մնացորդի:

Համառոտ, «a» և «b» թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը գրվում է հետևյալ կերպ.:

Օրինակ՝ gcd (12; 36) = 12:

Լուծման նշման մեջ թվերի բաժանարարները նշվում են «D» մեծատառով:

7 և 9 թվերն ունեն միայն մեկ ընդհանուր բաժանարար՝ թիվ 1։ Նման թվերը կոչվում են համապարփակ թվեր.

Համապարփակ թվեր- սրանք բնական թվեր են, որոնք ունեն միայն մեկ ընդհանուր բաժանարար՝ թիվ 1: Նրանց gcd-ն 1 է:

Ինչպես գտնել ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը

Երկու կամ ավելի բնական թվերի gcd-ն գտնելու համար անհրաժեշտ է.

• թվերի բաժանարարները տարրալուծել պարզ գործակիցների.

Հարմար է հաշվարկներ գրել՝ օգտագործելով ուղղահայաց բար։ Տողից ձախ նախ գրում ենք շահաբաժինը, աջում՝ բաժանարարը։ Հաջորդը, ձախ սյունակում մենք գրում ենք գործակիցների արժեքները:

Միանգամից բացատրենք օրինակով։ 28 և 64 թվերը դասավորենք պարզ գործակիցների:

Երկու թվերում էլ շեշտում ենք նույն պարզ գործոնները։
28 = 2 2 7

64 = 2 2 2 2 2 2
Գտե՛ք նույնական պարզ գործակիցների արտադրյալը և գրե՛ք պատասխանը.
GCD (28; 64) = 2 2 = 4

Պատասխան՝ GCD (28; 64) = 4

Դուք կարող եք պաշտոնականացնել GCD-ի գտնվելու վայրը երկու եղանակով՝ սյունակում (ինչպես արվել է վերևում) կամ «անընդմեջ»:

GCD գրելու առաջին միջոցը

Գտեք gcd 48 և 36:

GCD (48; 36) = 2 2 3 = 12

gcd գրելու երկրորդ եղանակը

Այժմ եկեք գրենք GCD որոնման լուծումը տողով: Գտեք gcd 10 և 15:

Մեր տեղեկատվական կայքում դուք կարող եք նաև օգտագործել Greatest Common Divisor առցանց օգնականը՝ ստուգելու ձեր հաշվարկները:

Գտնել ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը, մեթոդներ, LCM-ն գտնելու օրինակներ:

Ստորև ներկայացված նյութը LCM-նվազագույն ընդհանուր բազմապատիկ, սահմանում, օրինակներ, կապ LCM-ի և GCD-ի միջև վերնագրված հոդվածից տեսության տրամաբանական շարունակությունն է: Այստեղ մենք կխոսենք գտնել ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը (LCM), և հատուկ ուշադրություն ենք դարձնելու օրինակների լուծմանը։ Նախ, մենք ցույց կտանք, թե ինչպես է հաշվարկվում երկու թվերի LCM-ն՝ օգտագործելով այս թվերի GCD-ն: Այնուհետև մենք կքննարկենք ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը գտնելը՝ թվերը պարզ գործոնների վերածելով: Դրանից հետո մենք կկենտրոնանանք երեք և ավելի թվերի LCM-ն գտնելու վրա, ինչպես նաև ուշադրություն կդարձնենք բացասական թվերի LCM-ի հաշվարկմանը:

Էջի նավարկություն.

Նվազագույն ընդհանուր բազմակի (LCM) հաշվարկը GCD-ի միջոցով

Ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը գտնելու եղանակներից մեկը հիմնված է LCM-ի և GCD-ի միջև փոխհարաբերությունների վրա: LCM-ի և GCD-ի միջև գոյություն ունեցող կապը թույլ է տալիս մեզ հաշվարկել երկու դրական ամբողջ թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը հայտնի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարի միջոցով: Համապատասխան բանաձեւն է LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). Դիտարկենք LCM-ն գտնելու օրինակներ՝ օգտագործելով տրված բանաձևը:

Գտե՛ք 126 և 70 երկու թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը:

Այս օրինակում a=126, b=70: Եկեք օգտագործենք LCM-ի և GCD-ի միջև կապը, որն արտահայտված է LCM(a, b)=a·b:GCD(a, b) բանաձևով: Այսինքն՝ նախ պետք է գտնել 70 և 126 թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը, որից հետո գրավոր բանաձևով կարող ենք հաշվել այս թվերի LCM-ը։

Գտնենք GCD(126, 70)՝ օգտագործելով Էվկլիդեսյան ալգորիթմը՝ 126=70·1+56, 70=56·1+14, 56=14·4, հետևաբար՝ GCD(126, 70)=14:

Այժմ մենք գտնում ենք պահանջվող ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը` LCM(126, 70)=126·70:GCD(126, 70)= 126·70:14=630:

Ինչի՞ է հավասար LCM(68, 34):

Քանի որ 68-ը բաժանվում է 34-ի, ապա GCD(68, 34)=34: Այժմ հաշվում ենք ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը` LCM(68, 34)=68·34:GCD(68, 34)= 68·34:34=68:

Նկատի ունեցեք, որ նախորդ օրինակը համապատասխանում է a և b դրական ամբողջ թվերի համար LCM-ը գտնելու հետևյալ կանոնին. եթե a-ն բաժանվում է b-ի, ապա այդ թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը a է:

Գտնել LCM-ն՝ թվերը պարզ գործոնների վերածելով

Ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը գտնելու մեկ այլ եղանակ հիմնված է թվերը պարզ գործոնների վերածելու վրա: Եթե ​​դուք կազմեք արտադրյալը տրված թվերի բոլոր պարզ գործակիցներից, ապա այս արտադրյալից բացառեք բոլոր ընդհանուր պարզ գործակիցները, որոնք առկա են տվյալ թվերի տարրալուծման մեջ, ապա ստացված արտադրյալը հավասար կլինի տվյալ թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկին։ .

LCM-ն գտնելու համար սահմանված կանոնը բխում է LCM(a, b)=a·b:GCD(a, b) հավասարությունից: Իրոք, a և b թվերի արտադրյալը հավասար է a և b թվերի ընդլայնմանը մասնակցող բոլոր գործոնների արտադրյալին։ Իր հերթին, GCD(a, b) հավասար է բոլոր պարզ գործոնների արտադրյալին, որոնք միաժամանակ առկա են a և b թվերի ընդարձակման մեջ (ինչպես նկարագրված է GCD-ի հայտնաբերման բաժնում՝ օգտագործելով թվերի ընդլայնումը պարզ գործոնների):

Օրինակ բերենք. Տեղեկացնենք, որ 75=3·5·5 և 210=2·3·5·7: Այս ընդարձակումների բոլոր գործակիցներից կազմենք արտադրյալը՝ 2·3·3·5·5·5·7: Այժմ այս արտադրյալից մենք բացառում ենք բոլոր այն գործոնները, որոնք առկա են և՛ 75 թվի ընդլայնման, և՛ 210 թվի ընդլայնման մեջ (այդ գործոնները 3 և 5 են), այնուհետև արտադրյալը կունենա 2·3·5·5·7 ձև: . Այս արտադրյալի արժեքը հավասար է 75 և 210 թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկին, այսինքն՝ LCM(75, 210)= 2·3·5·5·7=1050:

441 և 700 թվերը դասավորե՛ք պարզ գործակիցներ և գտե՛ք այս թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը:

441 և 700 թվերը դասավորենք պարզ գործակիցների.

