बच्चों के लिए ज्वरनाशक दवाएं बाल रोग विशेषज्ञ द्वारा निर्धारित की जाती हैं। लेकिन बुखार के साथ आपातकालीन स्थितियाँ होती हैं जब बच्चे को तुरंत दवा देने की आवश्यकता होती है। तब माता-पिता जिम्मेदारी लेते हैं और ज्वरनाशक दवाओं का उपयोग करते हैं। शिशुओं को क्या देने की अनुमति है? आप बड़े बच्चों में तापमान कैसे कम कर सकते हैं? कौन सी दवाएँ सबसे सुरक्षित हैं?
गणित क्या हैलोग प्रकृति और स्वयं को नियंत्रित करते हैं।
सोवियत गणितज्ञ, शिक्षाविद ए.एन. Kolmogorov
ज्यामितीय अनुक्रम।
अंकगणितीय प्रगति पर समस्याओं के साथ-साथ, ज्यामितीय प्रगति की अवधारणा से संबंधित समस्याएं भी गणित में प्रवेश परीक्षाओं में आम हैं। ऐसी समस्याओं को सफलतापूर्वक हल करने के लिए, आपको ज्यामितीय प्रगति के गुणों को जानना होगा और उनका उपयोग करने में अच्छा कौशल होना चाहिए।
यह लेख ज्यामितीय प्रगति के मूल गुणों की प्रस्तुति के लिए समर्पित है। विशिष्ट समस्याओं को हल करने के उदाहरण भी यहां दिए गए हैं।, गणित में प्रवेश परीक्षाओं के कार्यों से उधार लिया गया।
आइए पहले हम ज्यामितीय प्रगति के मूल गुणों पर ध्यान दें और सबसे महत्वपूर्ण सूत्रों और कथनों को याद करें, इस अवधारणा से जुड़ा है.
परिभाषा।एक संख्या अनुक्रम को ज्यामितीय प्रगति कहा जाता है यदि प्रत्येक संख्या, दूसरे से शुरू होकर, उसी संख्या से गुणा करने पर पिछली संख्या के बराबर होती है। संख्या को ज्यामितीय प्रगति का हर कहा जाता है।
ज्यामितीय प्रगति के लिएसूत्र मान्य हैं
, (1)
कहाँ । सूत्र (1) को ज्यामितीय प्रगति के सामान्य पद का सूत्र कहा जाता है, और सूत्र (2) ज्यामितीय प्रगति के मुख्य गुण का प्रतिनिधित्व करता है: प्रगति का प्रत्येक पद उसके पड़ोसी पदों के ज्यामितीय माध्य से मेल खाता है और।
टिप्पणी, यह ठीक इसी गुण के कारण है कि प्रश्नगत प्रगति को "ज्यामितीय" कहा जाता है।
उपरोक्त सूत्र (1) और (2) को इस प्रकार सामान्यीकृत किया गया है:
, (3)
राशि की गणना करने के लिएपहला ज्यामितीय प्रगति की शर्तेंफार्मूला लागू होता है
यदि हम निरूपित करें, तो
कहाँ । चूँकि, सूत्र (6) सूत्र (5) का सामान्यीकरण है।
मामले में जब और ज्यामितीय अनुक्रमअसीम रूप से घट रहा है. राशि की गणना करने के लिएअनंत रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति के सभी पदों के लिए सूत्र का उपयोग किया जाता है
. (7)
उदाहरण के लिए , सूत्र (7) का उपयोग करके हम दिखा सकते हैं, क्या
कहाँ । ये समानताएं सूत्र (7) से इस शर्त के तहत प्राप्त की जाती हैं कि, (पहली समानता) और, (दूसरी समानता)।
प्रमेय.तो अगर
सबूत। तो अगर
प्रमेय सिद्ध हो चुका है।
आइए "ज्यामितीय प्रगति" विषय पर समस्याओं को हल करने के उदाहरणों पर विचार करें।
उदाहरण 1।दिया गया: , और . खोजो ।
समाधान।यदि हम सूत्र (5) लागू करें, तो
उत्तर: ।
उदाहरण 2.जाने भी दो। खोजो ।
समाधान।चूँकि और, हम सूत्र (5), (6) का उपयोग करते हैं और समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त करते हैं
यदि सिस्टम का दूसरा समीकरण (9) पहले से विभाजित है, फिर या . इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि . आइए दो मामलों पर विचार करें।
1. यदि, तब सिस्टम के पहले समीकरण (9) से हमारे पास है.
2. यदि , तो .
उदाहरण 3.चलो , और . खोजो ।
समाधान।सूत्र (2) से यह इस प्रकार है कि या . चूँकि , तब या .
शर्त के अनुसार. मगर इसलिए। चूँकि और तो यहाँ हमारे पास समीकरणों की एक प्रणाली है
यदि सिस्टम का दूसरा समीकरण पहले से विभाजित है, तो या।
चूँकि, समीकरण का एक अद्वितीय उपयुक्त मूल है। इस मामले में, यह सिस्टम के पहले समीकरण से अनुसरण करता है।
सूत्र (7) को ध्यान में रखते हुए, हम प्राप्त करते हैं।
उत्तर: ।
उदाहरण 4.दिया गया: तथा . खोजो ।
समाधान।के बाद से।
तब से, तब से या
सूत्र (2) के अनुसार हमारे पास है। इस संबंध में, समानता (10) से हम या प्राप्त करते हैं।
हालाँकि, शर्त के अनुसार, इसलिए।
उदाहरण 5.ह ज्ञात है कि । खोजो ।
समाधान। प्रमेय के अनुसार, हमारे पास दो समानताएँ हैं
चूँकि , तब या . क्योंकि तब ।
उत्तर: ।
उदाहरण 6.दिया गया: तथा . खोजो ।
समाधान।सूत्र (5) को ध्यान में रखते हुए, हम प्राप्त करते हैं
के बाद से। चूँकि , और , तब .
उदाहरण 7.जाने भी दो। खोजो ।
समाधान।सूत्र (1) के अनुसार हम लिख सकते हैं
इसलिए, हमारे पास या है। यह ज्ञात है कि और , इसलिए और .
उत्तर: ।
उदाहरण 8.एक अनंत घटती ज्यामितीय प्रगति का हर ज्ञात करें यदि
और ।
समाधान। सूत्र (7) से यह निम्नानुसार हैऔर . यहां से और समस्या की स्थितियों से हमें समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त होती है
यदि सिस्टम का पहला समीकरण वर्गित है, और फिर परिणामी समीकरण को दूसरे समीकरण से विभाजित करें, तो हमें मिलता है
या ।
उत्तर: ।
उदाहरण 9.वे सभी मान ज्ञात करें जिनके लिए अनुक्रम, एक ज्यामितीय प्रगति है।
समाधान।चलो , और . सूत्र (2) के अनुसार, जो ज्यामितीय प्रगति की मुख्य संपत्ति को परिभाषित करता है, हम लिख सकते हैं या।
यहाँ से हमें द्विघात समीकरण प्राप्त होता है, जिनकी जड़ें हैंऔर ।
आइए जाँच करें: यदि, फिर , और ; यदि , तब , तथा .
पहले मामले में हमारे पास हैतथा , तथा दूसरे में – तथा .
उत्तर: , ।
उदाहरण 10.प्रश्न हल करें
, (11)
और कहां ।
समाधान। समीकरण (11) का बाईं ओर एक अनंत घटती ज्यामितीय प्रगति का योग है, जिसमें और, के अधीन: और।
सूत्र (7) से यह निम्नानुसार है, क्या . इस संबंध में, समीकरण (11) रूप लेता हैया . उपयुक्त जड़ द्विघात समीकरण है
उत्तर: ।
उदाहरण 11.पी सकारात्मक संख्याओं का क्रमएक अंकगणितीय प्रगति बनाता है, ए - ज्यामितीय अनुक्रम, इसका इससे क्या लेना देना है . खोजो ।
समाधान।क्योंकि अंकगणित क्रम, वह (अंकगणितीय प्रगति की मुख्य संपत्ति)। क्योंकि, फिर या . यह संकेत करता है , कि ज्यामितीय प्रगति का रूप है. सूत्र के अनुसार (2), फिर हम उसे लिख लेते हैं .
तब से और , तब से . इस मामले में, अभिव्यक्तिया का रूप ले लेता है। शर्त से, तो Eq से.हमें विचाराधीन समस्या का एक अनूठा समाधान मिलता है, अर्थात। .
