सांख्यिकी में सहसंबंध गुणांक. फेचनर गुणांक (संकेत सहसंबंध गुणांक)। पहने हुए, मूल्यांकन के लिए अन्य गुणांक भी हैं

बच्चों के लिए ज्वरनाशक दवाएं बाल रोग विशेषज्ञ द्वारा निर्धारित की जाती हैं। लेकिन बुखार के साथ आपातकालीन स्थितियाँ होती हैं जब बच्चे को तुरंत दवा देने की आवश्यकता होती है। तब माता-पिता जिम्मेदारी लेते हैं और ज्वरनाशक दवाओं का उपयोग करते हैं। शिशुओं को क्या देने की अनुमति है? आप बड़े बच्चों में तापमान कैसे कम कर सकते हैं? कौन सी दवाएँ सबसे सुरक्षित हैं?

फेचनर अनुपात- यह कारक और परिणामी विशेषताओं के औसत मूल्यों से कारक और परिणामी विशेषताओं के व्यक्तिगत मूल्यों के विचलन की दिशाओं में स्थिरता की डिग्री का आकलन है। फेचनर गुणांक, स्पीयरमैन गुणांक और कैंडेल गुणांक जैसे गुणांकों के साथ, संदर्भित करता है सहसंबंध गुणांक पर हस्ताक्षर करें. संकेत सहसंबंध गुणांक संबंधित औसत से कारक और परिणामी संकेतों के व्यक्तिगत मूल्यों के विचलन की दिशाओं की स्थिरता की डिग्री का आकलन करने पर आधारित है। इसकी गणना इस प्रकार की जाती है:

A #n b " data-id='a;b' data-formul='(a-b)/(a+b)' data-r='K f ">अपने मूल्य की गणना करें

फेचनर गुणांक -1 से +1 तक मान ले सकता है। Kf = 1 सीधे कनेक्शन की संभावित उपस्थिति को इंगित करता है, Kf = -1 फीडबैक की संभावित उपस्थिति को इंगित करता है।

सेवा का उद्देश्य. यह सेवा फेचनर गुणांक की ऑनलाइन गणना करने के लिए डिज़ाइन की गई है। इस गुणांक का महत्व भी निर्धारित होता है।

निर्देश। डेटा की मात्रा (पंक्तियों की संख्या) निर्दिष्ट करें, अगला क्लिक करें। परिणामी समाधान वर्ड फ़ाइल में सहेजा जाता है। एक्सेल में समाधान का परीक्षण करने के लिए एक टेम्पलेट भी स्वचालित रूप से बनाया जाता है।

फेचनर गुणांक की गणनाइसमें निम्नलिखित चरण शामिल हैं:

प्रत्येक विशेषता (X और Y) के लिए औसत मान निर्धारित किए जाते हैं।
प्रत्येक विशेषता के औसत मान से विचलन (-,+) के चिह्न निर्धारित किये जाते हैं।
यदि चिह्न मेल खाते हैं, तो मान A निर्दिष्ट करें, अन्यथा B मान दें।
ए और बी की संख्या की गणना सूत्र का उपयोग करके फेचनर गुणांक की गणना करते हुए की जाती है: K f = (n a - n b)/(n a + n b) जहां n औसत से व्यक्तिगत मूल्यों के विचलन के संकेतों के संयोग की संख्या है ; एन बी - बेमेल की संख्या.

फेचनर अनुपात[-1;+1] के भीतर भिन्न होता है और इसका उपयोग गुणात्मक विशेषताओं (गैर-पैरामीट्रिक तरीकों) के बीच संबंधों की निकटता का आकलन करने के लिए किया जाता है।

फेचनर गुणांक का चित्रमय प्रतिनिधित्व

उदाहरण क्रमांक 1. उच्च तापमान की स्थिति में कम द्रव हानि के साथ मिट्टी का घोल विकसित करते समय, दो फॉर्मूलेशन का समानांतर में परीक्षण किया गया, जिनमें से एक में 2% CMC और 1% Na2CO3 था, और दूसरे में 2% CMC, 1% Na2CO3 और 0.1% पोटेशियम डाइक्रोमेट था। परिणामस्वरूप, निम्नलिखित X मान प्राप्त हुए (30 s के बाद पानी की हानि)।

X1	9	9	11	9	8	11	10	8	10
एक्स2	10	11	10	12	11	12	12	10	9

जाँचता है कि क्या प्रश्न में दिए गए समाधान उनके द्रव हानि मान से अलग पहचाने जा सकते हैं।

उदाहरण संख्या 2. सहसंबंध गुणांक पर हस्ताक्षर करें, या फेचनर गुणांक, संबंधित औसत से कारक और परिणामी विशेषताओं के व्यक्तिगत मूल्यों के विचलन की दिशा में स्थिरता की डिग्री का आकलन करने पर आधारित है। इसकी गणना इस प्रकार की जाती है:

जहां n औसत से व्यक्तिगत मूल्यों के विचलन के संकेतों के मिलान की संख्या है; एन बी - बेमेल की संख्या.

