अंतरिक्ष पाठ में निर्देशांक की विधि. अंतरिक्ष में निर्देशांक की विधि. रेखाओं a और b के बीच का कोण

बच्चों के लिए ज्वरनाशक दवाएं बाल रोग विशेषज्ञ द्वारा निर्धारित की जाती हैं। लेकिन बुखार के साथ आपातकालीन स्थितियाँ होती हैं जब बच्चे को तुरंत दवा देने की आवश्यकता होती है। तब माता-पिता जिम्मेदारी लेते हैं और ज्वरनाशक दवाओं का उपयोग करते हैं। शिशुओं को क्या देने की अनुमति है? आप बड़े बच्चों में तापमान कैसे कम कर सकते हैं? कौन सी दवाएँ सबसे सुरक्षित हैं?

समन्वय विधि अंतरिक्ष में स्टीरियोमेट्रिक वस्तुओं के बीच किसी भी कोण या दूरी को खोजने का एक बहुत ही प्रभावी और सार्वभौमिक तरीका है। यदि आपका गणित शिक्षक अत्यधिक योग्य है, तो उसे यह पता होना चाहिए। अन्यथा, मैं "सी" भाग के लिए शिक्षक को बदलने की सलाह दूंगा। गणित C1-C6 में एकीकृत राज्य परीक्षा के लिए मेरी तैयारी में आमतौर पर नीचे वर्णित बुनियादी एल्गोरिदम और सूत्रों का विश्लेषण शामिल होता है।

रेखाओं a और b के बीच का कोण

अंतरिक्ष में रेखाओं के बीच का कोण उनके समानांतर किसी भी प्रतिच्छेदी रेखाओं के बीच का कोण होता है। यह कोण इन रेखाओं के दिशा सदिशों के बीच के कोण के बराबर है (या इसे 180 डिग्री तक पूरक करता है)।

कोण ज्ञात करने के लिए गणित शिक्षक किस एल्गोरिदम का उपयोग करता है?

1) कोई भी वेक्टर चुनें और सीधी रेखाओं a और b (उनके समानांतर) की दिशाएँ हैं।
2) हम सदिशों के निर्देशांक उनकी शुरुआत और अंत के संगत निर्देशांक का उपयोग करके निर्धारित करते हैं (शुरुआत के निर्देशांक को वेक्टर के अंत के निर्देशांक से घटाया जाना चाहिए)।
3) पाए गए निर्देशांकों को सूत्र में रखें:
. कोण को स्वयं ज्ञात करने के लिए, आपको परिणाम की चाप कोज्या ज्ञात करनी होगी।

विमान के लिए सामान्य

किसी समतल का अभिलंब उस समतल पर लंबवत कोई सदिश होता है।
सामान्य कैसे खोजें?सामान्य के निर्देशांक ज्ञात करने के लिए किसी दिए गए तल में स्थित किन्हीं तीन बिंदुओं M, N और K के निर्देशांक जानना पर्याप्त है। इन निर्देशांकों का उपयोग करके, हम सदिशों के निर्देशांक ज्ञात करते हैं और यह आवश्यक है कि शर्तों को पूरा किया जाए। सदिशों के अदिश गुणनफल को शून्य के बराबर करके, हम तीन चर वाले समीकरणों की एक प्रणाली बनाते हैं, जिससे हम सामान्य के निर्देशांक पा सकते हैं।

गणित शिक्षक का नोट : सिस्टम को पूरी तरह से हल करना बिल्कुल भी आवश्यक नहीं है, क्योंकि यह कम से कम एक सामान्य का चयन करने के लिए पर्याप्त है। ऐसा करने के लिए, आप किसी भी अज्ञात निर्देशांक के स्थान पर किसी भी संख्या (उदाहरण के लिए, एक) को प्रतिस्थापित कर सकते हैं और शेष दो अज्ञात के साथ दो समीकरणों की प्रणाली को हल कर सकते हैं। यदि इसका कोई समाधान नहीं है, तो इसका मतलब है कि सामान्यों के परिवार में ऐसा कोई नहीं है जिसका मान चयनित चर में से एक हो। फिर एक को दूसरे वेरिएबल (दूसरे निर्देशांक) से बदलें और नई प्रणाली को हल करें। यदि आप फिर से चूक जाते हैं, तो आपके सामान्य में अंतिम समन्वय पर एक होगा, और यह स्वयं कुछ समन्वय विमान के समानांतर हो जाएगा (इस मामले में इसे सिस्टम के बिना ढूंढना आसान है)।