उत्तर: ।
उदाहरण 12.योग की गणना करें
. (12)
समाधान। समानता (12) के दोनों पक्षों को 5 से गुणा करें और प्राप्त करें
यदि हम परिणामी व्यंजक से (12) घटा दें, वह
या ।
गणना करने के लिए, हम मानों को सूत्र (7) में प्रतिस्थापित करते हैं और प्राप्त करते हैं। के बाद से।
उत्तर: ।
यहां दिए गए समस्या समाधान के उदाहरण प्रवेश परीक्षाओं की तैयारी करते समय आवेदकों के लिए उपयोगी होंगे। समस्या समाधान विधियों के गहन अध्ययन के लिए, ज्यामितीय प्रगति से संबंधित, आप अनुशंसित साहित्य की सूची से ट्यूटोरियल का उपयोग कर सकते हैं।
1. कॉलेजों/एड के आवेदकों के लिए गणित में समस्याओं का संग्रह। एम.आई. स्कैनवी. - एम.: मीर और शिक्षा, 2013. - 608 पी।
2. सुप्रुन वी.पी. हाई स्कूल के छात्रों के लिए गणित: स्कूल पाठ्यक्रम के अतिरिक्त खंड। - एम.: लेनानंद/यूआरएसएस, 2014. - 216 पी।
3. मेडिंस्की एम.एम. समस्याओं और अभ्यासों में प्रारंभिक गणित का संपूर्ण पाठ्यक्रम। पुस्तक 2: संख्या अनुक्रम और प्रगति। - एम.: एडिटस, 2015. - 208 पी।
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संख्यात्मक अनुक्रम VI
§ एल48. अनंत रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति का योग
अब तक, योगों के बारे में बात करते समय, हमने हमेशा यह माना है कि इन योगों में पदों की संख्या सीमित है (उदाहरण के लिए, 2, 15, 1000, आदि)। लेकिन कुछ समस्याओं (विशेषकर उच्च गणित) को हल करते समय व्यक्ति को अनंत पदों के योग से निपटना पड़ता है
एस= ए 1 + ए 2 + ... + ए एन + ... . (1)
ये राशियाँ क्या हैं? ए-प्राथमिकता अनंत पदों का योग ए 1 , ए 2 , ..., ए एन , ... को योग S की सीमा कहा जाता है एन पहला पी संख्याएँ जब पी -> ∞ :
एस=एस एन = (ए 1 + ए 2 + ... + ए एन ). (2)
सीमा (2), निस्संदेह, अस्तित्व में हो भी सकती है और नहीं भी। तदनुसार, वे कहते हैं कि योग (1) मौजूद है या मौजूद नहीं है।
हम कैसे पता लगा सकते हैं कि प्रत्येक विशिष्ट मामले में योग (1) मौजूद है या नहीं? इस मुद्दे का सामान्य समाधान हमारे कार्यक्रम के दायरे से कहीं आगे तक जाता है। हालाँकि, एक महत्वपूर्ण विशेष मामला है जिस पर अब हमें विचार करना चाहिए। हम अनंत रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति के पदों के योग के बारे में बात करेंगे।
होने देना ए 1 , ए 1 क्यू , ए 1 क्यू 2, ... एक अनंत रूप से घटती हुई ज्यामितीय प्रगति है। इसका मतलब यह है कि | क्यू |< 1. Сумма первых पी इस प्रगति की शर्तें समान हैं
चरों की सीमाओं पर बुनियादी प्रमेयों से (§ 136 देखें) हम प्राप्त करते हैं:
लेकिन 1 = 1, ए क्यू.एन = 0. इसलिए
तो, एक अनंत रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति का योग इस प्रगति के पहले पद को इस प्रगति के हर से एक घटाकर विभाजित करने के बराबर होता है।
1) ज्यामितीय प्रगति 1, 1/3, 1/9, 1/27, ... का योग बराबर है
और ज्यामितीय प्रगति का योग 12 है; -6; 3; - 3 / 2 , ...बराबर
2) एक साधारण आवर्त भिन्न 0.454545 ... को एक साधारण भिन्न में बदलें।
इस समस्या को हल करने के लिए, इस भिन्न को एक अनंत योग के रूप में कल्पना करें:
इस समानता का दाहिना पक्ष एक अनंत रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति का योग है, जिसका पहला पद 45/100 के बराबर है, और हर 1/100 है। इसीलिए
वर्णित विधि का उपयोग करके, सरल आवधिक अंशों को सामान्य अंशों में परिवर्तित करने का एक सामान्य नियम प्राप्त किया जा सकता है (अध्याय II, § 38 देखें):
एक साधारण आवर्त भिन्न को साधारण भिन्न में बदलने के लिए, आपको निम्नलिखित कार्य करने होंगे: अंश में दशमलव भिन्न का आवर्त डालें, और हर में - नौ से बनी एक संख्या, जितनी बार आवर्त में अंक हों, उतनी बार लें दशमलव अंश का.
3) मिश्रित आवर्त भिन्न 0.58333 .... को साधारण भिन्न में बदलें।
आइए इस अंश को एक अनंत योग के रूप में कल्पना करें:
इस समानता के दाईं ओर, 3/1000 से शुरू होने वाले सभी पद, एक अनंत रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति बनाते हैं, जिसका पहला पद 3/1000 के बराबर है, और हर 1/10 है। इसीलिए
वर्णित विधि का उपयोग करके, मिश्रित आवधिक अंशों को सामान्य अंशों में परिवर्तित करने का एक सामान्य नियम प्राप्त किया जा सकता है (अध्याय II, § 38 देखें)। हम जानबूझकर इसे यहां प्रस्तुत नहीं कर रहे हैं। इस बोझिल नियम को याद रखने की कोई जरूरत नहीं है. यह जानना अधिक उपयोगी है कि किसी भी मिश्रित आवधिक अंश को अनंत रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति और एक निश्चित संख्या के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है। और सूत्र
एक अनंत रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति के योग के लिए, आपको निश्चित रूप से याद रखना चाहिए।
एक अभ्यास के रूप में, हमारा सुझाव है कि आप, नीचे दी गई समस्या संख्या 995-1000 के अलावा, एक बार फिर समस्या संख्या 301 § 38 की ओर मुड़ें।
अभ्यास
995. अनन्त रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति का योग क्या कहलाता है?
996. अनंत रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति का योग ज्ञात कीजिए:
997. किन मूल्यों पर एक्स प्रगति
क्या यह असीम रूप से घट रहा है? ऐसी प्रगति का योग ज्ञात कीजिए।
998. भुजा वाले एक समबाहु त्रिभुज में ए इसकी भुजाओं के मध्यबिंदुओं को जोड़कर एक नया त्रिभुज अंकित किया जाता है; इस त्रिभुज में उसी प्रकार एक नया त्रिभुज अंकित है, और इसी प्रकार अनंत काल तक।
ए) इन सभी त्रिभुजों की परिमापों का योग;
बी) उनके क्षेत्रों का योग।
999. भुजा सहित वर्ग ए इसकी भुजाओं के मध्यबिंदुओं को जोड़कर एक नया वर्ग अंकित किया जाता है; इस वर्ग में उसी प्रकार एक वर्ग अंकित है, और इसी प्रकार अनंत काल तक। इन सभी वर्गों की परिमापों का योग और उनके क्षेत्रफलों का योग ज्ञात कीजिए।
1000. एक अनंत रूप से घटती हुई ज्यामितीय प्रगति इस प्रकार बनाएं कि इसका योग 25/4 के बराबर हो, और इसके पदों के वर्गों का योग 625/24 के बराबर हो।
आइए एक निश्चित श्रृंखला पर विचार करें।
7 28 112 448 1792...
यह बिल्कुल स्पष्ट है कि इसके किसी भी तत्व का मूल्य पिछले वाले से ठीक चार गुना अधिक है। इसका मतलब यह है कि यह श्रृंखला एक प्रगति है।
ज्यामितीय अनुक्रम संख्याओं का एक अनंत अनुक्रम है, जिसकी मुख्य विशेषता यह है कि अगली संख्या को पिछली संख्या से एक विशिष्ट संख्या से गुणा करके प्राप्त किया जाता है। इसे निम्नलिखित सूत्र द्वारा व्यक्त किया गया है।
a z +1 =a z·q, जहां z चयनित तत्व की संख्या है।
तदनुसार, z ∈ N.
वह अवधि जब स्कूल में ज्यामितीय प्रगति का अध्ययन किया जाता है वह 9वीं कक्षा है। उदाहरण आपको अवधारणा को समझने में मदद करेंगे:
0.25 0.125 0.0625...
इस सूत्र के आधार पर, प्रगति का हर इस प्रकार पाया जा सकता है:
न तो q और न ही bz शून्य हो सकते हैं। साथ ही, प्रगति का प्रत्येक तत्व शून्य के बराबर नहीं होना चाहिए।
तदनुसार, किसी श्रृंखला में अगली संख्या जानने के लिए, आपको अंतिम संख्या को q से गुणा करना होगा।
इस प्रगति को सेट करने के लिए, आपको इसका पहला तत्व और हर निर्दिष्ट करना होगा। इसके बाद, बाद के किसी भी पद और उनका योग ज्ञात करना संभव है।
किस्मों
Q और a 1 के आधार पर, इस प्रगति को कई प्रकारों में विभाजित किया गया है:
- यदि 1 और q दोनों एक से अधिक हैं, तो ऐसा क्रम एक ज्यामितीय प्रगति है जो प्रत्येक बाद के तत्व के साथ बढ़ता है। इसका एक उदाहरण नीचे प्रस्तुत है.
उदाहरण: a 1 =3, q=2 - दोनों पैरामीटर एक से बड़े हैं।
फिर संख्या क्रम इस प्रकार लिखा जा सकता है:
3 6 12 24 48 ...