फेचनर अनुपात-1 से +1 तक मान ले सकते हैं। Kf = 1 सीधे कनेक्शन की संभावित उपस्थिति को इंगित करता है, Kf = -1 फीडबैक की संभावित उपस्थिति को इंगित करता है।

उदाहरण क्रमांक 2
आइए तालिका में दिए गए डेटा का उपयोग करके फेचनर गुणांक की गणना का उदाहरण देखें:
औसत मान:

माध्य X से विचलन के संकेत	माध्य Y से विचलन के संकेत	मिलान (ए) या बेमेल (बी) वर्ण

गुणांक का मान इंगित करता है कि हम फीडबैक की उपस्थिति मान सकते हैं।

संकेत सहसंबंध गुणांक का अनुमान.

फेचनर गुणांक का अनुमान लगाने के लिए, इसके महत्व का मूल्यांकन करना और आत्मविश्वास अंतराल ढूंढना पर्याप्त है।
फेचनर गुणांक का महत्व.

विद्यार्थी की तालिका का उपयोग करके हम t तालिका पाते हैं:
टी तालिका (एनएम-1;ए) = (6;0.05) = 1.943
चूँकि Tob > tttable, हम इस परिकल्पना को अस्वीकार करते हैं कि संकेत सहसंबंध गुणांक 0 के बराबर है। दूसरे शब्दों में, फेचनर गुणांक सांख्यिकीय रूप से महत्वपूर्ण है।

फेचनर गुणांक के लिए विश्वास अंतराल:
आर(-1.0;-0.4495)

उदाहरण संख्या 3.
आइए तालिका में दिए गए डेटा का उपयोग करके संकेत सहसंबंध गुणांक की गणना का उदाहरण देखें।

A #n b " data-id='a;b' data-formul='(a-b)/(a+b)' data-r='K f ">अपने मूल्य की गणना करें

फेचनर गुणांक की गणनाइसमें निम्नलिखित चरण शामिल हैं:

प्रत्येक विशेषता (X और Y) के लिए औसत मान निर्धारित किए जाते हैं।
प्रत्येक विशेषता के औसत मान से विचलन (-,+) के चिह्न निर्धारित किये जाते हैं।
यदि चिह्न मेल खाते हैं, तो मान A निर्दिष्ट करें, अन्यथा B मान दें।
ए और बी की संख्या की गणना सूत्र का उपयोग करके फेचनर गुणांक की गणना करते हुए की जाती है: K f = (n a - n b)/(n a + n b) जहां n औसत से व्यक्तिगत मूल्यों के विचलन के संकेतों के संयोग की संख्या है ; एन बी - बेमेल की संख्या.

फेचनर गुणांक का चित्रमय प्रतिनिधित्व

X1	9	9	11	9	8	11	10	8	10
एक्स2	10	11	10	12	11	12	12	10	9

माध्य X से विचलन के संकेत	माध्य Y से विचलन के संकेत	मिलान (ए) या बेमेल (बी) वर्ण

गुणांक का मान इंगित करता है कि हम फीडबैक की उपस्थिति मान सकते हैं।

संकेत सहसंबंध गुणांक का अनुमान.

फेचनर गुणांक के लिए विश्वास अंतराल:
आर(-1.0;-0.4495)

