कुछ अतार्किक अभिव्यक्तियों का एकीकरण. अपरिमेय कार्यों का अभिन्न अंग। स्वयं में अभिन्न को कम करके

बच्चों के लिए ज्वरनाशक दवाएं बाल रोग विशेषज्ञ द्वारा निर्धारित की जाती हैं। लेकिन बुखार के साथ आपातकालीन स्थितियाँ होती हैं जब बच्चे को तुरंत दवा देने की आवश्यकता होती है। तब माता-पिता जिम्मेदारी लेते हैं और ज्वरनाशक दवाओं का उपयोग करते हैं। शिशुओं को क्या देने की अनुमति है? आप बड़े बच्चों में तापमान कैसे कम कर सकते हैं? कौन सी दवाएँ सबसे सुरक्षित हैं?

इस ऑनलाइन कैलकुलेटर का उपयोग फॉर्म के अपरिमेय भिन्नों के इंटीग्रल्स की गणना करने के लिए किया जाता है।

होने देना - का तर्कसंगत कार्य यह फ़ंक्शन, और इसलिए इसका अभिन्न अंग, x=t r को प्रतिस्थापित करके तर्कसंगत बनाया गया है, जहां r संख्याओं r 1, r 2,…, r n का सबसे छोटा सामान्य गुणक है। तब dx=rt r -1 और समाकलन के अंतर्गत t का एक परिमेय फलन होता है। इसी प्रकार, यदि इंटीग्रैंड का एक तर्कसंगत कार्य है , तो इंटीग्रैंड फ़ंक्शन को प्रतिस्थापन द्वारा तर्कसंगत बनाया जाता है जहां t संख्याओं का सबसे छोटा सामान्य गुणक है r 1 , r 2 ,…, r n । फिर मूल अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करने पर, हमें t का एक परिमेय फलन प्राप्त होता है।

उदाहरण। गणना करें. 2 और 3 का लघुत्तम समापवर्त्य 6 है। इसलिए, हम प्रतिस्थापन x = t 6 करते हैं। तब dx = 6t 5 dt और

अपरिमेय कार्यों का एकीकरण

उदाहरण क्रमांक 1. एक अपरिमेय फलन के निश्चित समाकलन की गणना करें:

समाधान. प्रपत्र R(x α1, x α2,..., x αk)dx का समाकलन, जहां R, x αi का एक परिमेय फलन है, α i =p i /q i - परिमेय भिन्न (i = 1,2,... , k) , को प्रतिस्थापन x = t q का उपयोग करके एक तर्कसंगत फ़ंक्शन के अभिन्न अंग में घटाया जाता है, जहां q भिन्न a 1, a 2,..., a k के हरों का सबसे छोटा सामान्य गुणक (LCM) है। हमारे मामले में, a 1 = 2, a 2 = 3, a 3 = 6, इसलिए उनके हर का सबसे छोटा सामान्य गुणक q = LCM(2,3,6) = 6 है। चर x = t 6 को प्रतिस्थापित करने से होता है भिन्नात्मक परिमेय फलन का अभिन्न अंग, जिसकी गणना उदाहरण में वर्णित अनुसार की जाती है:

परिभाषा 1

किसी निश्चित खंड पर परिभाषित किसी दिए गए फ़ंक्शन $y=f(x)$ के सभी एंटीडेरिवेटिव्स के सेट को किसी दिए गए फ़ंक्शन $y=f(x)$ का अनिश्चितकालीन अभिन्न अंग कहा जाता है। अनिश्चितकालीन अभिन्न को प्रतीक $\int f(x)dx $ द्वारा दर्शाया जाता है।

टिप्पणी

परिभाषा 2 को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

\[\int f(x)dx =F(x)+C.\]

प्रत्येक अपरिमेय कार्य को प्रारंभिक कार्यों के माध्यम से अभिन्न के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है। हालाँकि, इनमें से अधिकांश अभिन्नों को तर्कसंगत कार्यों के अभिन्नों के प्रतिस्थापन का उपयोग करके कम किया जा सकता है, जिन्हें प्राथमिक कार्यों के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है।

$\int R\left(x,x^(m/n) ,...,x^(r/s) \right)dx $;

$\int R\left(x,\left(\frac(ax+b)(cx+d) \right)^(m/n) ,...,\left(\frac(ax+b)(cx +d) \दाएं)^(r/s) \दाएं)dx $;

$\int R\left(x,\sqrt(ax^(2) +bx+c) \right)dx $.

मैं

फॉर्म $\int R\left(x,x^(m/n) ,...,x^(r/s) \right)dx $ का अभिन्न अंग ढूंढते समय निम्नलिखित प्रतिस्थापन करना आवश्यक है:

इस प्रतिस्थापन के साथ, चर $x$ की प्रत्येक भिन्नात्मक शक्ति को चर $t$ की पूर्णांक शक्ति के माध्यम से व्यक्त किया जाता है। परिणामस्वरूप, इंटीग्रैंड फ़ंक्शन वेरिएबल $t$ के एक तर्कसंगत फ़ंक्शन में बदल जाता है।

उदाहरण 1

एकीकरण करें:

\[\int \frac(x^(1/2) dx)(x^(3/4) +1) .\]

समाधान:

$k=4$, भिन्नों $\frac(1)(2) ,\, \, \frac(3)(4) $ का सामान्य हर है।

\ \[\begin(array)(l) (\int \frac(x^(1/2) dx)(x^(3/4) +1) =4\int \frac(t^(2) ) (t^(3) +1) \cdot t^(3) dt =4\int \frac(t^(5) )(t^(3) +1) dt =4\int \left(t^( 2) -\frac(t^(2) )(t^(3) +1) \right)dt =4\int t^(2) dt -4\int \frac(t^(2) )(t ^(3) +1) dt =\frac(4)(3) \cdot t^(3) -) \\ (-\frac(4)(3) \cdot \ln |t^(3) +1 |+C)\end(सरणी)\]

\[\int \frac(x^(1/2) dx)(x^(3/4) +1) =\frac(4)(3) \cdot \left+C\]

द्वितीय

$\int R\left(x,\left(\frac(ax+b)(cx+d) \right)^(m/n) ,...,\left(\frac) रूप का अभिन्न अंग ज्ञात करते समय (ax+ b)(cx+d) \right)^(r/s) \right)dx $ निम्नलिखित प्रतिस्थापन करना आवश्यक है:

जहां $k$ भिन्नों का सामान्य हर है $\frac(m)(n) ,...,\frac(r)(s) $.