- यदि |q| एक से कम है, अर्थात इससे गुणा करना भाग के बराबर है, तो समान स्थितियों वाली प्रगति घटती हुई ज्यामितीय प्रगति है। इसका एक उदाहरण नीचे प्रस्तुत है.
उदाहरण: a 1 =6, q=1/3 - a 1 एक से बड़ा है, q कम है।
फिर संख्या क्रम इस प्रकार लिखा जा सकता है:
6 2 2/3 ... - कोई भी तत्व उसके बाद वाले तत्व से 3 गुना बड़ा होता है।
- वैकल्पिक संकेत. यदि प्र<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.
उदाहरण: a 1 = -3, q = -2 - दोनों पैरामीटर शून्य से कम हैं।
फिर संख्या क्रम इस प्रकार लिखा जा सकता है:
3, 6, -12, 24,...
सूत्रों
ज्यामितीय प्रगति के सुविधाजनक उपयोग के लिए कई सूत्र हैं:
- zवें पद के लिए सूत्र. आपको पिछली संख्याओं की गणना किए बिना किसी विशिष्ट संख्या के अंतर्गत किसी तत्व की गणना करने की अनुमति देता है।
उदाहरण:क्यू = 3, ए 1 = 4. प्रगति के चौथे तत्व को गिनना आवश्यक है।
समाधान:ए 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.
- प्रथम तत्वों का योग जिनकी मात्रा बराबर है जेड. आपको अनुक्रम के सभी तत्वों के योग की गणना करने की अनुमति देता हैएक zसहित।
चूंकि (1-क्यू) हर में है, तो (1 - क्यू)≠ 0, इसलिए q, 1 के बराबर नहीं है।
ध्यान दें: यदि q=1, तो प्रगति अनंत रूप से दोहराई जाने वाली संख्याओं की एक श्रृंखला होगी।
ज्यामितीय प्रगति का योग, उदाहरण:ए 1 = 2, क्यू= -2. S5 की गणना करें.
समाधान:एस 5 = 22 - सूत्र का उपयोग करके गणना।
- राशि यदि |क्यू| < 1 и если z стремится к бесконечности.
उदाहरण:ए 1 = 2 , क्यू= 0.5. राशि ज्ञात कीजिये.
समाधान:Sz = 2 · = 4
Sz = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4
कुछ गुण:
- विशेषता संपत्ति. यदि निम्न शर्त किसी के लिए काम करता हैजेड, तो दी गई संख्या श्रृंखला एक ज्यामितीय प्रगति है:
एक z 2 = एक z -1 · एz+1
- साथ ही, ज्यामितीय क्रम में किसी भी संख्या का वर्ग किसी दी गई श्रृंखला में किन्हीं दो अन्य संख्याओं के वर्गों को जोड़कर पाया जाता है, यदि वे इस तत्व से समान दूरी पर हों।
एक z 2 = एक z - टी 2 + एक z + टी 2 , कहाँटी- इन नंबरों के बीच की दूरी.
- तत्वोंक्यू में अंतरएक बार।
- किसी प्रगति के तत्वों के लघुगणक भी एक प्रगति बनाते हैं, लेकिन एक अंकगणितीय, यानी, उनमें से प्रत्येक एक निश्चित संख्या से पिछले एक से अधिक है।
कुछ क्लासिक समस्याओं के उदाहरण
ज्यामितीय प्रगति क्या है, इसे बेहतर ढंग से समझने के लिए, कक्षा 9 के समाधान वाले उदाहरण मदद कर सकते हैं।
- स्थितियाँ:ए 1 = 3, ए 3 = 48. खोजेंक्यू.
समाधान: प्रत्येक अगला तत्व पिछले वाले से बड़ा हैक्यू एक बार।हर का उपयोग करके कुछ तत्वों को दूसरों के संदर्भ में व्यक्त करना आवश्यक है।
इस तरह,ए 3 = क्यू 2 · ए 1
प्रतिस्थापित करते समयक्यू= 4
- स्थितियाँ:ए 2 = 6, ए 3 = 12. एस 6 की गणना करें।
समाधान:ऐसा करने के लिए, बस पहला तत्व q ढूंढें और इसे सूत्र में प्रतिस्थापित करें।
ए 3 = क्यू· ए 2 , इस तरह,क्यू= 2
ए 2 = क्यू · ए 1 ,इसीलिए ए 1= 3
एस 6 = 189
- · ए 1 = 10, क्यू= -2. प्रगति का चौथा तत्व ज्ञात कीजिए।
समाधान: ऐसा करने के लिए, चौथे तत्व को पहले और हर के माध्यम से व्यक्त करना पर्याप्त है।
ए 4 = क्यू 3· ए 1 = -80
आवेदन उदाहरण:
- एक बैंक ग्राहक ने 10,000 रूबल की राशि जमा की, जिसकी शर्तों के तहत हर साल ग्राहक को इसका 6% मूल राशि में जोड़ा जाएगा। 4 साल बाद खाते में कितने पैसे होंगे?
समाधान: प्रारंभिक राशि 10 हजार रूबल है। इसका मतलब है कि निवेश के एक साल बाद खाते में 10,000 + 10,000 के बराबर राशि होगी · 0.06 = 10000 1.06
तदनुसार, एक और वर्ष के बाद खाते में राशि इस प्रकार व्यक्त की जाएगी:
(10000 · 1.06) · 0.06 + 10000 · 1.06 = 1.06 · 1.06 · 10000
यानी हर साल रकम 1.06 गुना बढ़ जाती है. इसका मतलब यह है कि 4 वर्षों के बाद खाते में धनराशि का पता लगाने के लिए, प्रगति का चौथा तत्व ढूंढना पर्याप्त है, जो कि 10 हजार के बराबर पहला तत्व और 1.06 के बराबर हर द्वारा दिया गया है।
एस = 1.06 1.06 1.06 1.06 10000 = 12625
योग गणना समस्याओं के उदाहरण:
ज्यामितीय प्रगति का उपयोग विभिन्न समस्याओं में किया जाता है। योग ज्ञात करने का एक उदाहरण इस प्रकार दिया जा सकता है:
ए 1 = 4, क्यू= 2, गणना करेंएस 5.
समाधान: गणना के लिए आवश्यक सभी डेटा ज्ञात हैं, आपको बस उन्हें सूत्र में प्रतिस्थापित करने की आवश्यकता है।
एस 5 = 124
- ए 2 = 6, ए 3 = 18. पहले छह तत्वों का योग ज्ञात करें।
समाधान:
जियोम में. प्रगति, प्रत्येक अगला तत्व पिछले वाले से q गुना अधिक है, अर्थात, योग की गणना करने के लिए आपको तत्व को जानना होगाए 1 और हरक्यू.
ए 2 · क्यू = ए 3
क्यू = 3
इसी तरह, आपको खोजने की जरूरत हैए 1 , जाननाए 2 औरक्यू.
ए 1 · क्यू = ए 2
ए 1=2
एस 6 = 728.
तो, आइए बैठें और कुछ संख्याएँ लिखना शुरू करें। उदाहरण के लिए:
आप कोई भी संख्याएँ लिख सकते हैं, और उनमें से जितनी चाहें उतनी संख्याएँ हो सकती हैं (हमारे मामले में, वे हैं)। इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि हम कितनी संख्याएँ लिखते हैं, हम हमेशा बता सकते हैं कि कौन सा पहला है, कौन सा दूसरा है, और इसी तरह आखिरी तक, यानी हम उन्हें नंबर दे सकते हैं। यह संख्या अनुक्रम का एक उदाहरण है:
संख्या क्रमसंख्याओं का एक समूह है, जिनमें से प्रत्येक को एक अद्वितीय संख्या दी जा सकती है।
उदाहरण के लिए, हमारे अनुक्रम के लिए:
निर्दिष्ट संख्या अनुक्रम में केवल एक संख्या के लिए विशिष्ट है। दूसरे शब्दों में, अनुक्रम में तीन दूसरी संख्याएँ नहीं हैं। दूसरी संख्या (वें संख्या की तरह) हमेशा समान होती है।
संख्या वाले अंक को अनुक्रम का nवाँ सदस्य कहा जाता है।
हम आम तौर पर पूरे अनुक्रम को कुछ अक्षर (उदाहरण के लिए) से बुलाते हैं, और इस अनुक्रम का प्रत्येक सदस्य इस सदस्य की संख्या के बराबर सूचकांक के साथ एक ही अक्षर है:।
हमारे मामले में:
प्रगति के सबसे सामान्य प्रकार अंकगणितीय और ज्यामितीय हैं। इस विषय में हम दूसरे प्रकार के बारे में बात करेंगे - ज्यामितीय अनुक्रम.
ज्यामितीय प्रगति की आवश्यकता क्यों है और इसका इतिहास क्या है?