आइए मान लें कि हमें दिशा वेक्टर और सामान्य के निर्देशांक के साथ एक सीधी रेखा और एक विमान दिया गया है
सीधी रेखा और समतल के बीच के कोण की गणना निम्न सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

इन तलों के लिए कोई दो सामान्य मान लीजिए। तब तलों के बीच के कोण की कोज्या, अभिलंबों के बीच के कोण की कोज्या के मापांक के बराबर होती है:

अंतरिक्ष में एक विमान का समीकरण

समानता को संतुष्ट करने वाले बिंदु एक सामान्य के साथ एक समतल बनाते हैं। गुणांक समान दिए गए सामान्य वाले दो विमानों के बीच विचलन (समानांतर बदलाव) की मात्रा के लिए जिम्मेदार है। किसी समतल का समीकरण लिखने के लिए, आपको पहले उसका अभिलंब ज्ञात करना होगा (जैसा कि ऊपर बताया गया है), और फिर समीकरण में पाए गए अभिलंब के निर्देशांक के साथ समतल पर किसी भी बिंदु के निर्देशांक को प्रतिस्थापित करें और गुणांक ज्ञात करें।

प्रस्तुति पूर्वावलोकन का उपयोग करने के लिए, एक Google खाता बनाएं और उसमें लॉग इन करें: https://accounts.google.com

स्लाइड कैप्शन:

अंतरिक्ष में आयताकार समन्वय प्रणाली. वेक्टर निर्देशांक.

आयताकार समन्वय प्रणाली

यदि अंतरिक्ष में एक बिंदु के माध्यम से तीन जोड़ीदार लंबवत रेखाएं खींची जाती हैं, तो उनमें से प्रत्येक पर एक दिशा चुनी जाती है और खंडों के लिए माप की एक इकाई का चयन किया जाता है, तो वे कहते हैं कि अंतरिक्ष में एक आयताकार समन्वय प्रणाली निर्दिष्ट है

चुनी हुई दिशाओं वाली सीधी रेखाओं को निर्देशांक अक्ष कहा जाता है, और उनका उभयनिष्ठ बिंदु निर्देशांक का मूल बिंदु होता है। इसे आमतौर पर अक्षर O द्वारा दर्शाया जाता है। निर्देशांक अक्षों को इस प्रकार निर्दिष्ट किया जाता है: Ox, Oy, O z - और इनके नाम हैं: भुज अक्ष, कोटि अक्ष, अनुप्रयुक्त अक्ष।

संपूर्ण समन्वय प्रणाली को ऑक्सी z निरूपित किया जाता है। निर्देशांक अक्षों Ox और Oy, Oy और O z, O z और Ox से गुजरने वाले तलों को क्रमशः निर्देशांक तल कहा जाता है और उन्हें Oxy, Oy z, O z x नामित किया जाता है।

बिंदु O प्रत्येक निर्देशांक अक्ष को दो किरणों में विभाजित करता है। एक किरण जिसकी दिशा अक्ष की दिशा से मेल खाती है उसे सकारात्मक अर्ध-अक्ष कहा जाता है, और दूसरी किरण को नकारात्मक अर्ध-अक्ष कहा जाता है।

एक आयताकार समन्वय प्रणाली में, अंतरिक्ष में प्रत्येक बिंदु M संख्याओं के त्रिगुण से जुड़ा होता है, जिन्हें इसके निर्देशांक कहा जाता है।

चित्र में छह बिंदु A (9; 5; 10), B (4; -3; 6), C (9; 0; 0), D (4; 0; 5), E (0; 3; 0) दर्शाए गए हैं। , एफ (0; 0; -3)।

वेक्टर निर्देशांक

किसी भी वेक्टर को समन्वयित वैक्टर में विस्तारित किया जा सकता है, अर्थात, उस रूप में दर्शाया जाता है जहां विस्तार गुणांक x, y, z को एक अद्वितीय तरीके से निर्धारित किया जाता है।

किसी सदिश के समन्वय सदिशों में विस्तार में गुणांक x, y और z को किसी दिए गए समन्वय प्रणाली में सदिश के निर्देशांक कहा जाता है।