इस प्रतिस्थापन के परिणामस्वरूप, इंटीग्रैंड फ़ंक्शन वेरिएबल $t$ के एक तर्कसंगत फ़ंक्शन में बदल जाता है।

उदाहरण 2

एकीकरण करें:

\[\int \frac(\sqrt(x+4) )(x) dx .\]

समाधान:

आइए निम्नलिखित प्रतिस्थापन करें:

\ \[\int \frac(\sqrt(x+4) )(x) dx =\int \frac(t^(2) )(t^(2) -4) dt =2\int \left(1 +\frac(4)(t^(2) -4) \right)dt =2\int dt +8\int \frac(dt)(t^(2) -4) =2t+2\ln \left |\frac(t-2)(t+2) \right|+C\]

विपरीत प्रतिस्थापन करने के बाद, हमें अंतिम परिणाम मिलता है:

\[\int \frac(\sqrt(x+4) )(x) dx =2\sqrt(x+4) +2\ln \left|\frac(\sqrt(x+4) -2)(\ sqrt(x+4) +2) \right|+C.\]

तृतीय

फॉर्म $\int R\left(x,\sqrt(ax^(2) +bx+c) \right)dx $ का अभिन्न अंग ढूंढते समय, तथाकथित यूलर प्रतिस्थापन किया जाता है (तीन संभावित प्रतिस्थापनों में से एक है इस्तेमाल किया गया)।

यूलर का पहला प्रतिस्थापन

मामले के लिए $a>

$\sqrt(a) $ के सामने "+" चिन्ह लेने पर, हमें प्राप्त होता है

उदाहरण 3

एकीकरण करें:

\[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) +c) ) .\]

समाधान:

आइए निम्नलिखित प्रतिस्थापन करें (मामला $a=1>0$):

\[\sqrt(x^(2) +c) =-x+t,\, \, x=\frac(t^(2) -c)(2t) ,\, \, dx=\frac(t) ^(2) +c)(2t^(2) ) dt,\, \, \sqrt(x^(2) +c) =-\frac(t^(2) -c)(2t) +t= \frac(t^(2) +c)(2t) .\] \[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) +c) ) =\int \frac(\frac(t^ (2) +c)(2t^(2) ) dt)(\frac(t^(2) +c)(2t) ) =\int \frac(dt)(t) =\ln |t|+C \]

विपरीत प्रतिस्थापन करने के बाद, हमें अंतिम परिणाम मिलता है:

\[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) +c) ) =\ln |\sqrt(x^(2) +c) +x|+C.\]

यूलर का दूसरा प्रतिस्थापन

$c>0$ मामले के लिए निम्नलिखित प्रतिस्थापन करना आवश्यक है:

$\sqrt(c) $ के सामने "+" चिन्ह लेने पर, हमें मिलता है

उदाहरण 4

एकीकरण करें:

\[\int \frac((1-\sqrt(1+x+x^(2) ))^(2) )(x^(2) \sqrt(1+x+x^(2) ) ) dx .\]

समाधान:

आइए निम्नलिखित प्रतिस्थापन करें:

\[\sqrt(1+x+x^(2) ) =xt+1.\]

\ \[\sqrt(1+x+x^(2) ) =xt+1=\frac(t^(2) -t+1)(1-t^(2) ) \] \

$\int \frac((1-\sqrt(1+x+x^(2) ))^(2) )(x^(2) \sqrt(1+x+x^(2) ) ) dx = \int \frac((-2t^(2) +t)^(2) (1-t)^(2) (1-t^(2))(2t^(2) -2t+2))( (1-t^(2))^(2) (2t-1)^(2) (t^(2) -t+1)(1-t^(2))^(2) ) dt =\ int \frac(t^(2) )(1-t^(2) ) dt =-2t+\ln \left|\frac(1+t)(1-t) \right|+C$ इसका उल्टा करने के बाद प्रतिस्थापन, हमें अंतिम परिणाम मिलता है:

\[\begin(array)(l) (\int \frac((1-\sqrt(1+x+x^(2) ))^(2) )(x^(2) \sqrt(1+x +x^(2) ) dx =-2\cdot \frac(\sqrt(1+x+x^(2) ) -1)(x) +\ln \left|\frac(x+\sqrt(1 + x+x^(2) ) -1)(x-\sqrt(1+x+x^(2) ) +1) \right|+C=-2\cdot \frac(\sqrt(1+x + x^(2) ) -1)(x) +) \\ (+\ln \left|2x+2\sqrt(1+x+x^(2) ) +1\right|+C) \end ( सारणी)\]

यूलर का तीसरा प्रतिस्थापन

अंतर्गत तर्कहीनएक अभिव्यक्ति को समझें जिसमें स्वतंत्र चर %%x%% या घात %%n \in \mathbb(N)%% का बहुपद %%P_n(x)%% चिह्न के अंतर्गत शामिल है मौलिक(लैटिन से मूलांक- जड़), अर्थात्। एक भिन्नात्मक घात तक बढ़ा दिया गया। एक चर को प्रतिस्थापित करके, इंटीग्रैंड के कुछ वर्ग जो %%x%% के संबंध में तर्कहीन हैं, उन्हें एक नए चर के संबंध में तर्कसंगत अभिव्यक्तियों में कम किया जा सकता है।

एक चर के तर्कसंगत कार्य की अवधारणा को कई तर्कों तक बढ़ाया जा सकता है। यदि किसी फ़ंक्शन के मान की गणना करते समय प्रत्येक तर्क %%u, v, \dotsc, w%% के लिए, केवल अंकगणितीय संचालन और पूर्णांक शक्ति तक वृद्धि प्रदान की जाती है, तो हम इन तर्कों के एक तर्कसंगत फ़ंक्शन की बात करते हैं, जो आमतौर पर होता है %%R(u, v, \ dotsc, w)%% दर्शाया गया। ऐसे फ़ंक्शन के तर्क स्वयं स्वतंत्र चर %%x%% के फ़ंक्शन हो सकते हैं, जिसमें %%\sqrt[n](x), n \in \mathbb(N)%% फॉर्म के रेडिकल शामिल हैं। उदाहरण के लिए, तर्कसंगत फ़ंक्शन $$ R(u,v,w) = \frac(u + v^2)(w) $$ %%u = x, v = \sqrt(x)%% और %% के साथ w = \sqrt(x^2 + 1)%% $$ R\left(x, \sqrt(x), \sqrt(x^2+1)\right) = \frac(x +) का एक परिमेय फलन है \sqrt(x ^2))(\sqrt(x^2 + 1)) = f(x) $$ %%x%% से और रेडिकल्स %%\sqrt(x)%% और %%\sqrt(x ^2 + 1 )%%, जबकि फ़ंक्शन %%f(x)%% एक स्वतंत्र चर %%x%% का एक अपरिमेय (बीजगणितीय) फ़ंक्शन होगा।