प्राचीन काल में भी, पीसा के इतालवी गणितज्ञ भिक्षु लियोनार्डो (जिन्हें फाइबोनैचि के नाम से जाना जाता है) व्यापार की व्यावहारिक आवश्यकताओं से निपटते थे। भिक्षु को यह निर्धारित करने के कार्य का सामना करना पड़ा कि किसी उत्पाद को तौलने के लिए उपयोग किए जा सकने वाले वजन की सबसे छोटी संख्या क्या है? अपने कार्यों में, फाइबोनैचि साबित करता है कि वजन की ऐसी प्रणाली इष्टतम है: यह पहली स्थितियों में से एक है जिसमें लोगों को ज्यामितीय प्रगति से निपटना पड़ा, जिसके बारे में आपने शायद पहले ही सुना होगा और कम से कम इसकी सामान्य समझ होगी। एक बार जब आप विषय को पूरी तरह से समझ लें, तो सोचें कि ऐसी प्रणाली इष्टतम क्यों है?
वर्तमान में, जीवन अभ्यास में, बैंक में पैसा निवेश करते समय ज्यामितीय प्रगति स्वयं प्रकट होती है, जब पिछली अवधि के लिए खाते में जमा राशि पर ब्याज की राशि अर्जित होती है। दूसरे शब्दों में, यदि आप बचत बैंक में सावधि जमा पर पैसा लगाते हैं, तो एक वर्ष के बाद जमा मूल राशि से बढ़ जाएगी, अर्थात। नई राशि योगदान के गुणा के बराबर होगी। एक और वर्ष में, यह राशि बढ़ जाएगी, अर्थात। उस समय प्राप्त राशि को फिर से और इसी तरह से गुणा किया जाएगा। तथाकथित गणना की समस्याओं में एक समान स्थिति का वर्णन किया गया है चक्रवृद्धि ब्याज- पिछले ब्याज को ध्यान में रखते हुए, खाते में मौजूद राशि से हर बार प्रतिशत लिया जाता है। हम इन कार्यों के बारे में थोड़ी देर बाद बात करेंगे।
ऐसे और भी कई सरल मामले हैं जहां ज्यामितीय प्रगति लागू होती है। उदाहरण के लिए, इन्फ्लूएंजा का प्रसार: एक व्यक्ति ने दूसरे व्यक्ति को संक्रमित किया, उन्होंने, बदले में, दूसरे व्यक्ति को संक्रमित किया, और इस प्रकार संक्रमण की दूसरी लहर एक व्यक्ति है, और उन्होंने, बदले में, दूसरे को संक्रमित किया... इत्यादि.. .
वैसे, एक वित्तीय पिरामिड, वही एमएमएम, ज्यामितीय प्रगति के गुणों पर आधारित एक सरल और शुष्क गणना है। दिलचस्प? आइए इसका पता लगाएं।
ज्यामितीय अनुक्रम।
मान लीजिए कि हमारे पास एक संख्या क्रम है:
आप तुरंत उत्तर देंगे कि यह आसान है और ऐसे अनुक्रम का नाम इसके सदस्यों के अंतर के साथ है। इस बारे में कैसा है:
यदि आप पिछली संख्या को अगली संख्या से घटाते हैं, तो आप देखेंगे कि हर बार आपको एक नया अंतर मिलता है (और इसी तरह), लेकिन अनुक्रम निश्चित रूप से मौजूद है और नोटिस करना आसान है - प्रत्येक बाद की संख्या पिछले एक से कई गुना बड़ी है!
इस प्रकार का संख्या क्रम कहलाता है ज्यामितीय अनुक्रमऔर नामित किया गया है.
ज्यामितीय प्रगति () एक संख्यात्मक अनुक्रम है, जिसका पहला पद शून्य से भिन्न होता है, और दूसरे से शुरू होने वाला प्रत्येक पद, उसी संख्या से गुणा करके पिछले एक के बराबर होता है। इस संख्या को ज्यामितीय प्रगति का हर कहा जाता है।
प्रतिबंध कि पहला पद ( ) समान नहीं है और यादृच्छिक नहीं है। आइए मान लें कि कोई भी नहीं है, और पहला पद अभी भी बराबर है, और q बराबर है, हम्म.. रहने दो, फिर यह पता चलता है:
सहमत हूँ कि यह अब कोई प्रगति नहीं है।
जैसा कि आप समझते हैं, शून्य के अलावा कोई अन्य संख्या होने पर भी हमें वही परिणाम मिलेंगे। इन मामलों में, कोई प्रगति नहीं होगी, क्योंकि पूरी संख्या श्रृंखला या तो सभी शून्य होगी, या एक संख्या होगी, और बाकी सभी शून्य होंगे।
आइए अब ज्यामितीय प्रगति के हर के बारे में अधिक विस्तार से बात करते हैं, यानी ओ।
आइए दोहराएँ:- यह संख्या है प्रत्येक आगामी पद कितनी बार बदलता है?ज्यामितीय अनुक्रम।
आपके विचार से ये क्या हो सकता है? यह सही है, सकारात्मक और नकारात्मक, लेकिन शून्य नहीं (हमने इसके बारे में थोड़ा ऊपर बात की)।
चलिए मान लेते हैं कि हमारा सकारात्मक है. आइए हमारे मामले में, ए. दूसरे पद का मान क्या है? आप इसका उत्तर आसानी से दे सकते हैं:
यह सही है। तदनुसार, यदि, तो प्रगति के सभी बाद के पदों का एक ही चिह्न है - वे सकारात्मक हैं.
यदि यह नकारात्मक है तो क्या होगा? उदाहरण के लिए, ए. दूसरे पद का मान क्या है?
यह बिल्कुल अलग कहानी है
इस प्रगति की शर्तों को गिनने का प्रयास करें। आपको कितना मिला? मेरे पास है। इस प्रकार, यदि, तो ज्यामितीय प्रगति की शर्तों के संकेत वैकल्पिक होते हैं। अर्थात्, यदि आप इसके सदस्यों के लिए वैकल्पिक संकेतों के साथ प्रगति देखते हैं, तो इसका हर नकारात्मक है। इस विषय पर समस्याओं को हल करते समय यह ज्ञान आपको स्वयं को परखने में मदद कर सकता है।
आइए अब थोड़ा अभ्यास करें: यह निर्धारित करने का प्रयास करें कि कौन से संख्या क्रम एक ज्यामितीय प्रगति हैं और कौन से एक अंकगणितीय प्रगति हैं:
समझ गया? आइए हमारे उत्तरों की तुलना करें:
- ज्यामितीय प्रगति - 3, 6.
- अंकगणितीय प्रगति - 2, 4.
- यह न तो अंकगणित है और न ही ज्यामितीय प्रगति - 1, 5, 7।
आइए अपनी अंतिम प्रगति पर लौटें और अंकगणित की तरह, इसके सदस्य को खोजने का प्रयास करें। जैसा कि आपने अनुमान लगाया होगा, इसे खोजने के दो तरीके हैं।
हम प्रत्येक पद को क्रमिक रूप से गुणा करते हैं।
तो, वर्णित ज्यामितीय प्रगति का वां पद बराबर है।
जैसा कि आपने पहले ही अनुमान लगाया था, अब आप स्वयं एक सूत्र प्राप्त करेंगे जो आपको ज्यामितीय प्रगति के किसी भी सदस्य को खोजने में मदद करेगा। या क्या आपने पहले ही इसे अपने लिए विकसित कर लिया है, जिसमें बताया गया है कि चरण दर चरण वें सदस्य को कैसे खोजा जाए? यदि हां, तो अपने तर्क की सत्यता की जांच करें।
आइए हम इसे इस प्रगति के वें पद को खोजने के उदाहरण से स्पष्ट करें:
दूसरे शब्दों में:
दी गई गुणोत्तर श्रेणी के पद का मान स्वयं ज्ञात कीजिए।
घटित? आइए हमारे उत्तरों की तुलना करें:
कृपया ध्यान दें कि जब हमने ज्यामितीय प्रगति के प्रत्येक पिछले पद को क्रमिक रूप से गुणा किया था, तो आपको पिछली पद्धति के समान ही संख्या प्राप्त हुई थी।
आइए इस सूत्र को "प्रतिरूपण" करने का प्रयास करें - आइए इसे सामान्य रूप में रखें और प्राप्त करें:
व्युत्पन्न सूत्र सभी मूल्यों के लिए सत्य है - सकारात्मक और नकारात्मक दोनों। निम्नलिखित शर्तों के साथ ज्यामितीय प्रगति की शर्तों की गणना करके इसे स्वयं जांचें: , ए।
क्या आपने गिनती की? आइए परिणामों की तुलना करें:
सहमत हूं कि किसी पद की तरह ही प्रगति का एक पद खोजना संभव होगा, हालांकि, गलत तरीके से गणना करने की संभावना है। और यदि हमने पहले ही ज्यामितीय प्रगति का वां पद पा लिया है, तो सूत्र के "काटे गए" भाग का उपयोग करने से अधिक सरल क्या हो सकता है।
असीमित रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति।
हाल ही में, हमने इस तथ्य के बारे में बात की कि यह या तो शून्य से अधिक या कम हो सकता है, हालांकि, ऐसे विशेष मूल्य हैं जिनके लिए ज्यामितीय प्रगति कहा जाता है असीम रूप से घट रहा है.
आपको क्या लगता है यह नाम क्यों दिया गया है?
