पूर्णांकों में 0 सम्मिलित है। संख्याएँ। पूर्ण संख्याएं। पूर्णांकों के गुण. सकारात्मक पूर्णांक। ऋणात्मक पूर्णांक

बच्चों के लिए ज्वरनाशक दवाएं बाल रोग विशेषज्ञ द्वारा निर्धारित की जाती हैं। लेकिन बुखार के साथ आपातकालीन स्थितियाँ होती हैं जब बच्चे को तुरंत दवा देने की आवश्यकता होती है। तब माता-पिता जिम्मेदारी लेते हैं और ज्वरनाशक दवाओं का उपयोग करते हैं। शिशुओं को क्या देने की अनुमति है? आप बड़े बच्चों में तापमान कैसे कम कर सकते हैं? कौन सी दवाएँ सबसे सुरक्षित हैं?

इस लेख में हम पूर्णांकों के समुच्चय को परिभाषित करेंगे, विचार करेंगे कि कौन से पूर्णांक धनात्मक कहलाते हैं और कौन से पूर्णांक ऋणात्मक। हम यह भी दिखाएंगे कि कुछ मात्राओं में परिवर्तन का वर्णन करने के लिए पूर्णांकों का उपयोग कैसे किया जाता है। आइए पूर्णांकों की परिभाषा और उदाहरणों से शुरुआत करें।

पूर्ण संख्याएं। परिभाषा, उदाहरण

सबसे पहले, आइए प्राकृतिक संख्याओं के बारे में याद रखें ℕ। नाम से ही पता चलता है कि ये वे संख्याएँ हैं जिनका उपयोग स्वाभाविक रूप से प्राचीन काल से गिनती के लिए किया जाता रहा है। पूर्णांकों की अवधारणा को कवर करने के लिए, हमें प्राकृतिक संख्याओं की परिभाषा का विस्तार करने की आवश्यकता है।

परिभाषा 1. पूर्णांक

पूर्णांक प्राकृतिक संख्याएँ, उनके विपरीत संख्याएँ और संख्या शून्य हैं।

पूर्णांकों के समुच्चय को अक्षर ℤ द्वारा दर्शाया जाता है।

प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय ℕ पूर्णांकों ℤ का एक उपसमुच्चय है। प्रत्येक प्राकृत संख्या एक पूर्णांक होती है, लेकिन प्रत्येक पूर्णांक एक प्राकृत संख्या नहीं होती।

परिभाषा से यह निष्कर्ष निकलता है कि 1, 2, 3 में से कोई भी संख्या एक पूर्णांक है। . , संख्या 0, साथ ही संख्याएँ - 1, - 2, - 3,। .

इसके अनुरूप हम उदाहरण देंगे. संख्याएँ 39, - 589, 1000000, - 1596, 0 पूर्णांक हैं।

मान लीजिए कि निर्देशांक रेखा क्षैतिज रूप से खींची गई है और दाईं ओर निर्देशित है। आइए एक रेखा पर पूर्णांकों के स्थान की कल्पना करने के लिए इस पर एक नज़र डालें।

निर्देशांक रेखा पर मूल बिंदु संख्या 0 से मेल खाता है, और शून्य के दोनों किनारों पर स्थित बिंदु सकारात्मक और नकारात्मक पूर्णांक से मेल खाते हैं। प्रत्येक बिंदु एक पूर्णांक से मेल खाता है।

आप मूल बिंदु से एक निश्चित संख्या में इकाई खंडों को अलग करके किसी रेखा पर किसी भी बिंदु तक पहुंच सकते हैं जिसका निर्देशांक एक पूर्णांक है।

धनात्मक और ऋणात्मक पूर्णांक

सभी पूर्णांकों में से, धनात्मक और ऋणात्मक पूर्णांकों में अंतर करना तर्कसंगत है। आइए उनकी परिभाषाएँ दें।

परिभाषा 2: धनात्मक पूर्णांक

धनात्मक पूर्णांक धन चिह्न वाले पूर्णांक होते हैं।

उदाहरण के लिए, संख्या 7 धन चिह्न वाला एक पूर्णांक है, अर्थात एक धनात्मक पूर्णांक है। निर्देशांक रेखा पर, यह संख्या संदर्भ बिंदु के दाईं ओर स्थित है, जिसे संख्या 0 माना जाता है। धनात्मक पूर्णांकों के अन्य उदाहरण: 12, 502, 42, 33, 100500।

परिभाषा 3: ऋणात्मक पूर्णांक

ऋणात्मक पूर्णांक ऋण चिह्न वाले पूर्णांक होते हैं।

ऋणात्मक पूर्णांकों के उदाहरण:-528,-2568,-1.

संख्या 0 धनात्मक और ऋणात्मक पूर्णांकों को अलग करती है और स्वयं न तो धनात्मक है और न ही ऋणात्मक।

कोई भी संख्या जो किसी धनात्मक पूर्णांक के विपरीत हो, परिभाषा के अनुसार, एक ऋणात्मक पूर्णांक होती है। उल्टा भी सही है। किसी भी ऋणात्मक पूर्णांक का व्युत्क्रम एक धनात्मक पूर्णांक होता है।

शून्य के साथ उनकी तुलना का उपयोग करके ऋणात्मक और धनात्मक पूर्णांकों की परिभाषाओं के अन्य सूत्र देना संभव है।

परिभाषा 4: धनात्मक पूर्णांक

धनात्मक पूर्णांक वे पूर्णांक होते हैं जो शून्य से बड़े होते हैं।

परिभाषा 5: ऋणात्मक पूर्णांक

ऋणात्मक पूर्णांक वे पूर्णांक होते हैं जो शून्य से कम होते हैं।

तदनुसार, धनात्मक संख्याएँ निर्देशांक रेखा पर मूल बिंदु के दाईं ओर स्थित होती हैं, और ऋणात्मक पूर्णांक शून्य के बाईं ओर होते हैं।

हमने पहले कहा था कि प्राकृत संख्याएँ पूर्णांकों का एक उपसमूह होती हैं। आइए इस बात को स्पष्ट करें। प्राकृत संख्याओं के समुच्चय में धनात्मक पूर्णांक होते हैं। बदले में, ऋणात्मक पूर्णांकों का समुच्चय प्राकृतिक पूर्णांकों के विपरीत संख्याओं का समुच्चय होता है।

महत्वपूर्ण!

