बच्चों के लिए ज्वरनाशक दवाएं बाल रोग विशेषज्ञ द्वारा निर्धारित की जाती हैं। लेकिन बुखार के साथ आपातकालीन स्थितियाँ होती हैं जब बच्चे को तुरंत दवा देने की आवश्यकता होती है। तब माता-पिता जिम्मेदारी लेते हैं और ज्वरनाशक दवाओं का उपयोग करते हैं। शिशुओं को क्या देने की अनुमति है? आप बड़े बच्चों में तापमान कैसे कम कर सकते हैं? कौन सी दवाएँ सबसे सुरक्षित हैं?
हममें से बहुत से लोग फुटबॉल खेलना पसंद करते हैं, या कम से कम हममें से लगभग सभी ने इस प्रसिद्ध खेल के बारे में सुना है। हर कोई जानता है कि फुटबॉल गेंद से खेला जाता है।
यदि आप किसी राहगीर से पूछें कि गेंद का ज्यामितीय आकार क्या है, तो कुछ लोग कहेंगे कि यह गोलाकार है, और कुछ लोग कहेंगे कि यह गोलाकार है। तो कौन सा सही है? और गोले और गेंद में क्या अंतर है?
महत्वपूर्ण!
गेंदएक स्थानिक निकाय है. गेंद के अंदर कुछ भरा हुआ है। इसलिए, एक गोले का आयतन ज्ञात किया जा सकता है।
जीवन में गेंद के उदाहरण: एक तरबूज़ और एक स्टील की गेंद।
एक गेंद और गोले, एक वृत्त और एक वृत्त की तरह, एक केंद्र, त्रिज्या और व्यास होता है।
महत्वपूर्ण!
गोला- गेंद की सतह. आप एक गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कर सकते हैं।
जीवन में गोले के उदाहरण: वॉलीबॉल और टेबल टेनिस बॉल।
किसी गोले का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें
याद करना!
किसी गोले के क्षेत्रफल का सूत्र:एस=4 π आर 2
किसी गोले का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, आपको यह याद रखना होगा कि किसी संख्या की घात क्या है। डिग्री की परिभाषा जानकर हम किसी गोले के क्षेत्रफल का सूत्र इस प्रकार लिख सकते हैं।
एस=4 π आर 2 = 4π आर · आर;
आइए अर्जित ज्ञान को समेकित करें और आइए एक गोले के क्षेत्रफल पर समस्या का समाधान करें।
जुबरेवा छठी कक्षा। संख्या 692(ए)
कार्य:
- यदि किसी गोले की त्रिज्या है तो उसके क्षेत्रफल की गणना करें
1 = 3 · = = / (4 · 3) = ) = = ) =
= = =
= 188 88 - आर 3 = 1
- आर = 1 मी
महत्वपूर्ण!
प्रिय माता-पिता!
अंततः त्रिज्या की गणना करते समय, बच्चे को घनमूल गिनने के लिए बाध्य करने की कोई आवश्यकता नहीं है। छठी कक्षा के छात्रों ने अभी तक गणित में जड़ों की परिभाषा नहीं ली है और न ही जानते हैं।
छठी कक्षा में ऐसी समस्या को हल करते समय पाशविक बल विधि का प्रयोग करें।
छात्र से पूछें कि कौन सी संख्या, यदि स्वयं से तीन बार गुणा की जाए, तो एक आएगी।
एक गोला और एक गेंद त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एक वृत्त और एक वृत्त के अनुरूप हैं। इनमें से प्रत्येक आंकड़े के बारे में बात करना, समानताओं और अंतरों के साथ-साथ इन आंकड़ों की विशेषता वाले सूत्रों पर प्रकाश डालना उचित है।
अधिकांश ज्यामितीय निर्माण एक समतल में किए जाते हैं, लेकिन हाई स्कूल में वे त्रि-आयामी आकृतियों का अध्ययन करना शुरू करते हैं। द्वि-आयामी अंतरिक्ष में केवल दो विशेषताएं होती हैं: लंबाई और चौड़ाई। 3डी क्षेत्रों में ऊंचाई जोड़ी जाती है। छठी कक्षा के गणित में, व्यक्तिगत 3डी आकृतियों का अध्ययन किया जाता है।