आइए फॉर्म %%\int R(x, \sqrt[n](x)) \mathrm(d)x%% के इंटीग्रल पर विचार करें। ऐसे इंटीग्रल को वेरिएबल %%t = \sqrt[n](x)%%, फिर %%x = t^n, \mathrm(d)x = nt^(n-1)%% को प्रतिस्थापित करके युक्तिसंगत बनाया जाता है।

उदाहरण 1

%%\displaystyle\int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x) + \sqrt(x))%% खोजें।

वांछित तर्क का इंटीग्रैंड डिग्री %%2%% और %%3%% के रेडिकल के फ़ंक्शन के रूप में लिखा गया है। चूँकि %%2%% और %%3%% का लघुत्तम समापवर्त्य %%6%% है, यह समाकलन %%\int R(x, \sqrt(x)) \mathrm(d) प्रकार का समाकलन है x %% और %%\sqrt(x) = t%% को प्रतिस्थापित करके तर्कसंगत बनाया जा सकता है। फिर %%x = t^6, \mathrm(d)x = 6t \mathrm(d)t, \sqrt(x) = t^3, \sqrt(x) =t^2%%। इसलिए, $$ \int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x) + \sqrt(x)) = \int \frac(6t^5 \mathrm(d)t)(t^3 + t^2) = 6\int\frac(t^3)(t+1)\mathrm(d)t. $$ आइए %%t + 1 = z, \mathrm(d)t = \mathrm(d)z, z = t + 1 = \sqrt(x) + 1%% और $$ \begin(array)( लें ll ) \int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x) + \sqrt(x)) &= 6\int\frac((z-1)^3)(z) \mathrm(d ) t = \\ &= 6\int z^2 dz -18 \int z \mathrm(d)z + 18\int \mathrm(d)z -6\int\frac(\mathrm(d)z)( z ) = \\ &= 2z^3 - 9 z^2 + 18z -6\ln|z| + C = \\ &= 2 \left(\sqrt(x) + 1\right)^3 - 9 \left(\sqrt(x) + 1\right)^2 + \\ &+~ 18 \left( \sqrt(x) + 1\right) - 6 \ln\left|\sqrt(x) + 1\right| + सी \end(सरणी) $$

%%\int R(x, \sqrt[n](x)) \mathrm(d)x%% रूप के समाकलन भिन्नात्मक रैखिक अपरिमेयता का एक विशेष मामला हैं, अर्थात। फॉर्म का अभिन्न अंग %%\displaystyle\int R\left(x, \sqrt[n](\dfrac(ax+b)(cd+d))\right) \mathrm(d)x%%, जहां %% विज्ञापन - bc \neq 0%%, जिसे चर %%t = \sqrt[n](\dfrac(ax+b)(cd+d))%%, फिर %%x = \dfrac को प्रतिस्थापित करके युक्तिसंगत बनाया जा सकता है (dt^n - b)(a - ct^n)%%। फिर $$ \mathrm(d)x = \frac(n t^(n-1)(ad - bc))(\left(a - ct^n\right)^2)\mathrm(d)t. $$

उदाहरण 2

%%\displaystyle\int \sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x))\dfrac(\mathrm(d)x)(x + 1)%% खोजें।

आइए %%t = \sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x))%% लें, फिर %%x = \dfrac(1 - t^2)(1 + t^2)%%, $ $ \begin(array)(l) \mathrm(d)x = -\frac(4t\mathrm(d)t)(\left(1 + t^2\right)^2), \\ 1 + x = \ frac(2)(1 + t^2), \\ \frac(1)(x + 1) = \frac(1 + t^2)(2). \end(array) $$ इसलिए, $$ \begin(array)(l) \int \sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x))\frac(\mathrm(d)x)(x + 1) = \\ = \frac(t(1 + t^2))(2)\left(-\frac(4t \mathrm(d)t)(\left(1 + t^2\right)^2 )\दाएं) = \\ = -2\int \frac(t^2\mathrm(d)t)(1 + t^2) = \\ = -2\int \mathrm(d)t + 2\int \frac(\mathrm(d)t)(1 + t^2) = \\ = -2t + \text(arctg)~t + C = \\ = -2\sqrt(\dfrac(1 -x)( 1 + x)) + \text(arctg)~\sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x)) + C. \end(array) $$

आइए फॉर्म %%\int R\left(x, \sqrt(ax^2 + bx + c)\right) \mathrm(d)x%% के इंटीग्रल पर विचार करें। सरलतम मामलों में, यदि पूर्ण वर्ग को अलग करने के बाद, चर में परिवर्तन किया जाता है, तो ऐसे अभिन्नों को सारणीबद्ध में घटा दिया जाता है।

उदाहरण 3

अभिन्न अंग ज्ञात कीजिए %%\displaystyle\int \dfrac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x^2 + 4x + 5))%%.

यह मानते हुए कि %%x^2 + 4x + 5 = (x+2)^2 + 1%%, हम %%t = x + 2, \mathrm(d)x = \mathrm(d)t%% लेते हैं, फिर $$ \begin(array)(ll) \int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x^2 + 4x + 5)) &= \int \frac(\mathrm(d)t) (\sqrt(t^2 + 1)) = \\ &= \ln\left|t + \sqrt(t^2 + 1)\right| + C = \\ &= \ln\left|x + 2 + \sqrt(x^2 + 4x + 5)\right| + सी. \end(सरणी) $$

अधिक जटिल मामलों में, %%\int R\left(x, \sqrt(ax^2 + bx + c)\right) \mathrm(d)x%% के रूप के अभिन्न अंग खोजने के लिए उपयोग किया जाता है