आइए उन नियमों पर विचार करें जो हमें इन वैक्टरों के निर्देशांक का उपयोग करके उनके योग और अंतर के निर्देशांक, साथ ही किसी दिए गए संख्या द्वारा दिए गए वेक्टर के उत्पाद के निर्देशांक खोजने की अनुमति देते हैं।

10 . दो या दो से अधिक सदिशों के योग का प्रत्येक निर्देशांक इन सदिशों के संगत निर्देशांकों के योग के बराबर होता है। दूसरे शब्दों में, यदि a (x 1, y 1, z 1) और b (x 2, y 2, z 2) सदिश दिए गए हैं, तो सदिश a + b के निर्देशांक (x 1 + x 2, y 1 +) हैं y 2 , z 1 + z 2 ).

20 . दो सदिशों के अंतर का प्रत्येक निर्देशांक इन सदिशों के संगत निर्देशांकों के अंतर के बराबर होता है। दूसरे शब्दों में, यदि a (x 1, y 1, z 1) और b (x 2 y 2; z 2) को सदिश दिया गया है, तो सदिश a - b के निर्देशांक (x 1 - x 2, y 1 - y) हैं 2, z 1 - z 2 ).

तीस । एक सदिश और एक संख्या के गुणनफल का प्रत्येक निर्देशांक सदिश और इस संख्या के संगत निर्देशांक के गुणनफल के बराबर होता है। दूसरे शब्दों में, यदि a (x; y; x) एक दिया गया वेक्टर है, α एक दी गई संख्या है, तो वेक्टर α a के निर्देशांक (αх; αу; α z) हैं।

विषय पर: पद्धतिगत विकास, प्रस्तुतियाँ और नोट्स

उपदेशात्मक हैंडआउट "व्याख्यान के रूप में पाठ आयोजित करने के लिए "अंतरिक्ष में निर्देशांक की विधि" विषय पर छात्रों के लिए नोट्स का सेट। ज्यामिति ग्रेड 10-11....

पाठ का उद्देश्य: "सी2 एकीकृत राज्य परीक्षा कार्यों को हल करने के लिए अंतरिक्ष में निर्देशांक की विधि का उपयोग करना" विषय पर छात्रों के ज्ञान, कौशल और क्षमताओं का परीक्षण करना: नियोजित शैक्षिक परिणाम: छात्र प्रदर्शित करते हैं: ...

समन्वय विधि का उपयोग करने के लिए, आपको सूत्रों को अच्छी तरह से जानना होगा। उनमें से तीन हैं:

पहली नज़र में, यह खतरनाक लगता है, लेकिन थोड़े से अभ्यास से सब कुछ बढ़िया काम करेगा।

काम। सदिश a = (4; 3; 0) और b = (0; 12; 5) के बीच के कोण की कोज्या ज्ञात कीजिए।

समाधान। चूँकि सदिशों के निर्देशांक हमें दिए गए हैं, हम उन्हें पहले सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं:

काम। बिंदु M = (2; 0; 1), N = (0; 1; 1) और K = (2; 1; 0) से गुजरने वाले विमान के लिए एक समीकरण लिखें, यदि यह ज्ञात हो कि यह नहीं गुजरता है मूल।

समाधान। समतल का सामान्य समीकरण: Ax + By + Cz + D = 0, लेकिन चूंकि वांछित तल निर्देशांक के मूल बिंदु - बिंदु (0; 0; 0) से होकर नहीं गुजरता है - तो हम D = 1 डालते हैं। विमान बिंदु M, N और K से होकर गुजरता है, तो इन बिंदुओं के निर्देशांक को समीकरण को सही संख्यात्मक समानता में बदलना चाहिए।

आइए x, y और z के स्थान पर बिंदु M = (2; 0; 1) के निर्देशांक रखें। हमारे पास है:
ए 2 + बी 0 + सी 1 + 1 = 0 ⇒ 2ए + सी + 1 = 0;

इसी प्रकार, अंक N = (0; 1; 1) और K = (2; 1; 0) के लिए हमें निम्नलिखित समीकरण प्राप्त होते हैं:
ए 0 + बी 1 + सी 1 + 1 = 0 ⇒ बी + सी + 1 = 0;
ए 2 + बी 1 + सी 0 + 1 = 0 ⇒ 2ए + बी + 1 = 0;

तो हमारे पास तीन समीकरण और तीन अज्ञात हैं। आइए समीकरणों की एक प्रणाली बनाएं और हल करें:

हमने पाया कि समतल के समीकरण का रूप इस प्रकार है: − 0.25x − 0.5y − 0.5z + 1 = 0.