Ստանում ենք 441=3·3·7·7 և 700=2·2·5·5·7:

Այժմ եկեք այս թվերի ընդլայնման մեջ ներգրավված բոլոր գործոններից կազմենք արտադրյալ՝ 2·2·3·3·5·5·7·7·7: Եկեք այս արտադրանքից բացառենք բոլոր գործոնները, որոնք միաժամանակ առկա են երկու ընդարձակման մեջ (մեկ այդպիսի գործոն կա՝ սա 7 թիվն է). 2·2·3·3·5·5·7·7: Այսպիսով, LCM(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100:

NOC(441, 700)= 44 100:

Թվերի պարզ գործակիցների ֆակտորիզացիայի միջոցով LCM-ը գտնելու կանոնը կարող է մի փոքր այլ կերպ ձևակերպվել: Եթե ​​b թվի ընդլայնումից բացակայող գործոնները գումարվեն a թվի ընդլայնման գործակիցներին, ապա ստացված արտադրյալի արժեքը հավասար կլինի a և b թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկին։

Օրինակ՝ վերցնենք նույն 75 և 210 թվերը, դրանց տարրալուծումները պարզ գործակիցների հետևյալն են՝ 75=3·5·5 և 210=2·3·5·7: 75 թվի ընդլայնումից 3, 5 և 5 գործակիցներին գումարում ենք 210 թվի ընդլայնումից բացակայող 2 և 7 գործակիցները, ստանում ենք 2·3·5·5·7 արտադրյալը, որի արժեքը. հավասար է LCM (75, 210):

Գտե՛ք 84-ի և 648-ի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը:

Մենք նախ ստանում ենք 84 և 648 թվերի տարրալուծումը պարզ գործակիցների: Նրանք նման են 84=2·2·3·7 և 648=2·2·2·3·3·3·3: 84 թվի ընդլայնումից 2, 2, 3 և 7 գործոններին գումարում ենք 648 թվի ընդլայնումից բացակայող 2, 3, 3 և 3 գործակիցները, ստանում ենք 2 2 2 3 3 3 3 7 արտադրյալը, որը հավասար է 4 536-ի։ Այսպիսով, 84-ի և 648-ի ցանկալի նվազագույն ընդհանուր բազմապատիկը 4536 է:

Գտնելով երեք և ավելի թվերի LCM

Երեք կամ ավելի թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը կարելի է գտնել՝ հաջորդաբար գտնելով երկու թվերի LCM: Հիշենք համապատասխան թեորեմը, որը հնարավորություն է տալիս գտնել երեք և ավելի թվերի LCM:

Թող տրված լինեն a 1, a 2,…, a k դրական ամբողջ թվերը, այս թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը m k-ը գտնում ենք հաջորդականորեն հաշվարկելով m 2 = LCM(a 1, a 2), m 3 = LCM(m 2, a. 3) , … , m k = LCM(m k−1, a k) .

Դիտարկենք այս թեորեմի կիրառությունը՝ օգտագործելով չորս թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը գտնելու օրինակը։

Գտեք 140, 9, 54 և 250 չորս թվերի LCM:

Նախ մենք գտնում ենք m 2 = LCM(a 1, a 2) = LCM(140, 9) . Դա անելու համար, օգտագործելով Էվկլիդեսյան ալգորիթմը, մենք որոշում ենք GCD(140, 9), ունենք 140=9·15+5, 9=5·1+4, 5=4·1+1, 4=1·4, հետևաբար՝ GCD(140, 9)=1, որից LCM(140, 9)=140·9:GCD(140, 9)= 140·9:1=1260: Այսինքն, m 2 =1 260:

Այժմ մենք գտնում ենք m 3 = LCM(m 2, a 3) = LCM(1 260, 54): Հաշվարկենք այն GCD(1 260, 54) միջոցով, որը նույնպես որոշում ենք Էվկլիդեսյան ալգորիթմի միջոցով՝ 1 260=54·23+18, 54=18·3։ Ապա gcd(1,260, 54)=18, որից gcd(1,260, 54)= 1,260·54:gcd(1,260, 54)= 1,260·54:18=3,780: Այսինքն, m 3 =3 780:

Մնում է գտնել m 4 = LCM(m 3, a 4) = LCM(3 780, 250): Դա անելու համար մենք գտնում ենք GCD(3,780, 250)՝ օգտագործելով Էվկլիդեսյան ալգորիթմը՝ 3,780=250·15+30, 250=30·8+10, 30=10·3: Հետեւաբար, GCD(3,780, 250)=10, որից GCD(3,780, 250)= 3,780·250:GCD(3,780, 250)= 3,780·250:10=94,500: Այսինքն, m 4 =94,500:

Այսպիսով, սկզբնական չորս թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը 94500 է:

LCM(140, 9, 54, 250)=94,500:

Շատ դեպքերում հարմար է գտնել երեք և ավելի թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը՝ օգտագործելով տվյալ թվերի պարզ գործոնավորումը։ Այս դեպքում դուք պետք է հետևեք հետևյալ կանոնին. Մի քանի թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը հավասար է արտադրյալին, որը կազմված է հետևյալ կերպ. երկրորդ թվի ընդլայնումից բացակայող գործոնները գումարվում են առաջին թվի ընդլայնման բոլոր գործոններին, բացակայող գործակիցները՝ ընդլայնվելուց։ երրորդ թիվը ավելացվում է ստացված գործոններին և այլն:

Դիտարկենք ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը գտնելու օրինակ՝ օգտագործելով պարզ գործոնավորումը:

Գտե՛ք 84, 6, 48, 7, 143 հինգ թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը։

Նախ ստանում ենք այս թվերի տարրալուծումը պարզ գործակիցների՝ 84=2·2·3·7, 6=2·3, 48=2·2·2·2·3, 7 (7-ը պարզ թիվ է, այն համընկնում է. իր տարրալուծմամբ պարզ գործակիցների) և 143=11·13.

Այս թվերի LCM-ն գտնելու համար առաջին 84 թվի գործակիցներին (դրանք 2, 2, 3 և 7 են) պետք է ավելացնել բացակայող գործոնները երկրորդ 6 թվի ընդլայնումից։ 6 թվի տարրալուծումը բացակայող գործոններ չի պարունակում, քանի որ և՛ 2-ը, և՛ 3-ն արդեն առկա են առաջին 84 թվի տարրալուծման մեջ։ Այնուհետև 2, 2, 3 և 7 գործոններին ավելացնում ենք 2-րդ և 2-ի բացակայող գործոնները 48-ի երրորդ թվի ընդլայնումից, ստանում ենք 2, 2, 2, 2, 3 և 7 գործոնների հավաքածու։ Հաջորդ քայլում այս հավաքածուին բազմապատկիչներ ավելացնելու կարիք չի լինի, քանի որ 7-ն արդեն պարունակվում է դրանում: Վերջապես, 2, 2, 2, 2, 3 և 7 գործոններին ավելացնում ենք 143 թվի ընդլայնումից բացակայող 11 և 13 գործոնները։ Ստանում ենք 2·2·2·2·3·7·11·13 արտադրյալը, որը հավասար է 48048-ի:

Հետեւաբար, LCM(84, 6, 48, 7, 143)=48,048:

LCM(84, 6, 48, 7, 143)=48,048:

Գտնել բացասական թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը

Երբեմն լինում են առաջադրանքներ, որոնցում պետք է գտնել թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը, որոնց թվում մեկ, մի քանի կամ բոլոր թվերը բացասական են: Այս դեպքերում բոլոր բացասական թվերը պետք է փոխարինվեն իրենց հակադիր թվերով, այնուհետև պետք է գտնել դրական թվերի LCM: Սա բացասական թվերի LCM-ն է գտնելու։ Օրինակ՝ LCM(54, −34) = LCM(54, 34) և LCM(−622, −46, −54, −888) = LCM(622, 46, 54, 888):

Մենք կարող ենք դա անել, քանի որ a-ի բազմապատիկների բազմությունը նույնն է, ինչ −a-ի բազմապատիկները (a-ն և −a-ն հակադիր թվեր են): Իսկապես, թող b լինի a-ի մի քանի բազմապատիկ, ապա b-ն բաժանվում է a-ի, իսկ բաժանելիություն հասկացությունը նշում է q ամբողջ թվի գոյությունն այնպես, որ b=a·q: Բայց ճշմարիտ կլինի նաև b=(−a)·(−q) հավասարությունը, որը բաժանելիության նույն հասկացության պատճառով նշանակում է, որ b-ը բաժանվում է −a-ի, այսինքն՝ b-ը −a-ի բազմապատիկն է։ Ճիշտ է նաև հակառակը. եթե b-ն −a-ի որոշ բազմապատիկ է, ապա b-ն նույնպես a-ի բազմապատիկ է:

Գտե՛ք −145 և −45 բացասական թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը:

−145 և −45 բացասական թվերը փոխարինենք իրենց հակադիր 145 և 45 թվերով։ Մենք ունենք LCM(−145, −45) = LCM(145, 45): Որոշելով GCD(145, 45)=5 (օրինակ՝ օգտագործելով Էվկլիդեսյան ալգորիթմը), մենք հաշվարկում ենք GCM(145, 45)=145·45:GCD(145, 45)= 145·45:5=1 305: Այսպիսով, −145 և −45 բացասական ամբողջ թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը 1305 է։

www.cleverstudents.ru

Մենք շարունակում ենք ուսումնասիրել բաժանումը: Այս դասում մենք կդիտարկենք այնպիսի հասկացություններ, ինչպիսիք են GCDԵվ ՀԱՕԿ.

GCDամենամեծ ընդհանուր բաժանարարն է։

ՀԱՕԿնվազագույն ընդհանուր բազմապատիկն է:

Թեման բավականին ձանձրալի է, բայց դուք անպայման պետք է այն հասկանաք։ Չհասկանալով այս թեման՝ դուք չեք կարողանա արդյունավետ աշխատել կոտորակների հետ, որոնք իսկական խոչընդոտ են մաթեմատիկայի մեջ։

Ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը

Սահմանում. Թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը աԵվ բ աԵվ բբաժանված է առանց մնացորդի.

Այս սահմանումը լավ հասկանալու համար եկեք փոխարինենք փոփոխականները աԵվ բցանկացած երկու թիվ, օրինակ՝ փոփոխականի փոխարեն աՓոխարինենք 12 թիվը և փոփոխականի փոխարեն բթիվ 9. Այժմ փորձենք կարդալ այս սահմանումը.

Թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը 12 Եվ 9 կոչվում է ամենամեծ թիվը, որով 12 Եվ 9 բաժանված է առանց մնացորդի.

Սահմանումից պարզ է դառնում, որ խոսքը 12 և 9 թվերի ընդհանուր բաժանարարի մասին է, և այս բաժանարարն ամենամեծն է գոյություն ունեցող բոլոր բաժանարարներից։ Այս ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը (GCD) պետք է գտնել:

Երկու թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը գտնելու համար օգտագործվում են երեք մեթոդ. Առաջին մեթոդը բավականին աշխատատար է, բայց թույլ է տալիս հստակ հասկանալ թեմայի էությունը և զգալ դրա ամբողջական իմաստը:

Երկրորդ և երրորդ մեթոդները բավականին պարզ են և հնարավորություն են տալիս արագ գտնել GCD: Մենք կդիտարկենք բոլոր երեք մեթոդները: Իսկ թե որն օգտագործել գործնականում, ձեր ընտրությունն է:

Առաջին մեթոդը երկու թվերի բոլոր հնարավոր բաժանարարները գտնելն ու ամենամեծն ընտրելն է։ Դիտարկենք այս մեթոդը՝ օգտագործելով հետևյալ օրինակը. Գտե՛ք 12 և 9 թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը.

Նախ, մենք կգտնենք 12 թվի բոլոր հնարավոր բաժանարարները: Դա անելու համար մենք 12-ը կբաժանենք բոլոր բաժանարարների վրա 1-ից 12-ի միջակայքում: Եթե բաժանարարը թույլ է տալիս մեզ 12-ը բաժանել առանց մնացորդի, ապա մենք այն կնշենք: կապույտ և փակագծերում համապատասխան բացատրություն տալ:

12: 1 = 12
(12-ը բաժանվում է 1-ի առանց մնացորդի, ինչը նշանակում է, որ 1-ը 12 թվի բաժանարարն է)

12: 2 = 6
(12-ը բաժանվում է 2-ի առանց մնացորդի, ինչը նշանակում է, որ 2-ը 12 թվի բաժանարարն է)

12: 3 = 4
(12-ը բաժանվում է 3-ի առանց մնացորդի, ինչը նշանակում է, որ 3-ը 12 թվի բաժանարարն է)

12: 4 = 3
(12-ը բաժանվում է 4-ի առանց մնացորդի, ինչը նշանակում է, որ 4-ը 12 թվի բաժանարարն է)

12: 5 = 2 (մնաց 2)
(12-ը չի բաժանվում 5-ի առանց մնացորդի, ինչը նշանակում է, որ 5-ը 12 թվի բաժանարար չէ)

12: 6 = 2
(12-ը առանց մնացորդի բաժանվում է 6-ի, ինչը նշանակում է, որ 6-ը 12 թվի բաժանարարն է)

12: 7 = 1 (5 մնացորդ)
(12-ը չի բաժանվում 7-ի առանց մնացորդի, ինչը նշանակում է, որ 7-ը 12 թվի բաժանարար չէ)

12: 8 = 1 (4 մնացորդ)
(12-ը չի բաժանվում 8-ի առանց մնացորդի, ինչը նշանակում է, որ 8-ը 12-ի բաժանարար չէ)

12: 9 = 1 (3 մնացորդ)
(12-ը չի բաժանվում 9-ի առանց մնացորդի, ինչը նշանակում է, որ 9-ը 12 թվի բաժանարար չէ)

12: 10 = 1 (2 մնացորդ)
(12-ը չի բաժանվում 10-ի առանց մնացորդի, ինչը նշանակում է, որ 10-ը 12 թվի բաժանարար չէ)

12: 11 = 1 (1 մնացորդ)
(12-ը չի բաժանվում 11-ի առանց մնացորդի, ինչը նշանակում է, որ 11-ը 12-ի բաժանարար չէ)