किसी भी प्राकृत संख्या को पूर्णांक कहा जा सकता है, लेकिन किसी भी पूर्णांक को प्राकृत संख्या नहीं कहा जा सकता। इस प्रश्न का उत्तर देते समय कि क्या ऋणात्मक संख्याएँ प्राकृतिक संख्याएँ हैं, हमें साहसपूर्वक कहना चाहिए - नहीं, वे नहीं हैं।

गैर-धनात्मक और गैर-नकारात्मक पूर्णांक

आइए कुछ परिभाषाएँ दें।

परिभाषा 6. गैर-ऋणात्मक पूर्णांक

गैर-ऋणात्मक पूर्णांक धनात्मक पूर्णांक और संख्या शून्य हैं।

परिभाषा 7. गैर-धनात्मक पूर्णांक

गैर-धनात्मक पूर्णांक ऋणात्मक पूर्णांक और संख्या शून्य हैं।

जैसा कि आप देख सकते हैं, संख्या शून्य न तो सकारात्मक है और न ही नकारात्मक।

गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों के उदाहरण: 52, 128, 0.

गैर-धनात्मक पूर्णांकों के उदाहरण: - 52, - 128, 0.

एक गैर-ऋणात्मक संख्या शून्य से बड़ी या उसके बराबर की संख्या होती है। तदनुसार, एक गैर-धनात्मक पूर्णांक शून्य से कम या उसके बराबर की संख्या है।

संक्षिप्तता के लिए "गैर-धनात्मक संख्या" और "गैर-ऋणात्मक संख्या" शब्दों का उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, यह कहने के बजाय कि संख्या a एक पूर्णांक है जो शून्य से बड़ा या उसके बराबर है, आप कह सकते हैं: a एक गैर-नकारात्मक पूर्णांक है।

मात्राओं में परिवर्तन का वर्णन करने के लिए पूर्णांकों का उपयोग करना

पूर्णांकों का उपयोग किस लिए किया जाता है? सबसे पहले इनकी सहायता से किसी भी वस्तु की मात्रा में परिवर्तन का वर्णन और निर्धारण करना सुविधाजनक होता है। चलिए एक उदाहरण देते हैं.

एक गोदाम में एक निश्चित संख्या में क्रैंकशाफ्ट संग्रहीत होने दें। अगर 500 और क्रैंकशाफ्ट गोदाम में लाये जायेंगे तो इनकी संख्या बढ़ जायेगी. संख्या 500 भागों की संख्या में परिवर्तन (वृद्धि) को सटीक रूप से व्यक्त करती है। यदि 200 हिस्से गोदाम से लिए जाते हैं, तो यह संख्या क्रैंकशाफ्ट की संख्या में परिवर्तन को भी चित्रित करेगी। इस बार, नीचे की ओर.

यदि गोदाम से कुछ भी नहीं लिया जाता है और कुछ भी वितरित नहीं किया जाता है, तो संख्या 0 इंगित करेगी कि भागों की संख्या अपरिवर्तित रहती है।

प्राकृतिक संख्याओं के विपरीत, पूर्णांकों का उपयोग करने की स्पष्ट सुविधा यह है कि उनका चिह्न स्पष्ट रूप से मूल्य में परिवर्तन (वृद्धि या कमी) की दिशा को इंगित करता है।

तापमान में 30 डिग्री की कमी को एक ऋणात्मक पूर्णांक - 30, और 2 डिग्री की वृद्धि - एक धनात्मक पूर्णांक 2 द्वारा दर्शाया जा सकता है।

आइए पूर्णांकों का उपयोग करके एक और उदाहरण दें। इस बार मान लीजिए कि हमें किसी को 5 सिक्के देने हैं। तब, हम कह सकते हैं कि हमारे पास - 5 सिक्के हैं। संख्या 5 ऋण के आकार का वर्णन करती है, और ऋण चिह्न इंगित करता है कि हमें सिक्के वापस देने होंगे।

यदि हम पर एक व्यक्ति पर 2 सिक्के और दूसरे पर 3 सिक्के बकाया हैं, तो कुल ऋण (5 सिक्के) की गणना नकारात्मक संख्याओं को जोड़ने के नियम का उपयोग करके की जा सकती है:

2 + (- 3) = - 5

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इस आलेख की जानकारी एक सामान्य समझ प्रदान करती है पूर्णांकों. सबसे पहले, पूर्णांकों की परिभाषा दी गई है और उदाहरण दिए गए हैं। इसके बाद, हम संख्या रेखा पर पूर्णांकों पर विचार करते हैं, जहाँ से यह स्पष्ट हो जाता है कि कौन सी संख्याएँ धनात्मक पूर्णांक कहलाती हैं और कौन सी संख्याएँ ऋणात्मक पूर्णांक कहलाती हैं। इसके बाद यह दिखाया गया है कि किस प्रकार पूर्णांकों का उपयोग करके मात्राओं में परिवर्तन का वर्णन किया जाता है और ऋणात्मक पूर्णांकों को ऋण के अर्थ में माना जाता है।

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पूर्णांक - परिभाषा और उदाहरण

परिभाषा।

पूर्ण संख्याएं- ये प्राकृतिक संख्याएँ, शून्य संख्या, साथ ही प्राकृतिक के विपरीत संख्याएँ हैं।

पूर्णांकों की परिभाषा बताती है कि कोई भी संख्या 1, 2, 3,…, संख्या 0, साथ ही कोई भी संख्या −1, −2, −3,… एक पूर्णांक है। अब हम आसानी से ला सकते हैं पूर्णांकों के उदाहरण. उदाहरण के लिए, संख्या 38 एक पूर्णांक है, संख्या 70,040 भी एक पूर्णांक है, शून्य एक पूर्णांक है (याद रखें कि शून्य एक प्राकृतिक संख्या नहीं है, शून्य एक पूर्णांक है), संख्याएँ −999, −1, −8,934,832 भी हैं पूर्णांक संख्याओं के उदाहरण.

सभी पूर्णांकों को पूर्णांकों के अनुक्रम के रूप में प्रस्तुत करना सुविधाजनक है, जिसका निम्नलिखित रूप है: 0, ±1, ±2, ±3, ... पूर्णांकों का एक क्रम इस प्रकार लिखा जा सकता है: …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …

पूर्णांकों की परिभाषा से यह निष्कर्ष निकलता है कि प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय पूर्णांकों के समुच्चय का एक उपसमुच्चय है। इसलिए, प्रत्येक प्राकृत संख्या एक पूर्णांक होती है, लेकिन प्रत्येक पूर्णांक एक प्राकृत संख्या नहीं होती।

एक निर्देशांक रेखा पर पूर्णांक

परिभाषा।

सकारात्मक पूर्णांकशून्य से बड़े पूर्णांक हैं.