काम। विमान समीकरण 7x - 2y + 4z + 1 = 0 द्वारा दिया गया है। इस विमान के लंबवत वेक्टर के निर्देशांक खोजें।

समाधान। तीसरे सूत्र का उपयोग करते हुए, हमें n = (7; − 2; 4) मिलता है - बस इतना ही!

वेक्टर निर्देशांक की गणना

लेकिन क्या होगा यदि समस्या में कोई सदिश नहीं हैं - केवल सीधी रेखाओं पर स्थित बिंदु हैं, और आपको इन सीधी रेखाओं के बीच के कोण की गणना करने की आवश्यकता है? यह सरल है: बिंदुओं के निर्देशांक - वेक्टर की शुरुआत और अंत - को जानकर आप स्वयं वेक्टर के निर्देशांक की गणना कर सकते हैं।

किसी वेक्टर के निर्देशांक ज्ञात करने के लिए, आपको उसके अंत के निर्देशांक से शुरुआत के निर्देशांक को घटाना होगा।

यह प्रमेय समतल और अंतरिक्ष दोनों में समान रूप से अच्छी तरह से काम करता है। अभिव्यक्ति "निर्देशांक घटाएं" का अर्थ है कि किसी अन्य बिंदु के x निर्देशांक को एक बिंदु के x निर्देशांक से घटाया जाता है, फिर y और z निर्देशांक के साथ भी ऐसा ही किया जाना चाहिए। यहां कुछ उदाहरण दिए गए हैं:

काम। अंतरिक्ष में तीन बिंदु हैं, जो उनके निर्देशांक द्वारा परिभाषित हैं: ए = (1; 6; 3), बी = (3; − 1; 7) और सी = (− 4; 3; − 2)। सदिश AB, AC और BC के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

वेक्टर AB पर विचार करें: इसकी शुरुआत बिंदु A पर है, और इसका अंत बिंदु B पर है। इसलिए, इसके निर्देशांक खोजने के लिए, हमें बिंदु A के निर्देशांक को बिंदु B के निर्देशांक से घटाना होगा:
एबी = (3 − 1; − 1 − 6; 7 − 3) = (2; − 7; 4).

इसी प्रकार, वेक्टर AC की शुरुआत एक ही बिंदु A है, लेकिन अंत बिंदु C है। इसलिए, हमारे पास है:
एसी = (− 4 − 1; 3 − 6; − 2 − 3) = (− 5; − 3; − 5).

अंत में, वेक्टर BC के निर्देशांक खोजने के लिए, आपको बिंदु C के निर्देशांक से बिंदु B के निर्देशांक को घटाना होगा:
बीसी = (− 4 − 3; 3 − (− 1); − 2 − 7) = (− 7; 4; − 9).

उत्तर: एबी = (2; − 7; 4); एसी = (- 5; - 3; - 5); बीसी = (- 7; 4; - 9)

अंतिम बीसी वेक्टर के निर्देशांक की गणना पर ध्यान दें: नकारात्मक संख्याओं के साथ काम करते समय कई लोग गलतियाँ करते हैं। यह चर y से संबंधित है: बिंदु B का निर्देशांक y = − 1 है, और बिंदु C का समन्वय y = 3 है। हमें बिल्कुल 3 − (− 1) = 4 मिलता है, न कि 3 − 1, जैसा कि कई लोग सोचते हैं। ऐसी मूर्खतापूर्ण गलतियाँ मत करो!

सीधी रेखाओं के लिए दिशा सदिशों की गणना

यदि आप समस्या C2 को ध्यान से पढ़ेंगे, तो आपको यह जानकर आश्चर्य होगा कि वहां कोई सदिश नहीं हैं। वहाँ केवल सीधी रेखाएँ और तल हैं।

सबसे पहले, आइए सीधी रेखाओं को देखें। यहां सब कुछ सरल है: किसी भी सीधी रेखा पर कम से कम दो अलग-अलग बिंदु होते हैं और, इसके विपरीत, कोई भी दो अलग-अलग बिंदु एक अद्वितीय सीधी रेखा को परिभाषित करते हैं...