केंडल का रैंक सहसंबंध गुणांक।
गणना सूत्र का रूप इस प्रकार है: हम सभी तत्वों को विशेषता x^ के अनुसार, कई अन्य विशेषता x के अनुसार रैंक करते हैं 10 ): कहाँ आईए/2 -चयनित महत्व स्तर ए के लिए सामान्य वितरण तालिका से मात्रा निर्धारित की जाती है (उदाहरण के लिए, ए = 0.05 के लिए हमें मिलता है) आईए/2 = 1.96). अगर पी 10, फिर वे गणना करते हैं...
(अर्थशास्त्र में बहुभिन्नरूपी सांख्यिकीय पद्धतियाँ)
निवेश संकेतक के साथ क्षेत्रीय उपप्रणालियों की स्थिति के संकेतकों का सहसंबंध गुणांक
प्रजनन दर -0.08 (पी = 0.768) 0.10 (पी = 0.707) मृत्यु दर -0.36 (पी = 0.158) -0.65 (पी = 0.004) शिशु मृत्यु दर -0.13 (पी = 0.619) ) -0.40 (पी = 0.113) जनसंख्या 0.98 (पी = 0.000) 0.62 (पी = 0.008) जन्म के समय जीवन प्रत्याशा, वर्ष 0.20...
(क्षेत्रीय विकास: क्षेत्रीय मतभेदों का निदान)
निवेश संकेतक के साथ क्षेत्रीय उपप्रणालियों की स्थिति के संकेतकों का सहसंबंध गुणांक
प्रजनन दर -0.08 (पी = 0.768) 0.10 (पी = 0.707) मृत्यु दर -0.36 (पी = 0.158) -0.65 (पी = 0.004) शिशु मृत्यु दर -0.13 (पी = 0.619) ) -0.40 (पी = 0.113) जनसंख्या 0.98 (पी = 0.000) 0.62 (पी = 0.008) जन्म के समय जीवन प्रत्याशा, वर्ष 0.20...
(क्षेत्रीय विकास: क्षेत्रीय मतभेदों का निदान)
स्पीयरमैन का रैंक सहसंबंध गुणांक
यह गुणांक रैंकिंग वाले को संदर्भित करता है, अर्थात, यह स्वयं कारक और परिणामी विशेषताओं के मान नहीं हैं जो सहसंबद्ध हैं, बल्कि उनकी रैंक (आरोही या अवरोही क्रम में मूल्यों की प्रत्येक पंक्ति में उनके स्थानों की संख्या) . स्पीयरमैन का रैंक सहसंबंध गुणांक कारक मूल्यों के रैंक में अंतर पर विचार करने पर आधारित है...
(सांख्यिकी का सामान्य सिद्धांत)

19वीं सदी के उत्तरार्ध में जी. टी. फेचनर द्वारा प्रस्तावित सहसंबंध गुणांक, दो चरों के बीच संबंध का सबसे सरल उपाय है। यह दो मनोवैज्ञानिक विशेषताओं की तुलना पर आधारित है एक्स मैंऔर य मैं, औसत से व्यक्तिगत मूल्यों के विचलन के संकेतों की तुलना करके, एक ही नमूने पर मापा जाता है: और
. दो चरों के बीच सहसंबंध के बारे में निष्कर्ष इन संकेतों के मिलान और बेमेल की संख्या की गणना के आधार पर किया जाता है।

उदाहरण

होने देना एक्स मैंऔर य मैं- विषयों के एक ही नमूने पर मापे गए दो लक्षण। फेचनर गुणांक की गणना करने के लिए, प्रत्येक विशेषता के लिए औसत मानों की गणना करना आवश्यक है, साथ ही चर के प्रत्येक मान के लिए - औसत से विचलन का संकेत (तालिका 8.1):

तालिका 8.1

एक्स मैं	य मैं	पद का नाम

मेज पर: ए– संकेतों का संयोग, बी- संकेतों का बेमेल होना; एनए - मैचों की संख्या, एनबी - बेमेल की संख्या (इस मामले में एनए = 4, एनबी = 6).

फेचनर सहसंबंध गुणांक की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

(8.1)

इस मामले में:

निष्कर्ष

अध्ययन किए गए चरों के बीच एक कमजोर नकारात्मक संबंध है।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि फेचनर सहसंबंध गुणांक पर्याप्त रूप से सख्त मानदंड नहीं है, इसलिए इसका उपयोग केवल डेटा प्रोसेसिंग के प्रारंभिक चरण में और प्रारंभिक निष्कर्ष तैयार करने के लिए किया जा सकता है।

8. 4. पियर्सन सहसंबंध गुणांक

पियर्सन सहसंबंध गुणांक का मूल सिद्धांत क्षणों के उत्पाद का उपयोग है (औसत मूल्य से एक चर के मूल्य का विचलन):

यदि क्षणों के गुणनफल का योग बड़ा और सकारात्मक है, तो एक्सऔर परसीधे संबंधित हैं; यदि योग बड़ा और ऋणात्मक है, तो एक्सऔर परदृढ़ता से विपरीत रूप से संबंधित; अंततः, यदि बीच में कोई संबंध नहीं है एक्सऔर परक्षणों के गुणनफल का योग शून्य के करीब है।

यह सुनिश्चित करने के लिए कि आँकड़े नमूना आकार पर निर्भर न हों, क्षणों के उत्पादों के योग के बजाय औसत मूल्य लिया जाता है। हालाँकि, विभाजन नमूना आकार के आधार पर नहीं, बल्कि स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या के आधार पर किया जाता है एन - 1.