परिभाषा।

ऋणात्मक पूर्णांकवे पूर्णांक हैं जो शून्य से कम हैं।

धनात्मक और ऋणात्मक पूर्णांकों को निर्देशांक रेखा पर उनकी स्थिति से भी निर्धारित किया जा सकता है। क्षैतिज निर्देशांक रेखा पर, वे बिंदु जिनके निर्देशांक धनात्मक पूर्णांक हैं, मूल बिंदु के दाईं ओर स्थित होते हैं। बदले में, नकारात्मक पूर्णांक निर्देशांक वाले बिंदु बिंदु O के बाईं ओर स्थित होते हैं।

यह स्पष्ट है कि सभी धनात्मक पूर्णांकों का समुच्चय प्राकृत संख्याओं का समुच्चय है। बदले में, सभी ऋणात्मक पूर्णांकों का समुच्चय प्राकृतिक संख्याओं के विपरीत सभी संख्याओं का समुच्चय होता है।

अलग से, हम आपका ध्यान इस तथ्य की ओर आकर्षित करते हैं कि हम सुरक्षित रूप से किसी भी प्राकृतिक संख्या को पूर्णांक कह सकते हैं, लेकिन हम किसी भी पूर्णांक को प्राकृतिक संख्या नहीं कह सकते हैं। हम किसी भी धनात्मक पूर्णांक को केवल प्राकृतिक संख्या ही कह सकते हैं, क्योंकि ऋणात्मक पूर्णांक और शून्य प्राकृतिक संख्या नहीं हैं।

गैर-धनात्मक और गैर-नकारात्मक पूर्णांक

आइए हम गैर-धनात्मक पूर्णांकों और गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों की परिभाषा दें।

परिभाषा।

संख्या शून्य सहित सभी धनात्मक पूर्णांक कहलाते हैं गैर-ऋणात्मक पूर्णांक.

परिभाषा।

गैर-धनात्मक पूर्णांक- संख्या 0 सहित ये सभी ऋणात्मक पूर्णांक हैं।

दूसरे शब्दों में, एक गैर-नकारात्मक पूर्णांक वह पूर्णांक होता है जो शून्य से बड़ा या शून्य के बराबर होता है, और एक गैर-धनात्मक पूर्णांक वह पूर्णांक होता है जो शून्य से कम या शून्य के बराबर होता है।

गैर-धनात्मक पूर्णांकों के उदाहरण संख्याएँ −511, −10,030, 0, −2 हैं, और गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों के उदाहरण के रूप में हम संख्याएँ 45, 506, 0, 900,321 देते हैं।

अक्सर, "गैर-धनात्मक पूर्णांक" और "गैर-नकारात्मक पूर्णांक" शब्दों का उपयोग संक्षिप्तता के लिए किया जाता है। उदाहरण के लिए, वाक्यांश "संख्या a एक पूर्णांक है, और a शून्य से बड़ा या शून्य के बराबर है" के बजाय, आप कह सकते हैं "a एक गैर-नकारात्मक पूर्णांक है।"

पूर्णांकों का उपयोग करके मात्राओं में परिवर्तन का वर्णन करना

अब इस बारे में बात करने का समय आ गया है कि सबसे पहले पूर्णांकों की आवश्यकता क्यों है।

पूर्णांकों का मुख्य उद्देश्य यह है कि उनकी सहायता से किसी वस्तु की मात्रा में परिवर्तन का वर्णन करना सुविधाजनक होता है। आइए इसे उदाहरणों से समझते हैं.

बता दें कि गोदाम में भागों की एक निश्चित संख्या होनी चाहिए। यदि, उदाहरण के लिए, गोदाम में 400 और हिस्से लाए जाते हैं, तो गोदाम में हिस्सों की संख्या बढ़ जाएगी, और संख्या 400 मात्रा में इस परिवर्तन को सकारात्मक दिशा (बढ़ती) में व्यक्त करती है। यदि, उदाहरण के लिए, गोदाम से 100 हिस्से लिए जाते हैं, तो गोदाम में हिस्सों की संख्या कम हो जाएगी, और संख्या 100 नकारात्मक दिशा (नीचे की ओर) में मात्रा में बदलाव को व्यक्त करेगी। भागों को गोदाम में नहीं लाया जाएगा, और भागों को गोदाम से दूर नहीं ले जाया जाएगा, तो हम भागों की निरंतर मात्रा के बारे में बात कर सकते हैं (अर्थात, हम मात्रा में शून्य परिवर्तन के बारे में बात कर सकते हैं)।

दिए गए उदाहरणों में, भागों की संख्या में परिवर्तन को क्रमशः पूर्णांक 400, −100 और 0 का उपयोग करके वर्णित किया जा सकता है। एक धनात्मक पूर्णांक 400 एक धनात्मक दिशा (वृद्धि) में मात्रा में परिवर्तन को इंगित करता है। एक ऋणात्मक पूर्णांक −100 मात्रा में ऋणात्मक दिशा (कमी) में परिवर्तन को व्यक्त करता है। पूर्णांक 0 इंगित करता है कि मात्रा अपरिवर्तित रहती है।

प्राकृतिक संख्याओं का उपयोग करने की तुलना में पूर्णांकों का उपयोग करने की सुविधा यह है कि आपको स्पष्ट रूप से यह इंगित करने की आवश्यकता नहीं है कि मात्रा बढ़ रही है या घट रही है - पूर्णांक परिवर्तन की मात्रा निर्धारित करता है, और पूर्णांक का चिह्न परिवर्तन की दिशा को इंगित करता है।

पूर्णांक न केवल मात्रा में परिवर्तन, बल्कि कुछ मात्रा में परिवर्तन भी व्यक्त कर सकते हैं। आइये इसे तापमान परिवर्तन के उदाहरण से समझते हैं।

तापमान में 4 डिग्री की वृद्धि को धनात्मक पूर्णांक 4 के रूप में व्यक्त किया जाता है। उदाहरण के लिए, तापमान में 12 डिग्री की कमी को ऋणात्मक पूर्णांक -12 द्वारा वर्णित किया जा सकता है। और तापमान की अपरिवर्तनीयता इसका परिवर्तन है, जो पूर्णांक 0 द्वारा निर्धारित होती है।

ऋण की राशि के रूप में ऋणात्मक पूर्णांकों की व्याख्या के बारे में अलग से कहना आवश्यक है। उदाहरण के लिए, यदि हमारे पास 3 सेब हैं, तो धनात्मक पूर्णांक 3 हमारे पास मौजूद सेबों की संख्या को दर्शाता है। दूसरी ओर, यदि हमें किसी को 5 सेब देने हैं, लेकिन हमारे पास स्टॉक में नहीं हैं, तो इस स्थिति को ऋणात्मक पूर्णांक -5 का उपयोग करके वर्णित किया जा सकता है। इस मामले में, हमारे पास −5 सेब हैं, ऋण चिह्न ऋण को इंगित करता है, और संख्या 5 ऋण की मात्रा निर्धारित करती है।

ऋणात्मक पूर्णांक को ऋण के रूप में समझना, उदाहरण के लिए, ऋणात्मक पूर्णांकों को जोड़ने के नियम को उचित ठहराने की अनुमति देता है। चलिए एक उदाहरण देते हैं. यदि किसी व्यक्ति पर 2 सेब और दूसरे व्यक्ति पर 1 सेब बकाया है, तो कुल कर्ज 2+1=3 सेब है, इसलिए −2+(−1)=−3.