क्या किसी को समझ आया कि पिछले पैराग्राफ में क्या लिखा था? मैं इसे स्वयं नहीं समझ पाया, इसलिए मैं इसे और अधिक सरलता से समझाऊंगा: समस्या C2 में, सीधी रेखाएँ हमेशा बिंदुओं की एक जोड़ी द्वारा परिभाषित होती हैं। यदि हम एक समन्वय प्रणाली का परिचय देते हैं और इन बिंदुओं पर शुरुआत और अंत के साथ एक वेक्टर पर विचार करते हैं, तो हम रेखा के लिए तथाकथित दिशा वेक्टर प्राप्त करते हैं:

इस वेक्टर की आवश्यकता क्यों है? तथ्य यह है कि दो सीधी रेखाओं के बीच का कोण उनके दिशा सदिशों के बीच का कोण होता है। इस प्रकार, हम समझ से परे सीधी रेखाओं से विशिष्ट सदिशों की ओर बढ़ते हैं जिनके निर्देशांक की गणना करना आसान है। यह कितना आसान है? उदाहरणों पर एक नज़र डालें:

काम। घन ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 में रेखाएँ AC और BD 1 खींची गई हैं। इन रेखाओं के दिशा सदिशों के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

चूँकि घन के किनारों की लंबाई शर्त में निर्दिष्ट नहीं है, इसलिए हम AB = 1 निर्धारित करते हैं। हम बिंदु A पर मूल बिंदु और सीधी रेखाओं AB, AD और के साथ निर्देशित x, y, z अक्षों के साथ एक समन्वय प्रणाली प्रस्तुत करते हैं। एए 1, क्रमशः। इकाई खंड AB = 1 के बराबर है।

आइए अब सीधी रेखा AC के लिए दिशा सदिश के निर्देशांक ज्ञात करें। हमें दो अंक चाहिए: A = (0; 0; 0) और C = (1; 1; 0)। यहां से हमें सदिश AC = (1 − 0; 1 − 0; 0 − 0) = (1; 1; 0) के निर्देशांक मिलते हैं - यह दिशा सदिश है।

आइए अब सीधी रेखा BD 1 को देखें। इसके भी दो बिंदु हैं: बी = (1; 0; 0) और डी 1 = (0; 1; 1)। हमें दिशा सदिश BD 1 = (0 − 1; 1 − 0; 1 − 0) = (− 1; 1; 1) प्राप्त होता है।

उत्तर: एसी = (1; 1; 0); बीडी 1 = (- 1; 1; 1)

काम। एक नियमित त्रिकोणीय प्रिज्म ABCA 1 B 1 C 1 में, जिसके सभी किनारे 1 के बराबर हैं, सीधी रेखाएँ AB 1 और AC 1 खींची गई हैं। इन रेखाओं के दिशा सदिशों के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

आइए एक समन्वय प्रणाली का परिचय दें: मूल बिंदु A पर है, x अक्ष AB के साथ मेल खाता है, z अक्ष AA 1 के साथ मेल खाता है, y अक्ष x अक्ष के साथ OXY विमान बनाता है, जो ABC विमान के साथ मेल खाता है।

सबसे पहले, आइए सीधी रेखा AB 1 को देखें। यहां सब कुछ सरल है: हमारे पास बिंदु A = (0; 0; 0) और B 1 = (1; 0; 1) हैं। हमें दिशा सदिश AB 1 = (1 − 0; 0 − 0; 1 − 0) = (1; 0; 1) प्राप्त होता है।

आइए अब AC 1 के लिए दिशा सदिश ज्ञात करें। सब कुछ समान है - अंतर केवल इतना है कि बिंदु C 1 में अपरिमेय निर्देशांक हैं। तो A = (0; 0; 0), तो हमारे पास है:

उत्तर: एबी 1 = (1; 0; 1);

पिछले उदाहरण के बारे में एक छोटी लेकिन बहुत महत्वपूर्ण टिप्पणी। यदि वेक्टर की शुरुआत निर्देशांक की उत्पत्ति के साथ मेल खाती है, तो गणना बहुत सरल हो जाती है: वेक्टर के निर्देशांक अंत के निर्देशांक के बराबर होते हैं। दुर्भाग्य से, यह केवल वैक्टर के लिए सच है। उदाहरण के लिए, विमानों के साथ काम करते समय, उन पर निर्देशांक की उत्पत्ति की उपस्थिति केवल गणना को जटिल बनाती है।