परिमाण
के बीच संबंध का एक माप है एक्सऔर परऔर इसे सहप्रसरण कहा जाता है एक्सऔर पर.

प्राकृतिक और तकनीकी विज्ञान की कई समस्याओं में, सहप्रसरण संबंध का एक पूर्णतः संतोषजनक माप है। इसका नुकसान यह है कि इसके मूल्यों की सीमा निश्चित नहीं है, यानी यह अनिश्चित सीमा के भीतर भिन्न हो सकती है।

एसोसिएशन के माप को मानकीकृत करने के लिए, सहप्रसरण को मानक विचलन के प्रभाव से मुक्त करना आवश्यक है। ऐसा करने के लिए आपको विभाजित करने की आवश्यकता है एस xyपर एसएक्स और एसआप:

(8.3)

कहाँ आर xy- सहसंबंध गुणांक, या पियर्सन क्षणों का उत्पाद।

सहसंबंध गुणांक की गणना का सामान्य सूत्र इस प्रकार है:

(कुछ रूपांतरण)

(8.4)

डेटा रूपांतरण का प्रभाव आर xy:

1. रैखिक परिवर्तन एक्सऔर यप्रकार बीएक्स + एऔर डीवाई + सीके बीच सहसंबंध का परिमाण नहीं बदलेगा एक्सऔर य.

2. रैखिक परिवर्तन एक्सऔर यपर बी < 0, डी> 0, और कब भी बी> 0 और डी < 0 изменяют знак коэффициента корреляции, не меняя его величины.

पियर्सन सहसंबंध गुणांक की विश्वसनीयता (या, अन्यथा, सांख्यिकीय महत्व) विभिन्न तरीकों से निर्धारित की जा सकती है:

पियर्सन और स्पीयरमैन सहसंबंध गुणांक के महत्वपूर्ण मूल्यों की तालिकाओं के अनुसार (परिशिष्ट, तालिका XIII देखें)। यदि गणना में प्राप्त मूल्य आर xy किसी दिए गए नमूने के लिए महत्वपूर्ण (सारणीबद्ध) मान से अधिक होने पर, पियर्सन गुणांक को सांख्यिकीय रूप से महत्वपूर्ण माना जाता है। इस मामले में स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या से मेल खाती है एन– 2, कहाँ एन- तुलनात्मक मूल्यों के जोड़े की संख्या (नमूना आकार)।

परिशिष्ट की तालिका XV के अनुसार, जिसका शीर्षक है "सहसंबंध गुणांक के सांख्यिकीय महत्व के लिए आवश्यक मानों के जोड़े की संख्या।" इस मामले में, गणना में प्राप्त सहसंबंध गुणांक पर ध्यान देना आवश्यक है। इसे सांख्यिकीय रूप से महत्वपूर्ण माना जाता है यदि नमूना आकार किसी दिए गए गुणांक के लिए मानों के जोड़े की सारणीबद्ध संख्या के बराबर या उससे अधिक है।

छात्र गुणांक के अनुसार, जिसकी गणना सहसंबंध गुणांक और उसकी त्रुटि के अनुपात के रूप में की जाती है:

(8.5)

सहसंबंध गुणांक त्रुटि निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके गणना की गई:

कहाँ एमआर - सहसंबंध गुणांक त्रुटि, आर- सहसंबंध गुणांक; एन- तुलना की गई जोड़ियों की संख्या।

आइए निम्नलिखित समस्या को हल करने के उदाहरण का उपयोग करके पियर्सन सहसंबंध गुणांक के सांख्यिकीय महत्व की गणना और निर्धारण की प्रक्रिया पर विचार करें।

कार्य

हाई स्कूल के 22 छात्रों का दो परीक्षणों पर परीक्षण किया गया: यूएसके (व्यक्तिपरक नियंत्रण का स्तर) और एमकेयू (सफलता के लिए प्रेरणा)। निम्नलिखित परिणाम प्राप्त हुए (तालिका 8.2):