ग्रंथ सूची.

विलेनकिन एन.वाई.ए. और अन्य। छठी कक्षा: सामान्य शिक्षा संस्थानों के लिए पाठ्यपुस्तक।

ये वे संख्याएँ हैं जिनका उपयोग गिनती करते समय किया जाता है: 1, 2, 3... आदि।

शून्य प्राकृतिक नहीं है.

प्राकृतिक संख्याओं को आमतौर पर प्रतीक द्वारा दर्शाया जाता है एन.

पूर्ण संख्याएं। सकारात्मक और नकारात्मक संख्याएँ

दो संख्याएँ जो केवल चिन्ह द्वारा एक दूसरे से भिन्न होती हैं, कहलाती हैं विलोम, उदाहरण के लिए, +1 और -1, +5 और -5। "+" चिह्न आमतौर पर नहीं लिखा जाता है, लेकिन यह माना जाता है कि संख्या के सामने "+" है। ऐसे नंबरों को कहा जाता है सकारात्मक. "-" चिन्ह से पहले आने वाली संख्याओं को कहा जाता है नकारात्मक.

प्राकृत संख्याएँ, उनके विपरीत संख्याएँ और शून्य पूर्णांक कहलाते हैं। पूर्णांकों के समुच्चय को प्रतीक द्वारा दर्शाया जाता है जेड.

भिन्नात्मक संख्याएं

ये परिमित भिन्न और अनंत आवर्त भिन्न हैं। उदाहरण के लिए,

परिमेय संख्याओं के समुच्चय को दर्शाया गया है क्यू. सभी पूर्णांक परिमेय हैं.

तर्कहीन संख्या

एक अनंत गैर-आवधिक भिन्न को अपरिमेय संख्या कहा जाता है। उदाहरण के लिए:

अपरिमेय संख्याओं के समुच्चय को दर्शाया गया है जे.

वास्तविक संख्या

सभी परिमेय तथा सभी अपरिमेय संख्याओं के समुच्चय को कहते हैं असली का सेट (वास्तविक)नंबर.

वास्तविक संख्याओं को प्रतीक द्वारा दर्शाया जाता है आर.

संख्याओं को पूर्णांकित करना

संख्या पर विचार करें 8,759123... . निकटतम पूर्ण संख्या तक पूर्णांकित करने का अर्थ है संख्या का केवल वह भाग लिखना जो दशमलव बिंदु से पहले है। दसवें तक पूर्णांकित करने का अर्थ है पूरे भाग और दशमलव बिंदु के बाद एक अंक लिखना; निकटतम सौवें तक पूर्णांक - दशमलव बिंदु के बाद दो अंक; हजारवें तक - तीन अंक, आदि।

1) मैं तुरंत विभाजित करता हूं, क्योंकि दोनों संख्याएं 100% विभाज्य हैं:

2) मैं शेष बड़ी संख्याओं से भाग दूंगा (और), क्योंकि वे बिना किसी शेषफल के विभाज्य हैं (साथ ही, मैं विघटित नहीं करूंगा - यह पहले से ही एक सामान्य भाजक है):

6 2 4 0 = 1 0 ⋅ 4 ⋅ 1 5 6

6 8 0 0 = 1 0 ⋅ 4 ⋅ 1 7 0

3) मैं अकेला चला जाऊंगा और संख्याओं को देखना शुरू कर दूंगा। दोनों संख्याएँ बिल्कुल विभाज्य हैं (अंत में सम अंकों के साथ (इस मामले में, हम कल्पना करते हैं कि कैसे, या आप इससे विभाजित कर सकते हैं)):

4) हम संख्याओं के साथ काम करते हैं और। क्या उनके पास सामान्य भाजक हैं? यह पिछले चरणों जितना आसान नहीं है, इसलिए हम उन्हें सरल कारकों में विघटित कर देंगे:

5) जैसा कि हम देखते हैं, हम सही थे: और हमारे पास कोई सामान्य भाजक नहीं है, और अब हमें गुणा करने की आवश्यकता है।
जीसीडी

कार्य क्रमांक 2. संख्या 345 और 324 की जीसीडी ज्ञात कीजिए

मुझे यहां कम से कम एक सामान्य भाजक तुरंत नहीं मिल रहा है, इसलिए मैं इसे केवल अभाज्य गुणनखंडों में तोड़ता हूं (जितना संभव हो उतना छोटा):

बिल्कुल, जीसीडी, लेकिन मैंने शुरू में विभाज्यता के परीक्षण की जांच नहीं की थी, और शायद मुझे इतने सारे कार्य नहीं करने पड़े होंगे।

लेकिन आपने जाँच की, है ना?

जैसा कि आप देख सकते हैं, यह बिल्कुल भी मुश्किल नहीं है।

कम से कम सामान्य गुणक (एलसीएम) - समय बचाता है, समस्याओं को गैर-मानक तरीके से हल करने में मदद करता है

मान लीजिए कि आपके पास दो संख्याएँ हैं - और। वह सबसे छोटी संख्या कौन सी है जिसे विभाजित किया जा सकता है? एक का पता लगाए बिना(अर्थात् पूर्णतः)? कल्पना करना मुश्किल है? यहां आपके लिए एक दृश्य संकेत है:

क्या आपको याद है कि पत्र का मतलब क्या है? यह सही है, बस पूर्ण संख्याएं।तो वह सबसे छोटी संख्या कौन सी है जो x के स्थान पर फिट बैठती है? :

इस मामले में।

इस सरल उदाहरण से कई नियम सामने आते हैं।

एनओसी शीघ्रता से ढूंढने के नियम

नियम 1: यदि दो प्राकृतिक संख्याओं में से एक किसी अन्य संख्या से विभाज्य है, तो दोनों संख्याओं में से बड़ी संख्या उनका सबसे छोटा सामान्य गुणज है।

निम्नलिखित संख्याएँ ज्ञात कीजिए:

एनओसी (7;21)
एनओसी (6;12)
एनओसी (5;15)
एनओसी (3;33)

निःसंदेह, आपने इस कार्य को बिना किसी कठिनाई के पूरा कर लिया और आपको उत्तर मिल गए - , और।

कृपया ध्यान दें कि जिस नियम में हम दो संख्याओं के बारे में बात कर रहे हैं, यदि संख्याएँ अधिक हैं, तो नियम काम नहीं करता है।

उदाहरण के लिए, एलसीएम (7;14;21) 21 के बराबर नहीं है, क्योंकि यह इससे विभाज्य नहीं है।

नियम 2. यदि दो (या दो से अधिक) संख्याएँ सहअभाज्य हैं, तो लघुत्तम समापवर्त्य उनके गुणनफल के बराबर होता है।

खोजो अनापत्ति प्रमाण पत्रनिम्नलिखित संख्याएँ:

एनओसी (1;3;7)
एनओसी (3;7;11)
एनओसी (2;3;7)
एनओसी (3;5;2)

क्या आपने गिनती की? यहाँ उत्तर हैं - , ; .