12: 12 = 1
(12-ը առանց մնացորդի բաժանվում է 12-ի, ինչը նշանակում է, որ 12-ը 12 թվի բաժանարարն է)

Հիմա եկեք գտնենք 9 թվի բաժանարարները: Դա անելու համար ստուգեք 1-ից 9-ի բոլոր բաժանարարները:

9: 1 = 9
(9-ը բաժանվում է 1-ի առանց մնացորդի, ինչը նշանակում է, որ 1-ը 9 թվի բաժանարարն է)

9: 2 = 4 (1 մնացորդ)
(9-ը չի բաժանվում 2-ի առանց մնացորդի, ինչը նշանակում է, որ 2-ը 9 թվի բաժանարար չէ)

9: 3 = 3
(9-ը բաժանվում է 3-ի առանց մնացորդի, ինչը նշանակում է, որ 3-ը 9 թվի բաժանարարն է)

9: 4 = 2 (1 մնացորդ)
(9-ը չի բաժանվում 4-ի առանց մնացորդի, ինչը նշանակում է, որ 4-ը 9 թվի բաժանարար չէ)

9: 5 = 1 (4 մնացորդ)
(9-ը չի բաժանվում 5-ի առանց մնացորդի, ինչը նշանակում է, որ 5-ը 9 թվի բաժանարար չէ)

9: 6 = 1 (3 մնացորդ)
(9-ը չի բաժանվում 6-ի առանց մնացորդի, ինչը նշանակում է, որ 6-ը 9 թվի բաժանարար չէ)

9: 7 = 1 (2 մնացորդ)
(9-ը չի բաժանվում 7-ի առանց մնացորդի, ինչը նշանակում է, որ 7-ը 9 թվի բաժանարար չէ)

9: 8 = 1 (1 մնացորդ)
(9-ը չի բաժանվում 8-ի առանց մնացորդի, ինչը նշանակում է, որ 8-ը 9 թվի բաժանարար չէ)

9: 9 = 1
(9-ը բաժանվում է 9-ի առանց մնացորդի, ինչը նշանակում է, որ 9-ը 9 թվի բաժանարարն է)

Այժմ գրենք երկու թվերի բաժանարարները։ Կապույտով ընդգծված թվերը բաժանարար են: Եկեք գրենք դրանք.

Դուրս գրելով բաժանարարները, կարող եք անմիջապես որոշել, թե որն է ամենամեծը և ամենատարածվածը:

Ըստ սահմանման, 12 և 9 թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը այն թիվն է, որը բաժանում է 12 և 9 առանց մնացորդի։ 12 և 9 թվերի ամենամեծ և ընդհանուր բաժանարարը 3 թիվն է

Ե՛վ 12 թիվը, և՛ 9 թիվը բաժանվում են 3-ի առանց մնացորդի.

Այսպիսով, gcd (12 և 9) = 3

GCD գտնելու երկրորդ ճանապարհը

Այժմ դիտարկենք ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը գտնելու երկրորդ մեթոդը: Այս մեթոդի էությունը երկու թվերի տարրալուծումն է պարզ գործակիցների և բազմապատկել ընդհանուրները։

Օրինակ 1. Գտե՛ք 24 և 18 թվերի gcd-ն

Նախ, եկեք երկու թվերն էլ դասավորենք պարզ գործոնների.

Հիմա եկեք բազմապատկենք նրանց ընդհանուր գործոնները։ Շփոթությունից խուսափելու համար կարելի է ընդգծել ընդհանուր գործոնները.

Մենք նայում ենք 24 թվի ընդլայնմանը: Նրա առաջին գործակիցը 2-ն է: Մենք փնտրում ենք նույն գործոնը 18 թվի ընդլայնման մեջ և տեսնում, որ այն նույնպես կա: Մենք շեշտում ենք երկուսն էլ.

Մենք նորից նայում ենք 24 թվի ընդլայնմանը: Նրա երկրորդ գործոնը նույնպես 2-ն է: Մենք փնտրում ենք նույն գործոնը 18 թվի ընդլայնման մեջ և տեսնում, որ երկրորդ անգամ այն ​​այլևս չկա: Հետո մենք ոչինչ չենք շեշտում:

24-ի ընդլայնման հաջորդ երկուսը նույնպես բացակայում են 18-ի ընդլայնման մեջ։

Անցնենք 24 թվի ընդլայնման վերջին գործոնին: Սա 3-րդ գործոնն է: Մենք փնտրում ենք նույն գործոնը 18 թվի ընդլայնման մեջ և տեսնում, որ այն նույնպես կա: Մենք շեշտում ենք երկու երեքը.

Այսպիսով, 24 և 18 թվերի ընդհանուր գործակիցները 2 և 3 գործոններն են: GCD ստանալու համար այս գործոնները պետք է բազմապատկվեն.

Այսպիսով, gcd (24 և 18) = 6

GCD գտնելու երրորդ ճանապարհը

Հիմա եկեք նայենք ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը գտնելու երրորդ եղանակին: Այս մեթոդի էությունը կայանում է նրանում, որ ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարի համար հայտնաբերված թվերը տարրալուծվում են պարզ գործակիցների: Այնուհետև առաջին թվի ընդլայնումից դուրս են գալիս այն գործոնները, որոնք ներառված չեն երկրորդ թվի ընդլայնման մեջ։ Առաջին ընդլայնման մնացած թվերը բազմապատկվում են և ստացվում GCD:

Օրինակ, եկեք այս մեթոդով գտնենք GCD 28 և 16 թվերի համար: Առաջին հերթին մենք այս թվերը բաժանում ենք պարզ գործոնների.

Մենք ստացանք երկու ընդարձակում՝ և

Այժմ առաջին թվի տարրալուծումից մենք կջնջենք այն գործոնները, որոնք ներառված չեն երկրորդ թվի տարրալուծման մեջ։ Երկրորդ թվի ընդլայնումը չի ներառում յոթը։ Անցնենք այն առաջին ընդլայնումից.

Այժմ մենք բազմապատկում ենք մնացած գործոնները և ստանում GCD.

4 թիվը 28 և 16 թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարն է: Այս երկու թվերն էլ առանց մնացորդի բաժանվում են 4-ի.

Օրինակ 2.Գտե՛ք 100 և 40 թվերի gcd-ն

100 համարի ֆակտորինգ

40 համարի ֆակտորինգ

Մենք ստացանք երկու ընդլայնում.

Այժմ առաջին թվի տարրալուծումից կջնջենք այն գործոնները, որոնք ներառված չեն երկրորդ թվի տարրալուծման մեջ։ Երկրորդ թվի ընդլայնումը չի ներառում մեկ հինգը (կա միայն մեկ հինգ): Անցնենք այն առաջին ընդլայնումից

Մնացած թվերը բազմապատկենք.

Ստացանք 20 պատասխանը։ Սա նշանակում է, որ 20 թիվը 100 և 40 թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարն է։ Այս երկու թվերն առանց մնացորդի բաժանվում են 20-ի.

GCD (100 և 40) = 20:

Օրինակ 3.Գտե՛ք 72 և 128 թվերի gcd-ն

72 համարի ֆակտորինգ

128 համարի ֆակտորինգ

2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2

Այժմ առաջին թվի տարրալուծումից կջնջենք այն գործոնները, որոնք ներառված չեն երկրորդ թվի տարրալուծման մեջ։ Երկրորդ թվի ընդլայնումը չի ներառում երկու եռյակ (նրանք ընդհանրապես չկան): Եկեք դրանք առանձնացնենք առաջին ընդլայնումից.