तालिका 8.2

	यूएसके ( एक्स मैं)	एमकेयू ( य मैं)		यूएसके ( एक्स मैं)	एमकेयू ( य मैं)

व्यायाम

इस परिकल्पना का परीक्षण करने के लिए कि उच्च स्तर की आंतरिकता (यूएससी स्कोर) वाले लोगों में सफल होने के लिए उच्च स्तर की प्रेरणा होती है।

समाधान

1. हम निम्नलिखित संशोधन में पियर्सन सहसंबंध गुणांक का उपयोग करते हैं (सूत्र 8.4 देखें):

माइक्रोकैलकुलेटर पर डेटा प्रोसेसिंग की सुविधा के लिए (आवश्यक कंप्यूटर प्रोग्राम की अनुपस्थिति में), निम्नलिखित फॉर्म की एक मध्यवर्ती कार्य तालिका बनाने की अनुशंसा की जाती है (तालिका 8.3):

तालिका 8.3

एक्समैं यमैं

एक्स 1 य 1

एक्स 2 य 2

एक्स 3 य 3

एक्सएन यएन

Σ एक्समैं यमैं

2. हम गणना करते हैं और मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं:

3. हम पियर्सन सहसंबंध गुणांक का सांख्यिकीय महत्व तीन तरीकों से निर्धारित करते हैं:

पहली विधि:

तालिका में XIII परिशिष्ट में हम पहले और दूसरे महत्व स्तरों के लिए गुणांक के महत्वपूर्ण मान पाते हैं: आर करोड़।= 0.42; 0.54 (ν = एन – 2 = 20).

हम यह निष्कर्ष निकालते हैं आर xy > आरकरोड़ . , यानी सहसंबंध दोनों स्तरों के लिए सांख्यिकीय रूप से महत्वपूर्ण है।

दूसरी विधि:

आइए तालिका का उपयोग करें। XV, जिसमें हम 0.58 के बराबर पियर्सन सहसंबंध गुणांक के सांख्यिकीय महत्व के लिए पर्याप्त मूल्यों के जोड़े (विषयों की संख्या) की संख्या निर्धारित करते हैं: पहले, दूसरे और तीसरे महत्व के स्तर के लिए यह 12, 18 और 28 है, क्रमश ।

यहां से हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि सहसंबंध गुणांक पहले और दूसरे स्तर के लिए महत्वपूर्ण है, लेकिन महत्व के तीसरे स्तर तक "नहीं पहुंचता"।

तीसरी विधि:

हम सहसंबंध गुणांक और छात्र गुणांक की त्रुटि की गणना पियर्सन गुणांक और त्रुटि के अनुपात के रूप में करते हैं:

तालिका में एक्स हम स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या के साथ पहले, दूसरे और तीसरे महत्व के स्तर के लिए छात्र गुणांक के मानक मान पाते हैं ν = एन – 2 = 20: टी करोड़। = 2,09; 2,85; 3,85.

सामान्य निष्कर्ष

यूएससी और एमकेयू परीक्षणों के संकेतकों के बीच सहसंबंध महत्व के पहले और दूसरे स्तर के लिए सांख्यिकीय रूप से महत्वपूर्ण है।

टिप्पणी:

पियर्सन सहसंबंध गुणांक की व्याख्या करते समय, निम्नलिखित बिंदुओं पर विचार किया जाना चाहिए:

पियर्सन गुणांक का उपयोग द्विभाजित पैमाने के अपवाद के साथ विभिन्न पैमानों (अनुपात, अंतराल, या क्रमसूचक) के लिए किया जा सकता है।

सहसंबंध का मतलब हमेशा कारण-और-प्रभाव संबंध नहीं होता है। दूसरे शब्दों में, यदि हमने विषयों के एक समूह में ऊंचाई और वजन के बीच एक सकारात्मक सहसंबंध पाया है, तो इसका मतलब यह नहीं है कि ऊंचाई वजन पर निर्भर करती है या इसके विपरीत (ये दोनों विशेषताएं एक तीसरे (बाहरी) चर पर निर्भर करती हैं, जो इस मामले में यह किसी व्यक्ति की आनुवंशिक संवैधानिक विशेषताओं से जुड़ा है)।