एक समतल पर, एक आकृति को क्षेत्रफल और परिधि द्वारा चित्रित किया जाता है। त्रि-आयामी वस्तुओं में आयतन जोड़ा जाता है।
चावल। 1. त्रि-आयामी स्थान।
इसके अलावा, 3डी आकृतियों के कई विशिष्ट गुण हैं। उन्हें एक सीधी रेखा और एक तल द्वारा प्रतिच्छेद किया जा सकता है, और ऐसे छेदक तल भी हो सकते हैं जो अन्य आकृतियों का आकार लेते हैं।
समस्याओं को लिखने के लिए 3डी आकृतियों का उपयोग उन्हें काफी जटिल बना देता है, लेकिन साथ ही उन्हें और अधिक दिलचस्प भी बना देता है। आइए हम एक गेंद और एक गोले की परिभाषा दें, जिसके बाद हम इन आकृतियों के बीच अंतर को उजागर करने का प्रयास करेंगे।
गेंद
एक गेंद और एक गोला एक समतल में एक वृत्त और एक वृत्त के समरूप हैं। एक गेंद एक बिंदु के चारों ओर अर्धवृत्त घुमाकर प्राप्त की गई एक आकृति है।
गेंद का सतही क्षेत्रफल: $S=4pir^2$ है
त्रिज्या गेंद के केंद्र और उसकी सतह पर किसी भी बिंदु को जोड़ने वाला एक खंड है।
एक गेंद के आयतन का सूत्र$V=(4pir^3\over3)$
वॉल्यूम से पता चलता है कि कोई आकृति कितनी जगह घेरती है। यह समझने के लिए कि आयतन क्या है, आपको एक खोखली आकृति की कल्पना करने की आवश्यकता है। फिर आयतन पानी की वह मात्रा है जिसे इस आकृति में डाला जा सकता है
किसी भी अन्य त्रि-आयामी आकृति की तरह, एक गेंद को एक समतल द्वारा काटा जा सकता है। गेंद का काटने वाला तल एक वृत्त होता है, जिसका केंद्र गेंद के केंद्र से वृत्त पर एक लंब गिराकर पाया जा सकता है।
चावल। 2. गेंद का खंड.
गोला एक आकृति है जो गोले के केंद्र से समान दूरी पर अंतरिक्ष में बिंदुओं के एक समूह का प्रतिनिधित्व करता है। गोला:
- आयतन और सतह क्षेत्र के लिए गोले के समान सूत्र हैं।
- किसी गोले का काटने वाला तल एक वृत्त होता है
- छेदक वृत्त का केंद्र उसी प्रकार स्थित होता है जैसे गेंद के मामले में होता है
चावल। 3. गोला.
क्या अंतर है
फिर सवाल उठता है कि परिभाषा के अलावा गेंद और गोले में क्या अंतर है? तथ्य यह है कि एक गेंद और एक गोले के बीच का अंतर एक वृत्त और एक वृत्त के बीच के अंतर से कहीं अधिक धुंधला है। एक गोले का आयतन और सतह क्षेत्र भी होता है।
शायद, परिभाषा के अलावा, अंतर यह है कि समस्याएँ कभी भी किसी गोले का आयतन नहीं पाती हैं। एक नियम के रूप में, वे गेंद की मात्रा की तलाश करते हैं। इसका मतलब यह नहीं है कि गोले का कोई आयतन नहीं है। यह एक त्रि-आयामी आकृति है, इसलिए इसमें आयतन है।
सादृश्य केवल एक वृत्त के साथ खींचा गया है जिसका कोई क्षेत्रफल नहीं है। यह कोई नियम नहीं है, बल्कि एक परंपरा है जिसे याद रखने की आवश्यकता है: ज्यामिति में, किसी गोले के आयतन का सूत्रीकरण स्वागतयोग्य नहीं है।
एक और अंतर जिसे कमोबेश महत्वपूर्ण माना जा सकता है वह है गोले का छेदक तल: एक वृत्त जिसमें कोई आंतरिक स्थान नहीं है लेकिन लंबाई है। गोले का काटना तल: एक वृत्त जिसका क्षेत्रफल हो और कोई परिधि न हो। इसलिए, आपको समस्या के निरूपण में सावधानी बरतनी चाहिए ताकि ऐसी छोटी-छोटी बातों के कारण कोई त्रुटि न हो।
हमने क्या सीखा?