यह अनुभाग तर्कसंगत कार्यों को एकीकृत करने की विधि पर चर्चा करेगा। 7.1. तर्कसंगत कार्यों के बारे में संक्षिप्त जानकारी सबसे सरल तर्कसंगत कार्य दशमांश डिग्री का एक बहुपद है, अर्थात। प्रपत्र का एक फलन जहां वास्तविक स्थिरांक हैं, और a0 Φ 0. बहुपद Qn(x) जिसका गुणांक a0 = 1 है, कम कहा जाता है। एक वास्तविक संख्या b को बहुपद Qn(z) का मूल कहा जाता है यदि Q„(b) = 0 है। यह ज्ञात है कि वास्तविक गुणांक वाले प्रत्येक बहुपद Qn(x) को उस रूप के वास्तविक कारकों में विशिष्ट रूप से विघटित किया जाता है जहां p, q वास्तविक गुणांक हैं, और द्विघात कारकों की कोई वास्तविक जड़ें नहीं होती हैं और इसलिए, उन्हें वास्तविक रैखिक कारकों में विघटित नहीं किया जा सकता है। समान गुणनखंडों (यदि कोई हो) को जोड़कर और सरलता के लिए, यह मानते हुए कि बहुपद Qn(x) कम हो गया है, हम इसके गुणनखंडन को उस रूप में लिख सकते हैं जहां प्राकृतिक संख्याएं हैं। चूँकि बहुपद Qn(x) की घात n के बराबर है, तो सभी घातांक a, /3,..., A का योग, सभी घातांक ω,..., q के दोगुने योग में जोड़ने पर, बराबर होता है से n: किसी बहुपद का मूल a सरल या एकल कहलाता है, यदि a = 1 है, और यदि a > 1 है तो गुणज कहा जाता है; संख्या a को मूल a की बहुलता कहा जाता है। यही बात बहुपद की अन्य जड़ों पर भी लागू होती है। एक परिमेय फलन f(x) या एक परिमेय भिन्न दो बहुपदों का अनुपात है, और यह माना जाता है कि बहुपद Pm(x) और Qn(x) में उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं हैं। एक परिमेय भिन्न को उचित कहा जाता है यदि अंश में बहुपद की डिग्री हर में बहुपद की डिग्री से कम हो, यानी। यदि m n है, तो परिमेय भिन्न को अनुचित भिन्न कहा जाता है, और इस स्थिति में, बहुपदों को विभाजित करने के नियम के अनुसार अंश को हर से विभाजित करने पर, इसे कुछ बहुपदों के रूप में दर्शाया जा सकता है, और ^^ एक उचित अंश है तर्कसंगत अंश. उदाहरण 1. एक परिमेय भिन्न एक अनुचित भिन्न है। एक "कोने" से विभाजित करने पर, हमारे पास इसलिए है। यहाँ। और यह एक उचित अंश है. परिभाषा। सबसे सरल (या प्राथमिक) भिन्न निम्नलिखित चार प्रकार के तर्कसंगत भिन्न हैं: वास्तविक संख्याएँ कहाँ हैं, k एक प्राकृतिक संख्या है जो 2 से बड़ी या उसके बराबर है, और वर्ग त्रिपद x2 + px + q का कोई वास्तविक मूल नहीं है, इसलिए -2 _2 इसका विवेचक है बीजगणित में निम्नलिखित प्रमेय सिद्ध होता है। प्रमेय 3. वास्तविक गुणांकों के साथ एक उचित परिमेय भिन्न, जिसका हर Qn(x) के रूप में होता है, तर्कसंगत कार्यों के एकीकरण के नियम के अनुसार सरल भिन्नों के योग में एक अनूठे तरीके से विघटित होता है। परिमेय कार्यों के बारे में संक्षिप्त जानकारी सरल भिन्नों का एकीकरण सामान्य मामला अपरिमेय कार्यों का एकीकरण पहला यूलर प्रतिस्थापन दूसरा यूलर प्रतिस्थापन तीसरा यूलर का प्रतिस्थापन इस विस्तार में कुछ वास्तविक स्थिरांक हैं, जिनमें से कुछ शून्य के बराबर हो सकते हैं। इन स्थिरांकों को खोजने के लिए, समानता के दाएँ पक्ष (I) को एक सामान्य हर में लाया जाता है, और फिर बाएँ और दाएँ पक्षों के अंशों में x की समान शक्तियों वाले गुणांकों को बराबर किया जाता है। यह रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली देता है जिससे आवश्यक स्थिरांक पाए जाते हैं। . अज्ञात स्थिरांक ज्ञात करने की इस विधि को अनिर्धारित गुणांक की विधि कहा जाता है। कभी-कभी अज्ञात स्थिरांकों को खोजने के लिए किसी अन्य विधि का उपयोग करना अधिक सुविधाजनक होता है, जिसमें यह तथ्य शामिल होता है कि अंशों को बराबर करने के बाद, x के संबंध में एक पहचान प्राप्त की जाती है, जिसमें तर्क x को कुछ मान दिए जाते हैं, उदाहरण के लिए, मान मूलों का, जिसके परिणामस्वरूप स्थिरांक ज्ञात करने के लिए समीकरण बनते हैं। यह विशेष रूप से सुविधाजनक है यदि हर Q„(x) में केवल वास्तविक सरल जड़ें हों। उदाहरण 2. परिमेय भिन्न को सरल भिन्नों में विघटित करें। यह भिन्न उचित है। हम हर को गुणकों में विघटित करते हैं: चूंकि हर की जड़ें वास्तविक और भिन्न होती हैं, तो, सूत्र (1) के आधार पर, अंश को सरलतम में विघटित करने का रूप होगा: उस समानता के सही सम्मान को कम करना उभयनिष्ठ हर और इसके बाएँ और दाएँ पक्षों के अंशों को बराबर करने पर, हम पहचान प्राप्त करते हैं या हम अज्ञात गुणांक A. 2?, C को दो तरीकों से पाते हैं। पहला तरीका x, t.v. की समान घातों के लिए गुणांकों को बराबर करना। (मुक्त पद), और पहचान के बाएँ और दाएँ पक्षों के साथ, हम अज्ञात गुणांक A, B, C खोजने के लिए समीकरणों की एक रैखिक प्रणाली प्राप्त करते हैं: इस प्रणाली का एक अद्वितीय समाधान C दूसरी विधि है। चूँकि हर की जड़ें i 0 पर फटी हुई हैं, हमें 2 = 2A मिलता है, जहाँ से A * 1; जी आई 1, हमें -1 * -बी मिलता है, जिससे 5 * 1; x i 2, हमें 2 = 2C प्राप्त होता है। जहाँ से C» 1, और आवश्यक विस्तार का रूप 3 है। Rehlozhnt सरलतम भिन्न नहीं परिमेय भिन्न 4 हम बहुपद को, जो विपरीत दिशा में है, गुणनखंडों में विघटित करते हैं:। हर के दो अलग-अलग वास्तविक मूल हैं: x\ = 0 बहुलता का गुणन 3. इसलिए, इस भिन्न का अपघटन सबसे सरल नहीं है: एक सामान्य हर के दाईं ओर को कम करना, हम पाते हैं या पहली विधि। अंतिम पहचान के बाएँ और दाएँ पक्षों में x की समान शक्तियों के लिए गुणांकों को बराबर करना। हमें समीकरणों की एक रैखिक प्रणाली प्राप्त होती है। इस प्रणाली का एक अद्वितीय समाधान है और आवश्यक विस्तार दूसरी विधि होगी। परिणामी पहचान में, x = 0 रखने पर, हमें 1 a A2, या A2 = 1 प्राप्त होता है; फ़ील्ड* समलैंगिक x = -1, हमें -3 i B), या Bj i -3 मिलता है। गुणांक A\ और B) के पाए गए मानों को प्रतिस्थापित करते समय और पहचान x = 0, और फिर x = -I का रूप ले लेगी। हम पाते हैं कि = 0, बी2 = 0 और। इसका मतलब है B\ = 0. इस प्रकार, हम फिर से उदाहरण 4 प्राप्त करते हैं। परिमेय भिन्न 4 को सरल भिन्नों में विस्तारित करें। भिन्न के हर का कोई वास्तविक मूल नहीं है, क्योंकि फ़ंक्शन x2 + 1 x के किसी भी वास्तविक मान के लिए लुप्त नहीं होता है। इसलिए, सरल भिन्नों में अपघटन का रूप होना चाहिए। यहाँ से हमें या प्राप्त होता है। अंतिम समानता के बाएँ और दाएँ पक्षों में x की सिनेक्स शक्तियों के गुणांकों को बराबर करने पर, हमें वह मिलेगा जहाँ हम पाते हैं और इसलिए, यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि कुछ मामलों में सरल भिन्नों में विघटित होने को क्रिया द्वारा तेजी से और आसानी से प्राप्त किया जा सकता है। किसी अन्य तरीके से, अनिश्चित गुणांक की विधि का उपयोग किए बिना उदाहरण के लिए, उदाहरण 3 में भिन्न का अपघटन प्राप्त करने के लिए, आप अंश 3x2 में जोड़ और घटा सकते हैं और नीचे बताए अनुसार भाग कर सकते हैं। 7.2. सरल भिन्नों का एकीकरण, जैसा कि ऊपर बताया गया है, किसी भी अनुचित परिमेय भिन्न को कुछ बहुपद और एक उचित परिमेय भिन्न (§7) के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है, और यह प्रतिनिधित्व अद्वितीय है। एक बहुपद को एकीकृत करना कठिन नहीं है, इसलिए एक उचित परिमेय भिन्न को एकीकृत करने के प्रश्न पर विचार करें। चूँकि किसी भी उचित तर्कसंगत भिन्न को साधारण भिन्नों के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है, इसलिए इसका एकीकरण साधारण भिन्नों के एकीकरण तक कम हो जाता है। आइए अब हम उनके एकीकरण के प्रश्न पर विचार करें। तृतीय. तीसरे प्रकार के सबसे सरल अंश का अभिन्न अंग खोजने के लिए, हम द्विपद के पूर्ण वर्ग को वर्ग त्रिपद से अलग करते हैं: चूँकि दूसरा पद a2 के बराबर है, जहाँ और फिर हम प्रतिस्थापन करते हैं। फिर, अभिन्न के रैखिक गुणों को ध्यान में रखते हुए, हम पाते हैं: उदाहरण 5. अभिन्न 4 खोजें इंटीग्रैंड फ़ंक्शन तीसरे प्रकार का सबसे सरल अंश है, क्योंकि वर्ग त्रिपद x1 + Ax + 6 का कोई वास्तविक मूल नहीं है (इसका विभेदक) ऋणात्मक है: , और अंश में पहली डिग्री का बहुपद होता है, इसलिए, हम निम्नानुसार आगे बढ़ते हैं: 1) हर में एक पूर्ण वर्ग का चयन करें 2) एक अभिन्न अंग द्वारा प्रतिस्थापन (यहां 3) करें अभिन्न का पता लगाने के लिए। चौथे प्रकार का सबसे सरल भिन्न, हम ऊपर के अनुसार डालते हैं। फिर हम दाहिनी ओर ए द्वारा निरूपित इंटीग्रल प्राप्त करते हैं और इसे इस प्रकार रूपांतरित करते हैं: दाहिनी ओर का इंटीग्रल भागों द्वारा एकीकृत होता है, यह मानते हुए कि कहां से या तर्कसंगत कार्यों का एकीकरण तर्कसंगत कार्यों के बारे में संक्षिप्त जानकारी सरल भिन्नों का एकीकरण सामान्य मामला अपरिमेय का एकीकरण फ़ंक्शंस यूलर का पहला प्रतिस्थापन दूसरा यूलर प्रतिस्थापन तीसरा प्रतिस्थापन यूलर हमने तथाकथित आवर्ती सूत्र प्राप्त किया है, जो हमें किसी भी k = 2, 3 के लिए अभिन्न Jk खोजने की अनुमति देता है। .. . वास्तव में, अभिन्न J\ सारणीबद्ध है: पुनरावृत्ति सूत्र में डालने पर, हम जानना पाते हैं और A = 3 डालते हैं, हम आसानी से Jj पा सकते हैं और इसी तरह। अंतिम परिणाम में, हर जगह t और a के बजाय x और गुणांक p और q के संदर्भ में उनके भावों को प्रतिस्थापित करते हुए, हम प्रारंभिक अभिन्न अंग के लिए x और दिए गए नंबर M, LG, p, q के संदर्भ में इसकी अभिव्यक्ति प्राप्त करते हैं। उदाहरण 8. नया इंटीग्रल “इंटीग्रैंड फ़ंक्शन चौथे प्रकार का सबसे सरल अंश है, क्योंकि एक वर्ग ट्रिनोमियल का विभेदक नकारात्मक है, यानी। इसका मतलब यह है कि हर का कोई वास्तविक मूल नहीं है, और अंश पहली डिग्री का एक बहुपद है। 