Ստացանք 8 պատասխանը։ Սա նշանակում է, որ 8 թիվը 72 և 128 թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարն է։ Այս երկու թվերն առանց մնացորդի բաժանվում են 8-ի.

GCD (72 և 128) = 8

Գտեք GCD մի քանի թվերի համար

Ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը կարելի է գտնել ոչ թե երկու, այլ մի քանի թվերի համար: Դա անելու համար ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարի համար գտնվելիք թվերը տարրալուծվում են պարզ գործակիցների, այնուհետև գտնվում է այդ թվերի ընդհանուր պարզ գործակիցների արտադրյալը:

Օրինակ, եկեք գտնենք GCD 18, 24 և 36 թվերի համար

Եկեք գործոնացնենք 18 թիվը

Եկեք գործոնացնենք 24 թիվը

Եկեք գործոնացնենք 36 թիվը

Մենք ստացանք երեք ընդլայնում.

Այժմ ընդգծենք և ընդգծենք այս թվերի ընդհանուր գործոնները: Ընդհանուր գործոնները պետք է հայտնվեն բոլոր երեք թվերում.

Մենք տեսնում ենք, որ 18, 24 և 36 թվերի ընդհանուր գործակիցները 2 և 3 գործոններն են: Բազմապատկելով այս գործոնները՝ մենք ստանում ենք այն gcd-ը, որը փնտրում ենք.

Ստացանք 6 պատասխանը։ Սա նշանակում է, որ 6 թիվը 18, 24 և 36 թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարն է։ Այս երեք թվերն առանց մնացորդի բաժանվում են 6-ի.

GCD (18, 24 և 36) = 6

Օրինակ 2.Գտեք GCD 12, 24, 36 և 42 համարների համար

Եկեք յուրաքանչյուր թիվ դասավորենք պարզ գործակիցների: Այնուհետև մենք գտնում ենք այս թվերի ընդհանուր գործակիցների արտադրյալը:

Գործոնավորեք 12 թիվը

Եկեք գործոնացնենք 42 թիվը

Մենք ստացել ենք չորս ընդլայնում.

Այժմ ընդգծենք և ընդգծենք այս թվերի ընդհանուր գործոնները: Ընդհանուր գործոնները պետք է հայտնվեն բոլոր չորս թվերում.

Մենք տեսնում ենք, որ 12, 24, 36 և 42 թվերի ընդհանուր գործակիցները 2-ի և 3-ի գործակիցներն են: Այս գործոնները միասին բազմապատկելով՝ մենք ստանում ենք այն gcd-ը, որը փնտրում ենք.

Ստացանք 6 պատասխանը։ Սա նշանակում է, որ 6 թիվը 12, 24, 36 և 42 թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարն է։ Այս թվերն առանց մնացորդի բաժանվում են 6-ի.

GCD (12, 24, 36 և 42) = 6

Նախորդ դասից մենք գիտենք, որ եթե թիվն առանց մնացորդի բաժանվում է մյուսի, այն կոչվում է այս թվի բազմապատիկ:

Ստացվում է, որ մի քանի թվեր կարող են ունենալ ընդհանուր բազմապատիկ։ Իսկ հիմա մեզ կհետաքրքրի երկու թվերի բազմապատիկը, և այն պետք է լինի հնարավորինս փոքր։

Սահմանում. Թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը (LCM): աԵվ բ- աԵվ բ աև համարը բ.

Սահմանումը պարունակում է երկու փոփոխական աԵվ բ. Այս փոփոխականների փոխարեն փոխարինենք ցանկացած երկու թիվ։ Օրինակ՝ փոփոխականի փոխարեն աՓոխարինենք 9 թիվը և փոփոխականի փոխարեն բՓոխարինենք 12 թիվը: Այժմ փորձենք կարդալ սահմանումը.

Թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը (LCM): 9 Եվ 12 - ամենափոքր թիվն է, որը բազմապատիկ է 9 Եվ 12 . Այսինքն՝ սա այնքան փոքր թիվ է, որը առանց մնացորդի բաժանվում է թվի վրա 9 և ըստ թվի 12 .

Սահմանումից պարզ է դառնում, որ LCM-ն ամենափոքր թիվն է, որը բաժանվում է 9-ի և 12-ի, առանց մնացորդի:

Ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը (LCM) գտնելու համար կարող եք օգտագործել երկու մեթոդ. Առաջին ճանապարհն այն է, որ դուք կարող եք գրել երկու թվերի առաջին բազմապատիկները, այնուհետև ընտրել այդ բազմապատիկներից մի թիվ, որը կլինի ընդհանուր և փոքր թվերի համար: Եկեք կիրառենք այս մեթոդը.

Նախ, եկեք գտնենք 9 թվի առաջին բազմապատիկները: 9-ի բազմապատիկները գտնելու համար անհրաժեշտ է այս ինը մեկ առ մեկ բազմապատկել 1-ից 9-ը թվերով: Ստացված պատասխանները կլինեն 9-ի բազմապատիկները: Այսպիսով, Եկեք սկսենք. Կարմիրով կնշենք բազմապատիկները.

Այժմ մենք գտնում ենք 12 թվի բազմապատիկները: Դա անելու համար մենք 12-ը մեկ առ մեկ բազմապատկում ենք բոլոր 1-ից 12 թվերով:

LCM - նվազագույն ընդհանուր բազմապատիկ: Թիվ, որը կբաժանի բոլոր տրված թվերն առանց մնացորդի։

Օրինակ, եթե տրված թվերն են 2, 3, 5, ապա LCM=2*3*5=30

Իսկ եթե տրված թվերը 2,4,8 են, ապա LCM =8

ինչ է GCD-ն:

GCD-ն ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարն է: Թիվ, որով կարելի է բաժանել տրված թվերից յուրաքանչյուրը՝ առանց մնացորդ թողնելու։

Տրամաբանական է, որ եթե տրված թվերը պարզ են, ապա gcd-ն հավասար է մեկի։

Իսկ եթե տրված թվերը 2, 4, 8 են, ապա GCD-ն հավասար է 2-ի։

Մենք այն ընդհանուր չենք նկարագրի, այլ պարզապես օրինակով ցույց կտանք լուծումը։

Տրված է 126 և 44 երկու թվեր։ Գտե՛ք ԳՔԴ։

Այնուհետև, եթե մեզ տրվի ձևի երկու թիվ

Այնուհետև GCD-ն հաշվարկվում է որպես

որտեղ min-ը pn թվի բոլոր հզորությունների նվազագույն արժեքն է

և ՀԱՕԿ-ը որպես

որտեղ max-ը pn թվի բոլոր հզորությունների առավելագույն արժեքն է

Նայելով վերը նշված բանաձևերին՝ հեշտությամբ կարող եք ապացուցել, որ երկու կամ ավելի թվերի gcd-ն հավասար կլինի մեկի, երբ տրված արժեքների առնվազն մեկ զույգի մեջ կան համեմատաբար պարզ թվեր:

Հետևաբար, հեշտ է պատասխանել այն հարցին, թե ինչին է հավասար այնպիսի թվերի gcd-ն, ինչպիսիք են 3, 25412, 3251, 7841, 25654, 7, առանց որևէ բան հաշվարկելու:

3 և 7 թվերը համեմատաբար պարզ են, և, հետևաբար, GCD = 1

Դիտարկենք մի օրինակ։

Տրված են 24654, 25473 և 954 երեք թվեր

Յուրաքանչյուր թիվ բաժանվում է հետևյալ գործոնների

Կամ, եթե այն գրենք այլընտրանքային ձևով

Այսինքն՝ այս երեք թվերի gcd-ն հավասար է երեքի

Դե, մենք կարող ենք հաշվարկել LCM-ն նույն կերպ, և այն հավասար է

Մեր բոտը կօգնի ձեզ հաշվարկել ցանկացած ամբողջ թվի GCD և LCM՝ երկու, երեք կամ տասը:

Ամփոփման հիմնական բառերը.Ամբողջ թվեր. Թվաբանական գործողություններ բնական թվերի վրա. Բնական թվերի բաժանելիությունը. Պարզ և բաղադրյալ թվեր. Բնական թվի գործակցում պարզ գործոնների: Բաժանելիության նշանները 2-ի, 3-ի, 5-ի, 9-ի, 4-ի, 25-ի, 10-ի, 11-ի վրա: Մեծագույն ընդհանուր բաժանարարը (GCD), ինչպես նաև ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը (LCD): Բաժանում մնացորդով.

Ամբողջ թվեր- սրանք թվեր են, որոնք օգտագործվում են օբյեկտները հաշվելու համար. 1, 2, 3, 4 , ... Բայց թիվը 0 բնական չէ!

Բնական թվերի բազմությունը նշանակվում է Ն. Գրառում «3 ∈ N»նշանակում է, որ երեք թիվը պատկանում է բնական թվերի բազմությանը, իսկ նշումը «0 ∉ N»նշանակում է, որ զրո թիվը չի պատկանում այս բազմությանը։

Տասնորդական թվերի համակարգ- դիրքային արմատական ​​թվային համակարգ 10 .

Թվաբանական գործողություններ բնական թվերի վրա

Բնական թվերի համար սահմանվում են հետևյալ գործողությունները. գումարում, հանում, բազմապատկում, բաժանում,հզորացում, արմատահանում։ Առաջին չորս գործողություններն են թվաբանություն.

Թող a, b և c լինեն բնական թվեր, ապա

1. ԼՐԱՑՈՒՄ. Ժամկետ + Ժամկետ = Գումար

Ավելացման հատկությունները
1. Հաղորդակցական a + b = b + a.
2. a + (b + c) = (a + b) + c շաղկապ:
3. ա + 0= 0 + ա = ա.

2. ՀԱՆՁՆԱՑՆԵԼ. Minuend - Subtrahend = Տարբերություն

Հանման հատկությունները
1. գումարը հանելով a - (b + c) = a - b - c թվից:
2. Գումարից հանելով թիվը (a + b) - c = a + (b - c); (a + b) - c = (a - c) + b.
3. ա - 0 = ա.
4. a - a = 0.

3. ԲԱԶՄԱՑՈՒՄ. Բազմապատկիչ * Բազմապատկիչ = Արտադրանք

Բազմապատկման հատկությունները
1. Հաղորդակցական a*b = b*a.
2. a*(b*c) = (a*b)*c կապակցական:
3. 1 * a = a * 1 = a.
4. 0 * a = a * 0 = 0:
5. Բաշխիչ (a + b) * c = ac + bc; (a - b) * c = ac - bc.

4. ԲԱԺԱՆՈՒՄ. Շահաբաժինը՝ բաժանարար = Քանակ

Բաժանման հատկությունները
1. ա: 1 = ա.
2. a: a = 1. Դուք չեք կարող բաժանել զրոյի!
3. 0: a= 0:

Ընթացակարգը

1. Առաջին հերթին՝ փակագծերում տրված գործողությունները.
2. Այնուհետեւ բազմապատկում, բաժանում:
3. Եվ միայն վերջում գումարում-հանում:

Բնական թվերի բաժանելիությունը. Պարզ և բաղադրյալ թվեր.

Բնական թվի բաժանարար Աայն բնական թիվն է, որին Աբաժանված է առանց մնացորդի. Թիվ 1 ցանկացած բնական թվի բաժանարար է:

Բնական թիվը կոչվում է պարզ, եթե միայն ունի երկուբաժանարար՝ մեկը և թիվն ինքնին։ Օրինակ՝ 2, 3, 11, 23 թվերը պարզ թվեր են։

Այն թիվը, որն ունի երկուից ավելի բաժանարար, կոչվում է կոմպոզիտային. Օրինակ՝ 4, 8, 15, 27 թվերը բաղադրյալ թվեր են։

Բաժանելիության թեստ աշխատանքներըմի քանի թվեր. եթե գործոններից գոնե մեկը բաժանվում է որոշակի թվի, ապա արտադրյալը նույնպես բաժանվում է այս թվի վրա: Աշխատանք 24 15 77 բաժանված 12 , քանի որ այս թվի բազմապատկիչը 24 բաժանված 12 .

Գումարի բաժանելիության թեստ (տարբերություն)թվեր. եթե յուրաքանչյուր անդամ բաժանվում է որոշակի թվի, ապա ամբողջ գումարը բաժանվում է այս թվի վրա: Եթե ա՝ բԵվ գ:բ, Դա (ա + գ) : բ. Եւ եթե ա՝ բ, Ա գչի բաժանվում բ, Դա ա+գթվի վրա չի բաժանվում բ.

Եթե ա: գԵվ գ:բ, Դա ա՝ բ. Ելնելով այն փաստից, որ 72: 24 և 24: 12, մենք եզրակացնում ենք, որ 72: 12.

Թվի ներկայացումը որպես պարզ թվերի հզորությունների արտադրյալ կոչվում է թվերը պարզ գործոնների վերածելը.

Թվաբանության հիմնարար թեորեմցանկացած բնական թիվ (բացի 1 ) կամ է պարզ, կամ այն ​​կարող է ֆակտորիզացվել միայն մեկ եղանակով.

Թիվը պարզ գործակիցների բաժանելիս օգտագործվում են բաժանելիության նշաններ և օգտագործվում է «սյունակ» նշումը:

Օրինակ՝ առաջադրանք. թիվը վերածել պարզ գործակիցների 330 . Լուծում:

Բաժանելիության նշանները 2, 5, 3, 9, 10, 4, 25 և 11:

Կան բաժանելիության նշաններ 6, 15, 45 և այլն, այսինքն՝ թվերի մեջ, որոնց արտադրյալը կարելի է ֆակտորիզացնել 2, 3, 5, 9 Եվ 10 .

Ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը

Ամենամեծ բնական թիվը, որով տրված երկու բնական թվերից յուրաքանչյուրը բաժանվում է, կոչվում է ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարըայս թվերը ( GCD). Օրինակ, GCD (10; 25) = 5; և GCD (18; 24) = 6; GCD (7; 21) = 1:

Եթե ​​երկու բնական թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը հավասար է 1 , ապա այս թվերը կոչվում են փոխադարձաբար առաջնային.

Ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը գտնելու ալգորիթմ(ՆՈԴ)

GCD-ն հաճախ օգտագործվում է խնդիրների դեպքում: Օրինակ՝ մեկ դասարանում աշակերտների միջև հավասարապես բաժանվել է 155 տետր և 62 գրիչ։ Քանի՞ աշակերտ կա այս դասարանում:

Լուծում: Այս դասարանի աշակերտների թիվը գտնելը հանգում է նրան, որ գտնենք 155 և 62 թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը, քանի որ տետրերն ու գրիչները բաժանվել են հավասար: 155 = 5 31; 62 = 2 31: GCD (155; 62) = 31.

Պատասխան. դասարանում 31 աշակերտ։

Ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը

Բնական թվի բազմապատիկները Աբնական թիվ է, որը բաժանվում է Աառանց հետքի. Օրինակ՝ համարը 8 ունի բազմապատիկ՝ 8, 16, 24, 32 , ... Ցանկացած բնական թիվ ունի անսահման շատ բազմապատիկ:

Ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը(LCM) ամենափոքր բնական թիվն է, որն այս թվերի բազմապատիկն է։

Ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը գտնելու ալգորիթմ ( ՀԱՕԿ):

LCM-ն հաճախ օգտագործվում է նաև խնդիրների դեպքում: Օրինակ, երկու հեծանվորդներ միաժամանակ մեկնարկեցին հեծանվահրապարակի երկայնքով նույն ուղղությամբ: Մեկը շրջանագիծ է անում 1 րոպեում, իսկ մյուսը՝ 45 վայրկյանում։ Շարժման մեկնարկից հետո քանի՞ րոպեի ընթացքում նրանք կհանդիպեն մեկնարկին:

Լուծում: Այն րոպեների թիվը, որոնցից հետո նրանք նորից կհանդիպեն մեկնարկի ժամանակ, պետք է բաժանել 1 րոպե, ինչպես նաև վրա 45 վ. 1 րոպեում = 60 վրկ. Այսինքն, անհրաժեշտ է գտնել LCM (45; 60):
45 = 3 2 5;
60 = 2 2 3 5.
ԱՕԿ (45; 60)= 2 2 3 2 5 = 4 9 5 = 180 .
Արդյունքն այն է, որ հեծանվորդները կհանդիպեն սկզբում 180 վ = 3 րոպեում:

Պատասխան. 3 րոպե

Բաժանում մնացորդով

Եթե ​​բնական թիվ Աչի բաժանվում բնական թվի բ, ապա դուք կարող եք անել բաժանում մնացորդով. Այս դեպքում ստացված գործակիցը կոչվում է թերի. Հավասարությունն արդար է.

a = b n + r,

Որտեղ Ա- բաժանելի, բ- բաժանարար, n- թերի գործակից, r- մնացորդը. Օրինակ, թող դիվիդենտը հավասար լինի 243 , բաժանարար - 4 , Հետո 243: 4 = 60 (մնացորդը 3). Այսինքն, a = 243, b = 4, n = 60, r = 3, ապա 243 = 60 4 + 3 .

Թվեր, որոնք բաժանվում են 2 առանց մնացորդի, կոչվում են նույնիսկ: a = 2n, n ∈ Ն.

Մնացած թվերը կոչվում են տարօրինակ: b = 2n + 1, n ∈ Ն.

Սա թեմայի ամփոփումն է «Ամբողջ թվեր. Բաժանելիության նշաններ». Շարունակելու համար ընտրեք հաջորդ քայլերը.

• Անցեք հաջորդ ամփոփմանը.

Գլուխ 1. Բնական թվեր

1.6. Մեծագույն ընդհանուր բաժանարար և ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը

Ավելի վաղ անվանել էինք թվերի բաժանարարները։ Հիմա փորձենք կոմպոզիտային թվերը դասավորել պարզ գործակիցների:

Սահմանում

Թիվը պարզ գործոնների վերածել նշանակում է այն ներկայացնել որպես պարզ թվերի հավասար արտադրյալ:

Թվերի պարզ գործակիցների տարրալուծումը կունենա հետևյալ տեսքը.
; .
Թվերի պարզ գործակիցների տարրալուծումը կարող է ներկայացվել մեկ այլ ձևով.

Հիմա ես սա կգրեմ տողի վրա
.

Շատ լավ! Դուք պարզապես հանճար եք:

Ես դեռ չեմ հասկանում, թե ինչպես եք այդքան արագ գուշակել, որ թիվը բաժանվում է:

Եվ դա պարզ է. Ես օգտագործեցի բաժանելիության թեստը: Ուշադրություն դարձնենք, որ ձեր նոր արձանագրած ստեղծագործություններում թիվը կրկնվում է։

Սահմանում

Այն թիվը, որով բաժանվում է այս թվերից յուրաքանչյուրը, կոչվում է այդ թվերի ընդհանուր բաժանարար։

Նրանք. մեր դեպքում թիվը ընդհանուր բաժանարարն է?

Այո, հենց դա էի ուզում ասել։ Իսկ եթե վերցնենք թվերը և , ապա, ինչպես տեսնում եք, նրանք ունեն երեք ընդհանուր բաժանարար՝ , և (չհաշված):

Չեմ հասկանում?...

Սահմանում

Այս թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը կոչվում է նրանց ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը և կրճատվում է որպես GCD:

Պետք է հիշել, որ GCD-ն մեծ դեր է խաղում մաթեմատիկայի մեջ:

Ես արդեն տեսնում եմ, որ մաթեմատիկայի մեջ բոլոր հասկացությունները մեծ դեր են խաղում։ Իսկ ինչպե՞ս հիշել բոլորին: Ինչպե՞ս գտնել այս GCD-ն:

Մի անհանգստացեք, դրանք ժամանակի ընթացքում հիշարժան կդառնան, եթե դրանք պարբերաբար օգտագործեք:
Այսպիսով, եկեք շարունակենք: Գտնել GCDմի քանի թվեր, դուք կարող եք դրանք դասավորել պարզ գործակիցների, գրել նրանց ընդհանուր պարզ գործակիցները և բազմապատկել:

Սա լավ է. Բայց կան թվեր, որոնք մեկից բացի այլ ընդհանուր բաժանարարներ չունեն։ Օրինակ, և, և .

Այո, ճիշտ եք նկատել։

Սահմանում

Այն թվերը, որոնք չունեն ընդհանուր բաժանարարներ (բացի մեկից) կոչվում են համեմատաբար պարզ:

Այսպիսով, ի՞նչ է սա նշանակում. բոլոր պարզ թվերը նույնպես համեմատաբար պարզ կլինեն:

Եվ այս դեպքում դուք իրավացի եք! Այնուամենայնիվ, մենք դեռ պետք է նման հայեցակարգը դիտարկենք որպես LCM-ի նվազագույն ընդհանուր բազմապատիկ:

Սահմանում

Այն թիվը, որը բաժանվում է այս թվերից յուրաքանչյուրի վրա, կոչվում է այս թվերի ընդհանուր բազմապատիկ։

Այսպիսով, թվերի համար և ընդհանուր բազմապատիկը կլինի թվերից յուրաքանչյուրը՝ , , , , LCM:

Լավ արեցիր։ Ի՞նչ եք կարծում, որքա՞ն կլինի համապարփակ թվերի LCM-ը:

Ես հիմա կպարզեմ: Նրանք չունեն ընդհանուր բաժանարարներ, բացի միասնությունից, և, հետևաբար, նրանց արտադրանքը նրանց LCM-ն է:

Սա ուղղակի զարմանալի է: Ի՜նչ հիանալի եզրակացություն։
Եվ մեր հետազոտության վերջում ես ուզում եմ ձեզ ասել, թե ինչպես գտնել LOC-ն, եթե այն ակնհայտ չէ:

Այս դեպքում այս թվերը տարրալուծվում են պարզ գործոնների։ Այնուհետև բոլոր գործոնները դուրս են գրվում ամենամեծ թվից և դրանց գումարվում են մնացած թվերի ընդլայնումներից բացակայող գործոնները։

Այո, ես գոհ եմ, ինձ դուր եկավ։

Բայց շատ բնական թվեր բաժանվում են նաև այլ բնական թվերի։

Օրինակ:

12 թիվը բաժանվում է 1-ի, 2-ի, 3-ի, 4-ի, 6-ի, 12-ի;

36 թիվը բաժանվում է 1-ի, 2-ի, 3-ի, 4-ի, 6-ի, 12-ի, 18-ի, 36-ի։

Այն թվերը, որոնցով թիվը բաժանվում է ամբողջի (12-ի համար դրանք 1, 2, 3, 4, 6 և 12 են) կոչվում են. թվերի բաժանարարներ. Բնական թվի բաժանարար ա- բնական թիվ է, որը բաժանում է տրված թիվը աառանց հետքի. Այն բնական թիվը, որն ունի երկուից ավելի բաժանարար, կոչվում է կոմպոզիտային. Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ 12 և 36 թվերն ունեն ընդհանուր գործոններ: Այս թվերն են՝ 1, 2, 3, 4, 6, 12։ Այս թվերի ամենամեծ բաժանարարը 12-ն է։

Երկու տրված թվերի ընդհանուր բաժանարար աԵվ բ- սա այն թիվն է, որով տրված երկու թվերն էլ բաժանվում են առանց մնացորդի աԵվ բ. Մի քանի թվերի ընդհանուր բաժանարար (GCD)թիվ է, որը նրանցից յուրաքանչյուրի համար ծառայում է որպես բաժանարար։

Համառոտ թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը աԵվ բգրիր այսպես.

Օրինակ GCD (12; 36) = 12:

Լուծման նշման մեջ թվերի բաժանարարները նշվում են «D» մեծատառով:

Օրինակ:

GCD (7; 9) = 1

7 և 9 թվերն ունեն միայն մեկ ընդհանուր բաժանարար՝ թիվ 1։ Նման թվերը կոչվում են փոխադարձաբար առաջնայինchi slami.

Համապարփակ թվեր- սրանք բնական թվեր են, որոնք ունեն միայն մեկ ընդհանուր բաժանարար՝ թիվ 1։ Նրանց gcd-ն 1 է։

Մեծագույն ընդհանուր բաժանարար (GCD), հատկություններ:

• Հիմնական հատկություն՝ ամենամեծ ընդհանուր բաժանարար մԵվ nբաժանվում է այս թվերի ցանկացած ընդհանուր բաժանարարի վրա: Օրինակ 12 և 18 թվերի համար ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը 6-ն է. այն բաժանվում է այս թվերի բոլոր ընդհանուր բաժանարարներով՝ 1, 2, 3, 6:
• Եզրակացություն 1. ընդհանուր բաժանարարների բազմություն մԵվ nհամընկնում է GCD բաժանարարների բազմության հետ ( մ, n).
• Եզրակացություն 2. ընդհանուր բազմապատիկների բազմություն մԵվ nհամընկնում է բազմաթիվ LCM-ների բազմության հետ ( մ, n).

Սա, մասնավորապես, նշանակում է, որ կոտորակը անկրճատելի ձևի վերածելու համար անհրաժեշտ է նրա համարիչը և հայտարարը բաժանել իրենց gcd-ի վրա:

• Թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը մԵվ nկարելի է սահմանել որպես դրանց բոլոր գծային համակցությունների բազմության ամենափոքր դրական տարրը.

և հետևաբար այն ներկայացնում ենք որպես թվերի գծային համակցություն մԵվ n:

Այս հարաբերակցությունը կոչվում է Բեզուտի հարաբերությունները, և գործակիցները uԵվ v — Բեզութի գործակիցները. Bezout գործակիցները արդյունավետորեն հաշվարկվում են ընդլայնված Էվկլիդեսյան ալգորիթմով: Այս հայտարարությունը ընդհանրացվում է բնական թվերի բազմություններին. դրա իմաստն այն է, որ բազմության կողմից գեներացված խմբի ենթախումբը ցիկլային է և առաջանում է մեկ տարրի կողմից՝ GCD ( ա 1 , ա 2 , … , a n).

Հաշվեք ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը (GCD):

Երկու թվերի gcd-ն հաշվարկելու արդյունավետ եղանակներն են Էվկլիդեսյան ալգորիթմԵվ երկուականալգորիթմ. Բացի այդ, gcd-ի արժեքը ( մ,n) կարելի է հեշտությամբ հաշվարկել, եթե հայտնի է թվերի կանոնական ընդլայնումը մԵվ nհիմնական գործոնների մեջ.

որտեղ կան հստակ պարզ թվեր, և ոչ բացասական ամբողջ թվեր են (դրանք կարող են լինել զրո, եթե համապատասխան պարզը ընդլայնման մեջ չէ): Այնուհետև GCD ( մ,n) և ԱՕԿ ( մ,n) արտահայտվում են բանաձևերով.

Եթե ​​կան ավելի քան երկու թվեր.

- սա ցանկալի GCD-ն է:

Նաև գտնելու համար ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը, տրված թվերից յուրաքանչյուրը կարող եք դասավորել պարզ գործակիցների: Ապա առանձին գրեք միայն այն գործոնները, որոնք ներառված են բոլոր տրված թվերում։ Այնուհետև մենք բազմապատկում ենք գրված թվերը՝ բազմապատկման արդյունքը ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարն է .

Եկեք քայլ առ քայլ նայենք ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարի հաշվարկին.

1. Թվերի բաժանարարները տարանջատի՛ր պարզ գործակիցների.

Հարմար է հաշվարկներ գրել՝ օգտագործելով ուղղահայաց բար։ Տողից ձախ նախ գրում ենք շահաբաժինը, աջում՝ բաժանարարը։ Հաջորդը, ձախ սյունակում մենք գրում ենք գործակիցների արժեքները: Միանգամից բացատրենք օրինակով։ 28 և 64 թվերը դասավորենք պարզ գործակիցների:

2. Երկու թվերում էլ շեշտում ենք նույն պարզ գործոնները.

28 = 2 . 2 . 7

64 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2

3. Գտի՛ր միանման պարզ գործակիցների արտադրյալը և գրի՛ր պատասխանը.

GCD (28; 64) = 2: 2 = 4

Պատասխան՝ GCD (28; 64) = 4

Դուք կարող եք պաշտոնականացնել GCD-ի գտնվելու վայրը երկու եղանակով՝ սյունակում (ինչպես արվել է վերևում) կամ «անընդմեջ»:

GCD գրելու առաջին եղանակը.

Գտեք gcd 48 և 36:

GCD (48; 36) = 2: 2. 3 = 12

GCD գրելու երկրորդ եղանակը.

Այժմ եկեք գրենք GCD որոնման լուծումը տողով: Գտեք gcd 10 և 15:

D (10) = (1, 2, 5, 10)

D (15) = (1, 3, 5, 15)

D (10, 15) = (1, 5)