सबसे पहले, आइए पदों से युक्त कुछ ज्यामितीय प्रगति लिखें।
तो फिर मान लीजिए:
हम देखते हैं कि प्रत्येक आगामी पद पिछले पद से एक गुणनखंड से कम है, लेकिन क्या कोई संख्या होगी? आप तुरंत जवाब देंगे "नहीं"। इसीलिए यह अनंत रूप से घट रहा है - यह घटता और घटता रहता है, लेकिन कभी शून्य नहीं होता।
यह स्पष्ट रूप से समझने के लिए कि यह देखने में कैसा दिखता है, आइए अपनी प्रगति का एक ग्राफ़ बनाने का प्रयास करें। तो, हमारे मामले के लिए, सूत्र निम्नलिखित रूप लेता है:
ग्राफ़ पर हम निर्भरता की साजिश रचने के आदी हैं, इसलिए:
अभिव्यक्ति का सार नहीं बदला है: पहली प्रविष्टि में हमने एक ज्यामितीय प्रगति के एक सदस्य के मूल्य की उसकी क्रमिक संख्या पर निर्भरता दिखाई, और दूसरी प्रविष्टि में हमने बस एक ज्यामितीय प्रगति के एक सदस्य के मूल्य को इस प्रकार लिया , और क्रमसूचक संख्या को इस रूप में नहीं, बल्कि इस रूप में निर्दिष्ट किया गया है। बस एक ग्राफ बनाना बाकी है।
हम देखते हैं तुम्हें क्या मिला। यहां वह ग्राफ है जो मैं लेकर आया हूं:
क्या आप देखते हैं? फ़ंक्शन घटता है, शून्य की ओर जाता है, लेकिन इसे कभी पार नहीं करता है, इसलिए यह असीम रूप से घट रहा है। आइए ग्राफ़ पर अपने बिंदुओं को चिह्नित करें, और साथ ही निर्देशांक और इसका मतलब क्या है:
यदि किसी ज्यामितीय प्रगति का पहला पद भी बराबर है तो उसके ग्राफ को योजनाबद्ध रूप से चित्रित करने का प्रयास करें। विश्लेषण करें कि हमारे पिछले ग्राफ़ से क्या अंतर है?
क्या आप संभाल पाओगे? यहां वह ग्राफ है जो मैं लेकर आया हूं:
अब जब आप ज्यामितीय प्रगति के विषय की मूल बातें पूरी तरह से समझ गए हैं: आप जानते हैं कि यह क्या है, आप जानते हैं कि इसका पद कैसे ज्ञात किया जाता है, और आप यह भी जानते हैं कि अनंत रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति क्या है, तो आइए इसके मुख्य गुण पर चलते हैं।
ज्यामितीय प्रगति की संपत्ति.
क्या आपको अंकगणितीय प्रगति के पदों का गुण याद है? हाँ, हाँ, किसी प्रगति की एक निश्चित संख्या का मान कैसे ज्ञात करें जब इस प्रगति की शर्तों के पिछले और बाद के मान हों। तुम्हे याद है? यह:
अब हम ज्यामितीय प्रगति की शर्तों के लिए बिल्कुल उसी प्रश्न का सामना कर रहे हैं। ऐसा सूत्र प्राप्त करने के लिए, आइए चित्र बनाना और तर्क करना शुरू करें। आप देखेंगे, यह बहुत आसान है, और यदि आप भूल जाते हैं, तो आप इसे स्वयं निकाल सकते हैं।
आइए एक और सरल ज्यामितीय प्रगति लें, जिसमें हम जानते हैं और। कैसे ढूंढें? अंकगणितीय प्रगति के साथ यह आसान और सरल है, लेकिन यहां क्या? वास्तव में, ज्यामितीय में कुछ भी जटिल नहीं है - आपको बस सूत्र के अनुसार हमें दिए गए प्रत्येक मान को लिखना होगा।
आप पूछ सकते हैं कि अब हमें इसके बारे में क्या करना चाहिए? हाँ, बहुत सरल. सबसे पहले, आइए इन सूत्रों को एक चित्र में चित्रित करें और मूल्य तक पहुंचने के लिए उनके साथ विभिन्न जोड़-तोड़ करने का प्रयास करें।
आइए उन संख्याओं का सार निकालें जो हमें दी गई हैं, आइए केवल सूत्र के माध्यम से उनकी अभिव्यक्ति पर ध्यान केंद्रित करें। हमें नारंगी रंग में हाइलाइट किए गए मान को ढूंढना होगा, उसके निकटवर्ती शब्दों को जानना होगा। आइए उनके साथ विभिन्न क्रियाएं करने का प्रयास करें, जिसके परिणाम हमें मिल सकते हैं।
जोड़ना।
आइए दो अभिव्यक्तियाँ जोड़ने का प्रयास करें और हमें प्राप्त होता है:
इस अभिव्यक्ति से, जैसा कि आप देख सकते हैं, हम इसे किसी भी तरह से व्यक्त नहीं कर सकते हैं, इसलिए, हम एक और विकल्प - घटाव का प्रयास करेंगे।
घटाव.
जैसा कि आप देख सकते हैं, हम इसे व्यक्त नहीं कर सकते हैं, इसलिए आइए इन अभिव्यक्तियों को एक-दूसरे से गुणा करने का प्रयास करें।
गुणन.
अब ध्यान से देखें कि हमें दिए गए ज्यामितीय प्रगति के पदों को जो पाना है उसकी तुलना में गुणा करके हमारे पास क्या है:
सोचो मैं किस बारे में बात कर रहा हूँ? सही ढंग से, खोजने के लिए हमें वांछित संख्या से सटे ज्यामितीय प्रगति संख्याओं के वर्गमूल को एक दूसरे से गुणा करने की आवश्यकता है:
हेयर यू गो। आपने स्वयं ज्यामितीय प्रगति का गुण प्राप्त किया है। इस सूत्र को सामान्य रूप में लिखने का प्रयास करें। घटित?
शर्त भूल गए? इस बारे में सोचें कि यह क्यों महत्वपूर्ण है, उदाहरण के लिए, इसकी गणना स्वयं करने का प्रयास करें। इस मामले में क्या होगा? यह सही है, पूरी तरह बकवास है क्योंकि सूत्र इस तरह दिखता है:
तदनुसार, इस सीमा को मत भूलना.
अब आइए गणना करें कि यह किसके बराबर है
सही जवाब - ! यदि आप गणना के दौरान दूसरा संभावित मान नहीं भूले हैं, तो आप महान हैं और तुरंत प्रशिक्षण के लिए आगे बढ़ सकते हैं, और यदि आप भूल गए हैं, तो नीचे चर्चा की गई बातों को पढ़ें और इस बात पर ध्यान दें कि दोनों जड़ों को नीचे क्यों लिखा जाना चाहिए उत्तर।
आइए हमारी दोनों ज्यामितीय प्रगति बनाएं - एक मूल्य के साथ और दूसरा मूल्य के साथ और जांचें कि क्या उन दोनों को अस्तित्व का अधिकार है:
यह जांचने के लिए कि ऐसी ज्यामितीय प्रगति मौजूद है या नहीं, यह देखना आवश्यक है कि क्या इसके दिए गए सभी पद समान हैं? पहले और दूसरे मामले के लिए q की गणना करें।
देखिये हमें दो उत्तर क्यों लिखने पड़ते हैं? क्योंकि जिस शब्द को आप खोज रहे हैं उसका चिन्ह इस बात पर निर्भर करता है कि वह सकारात्मक है या नकारात्मक! और चूँकि हम नहीं जानते कि यह क्या है, हमें प्लस और माइनस दोनों उत्तर लिखने होंगे।
अब जब आपने मुख्य बिंदुओं पर महारत हासिल कर ली है और ज्यामितीय प्रगति की संपत्ति के लिए सूत्र प्राप्त कर लिया है, तो खोजें, जानें और
अपने उत्तरों की सही उत्तरों से तुलना करें:
आप क्या सोचते हैं, क्या होगा यदि हमें वांछित संख्या के निकट ज्यामितीय प्रगति की शर्तों के मान नहीं दिए गए, बल्कि उससे समान दूरी पर दिए गए। उदाहरण के लिए, हमें खोजने की जरूरत है, और दिया गया है। क्या हम इस मामले में प्राप्त सूत्र का उपयोग कर सकते हैं? इस संभावना की उसी तरह पुष्टि या खंडन करने का प्रयास करें, जिसमें प्रत्येक मान में क्या शामिल है, इसका वर्णन किया गया हो, जैसा आपने मूल रूप से सूत्र प्राप्त करते समय किया था।
तुम्हें क्या मिला?
अब दोबारा ध्यान से देखिए.
और तदनुसार:
इससे हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि सूत्र काम करता है सिर्फ पड़ोसी के साथ नहींज्यामितीय प्रगति की वांछित शर्तों के साथ, लेकिन साथ भी समान दूरीसदस्य क्या खोज रहे हैं।
इस प्रकार, हमारा प्रारंभिक सूत्र यह रूप लेता है:
अर्थात्, यदि पहले मामले में हमने ऐसा कहा था, तो अब हम कहते हैं कि यह किसी भी छोटी प्राकृतिक संख्या के बराबर हो सकता है। मुख्य बात यह है कि यह दिए गए दोनों नंबरों के लिए समान है।
विशिष्ट उदाहरणों के साथ अभ्यास करें, बस बेहद सावधान रहें!
