बच्चों के लिए ज्वरनाशक दवाएं बाल रोग विशेषज्ञ द्वारा निर्धारित की जाती हैं। लेकिन बुखार के साथ आपातकालीन स्थितियाँ होती हैं जब बच्चे को तुरंत दवा देने की आवश्यकता होती है। तब माता-पिता जिम्मेदारी लेते हैं और ज्वरनाशक दवाओं का उपयोग करते हैं। शिशुओं को क्या देने की अनुमति है? आप बड़े बच्चों में तापमान कैसे कम कर सकते हैं? कौन सी दवाएँ सबसे सुरक्षित हैं?
संक्षिप्त गुणन सूत्र (एफएमएफ) का उपयोग संख्याओं और अभिव्यक्तियों को घातांकित और गुणा करने के लिए किया जाता है। अक्सर ये सूत्र आपको अधिक संक्षिप्त और शीघ्रता से गणना करने की अनुमति देते हैं।
इस लेख में हम संक्षिप्त गुणन के लिए मूल सूत्रों को सूचीबद्ध करेंगे, उन्हें एक तालिका में समूहित करेंगे, इन सूत्रों का उपयोग करने के उदाहरणों पर विचार करेंगे, और संक्षिप्त गुणन के लिए सूत्रों के प्रमाण के सिद्धांतों पर भी ध्यान देंगे।
पहली बार, एफएसयू के विषय को 7वीं कक्षा के बीजगणित पाठ्यक्रम के ढांचे के भीतर माना जाता है। नीचे 7 बुनियादी सूत्र दिए गए हैं।
संक्षिप्त गुणन सूत्र
- योग के वर्ग का सूत्र: a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2
- वर्ग अंतर सूत्र: ए - बी 2 = ए 2 - 2 ए बी + बी 2
- योग घन सूत्र: a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3
- अंतर घन सूत्र: ए - बी 3 = ए 3 - 3 ए 2 बी + 3 ए बी 2 - बी 3
- वर्ग अंतर सूत्र: a 2 - b 2 = a - b a + b
- घनों के योग का सूत्र: a 3 + b 3 = a + b a 2 - a b + b 2
- घनों के अंतर का सूत्र: a 3 - b 3 = a - b a 2 + a b + b 2
इन भावों में अक्षर a, b, c कोई भी संख्या, चर या भाव हो सकते हैं। उपयोग में आसानी के लिए सात बुनियादी सूत्रों को याद करना बेहतर है। आइए उन्हें एक मेज पर रखें और उन्हें एक फ्रेम से घेरकर नीचे प्रस्तुत करें।
पहले चार सूत्र आपको क्रमशः दो भावों के योग या अंतर के वर्ग या घन की गणना करने की अनुमति देते हैं।
पाँचवाँ सूत्र भावों के वर्गों के योग और अंतर को गुणा करके उनके अंतर की गणना करता है।
छठा और सातवां सूत्र क्रमशः भावों के योग और अंतर को अंतर के अपूर्ण वर्ग और योग के अपूर्ण वर्ग से गुणा करना है।
संक्षिप्त गुणन सूत्र को कभी-कभी संक्षिप्त गुणन सर्वसमिका भी कहा जाता है। यह आश्चर्य की बात नहीं है, क्योंकि प्रत्येक समानता एक पहचान है।
व्यावहारिक उदाहरणों को हल करते समय, बाएँ और दाएँ पक्षों की अदला-बदली के साथ संक्षिप्त गुणन सूत्रों का अक्सर उपयोग किया जाता है। बहुपद का गुणनखंड करते समय यह विशेष रूप से सुविधाजनक होता है।
अतिरिक्त संक्षिप्त गुणन सूत्र
आइए स्वयं को 7वीं कक्षा के बीजगणित पाठ्यक्रम तक सीमित न रखें और अपनी एफएसयू तालिका में कुछ और सूत्र जोड़ें।
सबसे पहले, आइए न्यूटन के द्विपद सूत्र को देखें।
ए + बी एन = सी एन 0 · ए एन + सी एन 1 · ए एन - 1 · बी + सी एन 2 · ए एन - 2 · बी 2 +। . + सी एन एन - 1 · ए · बी एन - 1 + सी एन एन · बी एन
यहाँ C n k द्विपद गुणांक हैं जो पास्कल के त्रिभुज में पंक्ति संख्या n में दिखाई देते हैं। द्विपद गुणांक की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है:
सी एन के = एन ! क! · (एन - के) ! = एन (एन - 1) (एन - 2) . . (एन - (के - 1)) के !
जैसा कि हम देख सकते हैं, अंतर और योग के वर्ग और घन के लिए एफएसएफ क्रमशः n=2 और n=3 के लिए न्यूटन द्विपद सूत्र का एक विशेष मामला है।
लेकिन क्या होगा यदि योग में दो से अधिक पद हों जिन्हें एक घात तक बढ़ाने की आवश्यकता हो? तीन, चार या अधिक पदों के योग का वर्ग निकालने का सूत्र उपयोगी होगा।
ए 1 + ए 2 + . . + ए एन 2 = ए 1 2 + ए 2 2 +। . + ए एन 2 + 2 ए 1 ए 2 + 2 ए 1 ए 3 +। . + 2 ए 1 ए एन + 2 ए 2 ए 3 + 2 ए 2 ए 4 +। . + 2 ए 2 ए एन + 2 ए एन - 1 ए एन
एक अन्य सूत्र जो उपयोगी हो सकता है वह दो पदों की nवीं घातों के बीच अंतर का सूत्र है।
ए एन - बी एन = ए - बी ए एन - 1 + ए एन - 2 बी + ए एन - 3 बी 2 +। . + ए 2 बी एन - 2 + बी एन - 1
इस सूत्र को आमतौर पर दो सूत्रों में विभाजित किया जाता है - क्रमशः सम और विषम घातों के लिए।
सम 2m संकेतकों के लिए:
ए 2 एम - बी 2 एम = ए 2 - बी 2 ए 2 एम - 2 + ए 2 एम - 4 बी 2 + ए 2 एम - 6 बी 4 +। . + बी 2 एम - 2
विषम घातांक 2m+1 के लिए:
ए 2 एम + 1 - बी 2 एम + 1 = ए 2 - बी 2 ए 2 एम + ए 2 एम - 1 बी + ए 2 एम - 2 बी 2 +। . + बी 2 मी
वर्गों का अंतर और घन सूत्रों का अंतर, जैसा कि आपने अनुमान लगाया, क्रमशः n = 2 और n = 3 के लिए इस सूत्र के विशेष मामले हैं। घनों के अंतर के लिए, b को - b से भी प्रतिस्थापित किया जाता है।
संक्षिप्त गुणन सूत्र कैसे पढ़ें?
हम प्रत्येक सूत्र के लिए उपयुक्त सूत्र देंगे, लेकिन पहले हम सूत्र पढ़ने के सिद्धांत को समझेंगे। ऐसा करने का सबसे सुविधाजनक तरीका एक उदाहरण है। आइए दो संख्याओं के योग के वर्ग के लिए सबसे पहला सूत्र लें।
ए + बी 2 = ए 2 + 2 ए बी + बी 2।
वे कहते हैं: दो अभिव्यक्तियों ए और बी के योग का वर्ग पहली अभिव्यक्ति के वर्ग के योग के बराबर है, अभिव्यक्ति के उत्पाद और दूसरी अभिव्यक्ति के वर्ग के दोगुने के बराबर है।
अन्य सभी सूत्र इसी प्रकार पढ़े जाते हैं। अंतर के वर्ग के लिए a - b 2 = a 2 - 2 a b + b 2 हम लिखते हैं:
दो अभिव्यक्तियों a और b के बीच अंतर का वर्ग इन अभिव्यक्तियों के वर्गों के योग के बराबर है जिसमें पहली और दूसरी अभिव्यक्तियों के गुणनफल का दोगुना घटाया जाता है।
आइए सूत्र पढ़ें a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3. दो भावों a और b के योग का घन इन भावों के घनों के योग के बराबर है, पहले भाव के वर्ग के गुणनफल को दूसरे से तीन गुना और दूसरे भाव के वर्ग के गुणनफल को दूसरे से तीन गुना कर दें। पहली अभिव्यक्ति.
आइए घनों के अंतर के सूत्र को पढ़ने के लिए आगे बढ़ें a - b 3 = a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3. दो अभिव्यक्तियों a और b के बीच अंतर का घन पहली अभिव्यक्ति के घन के बराबर होता है, जिसमें पहली अभिव्यक्ति और दूसरे के वर्ग का त्रिगुण गुणनफल, साथ ही दूसरी अभिव्यक्ति और पहली अभिव्यक्ति के वर्ग का त्रिगुण गुणनफल होता है। , दूसरी अभिव्यक्ति का घन घटा।
पाँचवाँ सूत्र a 2 - b 2 = a - b a + b (वर्गों का अंतर) इस प्रकार है: दो भावों के वर्गों का अंतर दो भावों के अंतर और योग के गुणनफल के बराबर होता है।
सुविधा के लिए, a 2 + a b + b 2 और a 2 - a b + b 2 जैसे भावों को क्रमशः योग का अपूर्ण वर्ग और अंतर का अपूर्ण वर्ग कहा जाता है।
इसे ध्यान में रखते हुए, घनों के योग और अंतर के सूत्र इस प्रकार पढ़े जा सकते हैं:
दो भावों के घनों का योग इन भावों के योग और उनके अंतर के आंशिक वर्ग के गुणनफल के बराबर होता है।
दो भावों के घनों के बीच का अंतर इन भावों के बीच के अंतर और उनके योग के आंशिक वर्ग के गुणनफल के बराबर होता है।
एफएसयू प्रमाण
एफएसयू को साबित करना काफी सरल है। गुणन के गुणों के आधार पर हम कोष्ठक में दिए गए सूत्रों के भागों को गुणा करेंगे।
उदाहरण के लिए, वर्ग अंतर के सूत्र पर विचार करें।
ए - बी 2 = ए 2 - 2 ए बी + बी 2।
किसी व्यंजक को दूसरी घात तक बढ़ाने के लिए, आपको इस व्यंजक को उसी से गुणा करना होगा।
ए - बी 2 = ए - बी ए - बी।
आइए कोष्ठक का विस्तार करें:
ए - बी ए - बी = ए 2 - ए बी - बी ए + बी 2 = ए 2 - 2 ए बी + बी 2।
सूत्र सिद्ध है. शेष एफएसयू इसी प्रकार सिद्ध हैं।
एफएसयू आवेदन के उदाहरण
संक्षिप्त गुणन सूत्रों का उपयोग करने का उद्देश्य तेजी से और संक्षिप्त रूप से गुणा करना और अभिव्यक्ति को घात तक बढ़ाना है। हालाँकि, यह एफएसयू के आवेदन का संपूर्ण दायरा नहीं है। इनका व्यापक रूप से व्यंजकों को कम करने, भिन्नों को कम करने और बहुपदों का गुणनखंड करने में उपयोग किया जाता है। चलिए उदाहरण देते हैं.
उदाहरण 1. एफएसयू
आइए अभिव्यक्ति 9 y - (1 + 3 y) 2 को सरल बनाएं।
आइए वर्गों का योग सूत्र लागू करें और प्राप्त करें:
9 y - (1 + 3 y) 2 = 9 y - (1 + 6 y + 9 y 2) = 9 y - 1 - 6 y - 9 y 2 = 3 y - 1 - 9 y 2
उदाहरण 2. एफएसयू
आइए अंश 8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 को कम करें।
हम ध्यान देते हैं कि अंश में अभिव्यक्ति घनों का अंतर है, और हर में वर्गों का अंतर है।
8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 = 2 x - z (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x - z 2 x + z।
हम कम करते हैं और प्राप्त करते हैं:
8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 = (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x + z
एफएसयू अभिव्यक्ति के मूल्यों की गणना करने में भी मदद करते हैं। मुख्य बात यह ध्यान देने में सक्षम होना है कि सूत्र को कहां लागू करना है। आइए इसे एक उदाहरण से दिखाते हैं.
आइए संख्या 79 का वर्ग करें। बोझिल गणनाओं के बजाय, आइए लिखें:
79 = 80 - 1 ; 79 2 = 80 - 1 2 = 6400 - 160 + 1 = 6241 .
ऐसा प्रतीत होता है कि संक्षिप्त गुणन सूत्रों और गुणन तालिका का उपयोग करके एक जटिल गणना शीघ्रता से की जाती है।
एक अन्य महत्वपूर्ण बिंदु द्विपद के वर्ग का चयन है। अभिव्यक्ति 4 x 2 + 4 x - 3 को 2 x 2 + 2 · 2 · x · 1 + 1 2 - 4 = 2 x + 1 2 - 4 में परिवर्तित किया जा सकता है। एकीकरण में ऐसे परिवर्तनों का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।
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बड़े बीजगणितीय अभिव्यक्तियों के मूल्यांकन की प्रक्रिया को तेज करने के लिए, संक्षिप्त गुणन सूत्रों या नियमों का उपयोग अंकगणित में, या अधिक विशेष रूप से बीजगणित में किया जाता है। सूत्र स्वयं कई बहुपदों को गुणा करने के लिए बीजगणित में मौजूद नियमों से प्राप्त होते हैं।
इन सूत्रों का उपयोग विभिन्न गणितीय समस्याओं का काफी त्वरित समाधान प्रदान करता है, और अभिव्यक्तियों को सरल बनाने में भी मदद करता है। बीजगणितीय परिवर्तनों के नियम आपको अभिव्यक्तियों के साथ कुछ हेरफेर करने की अनुमति देते हैं, जिसके बाद आप समानता के बाईं ओर दाईं ओर अभिव्यक्ति प्राप्त कर सकते हैं, या समानता के दाईं ओर रूपांतरित कर सकते हैं (बाईं ओर अभिव्यक्ति प्राप्त करने के लिए) बराबर चिह्न के बाद)।
स्मृति से संक्षिप्त गुणन के लिए उपयोग किए जाने वाले सूत्रों को जानना सुविधाजनक है, क्योंकि इनका उपयोग अक्सर समस्याओं और समीकरणों को हल करने में किया जाता है। इस सूची में शामिल मुख्य सूत्र और उनके नाम नीचे दिए गए हैं।
योग का वर्ग
योग के वर्ग की गणना करने के लिए, आपको पहले पद के वर्ग का योग ज्ञात करना होगा, जो पहले पद और दूसरे पद के गुणनफल का दोगुना और दूसरे पद का वर्ग हो। व्यंजक के रूप में इस नियम को इस प्रकार लिखा जाता है: (a + c)² = a² + 2ac + c².
वर्गाकार अंतर
अंतर के वर्ग की गणना करने के लिए, आपको पहली संख्या के वर्ग, पहली संख्या के गुणनफल का दोगुना और दूसरी (विपरीत चिह्न के साथ लिया गया) और दूसरी संख्या के वर्ग के योग की गणना करने की आवश्यकता है। व्यंजक के रूप में यह नियम इस प्रकार दिखता है: (a - c)² = a² - 2ac + c².
वर्गों का अंतर
दो संख्याओं के वर्ग अंतर का सूत्र इन संख्याओं के योग और उनके अंतर के गुणनफल के बराबर होता है। अभिव्यक्ति के रूप में यह नियम इस प्रकार दिखता है: a² - с² = (a + с)·(a - с).
योग का घन
दो पदों के योग के घन की गणना करने के लिए, आपको पहले पद के घन के योग की गणना करनी होगी, पहले पद और दूसरे के वर्ग के गुणनफल को तीन गुना करना होगा, पहले पद और दूसरे पद के वर्ग के गुणनफल को तीन गुना करना होगा। वर्ग, और दूसरे पद का घन। व्यंजक के रूप में यह नियम इस प्रकार दिखता है: (a + c)³ = a³ + 3a²c + 3ac² + c³.
घनों का योग
सूत्र के अनुसार, यह इन पदों के योग और उनके अपूर्ण वर्ग अंतर के गुणनफल के बराबर है। अभिव्यक्ति के रूप में यह नियम इस प्रकार दिखता है: a³ + c³ = (a + c)·(a² - ac + c²).
उदाहरण।दो घनों को जोड़ने पर जो आकृति बनती है उसका आयतन ज्ञात करना आवश्यक है। केवल उनकी भुजाओं का आकार ही ज्ञात है।
यदि पार्श्व मान छोटे हैं, तो गणनाएँ सरल हैं।
यदि भुजाओं की लंबाई बोझिल संख्याओं में व्यक्त की जाती है, तो इस मामले में "घन का योग" सूत्र का उपयोग करना आसान है, जो गणना को बहुत सरल बना देगा।
अंतर घन
घन अंतर के लिए अभिव्यक्ति इस प्रकार है: पहले पद की तीसरी शक्ति के योग के रूप में, पहले पद के वर्ग के ऋणात्मक उत्पाद को दूसरे से तीन गुना करें, पहले पद के उत्पाद को दूसरे के वर्ग से तीन गुना करें और दूसरे पद का ऋणात्मक घन। गणितीय अभिव्यक्ति के रूप में, अंतर का घन इस तरह दिखता है: (a - c)³ = a³ - 3a²c + 3ac² - c³।
घनों का अंतर
घन सूत्र का अंतर घनों के योग से केवल एक चिह्न से भिन्न होता है। इस प्रकार, घनों का अंतर इन संख्याओं के अंतर और उनके योग के अपूर्ण वर्ग के गुणनफल के बराबर एक सूत्र है। रूप में, घनों का अंतर इस प्रकार दिखता है: a 3 - c 3 = (a - c)(a 2 + ac + c 2)।
उदाहरण।नीले घन के आयतन से पीली आयतन आकृति, जो कि एक घन भी है, को घटाने के बाद जो आकृति बचेगी, उसके आयतन की गणना करना आवश्यक है। छोटे और बड़े घन का केवल पार्श्व आकार ही ज्ञात है।
यदि पार्श्व मान छोटे हैं, तो गणनाएँ काफी सरल हैं। और यदि भुजाओं की लंबाई महत्वपूर्ण संख्याओं में व्यक्त की जाती है, तो यह "घन का अंतर" (या "अंतर का घन") नामक सूत्र को लागू करने के लायक है, जो गणना को बहुत सरल बना देगा।
संक्षिप्त गुणन सूत्र.
संक्षिप्त गुणन सूत्रों का अध्ययन: योग का वर्ग और दो भावों के अंतर का वर्ग; दो भावों के वर्गों का अंतर; दो भावों के योग का घन और अंतर का घन; दो भावों के घनों का योग और अंतर।
उदाहरणों को हल करते समय संक्षिप्त गुणन सूत्रों का अनुप्रयोग।
व्यंजकों, गुणनखंड बहुपदों को सरल बनाने और बहुपदों को मानक रूप में लाने के लिए संक्षिप्त गुणन सूत्रों का उपयोग किया जाता है। संक्षिप्त गुणन सूत्रों को हृदय से जानना आवश्यक है.
मान लीजिए a, b R. फिर:
1. दो भावों के योग का वर्ग बराबर होता हैपहली अभिव्यक्ति का वर्ग जोड़ पहली अभिव्यक्ति के गुणनफल का दोगुना और दूसरा प्लस दूसरी अभिव्यक्ति का वर्ग।
(ए + बी) 2 = ए 2 + 2 एबी + बी 2
2. दो भावों के अंतर का वर्ग बराबर होता हैपहले व्यंजक का वर्ग घटाकर पहले व्यंजक के गुणनफल का दोगुना और दूसरे का जोड़ दूसरे व्यंजक के गुणनफल का दोगुना।
(ए - बी) 2 = ए 2 - 2एबी + बी 2
3. वर्गों का अंतरदो भाव इन भावों के अंतर और उनके योग के गुणनफल के बराबर हैं।
ए 2 - बी 2 = (ए -बी) (ए+बी)
4. योग का घनदो अभिव्यक्तियाँ पहली अभिव्यक्ति के घन के बराबर होती हैं और पहली अभिव्यक्ति के वर्ग के गुणनफल के तिगुने के बराबर होती हैं और दूसरी अभिव्यक्ति के वर्ग के गुणनफल के तिगुने के बराबर होती हैं और दूसरी अभिव्यक्ति के वर्ग के गुणनफल के तिगुने के बराबर होती हैं और दूसरी अभिव्यक्ति के वर्ग के गुणनफल के तिगुने के बराबर होती हैं।
(ए + बी) 3 = ए 3 + 3ए 2 बी + 3एबी 2 + बी 3
5. अंतर घनदो अभिव्यक्तियाँ पहली अभिव्यक्ति के घन के बराबर होती हैं जिसमें पहली अभिव्यक्ति के वर्ग के गुणनफल का तीन गुना घटा होता है और दूसरे का जोड़ पहली अभिव्यक्ति के गुणनफल का तीन गुना होता है और दूसरे के वर्ग का गुणनफल दूसरी अभिव्यक्ति के घन से तीन गुना घटा होता है।
(ए - बी) 3 = ए 3 - 3ए 2 बी + 3एबी 2 - बी 3
6. घनों का योगदो भाव पहले और दूसरे भाव के योग के गुणनफल और इन भावों के अंतर के अपूर्ण वर्ग के बराबर हैं।
ए 3 + बी 3 = (ए + बी) (ए 2 - एबी + बी 2)
7. घनों का अंतरदो भाव इन भावों के योग के अपूर्ण वर्ग द्वारा पहले और दूसरे भाव के अंतर के उत्पाद के बराबर हैं।
ए 3 - बी 3 = (ए - बी) (ए 2 + एबी + बी 2)
उदाहरणों को हल करते समय संक्षिप्त गुणन सूत्रों का अनुप्रयोग।
उदाहरण 1।
गणना
a) दो भावों के योग के वर्ग के सूत्र का उपयोग करने पर, हमें प्राप्त होता है
(40+1) 2 = 40 2 + 2 40 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681
बी) दो भावों के अंतर के वर्ग के सूत्र का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं
98 2 = (100 - 2) 2 = 100 2 - 2 100 2 + 2 2 = 10000 - 400 + 4 = 9604
उदाहरण 2.
गणना
दो भावों के वर्गों के अंतर के सूत्र का उपयोग करने पर, हम पाते हैं
उदाहरण 3.
एक अभिव्यक्ति को सरल बनाएं
(एक्स - वाई) 2 + (एक्स + वाई) 2
आइए दो भावों के योग के वर्ग और अंतर के वर्ग के लिए सूत्रों का उपयोग करें
(x - y) 2 + (x + y) 2 = x 2 - 2xy + y 2 + x 2 + 2xy + y 2 = 2x 2 + 2y 2
एक तालिका में संक्षिप्त गुणन सूत्र:
(ए + बी) 2 = ए 2 + 2 एबी + बी 2
(ए - बी) 2 = ए 2 - 2एबी + बी 2
ए 2 - बी 2 = (ए - बी) (ए+बी)
(ए + बी) 3 = ए 3 + 3ए 2 बी + 3एबी 2 + बी 3
(ए - बी) 3 = ए 3 - 3ए 2 बी + 3एबी 2 - बी 3
ए 3 + बी 3 = (ए + बी) (ए 2 - एबी + बी 2)
ए 3 - बी 3 = (ए - बी) (ए 2 + एबी + बी 2)
वर्गों का अंतर
आइए वर्गों के अंतर के लिए सूत्र $a^2-b^2$ प्राप्त करें।
ऐसा करने के लिए, निम्नलिखित नियम याद रखें:
यदि हम व्यंजक में कोई एकपदी जोड़ते हैं और उसी एकपदी को घटाते हैं, तो हमें सही पहचान मिलती है।
आइए अपनी अभिव्यक्ति में जोड़ें और इसमें से एकपदी $ab$ घटाएं:
कुल मिलाकर, हमें मिलता है:
अर्थात्, दो एकपदों के वर्गों के बीच का अंतर उनके अंतर और उनके योग के गुणनफल के बराबर होता है।
उदाहरण 1
उत्पाद $(4x)^2-y^2$ के रूप में प्रस्तुत करें
\[(4x)^2-y^2=((2x))^2-y^2\]
\[((2x))^2-y^2=\left(2x-y\right)(2x+y)\]
घनों का योग
आइए हम घनों के योग के लिए सूत्र $a^3+b^3$ प्राप्त करें।
आइए सामान्य कारकों को कोष्ठक से बाहर निकालें:
आइए $\left(a+b\right)$ को कोष्ठक से बाहर निकालें:
कुल मिलाकर, हमें मिलता है:
अर्थात्, दो एकपदों के घनों का योग उनके योग और उनके अंतर के अपूर्ण वर्ग के गुणनफल के बराबर होता है।
उदाहरण 2
उत्पाद $(8x)^3+y^3$ के रूप में प्रस्तुत करें
इस अभिव्यक्ति को इस प्रकार पुनः लिखा जा सकता है:
\[(8x)^3+y^3=((2x))^3+y^3\]
वर्गों के अंतर के सूत्र का उपयोग करके, हम पाते हैं:
\[((2x))^3+y^3=\left(2x+y\right)(4x^2-2xy+y^2)\]
घनों का अंतर
आइए हम घनों के अंतर का सूत्र $a^3-b^3$ प्राप्त करें।
ऐसा करने के लिए, हम ऊपर बताए गए समान नियम का उपयोग करेंगे।
आइए अपनी अभिव्यक्ति में जोड़ें और इसमें से एकपदी $a^2b\ और\ (ab)^2$ घटाएं:
आइए सामान्य कारकों को कोष्ठक से बाहर निकालें:
आइए $\left(a-b\right)$ को कोष्ठक से बाहर निकालें:
कुल मिलाकर, हमें मिलता है:
अर्थात्, दो एकपदों के घनों का अंतर उनके योग के अपूर्ण वर्ग द्वारा उनके अंतर के गुणनफल के बराबर होता है।
उदाहरण 3
उत्पाद $(8x)^3-y^3$ के रूप में प्रस्तुत करें
इस अभिव्यक्ति को इस प्रकार पुनः लिखा जा सकता है:
\[(8x)^3-y^3=((2x))^3-y^3\]
वर्गों के अंतर के सूत्र का उपयोग करके, हम पाते हैं:
\[((2x))^3-y^3=\left(2x-y\right)(4x^2+2xy+y^2)\]
वर्गों के अंतर और घनों के योग और अंतर के लिए सूत्रों का उपयोग करने वाली समस्याओं का उदाहरण
उदाहरण 4
गुणनखंडन करें।
ए) $((ए+5))^2-9$
ग) $-x^3+\frac(1)(27)$
समाधान:
ए) $((ए+5))^2-9$
\[(((a+5))^2-9=(a+5))^2-3^2\]
वर्गों के अंतर के सूत्र को लागू करने पर, हमें मिलता है:
\[((a+5))^2-3^2=\left(a+5-3\right)\left(a+5+3\right)=\left(a+2\right)(a +8)\]
आइए इस अभिव्यक्ति को इस रूप में लिखें:
आइए घनों का सूत्र लागू करें:
ग) $-x^3+\frac(1)(27)$
आइए इस अभिव्यक्ति को इस रूप में लिखें:
\[-x^3+\frac(1)(27)=(\left(\frac(1)(3)\right))^3-x^3\]
आइए घनों का सूत्र लागू करें:
\[(\left(\frac(1)(3)\right))^3-x^3=\left(\frac(1)(3)-x\right)\left(\frac(1)( 9)+\frac(x)(3)+x^2\right)\]
पिछले पाठों में, हमने एक बहुपद का गुणनखंड करने के दो तरीकों पर ध्यान दिया: सामान्य गुणनखंड को कोष्ठक से बाहर रखना और समूहीकरण विधि।
इस पाठ में हम एक बहुपद का गुणनखंड करने का दूसरा तरीका देखेंगे संक्षिप्त गुणन सूत्रों का उपयोग करना.
हमारा सुझाव है कि आप प्रत्येक सूत्र को कम से कम 12 बार लिखें। बेहतर याद रखने के लिए, सभी संक्षिप्त गुणन सूत्रों को एक छोटी चीट शीट पर लिख लें।
आइए याद रखें कि घन सूत्र का अंतर कैसा दिखता है।
ए 3 − बी 3 = (ए − बी)(ए 2 + एबी + बी 2)घन सूत्र का अंतर याद रखना बहुत आसान नहीं है, इसलिए हम इसे याद करने के लिए एक विशेष विधि का उपयोग करने की सलाह देते हैं।
यह समझना महत्वपूर्ण है कि कोई भी संक्षिप्त गुणन सूत्र भी काम करता है विपरीत पक्ष.
(ए - बी)(ए 2 + एबी + बी 2) = ए 3 - बी 3आइए एक उदाहरण देखें. घनों के अंतर का गुणनखंड करना आवश्यक है।
कृपया ध्यान दें कि "27ए 3" "(3ए) 3" है, जिसका अर्थ है कि घन सूत्र के अंतर के लिए, "ए" के बजाय हम "3ए" का उपयोग करते हैं।
हम घनों के अंतर के सूत्र का उपयोग करते हैं। "ए 3" के स्थान पर हमारे पास "27ए 3" है, और "बी 3" के स्थान पर, जैसा कि सूत्र में है, "बी 3" है।
घनों का अंतर विपरीत दिशा में लगाना
आइए एक और उदाहरण देखें. आपको संक्षिप्त गुणन सूत्र का उपयोग करके बहुपदों के गुणनफल को घनों के अंतर में बदलना होगा।
कृपया ध्यान दें कि बहुपदों का गुणनफल "(x − 1)(x 2 + x + 1)" घन सूत्र "" के अंतर के दाईं ओर जैसा दिखता है, केवल "a" के बजाय "x" है, और इसके स्थान पर "बी" में "1" है।
"(x − 1)(x 2 + x + 1)" के लिए हम विपरीत दिशा में घन सूत्र का उपयोग करते हैं।
आइए एक अधिक जटिल उदाहरण देखें। बहुपदों के गुणनफल को सरल बनाना आवश्यक है।
यदि हम "(y 2 − 1)(y 4 + y 2 + 1)" की तुलना घन सूत्र के दाईं ओर के अंतर से करते हैं
« ए 3 − बी 3 = (ए − बी)(ए 2 + एबी + बी 2)“, तो आप समझ सकते हैं कि पहले ब्रैकेट से “a” के स्थान पर “y 2” है, और “b” के स्थान पर “1” है।