जैसा कि आप समझते हैं, समान x को इतनी आसानी से चुनना हमेशा संभव नहीं होता है, इसलिए थोड़ी अधिक जटिल संख्याओं के लिए निम्नलिखित एल्गोरिदम है:

क्या हम अभ्यास करें?

आइये लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करें - LCM (345; 234)

आइए प्रत्येक संख्या को तोड़ें:

मैंने तुरंत क्यों लिखा?

विभाज्यता के लक्षण याद रखें: विभाज्य (अंतिम अंक सम है) और अंकों का योग विभाज्य है।

तदनुसार, हम इसे इस रूप में लिखकर तुरंत विभाजित कर सकते हैं।

अब हम एक पंक्ति पर सबसे लंबा अपघटन लिखते हैं - दूसरा:

आइए इसमें पहले विस्तार से संख्याएँ जोड़ें, जो हमने जो लिखा है उसमें नहीं हैं:

ध्यान दें: हमने सब कुछ लिख दिया, सिवाय इसके कि यह हमारे पास पहले से ही है।

अब हमें इन सभी संख्याओं को गुणा करना होगा!

लघुत्तम समापवर्तक (LCM) स्वयं ज्ञात कीजिए

आपको क्या उत्तर मिले?

यहाँ मुझे क्या मिला:

आपने ढूंढने में कितना समय बिताया अनापत्ति प्रमाण पत्र? मेरा समय 2 मिनट है, मैं सचमुच जानता हूँ एक तरकीब, जिसे मैं आपको अभी खोलने का सुझाव देता हूं!

यदि आप बहुत चौकस हैं, तो आपने शायद देखा होगा कि हमने पहले ही दिए गए नंबरों की खोज कर ली है जीसीडीऔर आप उस उदाहरण से इन संख्याओं का गुणनखंडन ले सकते हैं, जिससे आपका कार्य सरल हो जाएगा, लेकिन इतना ही नहीं।

तस्वीर देखिए, शायद आपके मन में कुछ और विचार आएं:

कुंआ? मैं तुम्हें एक संकेत दूँगा: गुणा करने का प्रयास करें अनापत्ति प्रमाण पत्रऔर जीसीडीआपस में और उन सभी कारकों को लिखिए जो गुणा करते समय दिखाई देंगे। क्या आप संभाल पाओगे? आपको इस तरह की एक श्रृंखला समाप्त करनी चाहिए:

इस पर करीब से नज़र डालें: मल्टीप्लायरों की तुलना इस बात से करें कि कैसे और कैसे रखे गए हैं।

आप इससे क्या निष्कर्ष निकाल सकते हैं? सही! यदि हम मूल्यों को गुणा करते हैं अनापत्ति प्रमाण पत्रऔर जीसीडीआपस में, तो हमें इन संख्याओं का गुणनफल मिलता है।

तदनुसार, संख्याएँ और अर्थ होना जीसीडी(या अनापत्ति प्रमाण पत्र), हम ढूंढ सकते हैं अनापत्ति प्रमाण पत्र(या जीसीडी) इस योजना के अनुसार:

1. संख्याओं का गुणनफल ज्ञात कीजिए:

2. परिणामी उत्पाद को हमारे द्वारा विभाजित करें जीसीडी (6240; 6800) = 80:

बस इतना ही।

आइए नियम को सामान्य रूप में लिखें:

ढूंढने की कोशिश करो जीसीडी, यदि यह ज्ञात हो कि:

क्या आप संभाल पाओगे? .

नकारात्मक संख्याएँ "गलत संख्याएँ" हैं और मानवता द्वारा उनकी मान्यता है।

जैसा कि आप पहले ही समझ चुके हैं, ये प्राकृतिक संख्याओं के विपरीत संख्याएँ हैं, अर्थात्:

ऐसा लगता है, उनमें ऐसा क्या खास है?

लेकिन तथ्य यह है कि नकारात्मक संख्याओं ने 19वीं शताब्दी तक गणित में अपना उचित स्थान "जीत" लिया था (उस क्षण तक इस बात पर भारी विवाद था कि वे मौजूद हैं या नहीं)।

प्राकृतिक संख्याओं के साथ "घटाव" जैसी संक्रिया के कारण ही ऋणात्मक संख्या उत्पन्न हुई।

दरअसल, इसमें से घटाने पर आपको एक ऋणात्मक संख्या प्राप्त होती है। इसीलिए प्रायः ऋणात्मक संख्याओं का समुच्चय कहा जाता है "प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय का विस्तार।"

नकारात्मक संख्याओं को लंबे समय तक लोगों द्वारा पहचाना नहीं गया था।

इस प्रकार, प्राचीन मिस्र, बेबीलोन और प्राचीन ग्रीस - अपने समय की रोशनी, नकारात्मक संख्याओं को नहीं पहचानते थे, और समीकरण में नकारात्मक जड़ों के मामले में (उदाहरण के लिए, हमारी तरह), जड़ों को असंभव के रूप में खारिज कर दिया गया था।

नकारात्मक संख्याओं ने सबसे पहले चीन में और फिर 7वीं शताब्दी में भारत में अस्तित्व का अधिकार प्राप्त किया।

आपके अनुसार इस मान्यता का कारण क्या है?

यह सही है, ऋणात्मक संख्याएँ निरूपित होने लगीं ऋण (अन्यथा - कमी)।

यह माना जाता था कि नकारात्मक संख्या एक अस्थायी मूल्य है, जिसके परिणामस्वरूप यह सकारात्मक में बदल जाएगा (अर्थात, पैसा अभी भी ऋणदाता को वापस कर दिया जाएगा)। हालाँकि, भारतीय गणितज्ञ ब्रह्मगुप्त ने पहले से ही नकारात्मक संख्याओं को सकारात्मक संख्याओं के बराबर आधार पर माना था।

यूरोप में, ऋणात्मक संख्याओं की उपयोगिता, साथ ही यह तथ्य कि वे ऋणों को इंगित कर सकते हैं, बहुत बाद में, शायद एक सहस्राब्दी बाद खोजी गई।

पहला उल्लेख 1202 में पीसा के लियोनार्ड द्वारा "अबेकस की पुस्तक" में देखा गया था (मैं तुरंत कहूंगा कि पुस्तक के लेखक का पीसा की झुकी मीनार से कोई लेना-देना नहीं है, लेकिन फाइबोनैचि संख्याएं उनका काम हैं) (पीसा के लियोनार्डो का उपनाम फाइबोनैचि है))।

तो, 17वीं शताब्दी में, पास्कल ने ऐसा माना।

आपको क्या लगता है उन्होंने इसे कैसे उचित ठहराया?