हमने सीखा कि गोला और गेंद क्या होते हैं। हमने उनकी समानताओं और अंतरों के बारे में बात की। हमने सीखा कि इन आंकड़ों में लगभग कोई अंतर नहीं है। हमने निर्णय लिया कि गोले के आयतन जैसा सूत्रीकरण देना उचित नहीं है।
विषय पर परीक्षण करें
लेख रेटिंग
औसत श्रेणी: 4.7. कुल प्राप्त रेटिंग: 105.
परिभाषा।
गोला (गेंद की सतह) त्रि-आयामी अंतरिक्ष में सभी बिंदुओं का संग्रह है जो एक बिंदु से समान दूरी पर हैं, कहा जाता है गोले का केंद्र(के बारे में)।एक गोले को एक त्रि-आयामी आकृति के रूप में वर्णित किया जा सकता है जो इसके व्यास के चारों ओर 180° तक एक वृत्त घुमाने या इसके व्यास के चारों ओर 360° तक अर्धवृत्त घुमाने से बनता है।
परिभाषा।
गेंदत्रि-आयामी अंतरिक्ष में सभी बिंदुओं का संग्रह है, जिसकी दूरी किसी बिंदु से एक निश्चित दूरी से अधिक नहीं होती है गेंद का केंद्र(ओ) (एक गोले द्वारा सीमित त्रि-आयामी अंतरिक्ष के सभी बिंदुओं का सेट)।एक गेंद को एक त्रि-आयामी आकृति के रूप में वर्णित किया जा सकता है जो इसके व्यास के चारों ओर 180° तक एक वृत्त घुमाने या इसके व्यास के चारों ओर 360° तक अर्धवृत्त घुमाने से बनती है।
परिभाषा। गोले की त्रिज्या (गेंद)(R) गोले (गेंद) के केंद्र से दूरी है हेगोले के किसी भी बिंदु (गेंद की सतह) पर।
परिभाषा। गोला (गेंद) व्यास(डी) एक गोले (गेंद की सतह) के दो बिंदुओं को जोड़ने वाला और उसके केंद्र से गुजरने वाला एक खंड है।
सूत्र. गोला आयतन:
| वी= | 4 | π आर 3 = | 1 | π डी 3 |
| 3 | 6 |
सूत्र. एक गोले का सतह क्षेत्रत्रिज्या या व्यास के माध्यम से:
एस = 4π आर 2 = π डी 2
क्षेत्र समीकरण
1. कार्टेशियन समन्वय प्रणाली के मूल में त्रिज्या आर और केंद्र के साथ एक गोले का समीकरण:
एक्स 2 + वाई 2 + जेड 2 = आर 2
2. कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में निर्देशांक (x 0, y 0, z 0) के साथ एक बिंदु पर केंद्र और त्रिज्या R वाले एक गोले का समीकरण:
(एक्स - एक्स 0) 2 + (वाई - वाई 0) 2 + (जेड - जेड 0) 2 = आर 2
परिभाषा। बिल्कुल विपरीत बिंदुगेंद (गोले) की सतह पर कोई दो बिंदु होते हैं जो एक व्यास से जुड़े होते हैं।
एक गोले और एक गेंद के मूल गुण
1. गोले के सभी बिंदु केंद्र से समान दूरी पर हैं।
2. किसी गोले का समतल द्वारा काटा गया कोई भी भाग एक वृत्त होता है।
3. समतल द्वारा गेंद का कोई भी भाग एक वृत्त होता है।
4. समान सतह क्षेत्रफल वाली सभी स्थानिक आकृतियों में गोले का आयतन सबसे अधिक है।
5. किन्हीं दो बिल्कुल विपरीत बिंदुओं के माध्यम से आप एक गोले के लिए कई बड़े वृत्त या एक गेंद के लिए वृत्त खींच सकते हैं।
6. व्यास के विपरीत बिंदुओं को छोड़कर किन्हीं दो बिंदुओं से होकर, आप गोले के लिए केवल एक बड़ा वृत्त या गेंद के लिए एक बड़ा वृत्त खींच सकते हैं।