समतलों के लिए सामान्य सदिशों की गणना

सामान्य वेक्टर वे वेक्टर नहीं हैं जो ठीक हैं या अच्छा महसूस करते हैं। परिभाषा के अनुसार, किसी समतल का सामान्य वेक्टर (सामान्य) किसी दिए गए समतल का लंबवत सदिश होता है।

दूसरे शब्दों में, एक सामान्य किसी दिए गए विमान में किसी भी वेक्टर के लिए लंबवत एक वेक्टर है। आपने संभवतः इस परिभाषा को देखा होगा - हालाँकि, सदिशों के बजाय हम सीधी रेखाओं के बारे में बात कर रहे थे। हालाँकि, यह ठीक ऊपर दिखाया गया था कि समस्या C2 में आप किसी भी सुविधाजनक वस्तु के साथ काम कर सकते हैं - चाहे वह एक सीधी रेखा हो या एक वेक्टर।

मैं आपको एक बार फिर से याद दिला दूं कि प्रत्येक विमान को अंतरिक्ष में समीकरण Ax + By + Cz + D = 0 द्वारा परिभाषित किया गया है, जहां A, B, C और D कुछ गुणांक हैं। समाधान की व्यापकता को खोए बिना, हम मान सकते हैं कि यदि विमान मूल बिंदु से नहीं गुजरता है तो डी = 1, या यदि ऐसा होता है तो डी = 0। किसी भी स्थिति में, इस तल पर सामान्य वेक्टर के निर्देशांक n = (A; B; C) हैं।

तो, विमान को एक वेक्टर द्वारा भी सफलतापूर्वक बदला जा सकता है - वही सामान्य। प्रत्येक तल को अंतरिक्ष में तीन बिंदुओं द्वारा परिभाषित किया गया है। हमने लेख की शुरुआत में ही चर्चा की थी कि समतल का समीकरण (और इसलिए सामान्य) कैसे खोजा जाए। हालाँकि, यह प्रक्रिया कई लोगों के लिए समस्याएँ पैदा करती है, इसलिए मैं कुछ और उदाहरण दूंगा:

काम। घन ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 में एक खंड A 1 BC 1 खींचा गया है। यदि निर्देशांक की उत्पत्ति बिंदु A पर है, और x, y और z अक्ष क्रमशः AB, AD और AA 1 किनारों से मेल खाते हैं, तो इस खंड के तल के लिए सामान्य वेक्टर खोजें।

चूंकि विमान मूल बिंदु से नहीं गुजरता है, इसलिए इसका समीकरण इस तरह दिखता है: Ax + By + Cz + 1 = 0, यानी। गुणांक डी = 1। चूंकि यह विमान बिंदु ए 1, बी और सी 1 से होकर गुजरता है, इन बिंदुओं के निर्देशांक विमान के समीकरण को सही संख्यात्मक समानता में बदल देते हैं।

ए 0 + बी 0 + सी 1 + 1 = 0 ⇒ सी + 1 = 0 ⇒ सी = - 1;

इसी प्रकार, बिंदु B = (1; 0; 0) और C 1 = (1; 1; 1) के लिए हमें निम्नलिखित समीकरण प्राप्त होते हैं:
ए 1 + बी 0 + सी 0 + 1 = 0 ⇒ ए + 1 = 0 ⇒ ए = - 1;
ए 1 + बी 1 + सी 1 + 1 = 0 ⇒ ए + बी + सी + 1 = 0;

लेकिन हम गुणांक A = − 1 और C = − 1 पहले से ही जानते हैं, इसलिए गुणांक B ज्ञात करना बाकी है:
बी = − 1 − ए − सी = − 1 + 1 + 1 = 1.