यह सच है, "कुछ भी नहीं से कम नहीं हो सकता।"

उस समय की एक प्रतिध्वनि यह तथ्य है कि एक ऋणात्मक संख्या और घटाव संक्रिया को एक ही प्रतीक - ऋण "-" द्वारा दर्शाया जाता है। और सच्चाई: . क्या संख्या "" धनात्मक है, जिसे घटाया गया है, या ऋणात्मक है, जिसका योग किया गया है?...श्रृंखला से कुछ "पहले क्या आता है: मुर्गी या अंडा?" यह एक अनोखा गणितीय दर्शन है।

नकारात्मक संख्याओं ने विश्लेषणात्मक ज्यामिति के आगमन के साथ अस्तित्व में रहने का अपना अधिकार सुरक्षित कर लिया, दूसरे शब्दों में, जब गणितज्ञों ने संख्या अक्ष जैसी अवधारणा पेश की।

इसी क्षण से समानता आई। हालाँकि, अभी भी उत्तर से अधिक प्रश्न थे, उदाहरण के लिए:

अनुपात

इस अनुपात को "अरनॉड का विरोधाभास" कहा जाता है। इसके बारे में सोचो, इसमें संदेहास्पद क्या है?

आइए एक साथ बहस करें "" "" से अधिक है, है ना? इस प्रकार, तर्क के अनुसार, अनुपात का बायाँ हिस्सा दाएँ से अधिक होना चाहिए, लेकिन वे बराबर हैं... यह विरोधाभास है।

परिणामस्वरूप, गणितज्ञ इस बात पर सहमत हुए कि कार्ल गॉस (हाँ, हाँ, यह वही व्यक्ति है जिसने योग (या) संख्याओं की गणना की थी) ने 1831 में इसे समाप्त कर दिया था।

उन्होंने कहा कि ऋणात्मक संख्याओं का भी धनात्मक संख्याओं के समान ही अधिकार है, और तथ्य यह है कि वे सभी चीजों पर लागू नहीं होते हैं, इसका कोई मतलब नहीं है, क्योंकि अंश भी कई चीजों पर लागू नहीं होते हैं (ऐसा नहीं होता है कि एक खोदने वाला गड्ढा खोदता है, आप मूवी टिकट आदि नहीं खरीद सकते)।

गणितज्ञ केवल 19वीं शताब्दी में शांत हुए, जब विलियम हैमिल्टन और हरमन ग्रासमैन द्वारा ऋणात्मक संख्याओं का सिद्धांत बनाया गया।

वे बहुत विवादास्पद हैं, ये नकारात्मक संख्याएँ।

"शून्यता" का उद्भव, या शून्य की जीवनी।

गणित में यह एक विशेष संख्या है.

पहली नज़र में, यह कुछ भी नहीं है: जोड़ें या घटाएं - कुछ भी नहीं बदलेगा, लेकिन आपको बस इसे " " के दाईं ओर जोड़ना होगा, और परिणामी संख्या मूल संख्या से कई गुना बड़ी होगी।

शून्य से गुणा करके हम सब कुछ को शून्य में बदल देते हैं, लेकिन "कुछ नहीं" से भाग देने पर हम ऐसा नहीं कर सकते। एक शब्द में, जादुई संख्या)

शून्य का इतिहास बहुत लम्बा और जटिल है।

दूसरी सहस्राब्दी ईस्वी में चीनियों के लेखन में शून्य का निशान पाया गया था। और मायाओं के बीच भी पहले। शून्य प्रतीक का पहला प्रयोग, जैसा कि आज होता है, ग्रीक खगोलविदों के बीच देखा गया था।

इस पदनाम "कुछ नहीं" को क्यों चुना गया, इसके कई संस्करण हैं।

कुछ इतिहासकारों का मानना है कि यह एक ओमिक्रॉन है, यानी। ग्रीक शब्द फॉर नथिंग का पहला अक्षर ओडेन है। एक अन्य संस्करण के अनुसार, शब्द "ओबोल" (एक सिक्का जिसका लगभग कोई मूल्य नहीं है) ने शून्य के प्रतीक को जीवन दिया।

गणितीय प्रतीक के रूप में शून्य (या शून्य) सबसे पहले भारतीयों में दिखाई देता है(ध्यान दें कि नकारात्मक संख्याएँ वहाँ "विकसित" होने लगीं)।

शून्य की रिकॉर्डिंग का पहला विश्वसनीय प्रमाण 876 का है, और उनमें " " संख्या का एक घटक है।

ज़ीरो भी यूरोप में देर से आया - केवल 1600 में, और नकारात्मक संख्याओं की तरह, इसे प्रतिरोध का सामना करना पड़ा (आप क्या कर सकते हैं, वे ऐसे ही हैं, यूरोपीय)।

"शून्य से अक्सर नफरत की जाती रही है, लंबे समय तक डराया जाता रहा है, या यहां तक कि उस पर प्रतिबंध भी लगा दिया गया है।"- अमेरिकी गणितज्ञ चार्ल्स सेफ लिखते हैं।

इस प्रकार, 19वीं शताब्दी के अंत में तुर्की सुल्तान अब्दुल हामिद द्वितीय। अपने सेंसर को आदेश दिया कि सभी रसायन विज्ञान की पाठ्यपुस्तकों से पानी के H2O के फार्मूले को मिटा दिया जाए, अक्षर "O" को शून्य के रूप में लिया जाए और वह नहीं चाहता था कि उसके प्रारंभिक अक्षरों को तुच्छ शून्य की निकटता से बदनाम किया जाए।

इंटरनेट पर आप यह वाक्यांश पा सकते हैं: "शून्य ब्रह्मांड में सबसे शक्तिशाली शक्ति है, वह कुछ भी कर सकता है!" शून्य गणित में व्यवस्था बनाता है, और यह इसमें अराजकता भी लाता है। बिल्कुल सही बात :)

अनुभाग और बुनियादी सूत्रों का सारांश

पूर्णांकों के समुच्चय में 3 भाग होते हैं:

प्राकृतिक संख्याएँ (हम उन पर नीचे अधिक विस्तार से विचार करेंगे);
प्राकृतिक संख्याओं के विपरीत संख्याएँ;
शून्य - " "

पूर्णांकों का समुच्चय दर्शाया गया है अक्षर Z.