7. एक गेंद के कोई भी दो बड़े वृत्त गेंद के केंद्र से गुजरने वाली एक सीधी रेखा के साथ प्रतिच्छेद करते हैं, और वृत्त दो बिल्कुल विपरीत बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं।
8. यदि किन्हीं दो गेंदों के केन्द्रों के बीच की दूरी उनकी त्रिज्याओं के योग से कम तथा उनकी त्रिज्याओं के अंतर के मापांक से अधिक हो, तो ऐसी गेंदें इंटरसेक्ट, और प्रतिच्छेदन तल में एक वृत्त बनता है।
गोले का छेदक, जीवा, छेदक तल और उनके गुण
परिभाषा। गोला छेदकएक सीधी रेखा है जो गोले को दो बिंदुओं पर काटती है। प्रतिच्छेदन बिंदु कहलाते हैं छेदने वाले बिंदुसतह या सतह पर प्रवेश और निकास बिंदु।
परिभाषा। गोले की जीवा (गेंद)- यह एक गोले (गेंद की सतह) पर दो बिंदुओं को जोड़ने वाला एक खंड है।
परिभाषा। विमान काटनावह तल है जो गोले को काटता है।
परिभाषा। व्यास तल- यह एक गोले या गेंद के केंद्र से होकर गुजरने वाला एक छेदक तल है, अनुभाग तदनुसार बनता है बड़ा वृत्तऔर दीर्घ वृत्ताकार. वृहत वृत्त और वृहत वृत्त का एक केंद्र होता है जो गोले (गेंद) के केंद्र से मेल खाता है।
गोले (गेंद) के केंद्र से गुजरने वाली कोई भी जीवा एक व्यास है।
जीवा एक छेदक रेखा का एक खंड है।
गोले के केंद्र से छेदक तक की दूरी d हमेशा गोले की त्रिज्या से कम होती है:
डी< R
काटने वाले तल और गोले के केंद्र के बीच की दूरी m हमेशा त्रिज्या R से कम होती है:
एम< R
गोले पर काटने वाले तल के अनुभाग का स्थान हमेशा रहेगा छोटा वृत्त, और गेंद पर अनुभाग होगा छोटा वृत्त. छोटे वृत्त और छोटे वृत्त के अपने-अपने केंद्र होते हैं जो गोले (गेंद) के केंद्र से मेल नहीं खाते हैं। ऐसे वृत्त की त्रिज्या r सूत्र का उपयोग करके ज्ञात की जा सकती है:
आर = √आर 2 - मी 2,
जहाँ R गोले (गेंद) की त्रिज्या है, m गेंद के केंद्र से काटने वाले तल तक की दूरी है।
परिभाषा। गोलार्ध (गोलार्ध)- यह एक गोले (गेंद) का आधा भाग है, जो एक व्यासीय तल से काटने पर बनता है।
स्पर्शरेखा, किसी गोले का स्पर्शरेखा तल और उनके गुण
परिभाषा। एक गोले की स्पर्शरेखाएक सीधी रेखा है जो गोले को केवल एक बिंदु पर स्पर्श करती है।
परिभाषा। एक गोले का स्पर्शरेखा तलएक ऐसा तल है जो गोले को केवल एक बिंदु पर स्पर्श करता है।
स्पर्शरेखा रेखा (तल) हमेशा संपर्क बिंदु पर खींचे गए गोले की त्रिज्या के लंबवत होती है
गोले के केंद्र से स्पर्श रेखा (तल) की दूरी गोले की त्रिज्या के बराबर होती है।
परिभाषा। गेंद खंड- यह गेंद का वह भाग है जो कटिंग प्लेन द्वारा गेंद से काटा जाता है। खंड का आधारअनुभाग के स्थल पर बनने वाले वृत्त को कहते हैं। खंड की ऊंचाई h खंड के आधार के मध्य से खंड की सतह तक खींचे गए लंबवत की लंबाई है।
सूत्र. किसी गोले खंड का बाहरी सतह क्षेत्रगोले की त्रिज्या के माध्यम से ऊँचाई h के साथ R:
एस = 2πRh