- , . खोजो।
- , . खोजो।
- , . खोजो।
फैसला किया? मुझे आशा है कि आप बेहद चौकस थे और एक छोटी सी कैच पर ध्यान दिया होगा।
आइए परिणामों की तुलना करें।
पहले दो मामलों में, हम शांतिपूर्वक उपरोक्त सूत्र को लागू करते हैं और निम्नलिखित मान प्राप्त करते हैं:
तीसरे मामले में, जब हम हमें दी गई संख्याओं की क्रम संख्या की सावधानीपूर्वक जांच करते हैं, तो हम समझते हैं कि वे उस संख्या से समान दूरी पर नहीं हैं जिसे हम ढूंढ रहे हैं: यह पिछली संख्या है, लेकिन एक स्थिति में हटा दी गई है, इसलिए यह है फार्मूला लागू करना संभव नहीं
इसे कैसे हल करें? यह वास्तव में उतना कठिन नहीं है जितना लगता है! आइए हम लिखें कि हमें दी गई प्रत्येक संख्या और हम जिस संख्या की तलाश कर रहे हैं उसमें क्या शामिल है।
तो हमारे पास और है। आइए देखें कि हम उनके साथ क्या कर सकते हैं? मैं विभाजित करने का सुझाव देता हूं। हम पाते हैं:
हम अपने डेटा को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं:
अगला चरण जो हम पा सकते हैं वह है - इसके लिए हमें परिणामी संख्या का घनमूल निकालना होगा।
अब आइए फिर से देखें कि हमारे पास क्या है। यह हमारे पास है, लेकिन हमें इसे खोजने की जरूरत है, और यह, बदले में, इसके बराबर है:
हमें गणना के लिए सभी आवश्यक डेटा मिल गए। सूत्र में प्रतिस्थापित करें:
हमारा उत्तर: .
इसी तरह की एक अन्य समस्या को स्वयं हल करने का प्रयास करें:
दिया गया: ,
खोजो:
आपको कितना मिला? मेरे पास है - ।
जैसा कि आप देख सकते हैं, अनिवार्य रूप से आपको इसकी आवश्यकता है बस एक सूत्र याद रखें- . बाकी सारा पैसा आप खुद ही बिना किसी परेशानी के कभी भी निकाल सकते हैं. ऐसा करने के लिए, बस कागज के एक टुकड़े पर सबसे सरल ज्यामितीय प्रगति लिखें और ऊपर वर्णित सूत्र के अनुसार लिखें कि इसकी प्रत्येक संख्या किसके बराबर है।
ज्यामितीय प्रगति के पदों का योग.
आइए अब उन सूत्रों को देखें जो हमें किसी दिए गए अंतराल में ज्यामितीय प्रगति के पदों के योग की शीघ्र गणना करने की अनुमति देते हैं:
एक परिमित ज्यामितीय प्रगति के पदों के योग का सूत्र प्राप्त करने के लिए, हम उपरोक्त समीकरण के सभी भागों को इससे गुणा करते हैं। हम पाते हैं:
ध्यान से देखें: अंतिम दो सूत्रों में क्या समानता है? यह सही है, सामान्य सदस्य, उदाहरण के लिए, इत्यादि, पहले और अंतिम सदस्य को छोड़कर। आइए दूसरे समीकरण से पहले को घटाने का प्रयास करें। तुम्हें क्या मिला?
अब ज्यामितीय प्रगति के पद को सूत्र के माध्यम से व्यक्त करें और परिणामी अभिव्यक्ति को हमारे अंतिम सूत्र में प्रतिस्थापित करें:
अभिव्यक्ति को समूहित करें. आपको मिलना चाहिये:
जो कुछ करना बाकी है वह व्यक्त करना है:
तदनुसार, इस मामले में.
क्या हो अगर? तो फिर कौन सा फॉर्मूला काम करता है? एक ज्यामितीय प्रगति की कल्पना करें। वह किसके जैसी है? समान संख्याओं की एक श्रृंखला सही है, इसलिए सूत्र इस तरह दिखेगा:
अंकगणित और ज्यामितीय प्रगति दोनों के बारे में कई किंवदंतियाँ हैं। उनमें से एक शतरंज के निर्माता सेट की किंवदंती है।
बहुत से लोग जानते हैं कि शतरंज के खेल का आविष्कार भारत में हुआ था। जब हिंदू राजा उससे मिले, तो वह उसकी बुद्धि और उसमें संभावित विभिन्न पदों से प्रसन्न हुआ। यह जानने पर कि इसका आविष्कार उसकी प्रजा में से एक ने किया था, राजा ने उसे व्यक्तिगत रूप से पुरस्कृत करने का निर्णय लिया। उसने आविष्कारक को अपने पास बुलाया और उसे आदेश दिया कि वह उससे वह सब कुछ मांगे जो वह चाहता है, यहां तक कि सबसे कुशल इच्छा को भी पूरा करने का वादा किया।
सेता ने सोचने के लिए समय मांगा, और जब अगले दिन सेता राजा के सामने उपस्थित हुआ, तो उसने अपने अनुरोध की अभूतपूर्व विनम्रता से राजा को आश्चर्यचकित कर दिया। उन्होंने शतरंज की बिसात के पहले खाने के लिए गेहूं का एक दाना, दूसरे के लिए गेहूं का एक दाना, तीसरे, चौथे के लिए गेहूं का एक दाना आदि देने को कहा।
राजा क्रोधित हो गया और उसने सेठ को यह कहते हुए भगा दिया कि नौकर का अनुरोध राजा की उदारता के योग्य नहीं था, लेकिन उसने वादा किया कि नौकर को बोर्ड के सभी वर्गों के लिए अपना अनाज मिलेगा।
और अब प्रश्न: ज्यामितीय प्रगति की शर्तों के योग के सूत्र का उपयोग करके, गणना करें कि सेठ को कितने अनाज प्राप्त होने चाहिए?
आइए तर्क करना शुरू करें। चूंकि, शर्त के अनुसार, सेठ ने शतरंज की बिसात के पहले वर्ग के लिए, दूसरे के लिए, तीसरे के लिए, चौथे के लिए, आदि के लिए गेहूं का एक दाना मांगा, तो हम देखते हैं कि समस्या एक ज्यामितीय प्रगति के बारे में है। इस मामले में यह क्या बराबर है?
सही।
शतरंज की बिसात के कुल वर्ग. क्रमश, । हमारे पास सारा डेटा है, जो कुछ बचा है उसे सूत्र में प्लग करना और गणना करना है।
किसी दी गई संख्या के कम से कम "पैमाने" की कल्पना करने के लिए, हम डिग्री के गुणों का उपयोग करके रूपांतरित करते हैं:
निःसंदेह, यदि आप चाहें, तो आप एक कैलकुलेटर ले सकते हैं और गणना कर सकते हैं कि अंत में आपको कौन सी संख्या मिलेगी, और यदि नहीं, तो आपको मेरी बात माननी होगी: अभिव्यक्ति का अंतिम मान होगा।
वह है:
क्विंटिलियन क्वाड्रिलियन ट्रिलियन बिलियन मिलियन हजार।
ओफ़्फ़) यदि आप इस संख्या की विशालता की कल्पना करना चाहते हैं, तो अनुमान लगाएं कि अनाज की पूरी मात्रा को समायोजित करने के लिए कितने बड़े खलिहान की आवश्यकता होगी।
यदि खलिहान मीटर ऊंचा और मीटर चौड़ा है, तो इसकी लंबाई किमी तक बढ़नी होगी, यानी। पृथ्वी से सूर्य तक दुगुनी दूरी।
यदि राजा गणित में मजबूत होता, तो वह वैज्ञानिक को स्वयं अनाज गिनने के लिए आमंत्रित कर सकता था, क्योंकि दस लाख अनाज गिनने के लिए, उसे कम से कम एक दिन के अथक प्रयास की आवश्यकता होती, और यह देखते हुए कि क्विंटल अनाज गिनना आवश्यक है, अनाज जीवन भर गिनाना होगा।
आइए अब ज्यामितीय प्रगति के पदों के योग से जुड़ी एक सरल समस्या को हल करें।
कक्षा 5ए का एक छात्र वास्या फ्लू से बीमार पड़ गया, लेकिन उसने स्कूल जाना जारी रखा। वास्या हर दिन दो लोगों को संक्रमित करती है, जो बदले में दो और लोगों को संक्रमित करते हैं, इत्यादि। कक्षा में केवल लोग हैं। कितने दिनों में पूरी कक्षा फ्लू से बीमार हो जाएगी?