1. प्राकृतिक संख्याएँ

प्राकृतिक संख्याएँ वे संख्याएँ हैं जिनका उपयोग हम वस्तुओं को गिनने के लिए करते हैं।

प्राकृत संख्याओं का समुच्चय निरूपित किया जाता है पत्र एन.

पूर्णांकों के साथ संचालन में, आपको जीसीडी और एलसीएम खोजने की क्षमता की आवश्यकता होगी।

महानतम सामान्य भाजक (जीसीडी)

जीसीडी ढूंढने के लिए आपको यह करना होगा:

संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करें (वे संख्याएँ जिन्हें स्वयं के अलावा किसी अन्य चीज़ से विभाजित नहीं किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, आदि)।
उन कारकों को लिखिए जो दोनों संख्याओं का हिस्सा हैं।
उन्हें गुणा करें.

लघुत्तम समापवर्त्य (एलसीएम)

आपको आवश्यक एनओसी ढूंढने के लिए:

संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करें (आप पहले से ही जानते हैं कि यह कैसे करना है)।
किसी एक संख्या के विस्तार में शामिल कारकों को लिखिए (सबसे लंबी श्रृंखला लेना बेहतर है)।
उनमें शेष संख्याओं के विस्तार से लुप्त गुणनखंड जोड़ें।
परिणामी कारकों का उत्पाद ज्ञात कीजिए।

2. ऋणात्मक संख्याएँ

ये प्राकृतिक संख्याओं के विपरीत संख्याएँ हैं, अर्थात्:

अब मैं तुम्हें सुनना चाहता हूँ...

मुझे आशा है कि आपने इस अनुभाग में अति-उपयोगी "ट्रिक्स" की सराहना की है और समझ गए हैं कि वे परीक्षा में आपकी कैसे मदद करेंगे।

और इससे भी महत्वपूर्ण बात - जीवन में। मैं इसके बारे में बात नहीं करता, लेकिन मेरा विश्वास करो, यह सच है। तेजी से और त्रुटियों के बिना गिनने की क्षमता आपको कई जीवन स्थितियों में बचाती है।

अब आपकी बारी है!

लिखें, क्या आप गणना में समूहीकरण विधियों, विभाज्यता परीक्षण, जीसीडी और एलसीएम का उपयोग करेंगे?

हो सकता है कि आपने पहले उनका उपयोग किया हो? कहां और कैसे?

शायद आपके पास प्रश्न हों. या सुझाव.

आपको आर्टिकल कैसा लगा कमेंट में लिखें।

और आपकी परीक्षाओं के लिए शुभकामनाएँ!

नकारात्मक संख्याओं का उपयोग पहली बार प्राचीन चीन और भारत में किया गया था; यूरोप में उन्हें निकोलस चुक्वेट (1484) और माइकल स्टिफ़ेल (1544) द्वारा गणितीय उपयोग में लाया गया था।

बीजगणितीय गुण

$\mathbb(Z)$ दो पूर्णांकों के विभाजन के अंतर्गत बंद नहीं किया जाता है (उदाहरण के लिए, 1/2)। निम्नलिखित तालिका किसी भी पूर्णांक के लिए जोड़ और गुणन के कई बुनियादी गुणों को दर्शाती है ए, बीऔर सी.

	जोड़ना	गुणा
बंदपन:	ए + बी- साबुत	ए × बी- साबुत
साहचर्य:	ए + (बी + सी) = (ए + बी) + सी	ए × ( बी × सी) = (ए × बी) × सी
क्रमपरिवर्तनशीलता:	ए + बी = बी + ए	ए × बी = बी × ए
एक तटस्थ तत्व का अस्तित्व:	ए + 0 = ए	ए× 1 = ए
विपरीत तत्व का अस्तित्व:	ए + (−ए) = 0	ए≠ ±1 ⇒ 1/ एपूर्णांक नहीं है
जोड़ के सापेक्ष गुणन की वितरणशीलता:	ए × ( बी + सी) = (ए × बी) + (ए × सी)

|heading3= एक्सटेंशन टूल्स
संख्या प्रणालियाँ |शीर्षक4=संख्याओं का पदानुक्रम |सूची4=


$-1,\;0,\;1,\;\ldots$	पूर्ण संख्याएं

-1,\;1,\;\frac(1)(2),\;\;0(,)12,\frac(2)(3),\;\ldots

भिन्नात्मक संख्याएं

-1,\;1,\;\;0(,)12,\frac(1)(2),\;\pi,\;\sqrt(2),\;\ldots

वास्तविक संख्या

-1,\;\frac(1)(2),\;0(,)12,\;\pi,\;3i+2,\;e^(i\pi/3),\;\ldots

जटिल आंकड़े

1,\;i,\;j,\;k,\;2i + \pi j-\frac(1)(2)k,\;\dots

quaternions

1,\;i,\;j,\;k,\;l,\;m,\;n,\;o,\;2 - 5l + \frac(\pi)(3)m,\;\ डॉट्स

Octonions

1,\;e_1,\;e_2,\;\dots,\;e_(15),\;7e_2 + \frac(2)(5)e_7 - \frac(1)(3)e_(15),\ ;\बिंदु