आर xu » 0 को न केवल बीच संबंध के अभाव में देखा जा सकता है एक्सऔर य, लेकिन एक मजबूत नॉनलाइनियर कनेक्शन के मामले में भी (चित्र 8.2 ए)। इस मामले में, नकारात्मक और सकारात्मक सहसंबंध संतुलित होते हैं, जिसके परिणामस्वरूप कोई संबंध न होने का भ्रम होता है।

आर xyयदि बीच में कोई मजबूत संबंध हो तो यह काफी छोटा हो सकता है एक्सऔर परअध्ययन किए गए मूल्यों की तुलना में मूल्यों की एक संकीर्ण सीमा में देखा गया (चित्र 8.2 बी)।

नमूनों को विभिन्न तरीकों से संयोजित करने से काफी उच्च सहसंबंध का भ्रम पैदा हो सकता है (चित्र 8.2 सी)।

यमैं यमैं यमैं

+ + . .

एक्समैं एक्समैं एक्समैं

चावल। 8.2. सहसंबंध गुणांक के मूल्य की व्याख्या करते समय त्रुटियों के संभावित स्रोत (पाठ में स्पष्टीकरण (अंक 3 - 5 नोट्स))

सहसंबंध-प्रतिगमन विश्लेषण की सामान्य समझ

घटनाओं के बीच मौजूद संबंधों के रूप और प्रकार उनके वर्गीकरण में बहुत विविध हैं। केवल वे हैं जो प्रकृति में मात्रात्मक हैं और मात्रात्मक तरीकों का उपयोग करके अध्ययन किया जाता है। आइए सहसंबंध-प्रतिगमन विश्लेषण की विधि पर विचार करें, जो घटनाओं के बीच संबंधों के अध्ययन में मौलिक है।

इस विधि में शामिल है इसके दो घटक भाग- सहसंबंध विश्लेषण और प्रतिगमन विश्लेषण। सहसंबंध विश्लेषणनमूना चर के बीच संबंधों की ताकत और दिशा निर्धारित करने के लिए एक मात्रात्मक विधि है। प्रतिगमन विश्लेषणचरों के बीच कारण-और-प्रभाव संबंध में गणितीय फ़ंक्शन के प्रकार को निर्धारित करने के लिए एक मात्रात्मक विधि है।

सहसंबंध सिद्धांत में किसी कनेक्शन की ताकत का आकलन करने के लिए, अंग्रेजी सांख्यिकीविद् चैडॉक स्केल का उपयोग किया जाता है: कमजोर - 0.1 से 0.3 तक; मध्यम - 0.3 से 0.5 तक; ध्यान देने योग्य - 0.5 से 0.7 तक; उच्च - 0.7 से 0.9 तक; बहुत ऊँचा (मजबूत) - 0.9 से 1.0 तक। इसका उपयोग आगे विषय पर उदाहरणों में किया जाता है।

रैखिक सहसंबंध

यह सहसंबंध चरों की विविधता में एक रैखिक संबंध को दर्शाता है। इसे जोड़ा जा सकता है (दो सहसंबद्ध चर) या एकाधिक (दो से अधिक चर), प्रत्यक्ष या उलटा - सकारात्मक या नकारात्मक, जब चर क्रमशः समान या अलग-अलग दिशाओं में भिन्न होते हैं।

यदि चर अपनी कुल संख्या के साथ अपने स्वतंत्र अवलोकनों में मात्रात्मक और समतुल्य हैं, तो उनके रैखिक संबंध की निकटता का सबसे महत्वपूर्ण अनुभवजन्य उपाय ऑस्ट्रियाई मनोवैज्ञानिक जी.टी. फेचनर (1801-1887) और के संकेतों के प्रत्यक्ष सहसंबंध का गुणांक है अंग्रेजी सांख्यिकीविद्-बायोमेट्रिक्सियन के. पियर्सन (1857-1936) के युग्मित, शुद्ध (निजी) और एकाधिक (संचयी) सहसंबंध के गुणांक।

फेचनर साइन जोड़ी सहसंबंध गुणांकउनके औसत से चर के व्यक्तिगत विचलन में दिशाओं की स्थिरता निर्धारित करता है और। यह विचलन में चिह्नों के मिलान () और बेमेल () युग्मों के योग और इन योगों के योग के बीच अंतर के अनुपात के बराबर है:

परिमाण के.एफ-1 से +1 तक भिन्न होता है। (1) में सारांश उन टिप्पणियों पर बनाया गया है जिन्हें सरलता के लिए योगों में सूचीबद्ध नहीं किया गया है। यदि कोई एक विचलन या है, तो उसे गणना में शामिल नहीं किया जाता है। यदि दोनों विचलन एक साथ शून्य हैं:, तो ऐसे मामले को समान चिह्न वाला माना जाता है और इसमें शामिल किया जाता है। तालिका 12.1 में. गणना के लिए डेटा की तैयारी (1) दिखाई गई है।

तालिका 12.1 फेचनर गुणांक की गणना के लिए डेटा।

कर्मचारियों की संख्या, हजार लोग	व्यापार कारोबार, सी.यू.	औसत से विचलन	संकेतों की तुलना और
			संयोग (से)	बेमेल (एन के)

(1) द्वारा हमारे पास है के एफ = (3 - 2)/(3 + 2) = 0.20. विविधताओं में संबंध की दिशा!!कर्मचारियों की औसत संख्या|कर्मचारियों की संख्या]] और सकारात्मक (सीधा) है: विचलन में संकेत और और बहुमत में (5 में से 3 मामलों में) एक दूसरे के साथ मेल खाते हैं। चैडॉक पैमाने पर चरों के बीच संबंध की निकटता कमजोर है।

पियर्सन की जोड़ी, शुद्ध (आंशिक) और एकाधिक (कुल) रैखिक सहसंबंध गुणांक, फेचनर गुणांक के विपरीत, न केवल संकेतों को ध्यान में रखते हैं, बल्कि चर के विचलन के परिमाण को भी ध्यान में रखते हैं। इनकी गणना के लिए अलग-अलग तरीकों का इस्तेमाल किया जाता है. इस प्रकार, अवर्गीकृत डेटा के लिए प्रत्यक्ष गणना पद्धति के अनुसार, पियर्सन जोड़ी सहसंबंध गुणांक का रूप है:

यह गुणांक भी -1 से +1 तक भिन्न होता है। यदि कई चर हैं, तो पियर्सन मल्टीपल (संचयी) रैखिक सहसंबंध गुणांक की गणना की जाती है। तीन चर के लिए एक्स, वाई, जेडऐसा लग रहा है

यह गुणांक 0 से 1 तक भिन्न होता है। यदि हम और पर प्रभाव को समाप्त कर देते हैं (पूरी तरह से बाहर कर देते हैं या स्थिर स्तर पर ठीक कर देते हैं), तो उनका "सामान्य" संबंध "शुद्ध" में बदल जाएगा, जिससे एक शुद्ध (आंशिक) पियर्सन रैखिक सहसंबंध बनेगा। गुणांक:

यह गुणांक -1 से +1 तक भिन्न होता है। सहसंबंध गुणांक (2)-(4) के वर्ग क्रमशः निर्धारण के गुणांक (सूचकांक) कहलाते हैं - युग्म, शुद्ध (विशेष), गुणज (कुल):

निर्धारण के प्रत्येक गुणांक 0 से 1 तक भिन्न होते हैं और चर के रैखिक संबंध में परिवर्तनशील निश्चितता की डिग्री का मूल्यांकन करते हैं, जो दूसरे (अन्य) की भिन्नता के कारण एक चर (y) में भिन्नता का अनुपात दिखाता है - x और y . तीन से अधिक चर वाले बहुभिन्नरूपी मामले पर यहां विचार नहीं किया गया है।

अंग्रेजी सांख्यिकीविद् आर.ई. के विकास के अनुसार। फिशर (1890-1962), अंग्रेजी सांख्यिकीविद् वी.एस. के वितरण के आधार पर, युग्मित और शुद्ध (आंशिक) पियर्सन सहसंबंध गुणांक के सांख्यिकीय महत्व की जाँच की जाती है यदि उनका वितरण सामान्य है। गॉसेट (छद्म नाम "छात्र"; 1876-1937) संभाव्य महत्व के एक निश्चित स्तर और स्वतंत्रता की उपलब्ध डिग्री के साथ, कनेक्शन की संख्या (कारक चर) कहां है। युग्मित गुणांक के लिए हमारे पास इसकी मूल माध्य वर्ग त्रुटि और छात्र के टी-टेस्ट का वास्तविक मूल्य है:

शुद्ध सहसंबंध गुणांक के लिए, इसकी गणना करते समय, (n-2) के बजाय, लेना आवश्यक है, क्योंकि इस मामले में m=2 (दो कारक चर x और z) है। बड़ी संख्या n>100 के लिए, (6) में (n-2) या (n-3) के बजाय, आप गणना की सटीकता की उपेक्षा करते हुए n ले सकते हैं।

अगर टी आर > टी टेबल, तो जोड़ी सहसंबंध गुणांक - कुल या शुद्ध - सांख्यिकीय रूप से महत्वपूर्ण है, और कब टी आर ≤ टी टैब.- महत्वहीन.