हम समतल का समीकरण प्राप्त करते हैं: − A + B − C + 1 = 0. इसलिए, सामान्य वेक्टर के निर्देशांक n = (− 1; 1; − 1) के बराबर हैं।

काम। घन ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 में एक खंड AA 1 C 1 C है। इस खंड के तल के लिए सामान्य वेक्टर खोजें यदि निर्देशांक की उत्पत्ति बिंदु A पर है और x, y और z अक्ष मेल खाते हैं किनारे क्रमशः AB, AD और AA 1 हैं।

इस स्थिति में, विमान मूल बिंदु से होकर गुजरता है, इसलिए गुणांक D = 0 है, और विमान का समीकरण इस तरह दिखता है: Ax + By + Cz = 0. चूंकि विमान बिंदु A 1 और C से होकर गुजरता है, के निर्देशांक ये बिंदु समतल के समीकरण को सही संख्यात्मक समानता में बदल देते हैं।

आइए x, y और z के स्थान पर बिंदु A 1 = (0; 0; 1) के निर्देशांक रखें। हमारे पास है:
ए 0 + बी 0 + सी 1 = 0 ⇒ सी = 0;

इसी प्रकार, बिंदु C = (1; 1; 0) के लिए हमें समीकरण प्राप्त होता है:
ए 1 + बी 1 + सी 0 = 0 ⇒ ए + बी = 0 ⇒ ए = − बी;

आइए हम B = 1 सेट करें। फिर A = - B = - 1, और पूरे विमान के समीकरण का रूप है: - A + B = 0. इसलिए, सामान्य वेक्टर के निर्देशांक n = (- 1) के बराबर हैं ; 0).

सामान्यतया, उपरोक्त समस्याओं में आपको समीकरणों की एक प्रणाली बनाने और उसे हल करने की आवश्यकता होती है। आपको तीन समीकरण और तीन चर मिलेंगे, लेकिन दूसरे मामले में उनमें से एक मुफ़्त होगा, यानी। मनमाना मान लें. इसीलिए हमें समाधान की व्यापकता और उत्तर की शुद्धता पर प्रतिकूल प्रभाव डाले बिना बी = 1 सेट करने का अधिकार है।

समस्या C2 में अक्सर आपको उन बिंदुओं के साथ काम करने की ज़रूरत होती है जो एक खंड को समद्विभाजित करते हैं। यदि खंड के सिरों के निर्देशांक ज्ञात हों तो ऐसे बिंदुओं के निर्देशांक की गणना आसानी से की जाती है।

तो, मान लीजिए कि खंड को उसके सिरों द्वारा परिभाषित किया गया है - बिंदु A = (x a; y a; z a) और B = (x b; y b; z b)। फिर खंड के मध्य के निर्देशांक - आइए इसे बिंदु H द्वारा निरूपित करें - सूत्र का उपयोग करके पाया जा सकता है:

दूसरे शब्दों में, किसी खंड के मध्य के निर्देशांक उसके सिरों के निर्देशांक के अंकगणितीय माध्य होते हैं।

काम। यूनिट क्यूब एबीसीडीए 1 बी 1 सी 1 डी 1 को एक समन्वय प्रणाली में रखा गया है ताकि एक्स, वाई और जेड अक्ष क्रमशः एबी, एडी और एए 1 किनारों के साथ निर्देशित हों, और मूल बिंदु ए के साथ मेल खाता हो। बिंदु के है किनारे के मध्य A 1 B 1 . इस बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

चूँकि बिंदु K खंड A 1 B 1 का मध्य है, इसके निर्देशांक सिरों के निर्देशांक के अंकगणितीय माध्य के बराबर हैं। आइए सिरों के निर्देशांक लिखें: ए 1 = (0; 0; 1) और बी 1 = (1; 0; 1)। आइए अब बिंदु K के निर्देशांक ज्ञात करें:

काम। यूनिट क्यूब एबीसीडीए 1 बी 1 सी 1 डी 1 को एक समन्वय प्रणाली में रखा गया है ताकि एक्स, वाई और जेड अक्ष क्रमशः एबी, एडी और एए 1 किनारों के साथ निर्देशित हों, और मूल बिंदु ए के साथ मेल खाता हो। खोजें बिंदु L के निर्देशांक जिस पर वे वर्ग A 1 B 1 C 1 D 1 के विकर्णों को काटते हैं।

प्लैनिमेट्री पाठ्यक्रम से हम जानते हैं कि एक वर्ग के विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु उसके सभी शीर्षों से समान दूरी पर होता है। विशेष रूप से, ए 1 एल = सी 1 एल, यानी। बिंदु L खंड A 1 C 1 का मध्य है। लेकिन ए 1 = (0; 0; 1), सी 1 = (1; 1; 1), तो हमारे पास है:

उत्तर: एल = (0.5; 0.5; 1)

ज्यामितीय समस्याओं को हल करने के लिए समन्वय विधि का सार

समन्वय विधि का उपयोग करके समस्याओं को हल करने का सार एक समन्वय प्रणाली शुरू करना है जो किसी विशेष मामले में हमारे लिए सुविधाजनक है और इसका उपयोग करके सभी डेटा को फिर से लिखना है। उसके बाद, सभी अज्ञात मात्राओं या प्रमाणों को इस प्रणाली का उपयोग करके किया जाता है। हमने एक अन्य लेख में चर्चा की कि किसी समन्वय प्रणाली में बिंदुओं के निर्देशांक कैसे दर्ज करें - हम यहां इस पर ध्यान नहीं देंगे।

आइए हम उन मुख्य कथनों का परिचय दें जिनका उपयोग समन्वय विधि में किया जाता है।

कथन 1:वेक्टर के निर्देशांक इस वेक्टर के अंत और इसकी शुरुआत के संबंधित निर्देशांक के बीच के अंतर से निर्धारित होंगे।

कथन 2:खंड के मध्य के निर्देशांक उसकी सीमाओं के संगत निर्देशांक के आधे योग के रूप में निर्धारित किए जाएंगे।

कथन 3:दिए गए निर्देशांक $(δ_1,δ_2,δ_3)$ के साथ किसी भी वेक्टर $\overline(δ)$ की लंबाई सूत्र द्वारा निर्धारित की जाएगी

$|\overline(δ)|=\sqrt(δ_1^2+δ_2^2+δ_3^2)$

कथन 4:निर्देशांक $(δ_1,δ_2,δ_3)$ और $(β_1,β_2,β_3)$ द्वारा निर्दिष्ट किन्हीं दो बिंदुओं के बीच की दूरी सूत्र द्वारा निर्धारित की जाएगी

$d=\sqrt((δ_1-β_1)^2+(δ_2-β_2)^2+(δ_3-β_3)^2)$

समन्वय विधि का उपयोग करके ज्यामितीय समस्याओं को हल करने की योजना

समन्वय विधि का उपयोग करके ज्यामितीय समस्याओं को हल करने के लिए, इस योजना का उपयोग करना सबसे अच्छा है:

समस्या में क्या दिया गया है उसका विश्लेषण करें:

कार्य के लिए सबसे उपयुक्त समन्वय प्रणाली सेट करें;
समस्या की स्थिति, समस्या के प्रश्न को गणितीय रूप से लिखा जाता है, और इस समस्या का एक चित्र बनाया जाता है।

चयनित समन्वय प्रणाली के निर्देशांक में सभी कार्य डेटा लिखें।
समस्या की स्थितियों से आवश्यक संबंध बनाएं और इन संबंधों को उस चीज़ से भी जोड़ें जिसे खोजने की आवश्यकता है (समस्या में सिद्ध)।
प्राप्त परिणाम का ज्यामिति की भाषा में अनुवाद करें।

समन्वय विधि द्वारा हल की गई समस्याओं के उदाहरण

समन्वय पद्धति की ओर ले जाने वाली मुख्य समस्याओं को इस प्रकार पहचाना जा सकता है (हम उनके समाधान यहां नहीं देंगे):

किसी सदिश के अंत और आरंभ के आधार पर उसके निर्देशांक ज्ञात करने में समस्याएँ।
किसी खंड को किसी भी दृष्टि से विभाजित करने से संबंधित समस्याएँ।
प्रमाण कि तीन बिंदु एक ही रेखा पर स्थित हैं या चार बिंदु एक ही तल पर स्थित हैं।
दो दिए गए बिंदुओं के बीच की दूरी ज्ञात करने में समस्याएँ।
ज्यामितीय आकृतियों का आयतन और क्षेत्रफल ज्ञात करने में समस्याएँ।

पहली और चौथी समस्याओं को हल करने के परिणाम हमारे द्वारा उपरोक्त मुख्य कथनों के रूप में प्रस्तुत किए जाते हैं और अक्सर समन्वय विधि का उपयोग करके अन्य समस्याओं को हल करने के लिए उपयोग किया जाता है।