1) हम हर में एक पूर्ण वर्ग का चयन करते हैं 2) हम एक प्रतिस्थापन करते हैं: अभिन्न रूप लेगा: पुनरावृत्ति सूत्र * = 2, ए3 = 1 डालने पर हमारे पास होगा, और, इसलिए, वांछित अभिन्न बराबर है वेरिएबल x पर लौटने पर, हमें अंततः 7.3 प्राप्त होता है। पैराग्राफ के परिणामों से सामान्य मामला। इस खंड का 1 और 2 तुरंत एक महत्वपूर्ण प्रमेय का अनुसरण करता है। प्रमेय! 4. किसी भी तर्कसंगत फ़ंक्शन का अनिश्चित अभिन्न अंग हमेशा मौजूद होता है (अंतराल पर जिसमें अंश Q„(x) φ 0 का हर होता है) और प्रारंभिक कार्यों की एक सीमित संख्या के माध्यम से व्यक्त किया जाता है, अर्थात्, यह एक बीजगणितीय योग है, शर्तें जिनमें से केवल गुणा किया जा सकता है, परिमेय भिन्न, प्राकृतिक लघुगणक और चाप स्पर्शरेखा। अत: किसी भिन्नात्मक-तर्कसंगत फलन का अनिश्चित समाकलन ज्ञात करने के लिए निम्नलिखित तरीके से आगे बढ़ना चाहिए: 1) यदि परिमेय भिन्न अनुचित है, तो अंश को हर से विभाजित करके, पूरे भाग को अलग कर दिया जाता है, अर्थात, यह फलन एक बहुपद और एक उचित परिमेय भिन्न के योग के रूप में दर्शाया जाता है; 2) फिर परिणामी उचित भिन्न का हर रैखिक और द्विघात गुणनखंडों के गुणनफल में विघटित हो जाता है; 3) यह उचित भिन्न सरल भिन्नों के योग में विघटित हो जाता है; 4) समाकलन की रैखिकता और चरण 2 के सूत्रों का उपयोग करके, प्रत्येक पद के समाकलन अलग-अलग पाए जाते हैं। उदाहरण 7. पूर्णांक M ज्ञात कीजिए क्योंकि हर तीसरे क्रम का एक बहुपद है, समाकलन फलन एक अनुचित भिन्न है। हम इसमें पूरे भाग पर प्रकाश डालते हैं: इसलिए, हमारे पास होगा। एक उचित भिन्न के हर के अलग-अलग वास्तविक मूल होते हैं: और इसलिए सरल भिन्नों में इसके अपघटन का रूप होता है इसलिए हम पाते हैं। हर की जड़ों के बराबर तर्क x मान देते हुए, हम इस पहचान से पाते हैं कि: इसलिए, आवश्यक अभिन्न अंग उदाहरण 8 के बराबर होगा। अभिन्न 4 खोजें इंटीग्रैंड एक उचित भिन्न है, जिसका हर है दो अलग-अलग वास्तविक जड़ें: x - O 1 का गुणनफल और x = 1 का गुणन 3, इसलिए, समाकलन को सरल भिन्नों में विस्तारित करने का रूप इस समानता के दाहिने पक्ष को एक सामान्य हर में लाना और समानता के दोनों पक्षों को कम करना है इस हर से, हम या प्राप्त करते हैं। हम इस पहचान के बाएँ और दाएँ पक्षों पर x की समान शक्तियों के लिए गुणांकों को बराबर करते हैं: यहाँ से हम पाते हैं। विस्तार में गुणांकों के पाए गए मानों को प्रतिस्थापित करते हुए, हम पाएंगे: उदाहरण 9। अभिन्न 4 खोजें भिन्न के हर का कोई वास्तविक मूल नहीं है। इसलिए, सरल भिन्नों में समाकलन के विस्तार का रूप होता है इसलिए या इस पहचान के बाएँ और दाएँ पक्षों पर x की समान शक्तियों के लिए गुणांक को बराबर करना, जहाँ से हम पाते हैं और इसलिए, टिप्पणी। दिए गए उदाहरण में, इंटीग्रैंड फ़ंक्शन को सरल अंशों के योग के रूप में सरल तरीके से दर्शाया जा सकता है, अर्थात्, अंश के अंश में हम उस बाइनरी का चयन करते हैं जो हर में है, और फिर हम शब्द-दर-अवधि विभाजन करते हैं : §8. अपरिमेय कार्यों का एकीकरण उस रूप का एक फ़ंक्शन जहां Pm और £?„ चर uub2 में क्रमशः डिग्री प्रकार के बहुपद हैं,... को ubu2j का एक तर्कसंगत फ़ंक्शन कहा जाता है... उदाहरण के लिए, दूसरी डिग्री का एक बहुपद दो चरों में u\ और u2 का रूप है - कुछ वास्तविक स्थिरांक, और उदाहरण 1, फ़ंक्शन चर r और y का एक तर्कसंगत कार्य है, क्योंकि यह तीसरी डिग्री के बहुपद और तीसरे डिग्री के बहुपद के अनुपात का प्रतिनिधित्व करता है पाँचवीं डिग्री, लेकिन यह कोई नया कार्य नहीं है। उस स्थिति में जब चर, बदले में, चर x के फलन होते हैं: तब फलन ] को उदाहरण के फलनों का तर्कसंगत फलन कहा जाता है। एक फलन r और rvdikvlv pryaivr 3 का एक परिमेय फलन है। रूप का एक फलन x और मूलांक y/r1 + 1 का एक परिमेय फलन नहीं है, बल्कि यह फलनों का एक परिमेय फलन है, जैसा कि उदाहरण दिखाते हैं, अपरिमेय के अभिन्न अंग कार्यों को हमेशा प्राथमिक कार्यों के माध्यम से व्यक्त नहीं किया जाता है। उदाहरण के लिए, अनुप्रयोगों में अक्सर सामने आने वाले इंटीग्रल को प्राथमिक कार्यों के संदर्भ में व्यक्त नहीं किया जाता है; इन समाकलनों को क्रमशः पहले और दूसरे प्रकार के अण्डाकार समाकलन कहा जाता है। आइए उन मामलों पर विचार करें जब कुछ प्रतिस्थापनों की सहायता से, तर्कसंगत कार्यों के एकीकरण को तर्कसंगत कार्यों के एकीकरण तक कम किया जा सकता है। 1. मान लीजिए कि अभिन्न को खोजना आवश्यक है जहां R(x, y) इसके तर्क x और y का एक तर्कसंगत कार्य है; मी £2 - प्राकृतिक संख्या; a, 6, c, d वास्तविक स्थिरांक हैं जो शर्त ad - bc ^ O को संतुष्ट करते हैं (ad - be = 0 के लिए, गुणांक a और b गुणांक c और d के समानुपाती होते हैं, और इसलिए संबंध x पर निर्भर नहीं होता है) ; इसका मतलब यह है कि इस मामले में इंटीग्रैंड फ़ंक्शन वेरिएबल x का एक तर्कसंगत फ़ंक्शन होगा, जिसके एकीकरण पर पहले चर्चा की गई थी)। आइए इस अभिन्न में चर का परिवर्तन करें, इसलिए हम चर x को एक नए चर के माध्यम से व्यक्त करते हैं। हमारे पास x = - t का एक तर्कसंगत कार्य है। आगे हम पाते हैं या, सरलीकरण के बाद, इसलिए जहां A1 (t) * का एक तर्कसंगत कार्य है, क्योंकि एक तर्कसंगत फ़ंक्शन के तर्कसंगत फ़नडिया, साथ ही तर्कसंगत कार्यों के उत्पाद, तर्कसंगत कार्य हैं। हम जानते हैं कि तर्कसंगत कार्यों को कैसे एकीकृत किया जाए। माना तब आवश्यक समाकलन At के बराबर है। IvYti इंटीग्रल 4 एक इंटीग्रैंड* फ़ंक्शन का एक तर्कसंगत फ़ंक्शन है। इसलिए, हमने t = निर्धारित किया है, फिर तर्कसंगत कार्यों का एकीकरण, तर्कसंगत कार्यों के बारे में संक्षिप्त जानकारी, साधारण भिन्नों का एकीकरण, सामान्य मामला, अपरिमेय कार्यों का एकीकरण, यूलर का पहला प्रतिस्थापन, यूलर का दूसरा प्रतिस्थापन, यूलर का तीसरा प्रतिस्थापन, इस प्रकार, हम प्राइमर 5 प्राप्त करते हैं। अभिन्न का पता लगाएं, भिन्नात्मक का सामान्य हर x के घातांक 12 के बराबर हैं, इसलिए समाकलन फलन को 1 _ 1_ के रूप में दर्शाया जा सकता है जो दर्शाता है कि यह एक तर्कसंगत फलन है: इसे ध्यान में रखते हुए, आइए डालते हैं। नतीजतन, 2. उस फॉर्म के इंटेफ पर विचार करें जहां सबइंटेफल फ़ंक्शन ऐसा है कि इसमें रेडिकल \/ax2 + bx + c को y द्वारा प्रतिस्थापित करने पर, हमें एक फ़ंक्शन R(x) y) प्राप्त होता है - दोनों तर्क x के संबंध में तर्कसंगत और य. इस समाकलन को यूलर के प्रतिस्थापनों का उपयोग करके किसी अन्य चर के परिमेय फलन के समाकलन में घटा दिया जाता है। 8.1. यूलर का पहला प्रतिस्थापन मान लीजिए कि गुणांक a > 0 है। आइए सेट करें या इसलिए हम x को u के एक तर्कसंगत कार्य के रूप में पाते हैं, जिसका अर्थ है कि इस प्रकार, संकेतित प्रतिस्थापन * के संदर्भ में तर्कसंगत रूप से व्यक्त होता है। इसलिए, हमारी एक टिप्पणी होगी। पहले यूलर प्रतिस्थापन को उदाहरण 6 के रूप में भी लिया जा सकता है। आइए अभिन्न खोजें इसलिए, हमारे पास dx यूलर का प्रतिस्थापन होगा, दिखाएँ कि Y 8.2। यूलर का दूसरा प्रतिस्थापन मान लें कि त्रिपद ax2 + bx + c के अलग-अलग वास्तविक मूल R] और x2 हैं (गुणांक में कोई भी चिह्न हो सकता है)। इस मामले में, हम मानते हैं कि तब से हमें प्राप्त होता है चूँकि x,dxn y/ax2 + be + c को t के संदर्भ में तर्कसंगत रूप से व्यक्त किया जाता है, तो मूल अभिन्न एक तर्कसंगत फ़ंक्शन के अभिन्न अंग में कम हो जाता है, यानी जहां समस्या। यूलर के पहले प्रतिस्थापन का उपयोग करके दिखाएँ कि यह t का एक तर्कसंगत कार्य है। उदाहरण 7. अभिन्न dx M फलन ज्ञात कीजिए] - x1 के भिन्न-भिन्न वास्तविक मूल हैं। इसलिए, हम यहां से दूसरा यूलर प्रतिस्थापन लागू करते हैं। दिए गए भावों को प्रतिस्थापित करना। हमें 8.3 मिलता है। तृतीय यूलर सबस्टाकॉम मान लीजिए कि गुणांक c > 0 है। हम डालकर वेरिएबल में परिवर्तन करते हैं। ध्यान दें कि किसी परिमेय फलन के समाकलन में समाकलन को कम करने के लिए, पहला और दूसरा यूलर प्रतिस्थापन पर्याप्त हैं। वास्तव में, यदि विभेदक b2 -4ac > 0 है, तो द्विघात त्रिपद ax + bx + c की जड़ें वास्तविक हैं, और इस मामले में दूसरा यूलर प्रतिस्थापन लागू है। यदि, तो त्रिपद ax2 + bx + c का चिह्न गुणांक a के चिह्न से मेल खाता है, और चूँकि त्रिपद धनात्मक होना चाहिए, तो a > 0. इस मामले में, यूलर का पहला प्रतिस्थापन लागू होता है। ऊपर बताए गए प्रकार के इंटीग्रल्स को खोजने के लिए, यूलर के प्रतिस्थापनों का उपयोग करना हमेशा उचित नहीं होता है, क्योंकि उनके लिए एकीकरण के अन्य तरीकों को ढूंढना संभव है जो लक्ष्य को तेज़ी से ले जाते हैं। आइए इनमें से कुछ अभिन्नों पर विचार करें। 1. फॉर्म के इंटीग्रल्स को खोजने के लिए, वें ट्रिनोमियल के वर्ग से पूर्ण वर्ग को अलग करें: जहां इसके बाद, एक प्रतिस्थापन करें और प्राप्त करें जहां गुणांक ए और पी के अलग-अलग संकेत हैं या वे दोनों सकारात्मक हैं। के लिए, और a > 0 के लिए भी, समाकलन को लघुगणक में घटा दिया जाएगा, और यदि हां, तो आर्कसाइन में। पर। फिर imtegral 4 takkak ढूंढें। यह मानते हुए, हमें प्रमर 9 प्राप्त होता है। खोजें। मान लें कि x -, हमारे पास 2 होगा। फॉर्म का अभिन्न अंग निम्नानुसार चरण 1 से अभिन्न y तक कम हो जाता है। यह मानते हुए कि व्युत्पन्न ()" = 2, हम इसे अंश में हाइलाइट करते हैं: 4 हम अंश में मूल अभिव्यक्ति के व्युत्पन्न की पहचान करते हैं। चूँकि (x, तो हमारे पास उदाहरण 9, 3 के परिणाम को ध्यान में रखते हुए होगा। उस रूप के समाकलन जहां P„(x) एक बहुपद n -th डिग्री है, अनिश्चित गुणांकों की विधि द्वारा पाया जा सकता है, जिसमें निम्नलिखित शामिल हैं। आइए मान लें कि समानता उदाहरण 10 है। शक्तिशाली समाकलन जहां Qn-i (एस) अनिश्चित गुणांक के साथ (एन - 1) डिग्री का एक बहुपद है: अज्ञात गुणांक खोजने के लिए | हम (1) के दोनों पक्षों को अलग करते हैं: फिर हम समानता के दाहिने पक्ष (2) को एक सामान्य हर के बराबर कम करते हैं। बायीं ओर का हर, यानी y/ax2 + bx + c, (2) के दोनों पक्षों को कम करने से हम उस पहचान को प्राप्त करते हैं जिसमें दोनों पक्षों में डिग्री n के बहुपद होते हैं, x की समान डिग्री के लिए गुणांक को बराबर करते हैं (3) के बाएँ और दाएँ पक्ष, हमें n + 1 समीकरण प्राप्त होते हैं, जिससे हम उनके मानों को दाएँ पक्ष में प्रतिस्थापित करते हुए आवश्यक गुणांक j4*(fc = 0,1,2,..., n ) पाते हैं (1) का और समाकलन + सी ज्ञात करने पर हमें इस समाकलन का उत्तर प्राप्त होता है। उदाहरण 11. समाकल ज्ञात कीजिए आइए समानता के दोनों सूटों को अलग करते हुए, दाईं ओर को एक सामान्य हर में लाएं और इसके द्वारा दोनों पक्षों को कम करने पर, हमें पहचान मिलती है या। x की समान शक्तियों पर गुणांकों को बराबर करने पर, हम समीकरणों की एक प्रणाली पर पहुंचते हैं जिससे हम पाते हैं = फिर हम समानता के दाईं ओर अभिन्न पाते हैं (4): नतीजतन, आवश्यक अभिन्न अंग के बराबर होगा

अपरिमेय कार्यों (मूलों) को एकीकृत करने की बुनियादी विधियाँ दी गई हैं। उनमें शामिल हैं: रैखिक भिन्नात्मक अतार्किकता का एकीकरण, विभेदक द्विपद, एक वर्ग त्रिपद के वर्गमूल के साथ अभिन्न। त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन और यूलर प्रतिस्थापन दिए गए हैं। प्रारंभिक कार्यों के माध्यम से व्यक्त कुछ अण्डाकार अभिन्नों पर विचार किया जाता है।

सामग्री

विभेदक द्विपद से समाकलन

विभेदक द्विपदों के समाकलनों का रूप होता है:
,
जहाँ m, n, p परिमेय संख्याएँ हैं, a, b वास्तविक संख्याएँ हैं।
ऐसे समाकलन तीन मामलों में तर्कसंगत कार्यों के समाकलन में बदल जाते हैं।

1) यदि p एक पूर्णांक है। प्रतिस्थापन x = t N, जहाँ N भिन्न m और n का उभयनिष्ठ हर है।
2) यदि - एक पूर्णांक. प्रतिस्थापन a x n + b = t M, जहां M संख्या p का हर है।
3) यदि - एक पूर्णांक. प्रतिस्थापन a + b x - n = t M, जहां M संख्या p का हर है।

अन्य मामलों में, ऐसे अभिन्न अंग प्राथमिक कार्यों के माध्यम से व्यक्त नहीं किए जाते हैं।

कभी-कभी ऐसे अभिन्नों को कमी सूत्रों का उपयोग करके सरल बनाया जा सकता है:
;
.

एक वर्ग त्रिपद के वर्गमूल वाले समाकलन

ऐसे अभिन्नों का रूप है:
,
जहाँ R एक परिमेय फलन है। ऐसे प्रत्येक अभिन्न अंग के लिए इसे हल करने की कई विधियाँ हैं।
1) परिवर्तनों का उपयोग करने से सरल अभिन्न अंग बनते हैं।
2) त्रिकोणमितीय या अतिपरवलयिक प्रतिस्थापन लागू करें.
3) यूलर प्रतिस्थापन लागू करें.

आइए इन तरीकों को अधिक विस्तार से देखें।

1) इंटीग्रैंड फ़ंक्शन का परिवर्तन

सूत्र को लागू करने और बीजगणितीय परिवर्तन करने से, हम इंटीग्रैंड फ़ंक्शन को इस रूप में कम करते हैं:
,
जहां φ(x), ω(x) परिमेय फलन हैं।

टाइप I

प्रपत्र का अभिन्न अंग:
,
जहाँ P n (x) घात n वाला एक बहुपद है।

ऐसे अभिन्न अंग पहचान का उपयोग करके अनिश्चित गुणांक की विधि द्वारा पाए जाते हैं:

.
इस समीकरण को विभेदित करने और बाएँ और दाएँ पक्षों को बराबर करने पर, हम गुणांक A i पाते हैं।

टाइप II

प्रपत्र का अभिन्न अंग:
,
जहाँ P m (x) घात m का एक बहुपद है।

प्रतिस्थापन टी = (एक्स - α) -1यह अभिन्न अंग पिछले प्रकार से कम हो गया है। यदि m ≥ n, तो भिन्न में एक पूर्णांक भाग होना चाहिए।

तृतीय प्रकार

यहां हम प्रतिस्थापन करते हैं:
.
जिसके बाद अभिन्न रूप लेगा:
.
इसके बाद, स्थिरांक α, β को इस प्रकार चुना जाना चाहिए कि हर में t के लिए गुणांक शून्य हो जाए:
बी = 0, बी 1 = 0.
फिर अभिन्न दो प्रकार के अभिन्नों के योग में विघटित हो जाता है:
,
,
जो प्रतिस्थापन द्वारा एकीकृत हैं:
यू 2 = ए 1 टी 2 + सी 1,
वी 2 = ए 1 + सी 1 टी -2 .

2) त्रिकोणमितीय और अतिशयोक्तिपूर्ण प्रतिस्थापन

फॉर्म के इंटीग्रल के लिए, ए > 0 ,
हमारे पास तीन मुख्य प्रतिस्थापन हैं:
;
;
;

इंटीग्रल के लिए, ए > 0 ,
हमारे पास निम्नलिखित प्रतिस्थापन हैं:
;
;
;

और अंत में, अभिन्नों के लिए, ए > 0 ,
प्रतिस्थापन इस प्रकार हैं:
;
;
;

3) यूलर प्रतिस्थापन

इसके अलावा, इंटीग्रल्स को तीन यूलर प्रतिस्थापनों में से एक के तर्कसंगत कार्यों के इंटीग्रल्स में कम किया जा सकता है:
, एक > 0 के लिए;
, सी > 0 के लिए ;
, जहां x 1 समीकरण a x 2 + b x + c = 0 का मूल है। यदि इस समीकरण की जड़ें वास्तविक हैं।

अण्डाकार अभिन्न

निष्कर्ष में, प्रपत्र के अभिन्न अंग पर विचार करें:
,
जहाँ R एक परिमेय फलन है। ऐसे अभिन्नों को अण्डाकार कहा जाता है। सामान्य तौर पर, उन्हें प्राथमिक कार्यों के माध्यम से व्यक्त नहीं किया जाता है। हालाँकि, ऐसे मामले हैं जब गुणांक ए, बी, सी, डी, ई के बीच संबंध होते हैं, जिसमें ऐसे अभिन्न अंग प्राथमिक कार्यों के माध्यम से व्यक्त किए जाते हैं।

नीचे प्रतिवर्ती बहुपद से संबंधित एक उदाहरण दिया गया है। ऐसे अभिन्नों की गणना प्रतिस्थापनों का उपयोग करके की जाती है:
.