Cedenions |शीर्षक5=अन्य
संख्या प्रणाली

|सूची5=कार्डिनल नंबर - आपको निश्चित रूप से इसे बिस्तर पर ले जाना होगा, यह यहां संभव नहीं होगा...
मरीज़ डॉक्टरों, राजकुमारियों और नौकरों से इतना घिरा हुआ था कि पियरे ने अब भूरे बालों के साथ उस लाल-पीले सिर को नहीं देखा, जो इस तथ्य के बावजूद कि उसने अन्य चेहरों को देखा, पूरी सेवा के दौरान एक पल के लिए भी उसकी दृष्टि नहीं छोड़ी। पियरे ने कुर्सी के आस-पास के लोगों की सावधानी से चलने वाली हरकत से अनुमान लगाया कि मरते हुए आदमी को उठाकर ले जाया जा रहा है।
"मेरा हाथ पकड़ो, तुम मुझे ऐसे ही छोड़ दोगे," उसने नौकरों में से एक की भयभीत फुसफुसाहट सुनी, "नीचे से... वहाँ एक और है," आवाजें आईं, और भारी साँसें और कदम चल रहे थे लोगों के पैर और भी तेज़ हो गए, मानो जो वज़न वे उठा रहे थे वह उनकी ताकत से परे था।
वाहक, जिनमें से अन्ना मिखाइलोव्ना भी थी, ने युवक के साथ बराबरी की, और एक पल के लिए, लोगों के सिर के पीछे और पीछे से, उसने एक ऊँची, मोटी, खुली छाती, रोगी के मोटे कंधों को देखा, ऊपर की ओर लोगों ने उसे बाहों के नीचे पकड़ रखा था, और भूरे बालों वाला, घुंघराले, शेर का सिर। असामान्य रूप से चौड़े माथे और गालों, सुंदर कामुक मुंह और राजसी ठंडी निगाहों वाला यह सिर, मृत्यु की निकटता से विकृत नहीं हुआ था। वह वैसी ही थी जैसी पियरे उसे तीन महीने पहले जानता था, जब काउंट ने उसे पीटर्सबर्ग जाने दिया था। लेकिन यह सिर वाहकों के असमान कदमों से असहाय होकर हिल गया, और ठंडी, उदासीन निगाहों को नहीं पता था कि कहाँ रुकना है।
ऊँचे बिस्तर के चारों ओर उपद्रव के कई मिनट बीत गए; बीमार आदमी को ले जा रहे लोग तितर-बितर हो गये। अन्ना मिखाइलोव्ना ने पियरे का हाथ छुआ और उससे कहा: "वेनेज़।" [जाओ।] पियरे उसके साथ उस बिस्तर पर चला गया जिस पर बीमार व्यक्ति को उत्सव की मुद्रा में लिटाया गया था, जो स्पष्ट रूप से उस संस्कार से संबंधित था जो अभी-अभी संपन्न हुआ था। वह तकिये पर सिर ऊँचा करके लेटा हुआ था। उसके हाथ हरे रेशमी कम्बल पर सममित रूप से फैले हुए थे, हथेलियाँ नीचे। जब पियरे पास आया, तो काउंट ने सीधे उसकी ओर देखा, लेकिन उसने ऐसी नज़र से देखा जिसका अर्थ और अर्थ कोई व्यक्ति नहीं समझ सकता। या तो इस नज़र ने कुछ भी नहीं कहा, सिवाय इसके कि जब तक आपकी आँखें हैं, आपको कहीं न कहीं देखना चाहिए, या यह बहुत कुछ कहता है। पियरे रुक गए, न जाने क्या किया, और अपनी नेता अन्ना मिखाइलोव्ना की ओर प्रश्नवाचक दृष्टि से देखा। अन्ना मिखाइलोवना ने अपनी आँखों से मरीज के हाथ की ओर इशारा करते हुए और अपने होठों से उसे चूमने का जल्दबाजी वाला इशारा किया। पियरे ने परिश्रमपूर्वक अपनी गर्दन टेढ़ी की ताकि कंबल में न फंस जाए, उसकी सलाह का पालन किया और बड़े-हड्डियों वाले और मांसल हाथ को चूम लिया। काउंट का एक भी हाथ, चेहरे की एक भी मांसपेशी कांप नहीं रही थी। पियरे ने फिर से अन्ना मिखाइलोव्ना की ओर प्रश्नवाचक दृष्टि से देखा, अब पूछ रहा है कि उसे क्या करना चाहिए। अन्ना मिखाइलोव्ना ने अपनी आँखों से उसे बिस्तर के बगल में खड़ी कुर्सी की ओर इशारा किया। पियरे आज्ञाकारी ढंग से कुर्सी पर बैठना शुरू कर दिया, उसकी आँखें पूछती रहीं कि क्या उसने वह किया है जो आवश्यक था। अन्ना मिखाइलोव्ना ने सहमति में सिर हिलाया। पियरे ने फिर से एक मिस्र की मूर्ति की सममित रूप से भोली स्थिति ग्रहण की, जाहिरा तौर पर पछतावा हुआ कि उसके अनाड़ी और मोटे शरीर ने इतनी बड़ी जगह घेर ली, और जितना संभव हो उतना छोटा दिखने के लिए अपनी सारी मानसिक शक्ति का उपयोग किया। उसने गिनती देखी. काउंट ने उस स्थान को देखा जहां पियरे का चेहरा खड़ा था। अन्ना मिखाइलोव्ना ने, अपनी स्थिति में, पिता और पुत्र के बीच मुलाकात के इस अंतिम क्षण के मार्मिक महत्व के बारे में जागरूकता दिखाई। यह दो मिनट तक चला, जो पियरे को एक घंटे के बराबर लगा। अचानक गिनती के चेहरे की बड़ी मांसपेशियों और झुर्रियों में एक कंपकंपी दिखाई दी। कंपकंपी तेज हो गई, खूबसूरत मुंह टेढ़ा हो गया (तभी पियरे को एहसास हुआ कि उसके पिता मौत के कितने करीब थे), और टेढ़े मुंह से एक अस्पष्ट कर्कश आवाज सुनाई दी। अन्ना मिखाइलोव्ना ने ध्यान से मरीज की आँखों में देखा और यह अनुमान लगाने की कोशिश की कि उसे क्या चाहिए, पहले पियरे की ओर इशारा किया, फिर ड्रिंक की ओर, फिर एक प्रश्नवाचक फुसफुसाहट में प्रिंस वसीली को बुलाया, फिर कंबल की ओर इशारा किया। मरीज की आंखों और चेहरे पर अधीरता झलक रही थी। उसने नौकर की ओर देखने का प्रयास किया, जो लगातार बिस्तर के सिरहाने खड़ा था।
"वे दूसरी तरफ मुड़ना चाहते हैं," नौकर फुसफुसाया और काउंट के भारी शरीर को दीवार की ओर मोड़ने के लिए खड़ा हो गया।
पियरे नौकर की मदद के लिए उठ खड़ा हुआ।
जब गिनती पलटी जा रही थी, तो उसका एक हाथ असहाय होकर पीछे गिर गया और उसने उसे खींचने का व्यर्थ प्रयास किया। क्या काउंट ने डरावनी दृष्टि देखी जिसके साथ पियरे ने इस बेजान हाथ को देखा, या उस पल उसके मरते हुए सिर में और क्या विचार कौंध गया, लेकिन उसने अवज्ञाकारी हाथ को देखा, पियरे के चेहरे पर डरावनी अभिव्यक्ति को, फिर से हाथ, और चेहरे पर एक कमजोर, पीड़ादायक मुस्कान दिखाई दी जो उसकी विशेषताओं के अनुकूल नहीं थी, जो उसकी अपनी शक्तिहीनता का एक प्रकार का उपहास व्यक्त कर रही थी। अचानक, इस मुस्कुराहट को देखते ही, पियरे को अपने सीने में सिहरन महसूस हुई, उसकी नाक में चुभन महसूस हुई और आंसुओं के कारण उसकी दृष्टि धुंधली हो गई। मरीज को दीवार के सहारे उसकी तरफ कर दिया गया। उसने आह भरी।
"इल इस्ट असुपी, [उसे झपकी आ गई," एना मिखाइलोवना ने कहा, यह देखते हुए कि राजकुमारी उसकी जगह लेने आ रही है। - एलोन्स। [के लिए चलते हैं।]
पियरे चला गया.

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