तो, ज्यामितीय प्रगति का पहला पद वस्या है, अर्थात एक व्यक्ति। ज्यामितीय प्रगति का वां पद वे दो लोग हैं जिन्हें उसने अपने आगमन के पहले दिन संक्रमित किया था। प्रगति पदों का कुल योग 5ए छात्रों की संख्या के बराबर है। तदनुसार, हम एक प्रगति के बारे में बात करते हैं जिसमें:
आइए ज्यामितीय प्रगति के पदों के योग के लिए अपने डेटा को सूत्र में प्रतिस्थापित करें:
कुछ ही दिनों में पूरी कक्षा बीमार हो जाएगी। सूत्रों और संख्याओं पर विश्वास नहीं करते? छात्रों के "संक्रमण" को स्वयं चित्रित करने का प्रयास करें। घटित? देखो यह मेरे लिए कैसा दिखता है:
स्वयं गणना करें कि छात्रों को फ्लू से बीमार होने में कितने दिन लगेंगे यदि उनमें से प्रत्येक ने एक व्यक्ति को संक्रमित किया हो, और कक्षा में केवल एक ही व्यक्ति हो।
आपको क्या मूल्य मिला? पता चला कि एक दिन बाद सभी लोग बीमार पड़ने लगे।
जैसा कि आप देख सकते हैं, ऐसा कार्य और उसके लिए चित्र एक पिरामिड जैसा दिखता है, जिसमें प्रत्येक बाद वाला नए लोगों को "लाता है"। हालाँकि, देर-सबेर एक क्षण ऐसा आता है जब उत्तरार्द्ध किसी को आकर्षित नहीं कर पाता। हमारे मामले में, यदि हम कल्पना करते हैं कि वर्ग अलग-थलग है, तो व्यक्ति श्रृंखला को बंद कर देता है ()। इस प्रकार, यदि कोई व्यक्ति एक वित्तीय पिरामिड में शामिल था जिसमें पैसा दिया गया था यदि आप दो अन्य प्रतिभागियों को लाते हैं, तो व्यक्ति (या सामान्य रूप से) किसी को नहीं लाएगा, तदनुसार, इस वित्तीय घोटाले में उन्होंने जो कुछ भी निवेश किया है उसे खो देगा।
ऊपर जो कुछ भी कहा गया वह घटती या बढ़ती ज्यामितीय प्रगति को संदर्भित करता है, लेकिन, जैसा कि आपको याद है, हमारे पास एक विशेष प्रकार है - एक असीम रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति। इसके सदस्यों के योग की गणना कैसे करें? और इस प्रकार की प्रगति में कुछ विशेषताएं क्यों होती हैं? आइए इसे एक साथ समझें।
तो, सबसे पहले, आइए अपने उदाहरण से अनंत रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति के इस चित्र को फिर से देखें:
अब आइए ज्यामितीय प्रगति के योग के सूत्र पर नजर डालें, जो थोड़ा पहले निकाला गया था:
या
हम किसके लिए प्रयास कर रहे हैं? यह सही है, ग्राफ़ दिखाता है कि यह शून्य की ओर प्रवृत्त होता है। अर्थात्, क्रमशः लगभग बराबर होगा, गणना करते समय हमें जो व्यंजक लगभग प्राप्त होगा। इस संबंध में, हमारा मानना है कि अनंत रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति के योग की गणना करते समय, इस ब्रैकेट को उपेक्षित किया जा सकता है, क्योंकि यह बराबर होगा।
- सूत्र एक अनंत रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति के पदों का योग है।
महत्वपूर्ण!हम अनंत रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति के पदों के योग के लिए सूत्र का उपयोग केवल तभी करते हैं जब शर्त स्पष्ट रूप से बताती है कि हमें योग ज्ञात करने की आवश्यकता है अनंतसदस्यों की संख्या.
यदि एक विशिष्ट संख्या n निर्दिष्ट है, तो हम n पदों के योग के लिए सूत्र का उपयोग करते हैं, भले ही या।
अब चलो अभ्यास करें.
- और के साथ ज्यामितीय प्रगति के पहले पदों का योग ज्ञात कीजिए।
- और के साथ एक अनंत रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति के पदों का योग ज्ञात कीजिए।
मुझे आशा है कि आप बेहद सावधान थे। आइए हमारे उत्तरों की तुलना करें:
अब आप ज्यामितीय प्रगति के बारे में सब कुछ जानते हैं, और यह सिद्धांत से अभ्यास की ओर बढ़ने का समय है। परीक्षा में आने वाली सबसे आम ज्यामितीय प्रगति समस्याएं चक्रवृद्धि ब्याज की गणना करने में समस्याएं हैं। ये वे हैं जिनके बारे में हम बात करेंगे।
चक्रवृद्धि ब्याज की गणना में समस्याएँ.
आपने संभवतः तथाकथित चक्रवृद्धि ब्याज फार्मूले के बारे में सुना होगा। क्या आप समझते हैं इसका मतलब क्या है? यदि नहीं, तो आइए इसका पता लगाएं, क्योंकि एक बार जब आप इस प्रक्रिया को समझ लेंगे, तो आप तुरंत समझ जाएंगे कि ज्यामितीय प्रगति का इससे क्या लेना-देना है।
हम सभी बैंक जाते हैं और जानते हैं कि जमा के लिए अलग-अलग शर्तें हैं: इसमें एक अवधि, अतिरिक्त सेवाएं और ब्याज शामिल हैं, इसकी गणना के दो अलग-अलग तरीके हैं - सरल और जटिल।
साथ साधारण ब्याजसब कुछ कमोबेश स्पष्ट है: ब्याज जमा अवधि के अंत में एक बार अर्जित होता है। अर्थात्, यदि हम कहें कि हम एक वर्ष के लिए 100 रूबल जमा करते हैं, तो वे वर्ष के अंत में ही जमा किये जायेंगे। तदनुसार, जमा के अंत तक हमें रूबल प्राप्त होंगे।
चक्रवृद्धि ब्याज- यह एक विकल्प है जिसमें ऐसा होता है ब्याज पूंजीकरण, अर्थात। जमा राशि में उनका जोड़ और बाद में आय की गणना प्रारंभिक से नहीं, बल्कि संचित जमा राशि से की जाती है। पूंजीकरण लगातार नहीं होता है, बल्कि कुछ आवृत्ति के साथ होता है। एक नियम के रूप में, ऐसी अवधियाँ बराबर होती हैं और अधिकतर बैंक एक महीने, तिमाही या वर्ष का उपयोग करते हैं।
आइए मान लें कि हम सालाना समान रूबल जमा करते हैं, लेकिन जमा राशि के मासिक पूंजीकरण के साथ। हम क्या कर रहे हैं?
क्या आप यहाँ सब कुछ समझते हैं? यदि नहीं, तो आइए इसे चरण दर चरण समझें।
हम बैंक में रूबल लाए। महीने के अंत तक, हमारे खाते में हमारे रूबल और उन पर ब्याज सहित एक राशि होनी चाहिए, जो है:
सहमत होना?
हम इसे कोष्ठक से बाहर निकाल सकते हैं और फिर हमें मिलता है:
सहमत हूं, यह फॉर्मूला पहले से ही वैसा ही है जैसा हमने शुरुआत में लिखा था। जो कुछ बचा है वह प्रतिशत का पता लगाना है
समस्या विवरण में हमें वार्षिक दरों के बारे में बताया गया है। जैसा कि आप जानते हैं, हम गुणा नहीं करते - हम प्रतिशत को दशमलव भिन्न में बदलते हैं, अर्थात:
सही? अब आप पूछ सकते हैं कि यह नंबर कहां से आया? बहुत सरल!
मैं दोहराता हूं: समस्या कथन के बारे में कहता है वार्षिकब्याज जो अर्जित होता है महीने के. जैसा कि आप जानते हैं, वर्ष के महीनों में, तदनुसार, बैंक हमसे प्रति माह वार्षिक ब्याज का एक हिस्सा वसूल करेगा:
इसका एहसास हुआ? अब यह लिखने का प्रयास करें कि सूत्र का यह भाग कैसा दिखेगा यदि मैं कहूं कि ब्याज की गणना प्रतिदिन की जाती है।
क्या आप संभाल पाओगे? आइए परिणामों की तुलना करें:
बहुत अच्छा! आइए अपने कार्य पर लौटते हैं: लिखें कि दूसरे महीने में हमारे खाते में कितना जमा किया जाएगा, यह ध्यान में रखते हुए कि संचित जमा राशि पर ब्याज अर्जित होता है।
यहाँ मुझे क्या मिला:
या, दूसरे शब्दों में:
मुझे लगता है कि आप पहले ही एक पैटर्न देख चुके हैं और इस सब में एक ज्यामितीय प्रगति देख चुके हैं। लिखें कि इसका सदस्य कितना होगा, या दूसरे शब्दों में, महीने के अंत में हमें कितनी धनराशि प्राप्त होगी।
किया? की जाँच करें!
जैसा कि आप देख सकते हैं, यदि आप साधारण ब्याज दर पर एक वर्ष के लिए बैंक में पैसा डालते हैं, तो आपको रूबल प्राप्त होंगे, और यदि चक्रवृद्धि ब्याज दर पर, तो आपको रूबल प्राप्त होंगे। लाभ छोटा है, लेकिन यह केवल वें वर्ष के दौरान होता है, लेकिन लंबी अवधि के लिए पूंजीकरण अधिक लाभदायक होता है:
आइए चक्रवृद्धि ब्याज से जुड़ी एक अन्य प्रकार की समस्या पर नजर डालें। आपने जो समझ लिया है उसके बाद यह आपके लिए प्राथमिक होगा। तो, कार्य:
ज़्वेज़्दा कंपनी ने 2000 में डॉलर में पूंजी के साथ उद्योग में निवेश करना शुरू किया। 2001 के बाद से हर साल इसे पिछले साल की पूंजी के बराबर मुनाफ़ा मिला है। यदि लाभ को संचलन से वापस नहीं लिया गया तो 2003 के अंत में ज़्वेज़्दा कंपनी को कितना लाभ प्राप्त होगा?
2000 में ज़्वेज़्दा कंपनी की राजधानी।
- 2001 में ज़्वेज़्दा कंपनी की राजधानी।
- 2002 में ज़्वेज़्दा कंपनी की राजधानी।
- 2003 में ज़्वेज़्दा कंपनी की राजधानी।
या हम संक्षेप में लिख सकते हैं:
हमारे मामले के लिए:
2000, 2001, 2002 और 2003.
क्रमश:
रूबल
कृपया ध्यान दें कि इस समस्या में हमारे पास या तो द्वारा या द्वारा कोई विभाजन नहीं है, क्योंकि प्रतिशत वार्षिक रूप से दिया जाता है और इसकी गणना वार्षिक रूप से की जाती है। अर्थात्, चक्रवृद्धि ब्याज पर कोई समस्या पढ़ते समय इस बात पर ध्यान दें कि कितना प्रतिशत दिया गया है और इसकी गणना किस अवधि में की गई है, और उसके बाद ही गणना के लिए आगे बढ़ें।
अब आप ज्यामितीय प्रगति के बारे में सब कुछ जानते हैं।
प्रशिक्षण।
- यदि यह ज्ञात हो कि, और, तो ज्यामितीय प्रगति का पद ज्ञात कीजिए
- यदि यह ज्ञात हो कि, और, तो ज्यामितीय प्रगति के प्रथम पदों का योग ज्ञात कीजिए
- एमडीएम कैपिटल कंपनी ने 2003 में डॉलर में पूंजी के साथ उद्योग में निवेश करना शुरू किया। 2004 के बाद से हर साल इसे पिछले साल की पूंजी के बराबर मुनाफ़ा मिला है। MSK कैश फ्लो कंपनी ने 2005 में उद्योग में $10,000 की राशि से निवेश करना शुरू किया और 2006 में इस राशि से लाभ कमाना शुरू किया। 2007 के अंत में एक कंपनी की पूंजी दूसरे की तुलना में कितने डॉलर अधिक है, यदि लाभ को संचलन से वापस नहीं लिया गया था?
उत्तर:
- चूँकि समस्या कथन यह नहीं कहता है कि प्रगति अनंत है और इसके पदों की एक विशिष्ट संख्या का योग ज्ञात करना आवश्यक है, गणना सूत्र के अनुसार की जाती है:
एमडीएम कैपिटल कंपनी:2003, 2004, 2005, 2006, 2007.
- 100% यानी 2 गुना बढ़ जाता है।
क्रमश:
रूबल
एमएसके कैश फ्लो कंपनी:2005, 2006, 2007.
- यानी कई गुना बढ़ जाता है।
क्रमश:
रूबल
रूबल
आइए संक्षेप करें.
1) ज्यामितीय प्रगति ( ) एक संख्यात्मक अनुक्रम है, जिसका पहला पद शून्य से भिन्न है, और दूसरे से शुरू होने वाला प्रत्येक पद, उसी संख्या से गुणा करके पिछले एक के बराबर है। इस संख्या को ज्यामितीय प्रगति का हर कहा जाता है।
2) ज्यामितीय प्रगति की शर्तों का समीकरण है।
3) और को छोड़कर कोई भी मान ले सकता है।
- यदि, तो प्रगति के सभी बाद के पदों का चिह्न एक ही है - वे सकारात्मक हैं;
- यदि, तो प्रगति की सभी बाद की शर्तें वैकल्पिक संकेत;
- जब - प्रगति को अपरिमित रूप से घटना कहा जाता है।
4) , पर - ज्यामितीय प्रगति की संपत्ति (आसन्न पद)
या
, (समदूरस्थ शर्तों पर)
जब तुम्हें यह मिल जाए, तो उसे मत भूलना दो उत्तर होने चाहिए.
उदाहरण के लिए,
5) ज्यामितीय प्रगति के पदों के योग की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:
या
या
महत्वपूर्ण!हम अनंत रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति के पदों के योग के लिए सूत्र का उपयोग केवल तभी करते हैं जब शर्त स्पष्ट रूप से बताती है कि हमें अनंत पदों का योग ज्ञात करने की आवश्यकता है।
6) चक्रवृद्धि ब्याज पर समस्याओं की गणना ज्यामितीय प्रगति के वें पद के सूत्र का उपयोग करके भी की जाती है, बशर्ते कि धन संचलन से वापस नहीं लिया गया हो:
ज्यामितीय अनुक्रम। संक्षेप में मुख्य बातों के बारे में
ज्यामितीय अनुक्रम( ) एक संख्यात्मक अनुक्रम है, जिसका पहला पद शून्य से भिन्न है, और प्रत्येक पद, दूसरे से शुरू होकर, उसी संख्या से गुणा करके पिछले एक के बराबर है। इस नंबर पर कॉल किया जाता है ज्यामितीय प्रगति का हर.
ज्यामितीय प्रगति का भाजकऔर को छोड़कर कोई भी मूल्य ले सकता है।
- यदि, तो प्रगति के सभी बाद के पदों का चिह्न एक ही है - वे सकारात्मक हैं;
- यदि, तो प्रगति के सभी बाद के सदस्य वैकल्पिक संकेत देते हैं;
- जब - प्रगति को अपरिमित रूप से घटना कहा जाता है।
ज्यामितीय प्रगति के पदों का समीकरण - .
ज्यामितीय प्रगति के पदों का योगसूत्र द्वारा गणना:
या
यदि प्रगति अपरिमित रूप से घट रही है, तो:
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ज्यामितीय प्रगति एक संख्यात्मक अनुक्रम है, जिसका पहला पद गैर-शून्य है, और प्रत्येक बाद का पद उसी गैर-शून्य संख्या से गुणा किए गए पिछले पद के बराबर है।
ज्यामितीय प्रगति को दर्शाया गया हैबी1,बी2,बी3, …, बीएन,…।
ज्यामितीय त्रुटि के किसी भी पद का उसके पिछले पद से अनुपात उसी संख्या के बराबर होता है, अर्थात, b2/b1 = b3/b2 = b4/b3 = ... = bn/b(n-1) = b( n+1)/bn =… . यह सीधे अंकगणितीय प्रगति की परिभाषा से अनुसरण करता है। इस संख्या को ज्यामितीय प्रगति का हर कहा जाता है। आमतौर पर ज्यामितीय प्रगति के हर को अक्षर q द्वारा दर्शाया जाता है।
नीरस और निरंतर क्रम
किसी ज्यामितीय प्रगति को निर्दिष्ट करने का एक तरीका उसका पहला पद b1 और ज्यामितीय त्रुटि q का हर निर्दिष्ट करना है। उदाहरण के लिए, b1=4, q=-2. ये दो स्थितियाँ ज्यामितीय प्रगति 4, -8, 16, -32, ... को परिभाषित करती हैं।
यदि q>0 (q 1 के बराबर नहीं है), तो प्रगति है नीरस क्रम.उदाहरण के लिए, अनुक्रम, 2, 4,8,16,32, ... एक नीरस रूप से बढ़ता क्रम है (b1=2, q=2)।
यदि ज्यामितीय त्रुटि में हर q=1 है, तो ज्यामितीय प्रगति के सभी पद एक दूसरे के बराबर होंगे। ऐसे में वे कहते हैं कि प्रगति है निरंतर क्रम.
ज्यामितीय प्रगति के nवें पद के लिए सूत्र
किसी संख्या अनुक्रम (बीएन) के लिए एक ज्यामितीय प्रगति होने के लिए, यह आवश्यक है कि इसके प्रत्येक सदस्य, दूसरे से शुरू होकर, पड़ोसी सदस्यों का ज्यामितीय माध्य हो। अर्थात् निम्नलिखित समीकरण को पूरा करना आवश्यक है
(b(n+1))^2 = bn * b(n+2), किसी भी n>0 के लिए, जहां n प्राकृतिक संख्या N के सेट से संबंधित है।
ज्यामितीय प्रगति के nवें पद का सूत्र है:
bn=b1*q^(n-1),
जहाँ n प्राकृत संख्याओं N के समुच्चय से संबंधित है।
ज्यामितीय प्रगति के प्रथम n पदों के योग का सूत्र
ज्यामितीय प्रगति के पहले n पदों के योग का सूत्र इस प्रकार है:
Sn = (bn*q - b1)/(q-1), जहां q 1 के बराबर नहीं है।
आइए एक सरल उदाहरण देखें:
ज्यामितीय प्रगति में b1=6, q=3, n=8 Sn खोजें।
S8 को खोजने के लिए, हम ज्यामितीय प्रगति के पहले n पदों के योग के लिए सूत्र का उपयोग करते हैं।
एस8= (6*(3^8 -1))/(3-1) = 19,680।