बहु सहसंबंध गुणांक R के महत्व की जाँच किसके द्वारा की जाती है एफ- फिशर मानदंड इसके वास्तविक मूल्य की गणना करके

पर एफ आर > एफ टैब।गुणांक आर को दिए गए महत्व स्तर ए और स्वतंत्रता की उपलब्ध डिग्री और, और पर के साथ महत्वपूर्ण माना जाता है एफ आर ≤ एफ टेबल- महत्वहीन.

बड़ी मात्रा वाली आबादी n > 100 में, सामान्य वितरण कानून (सारणीबद्ध लाप्लास-शेपर्ड फ़ंक्शन) का उपयोग टी और एफ परीक्षणों के बजाय सभी पियर्सन गुणांक के महत्व का आकलन करने के लिए सीधे किया जाता है।

अंत में, यदि पियर्सन गुणांक सामान्य कानून का पालन नहीं करते हैं, तो Z का उपयोग उनके महत्व के लिए एक मानदंड के रूप में किया जाता है - फिशर का परीक्षण, जिस पर यहां विचार नहीं किया गया है।

सशर्त गणना उदाहरण(2)-(7) तालिका में दिया गया है। 12.2, जहां तालिका 12.1 का प्रारंभिक डेटा तीसरे चर z के अतिरिक्त के साथ लिया गया है - स्टोर के कुल क्षेत्र का आकार (100 वर्ग मीटर)।

तालिका 12.2.पियर्सन सहसंबंध गुणांक की गणना के लिए डेटा तैयार करना

	संकेतक

(2) - (5) के अनुसार, पियर्सन रैखिक सहसंबंध गुणांक बराबर हैं:

चरों का संबंध एक्सऔर यसकारात्मक है, लेकिन करीब नहीं, उनके युग्मित सहसंबंध गुणांक के आधार पर एक परिमाण और शुद्ध सहसंबंध गुणांक के आधार पर एक परिमाण है, और क्रमशः "ध्यान देने योग्य" और "कमजोर" के रूप में चैडॉक पैमाने पर मूल्यांकन किया गया था।

निर्धारण गुणांक डी xy =0.354और dxy. जेड = 0.0037इंगित करें कि भिन्नता पर(कारोबार) रैखिक भिन्नता के कारण होता है एक्स(कर्मचारियों की संख्या) द्वारा 35,4% उनके सामान्य अंतर्संबंध में और शुद्ध अंतर्संबंध में - केवल पर 0,37% . यह स्थिति महत्वपूर्ण प्रभाव के कारण है एक्सऔर यतीसरा चर जेड- दुकानों द्वारा कब्जा किया गया कुल क्षेत्रफल। इनके साथ इसके रिश्ते की निकटता क्रमशः है, r xz =0.677 और r yz =0.844.

तीन चर के एकाधिक (संचयी) सहसंबंध गुणांक से पता चलता है कि रैखिक संबंध की निकटता एक्सऔर जेडसी यके बराबर आर = 0.844, चैडॉक पैमाने पर "उच्च" के रूप में मूल्यांकन किया गया है, और एकाधिक निर्धारण गुणांक मूल्य है डी=0.713, यह दर्शाता है कि 71,3 % संपूर्ण विविधता पर(व्यापार टर्नओवर) उस पर चर के संचयी प्रभाव से निर्धारित होता है एक्सऔर जेड. आराम 28,7% पर प्रभाव के कारण यअन्य कारक या चरों का वक्ररेखीय संबंध वाई, एक्स, जेड.

सहसंबंध गुणांकों के महत्व का आकलन करने के लिए, हम महत्व स्तर लेते हैं। प्रारंभिक आंकड़ों के अनुसार, हमारे पास और के लिए स्वतंत्रता की डिग्री है। सैद्धांतिक तालिका के अनुसार, हम क्रमशः तालिका 1 पाते हैं। = 3.182 और टी तालिका 2. = 4.303. एफ-मानदंड के लिए हमारे पास और तालिका से हमें एफ तालिका मिलती है। = 19.0. (6) और (7) के अनुसार प्रत्येक मानदंड के वास्तविक मान बराबर हैं: