Unmöglichkeit, einen Winkel in drei gleiche Teile zu teilen. Konstruktion und Winkelteilung Einen Winkel in 3 Teile teilen

Die Entstehung des Problems der Dreiteilung eines Winkels (d. h. der Aufteilung eines Winkels in drei gleiche Teile) wird durch die Notwendigkeit bestimmt, das Problem der Konstruktion regelmäßiger Vielecke zu lösen. Der Bau eines regelmäßigen Fünfecks mit Zirkel und Lineal muss bei den Pythagoräern großen Eindruck gemacht haben, denn der regelmäßige fünfzackige Stern war ihr Erkennungszeichen (er symbolisierte Gesundheit). Die folgende Legende ist bekannt.

Ein Pythagoräer starb in einem fremden Land und konnte den Mann, der sich um ihn kümmerte, nicht bezahlen. Vor seinem Tod befahl er ihm, auf seinem Haus einen fünfzackigen Stern darzustellen: Wenn jemals ein Pythagoräer vorbeikäme, würde er auf jeden Fall danach fragen. Und tatsächlich sah ein paar Jahre später ein gewisser Pythagoräer dieses Zeichen und belohnte den Besitzer des Hauses.

Der Ursprung des Problems der Dreiteilung eines Winkels hängt auch mit praktischen Aktivitäten zusammen, insbesondere war die Fähigkeit, einen Kreis in gleiche Teile zu teilen, erforderlich, wenn ein Rad mit Speichen hergestellt wurde, das einen Winkel oder Kreisbogen in mehrere gleiche Teile teilte; war auch in der Architektur, bei der Herstellung von Ornamenten, in der Bautechnik und in der Astronomie notwendig.

Mit Zirkel und Lineal können Sie regelmäßige N-Ecke für n = 6 und 8 konstruieren, nicht jedoch für n = 7 und 9. Der Aufbau eines regelmäßigen Siebenecks ist ein interessantes Problem: Es kann mit der „Einfügungsmethode“ gelöst werden. Die Konstruktion eines regelmäßigen Siebenecks wurde von Archimedes vorgeschlagen. Aber Versuche, ein regelmäßiges Sechseck zu konstruieren, hätten zum Problem der Winkeldreiteilung führen müssen, denn um ein regelmäßiges Sechseck zu konstruieren, war es notwendig, einen Winkel von 360°/9 = 120/3 zu konstruieren, also einen Winkel von 120° zu teilen drei gleiche Teile.

Warum zogen die Griechen Zirkel und Lineale anderen Werkzeugen vor?

Wissenschaftler können diese Frage nicht eindeutig und überzeugend genug beantworten. Liegt es daran, dass Zirkel und Lineale die einfachsten Werkzeuge sind? Vielleicht so. Allerdings lassen sich noch viele andere Werkzeuge nennen, die so einfach wie ein Zirkel und ein Lineal oder fast so einfach sind. Mit Hilfe einiger von ihnen werden auch formulierte Probleme gelöst.

In der einschlägigen Literatur findet man Versuche, diese ungewöhnliche Sympathie der Griechen speziell für Zirkel und Lineale zu erklären. Jede geometrische Figur besteht aus zwei Arten von Linien – geraden oder gebogenen. Und jede Kurve besteht aus Kreisteilen unterschiedlichen Durchmessers. Darüber hinaus sind die Gerade und der Kreis die einzigen Linien mit konstanter Krümmung in der Ebene.

Einen rechten Winkel in drei gleiche Teile teilen.

In einigen Sonderfällen ist es einfach, einen Winkel zu teilen. So konnten die Pythagoräer einen rechten Winkel in drei gleiche Teile teilen, basierend auf der Tatsache, dass in einem gleichseitigen Dreieck jeder Winkel 60° beträgt.

Lassen Sie es notwendig sein, eine gerade Linie zu teilen (MAN.

Wir legen auf dem Strahl AN ein beliebiges Segment AC an, auf dem wir ein gleichseitiges Dreieck ACB konstruieren. Da (CAB gleich 60° ist, ist (BAM gleich 30°. Konstruieren wir die Winkelhalbierende AD des Winkels CAB, erhalten wir die gewünschte Aufteilung der Geraden (MAN in drei gleiche Winkel: (NAD, (DAB, (BAM .

Das Problem der Dreiteilung eines Winkels erweist sich für einige andere bestimmte Werte des Winkels als lösbar (z. B. für Winkel von 90° / 2n, wobei n eine natürliche Zahl ist). Dass sich ein Winkel nicht allein mit Zirkel und Lineal in drei gleiche Teile teilen lässt, wurde erst in der ersten Hälfte des 19. Jahrhunderts nachgewiesen.

Lösung mit der „Insertion“-Methode

Einige von den Griechen in Betracht gezogene Methoden der Winkeldreiteilung verwendeten die sogenannte Einfügungsmethode. Dabei ging es darum, die Position einer durch einen gegebenen Punkt O verlaufenden Geraden zu ermitteln, auf der zwei gegebene Geraden (oder eine Gerade und ein Kreis) ein Segment der gegebenen Länge a ausschneiden würden. Diese Konstruktion kann mit einem Zirkel und einem Lineal mit zwei Teilungen durchgeführt werden, deren Abstand a beträgt.

Mit „Einsätzen“ lässt sich die Ecke ganz einfach in drei gleiche Teile teilen. Nehmen wir einen beliebigen Punkt A auf der Seite des Winkels mit Scheitelpunkt B und lassen von dort eine Senkrechte AC auf die andere Seite fallen.

Zeichnen wir einen Strahl durch Punkt A, gleichgerichtet mit Strahl BC. Fügen wir nun zwischen den Strahlen AC und l ein Segment DE der Länge 2AB ein, so dass seine Fortsetzung durch Punkt B verläuft. Dann gilt (EBC = (ABC/3. Tatsächlich sei G der Mittelpunkt des Segments DE. Punkt A liegt auf a Kreis mit Durchmesser DE, also AG = GE = DE/2 = AB. Dreiecke BAG und AGE sind gleichschenklig, also (ABG = (AGB = 2(AEG = 2(EBC.

Pappus von Alexandria zeigte, dass das Problem des „Einfügens“ eines Segments zwischen gegebenen senkrechten Linien l1 und l2 darauf hinausläuft, den Schnittpunkt eines Kreises und einer Hyperbel zu konstruieren. Betrachten Sie ein Rechteck ABCD, dessen Verlängerungen BC und CD gegebene Geraden sind, und Scheitelpunkt A ist ein gegebener Punkt, durch den wir eine Linie zeichnen müssen, die die Geraden l1 und l2 an den Punkten E und F schneidet, so dass das Segment EF a hat gegebene Länge.

Vervollständigen wir das Dreieck DEF zum Parallelogramm DEFG. Um die gewünschte Linie zu konstruieren, reicht es aus, Punkt G zu konstruieren und dann durch Punkt A eine Linie parallel zur Linie DG zu zeichnen. Punkt G ist von Punkt D um einen gegebenen Abstand DG = EF entfernt, sodass Punkt G auf einem konstruierbaren Kreis liegt.

Andererseits ergibt sich aus der Ähnlichkeit der Dreiecke ABF und EDA AB: ED = BF: AD, also ED*BF=AB*AD. Folglich ist FG*BF=AB*AD = SABCD, d. h. der Punkt G liegt auf der Hyperbel (wenn man die Ox- und Oy-Achsen entlang der Strahlen BF und BA richtet, dann ist diese Hyperbel durch die Gleichung xy = SABCD gegeben)

Lösung mit einer Quadratrix

Zu den „Grammatik“-Problemen gehört das Problem, einen Winkel in einem beliebigen Verhältnis zu teilen. Die erste Kurve zur Lösung eines solchen Problems wurde von Hippias von Elis erfunden. Später (beginnend mit Dinostratus) wurde diese Kurve auch zur Lösung der Quadratur eines Kreises verwendet. Leibniz nannte diese Kurve eine Quadratmatrix.

Es wird wie folgt erhalten. Die Enden des Segments B′C′ bewegen sich gleichmäßig entlang der Seiten BA bzw. CD im Quadrat ABCD, und das Segment AN dreht sich gleichmäßig um Punkt A. Das Segment B′C′ fällt im Anfangsmoment mit zusammen Segment BC, und das Segment AN fällt mit dem Segment AB zusammen; beide Segmente erreichen gleichzeitig ihre Endposition AD. Eine Quadrattrix ist eine Kurve, die durch den Schnittpunkt der Segmente B′C′ und AN beschrieben wird.

Um den spitzen Winkel φ in gewisser Weise zu teilen, ist es notwendig, in der obigen Zeichnung den Winkel DAL = φ einzutragen, wobei L auf der Quadratmatrix liegt. Lassen Sie uns die Senkrechte LH auf die Strecke AD fallen lassen. Teilen wir diese Senkrechte im erforderlichen Verhältnis durch Punkt P. Zeichnen wir eine Strecke parallel zu AD durch P, bis sie die Quadratrix im Punkt Q schneidet; Der Strahl AQ teilt den Winkel LAD im erforderlichen Verhältnis, da nach der Definition einer Quadrattrix (LAQ: (QAD = (LP: (LH.

Praktische Arbeit zur Konstruktion von Winkeldreisektoren

Durch die „Einfüge“-Methode

Verwendung einer Quadratrix

Lösung mit dem Satz von Morley

Da sich kein Winkel in drei gleiche Teile teilen lässt, können wir das Winkeldreiteilungsproblem in umgekehrter Reihenfolge mithilfe des Satzes von Morley lösen.

Satz. Lassen Sie die Dreisektoren der Winkel B und C, die der Seite BC am nächsten liegen, sich im Punkt A1 schneiden; Die Punkte B1 und C1 werden auf ähnliche Weise bestimmt. Dann ist das Dreieck A1B1C1 gleichseitig und die Strecke C1C steht senkrecht zur Basis des regelmäßigen Dreiecks.

Lösen wir das folgende Problem: Konstruieren Sie ein Dreieck mit Dreisektoren aus allen Winkeln.

Konstruktionsplan.

1) Konstruieren wir zwei beliebige Winkel (BAC1 und (ABC1), von denen eine Seite gemeinsam ist.

Die konstruierten Winkel müssen die Ungleichung erfüllen:

2) Der Strahl AC1 sei die Symmetrieachse. Spiegeln wir (BAC1 relativ zur AC1-Achse. Ebenso spiegeln wir es relativ zur BC1-Achse (ABC1.

3) Der Strahl AC2 sei die Symmetrieachse. Spiegeln wir (C1AC2 relativ zur AC2-Achse. Ebenso spiegeln wir relativ zur BC2-Achse (C1ВC2.

4) Verbinden Sie die Schnittpunkte der Trisektoren C1 und C2 mit dem Segment C1C2.

5) Der Satz von Morley besagt, dass, wenn sich die Dreisektoren eines Dreiecks schneiden, ein regelmäßiges Dreieck entsteht und die Strecke C1C2 senkrecht zur Basis eines regelmäßigen Dreiecks steht und durch die Spitze dieses Dreiecks verläuft. Um ein regelmäßiges Dreieck zu konstruieren und dessen Höhe zu kennen, ist es notwendig: a) Strahlen zu konstruieren, die vom Punkt C1 in einem Winkel von 30 ° relativ zum Segment C1C2 ausgehen; b) Markieren Sie die Schnittpunkte der konstruierten Strahlen mit Dreisektoren mit den Buchstaben B1 und A1; c) Verbinden Sie die Punkte A1, B1, C1. Wir erhalten ein gleichseitiges Dreieck A1B1C1.

6) Zeichnen wir Strahlen vom Punkt C, die durch die Eckpunkte eines regelmäßigen Dreiecks B1 und A1 verlaufen.

Lassen wir in der Abbildung die Segmente der Dreisektoren des Dreiecks.

Wir haben ein Dreieck ABC konstruiert, bei dem aus allen Winkeln Dreisektoren gezeichnet wurden.

Unlösbarkeit der Dreiteilung eines Winkels mit Zirkel und Lineal

Um zu beweisen, dass es unmöglich ist, einen beliebigen Winkel mit Zirkel und Lineal in drei gleiche Teile zu teilen, reicht es zu beweisen, dass es unmöglich ist, einen bestimmten bestimmten Winkel auf diese Weise zu teilen. Wir werden beweisen, dass es mit Zirkel und Lineal unmöglich ist, einen Winkel von 30° zu dreiteilen. Wir führen das Koordinatensystem Oxy ein, indem wir den Scheitelpunkt dieses Winkels AOB als Koordinatenursprung wählen und die Ox-Achse entlang der Seite OA richten. Wir können davon ausgehen, dass die Punkte A und B um einen Abstand von 1 vom Punkt O entfernt sind. Beim Problem der Dreiteilung eines Winkels ist es dann erforderlich, einen Punkt (cosφ, sinφ) aus einem Punkt mit den Koordinaten (cos 3φ, Sünde 3φ). Im Fall φ=10° hat der Startpunkt Koordinaten. Beide Koordinaten werden in Quadratradikalen ausgedrückt. Daher reicht es zu beweisen, dass die Zahl sin 10° nicht in Quadratwurzeln ausgedrückt wird.

Da sin3φ = sin(φ + 2φ) =

sin(α + β) = sinα cosβ + cosα sinβ

Sinφ cos2φ + cosφ sin2φ =

cos2α = cos2α - sin2α

sin2α = 2sinα cosα

Sinφ(cos2φ - sin2φ) + cosφ(2sinφ cosφ) =

sin2α + cos2α = 1 cos2α = 1 - sin2α

Sinφ(1 - sin2φ - sin2φ) + 2sinφ cos2φ =

Sinφ(1 - 2sin2φ) + 2sinφ(1 - sin2φ) =

Sinφ(1 - 2sin2φ + 2 - 2sin2φ) =

Sinφ(3 - 4sin2φ) =

3sinφ - 4sin3φ sin3φ = 3sinφ - 4sin3φ, dann erfüllt die Zahl x = sin 10° die kubische Gleichung

3x - 4x3 = ½ (φ =10°, 3φ =30°, sin3φ = ½)

8x3 - 6x + 1 = 0

(2x)3 -3*2x + 1 = 0

Es genügt zu beweisen, dass diese Gleichung keine rationalen Wurzeln hat. Nehmen Sie an, dass 2x=p/q, wobei p und q ganze Zahlen sind, die keine gemeinsamen Faktoren haben. Dann ist p3 – 3pq2 + q3 = 0, also q3=p(3q2-p2). Daher ist die Zahl q durch p teilbar, was p=±1 bedeutet. Daher ist ±13q2 + q3 =0, also q2(q±3)= ±1. Die Zahl 1 ist durch q teilbar, also ist q=±1. Als Ergebnis erhalten wir x = ±1/2. Es lässt sich leicht überprüfen, dass die Werte ±1/2 nicht die Wurzeln der Gleichung sind. Es liegt ein Widerspruch vor, daher hat die Gleichung keine rationalen Wurzeln, was bedeutet, dass die Zahl sin10° nicht in Quadratwurzeln ausgedrückt werden kann.

Anwendung

Bei der Konstruktion regelmäßiger Polygone ist eine Winkeldreiteilung erforderlich. Wir betrachten den Bauvorgang am Beispiel eines regelmäßigen Sechsecks, das in einen Kreis eingeschrieben ist.

Konstruieren Sie ein rechtwinkliges Dreieck ABC. Wir konstruieren die Trisektoren BC1 und BC2. Die resultierenden Winkel betrugen 30°. Wir teilen einen der resultierenden Winkel in zwei Winkelhalbierende von 15°. Zum rechten Winkel „addieren“ wir auf jeder Seite 15°. Wir konstruieren erneut die Dreisektoren des resultierenden Winkels DBE. Wir wiederholen dies noch zweimal und drehen das Dreieck am Punkt B, sodass DB mit der vorherigen Position BE übereinstimmt. Verbinden Sie die resultierenden Punkte.

Es ist uns gelungen, durch die Konstruktion von Dreisektoren ein regelmäßiges Neuneck zu konstruieren.

Dreisektor

Das Problem der Winkeldreiteilung lässt sich im allgemeinen Fall nicht mit Zirkel und Lineal lösen, was aber nicht bedeutet, dass dieses Problem nicht auch mit anderen Hilfsmitteln gelöst werden kann.

Um dieses Ziel zu erreichen, wurden viele mechanische Geräte, sogenannte Trisektoren, erfunden. Der einfachste Dreisektor lässt sich leicht aus dickem Papier, Pappe oder dünnem Blech herstellen. Es dient als Hilfszeichenwerkzeug.

Dreisektor und Schema seiner Anwendung.

Der an den Halbkreis angrenzende Streifen AB ist gleich lang wie der Radius des Halbkreises. Die Kante des Streifens BD bildet mit der Geraden AC einen rechten Winkel; es berührt den Halbkreis im Punkt B; Die Länge dieses Streifens ist beliebig. Die gleiche Abbildung zeigt die Verwendung eines Dreisektors. Angenommen, Sie möchten den Winkel KSM in drei gleiche Teile teilen

Der Dreisektor wird so platziert, dass der Scheitelpunkt des Winkels S auf der Linie BD liegt, eine Seite des Winkels durch Punkt A verläuft und die andere Seite den Halbkreis berührt. Dann werden die Geraden SB und SO gezeichnet und die Aufteilung dieses Winkels in drei gleiche Teile ist abgeschlossen. Um dies zu beweisen, verbinden wir den geraden Mittelpunkt des Halbkreises O mit dem Tangentenpunkt N durch ein Segment. Es ist leicht zu überprüfen, dass das Dreieck ASB gleich dem Dreieck SBO und das Dreieck SBO gleich dem Dreieck OSN ist. Aus der Gleichheit dieser drei Dreiecke folgt, dass die Winkel ASB, BS0 und 0SN einander gleich sind, was bewiesen werden musste.

Diese Methode der Winkeldreiteilung ist nicht rein geometrisch; man kann es eher als mechanisch bezeichnen.

Dreisektorenuhr

(Gebrauchsanweisung)

Ausrüstung: Kompass, Lineal, Uhr mit Zeigern, Bleistift, Transparentpapier.

Fortschritt:

Übertragen Sie die Figur dieses Winkels auf Transparentpapier und platzieren Sie die Zeichnung in dem Moment, in dem beide Uhrzeiger ausgerichtet sind, so auf dem Zifferblatt, dass die Spitze des Winkels mit dem Drehzentrum der Zeiger übereinstimmt und eine Seite des Winkels entlang geht die Hände.

Zeichnen Sie in dem Moment, in dem sich der Minutenzeiger der Uhr in die Richtung der zweiten Seite dieses Winkels bewegt, einen Strahl vom oberen Ende des Winkels im Uhrzeigersinn. Es entsteht ein Winkel, der dem Drehwinkel des Zeigers im Uhrzeigersinn entspricht. Verdoppeln Sie nun mit Zirkel und Lineal diesen Winkel und verdoppeln Sie den doppelten Winkel erneut. Der auf diese Weise erhaltene Winkel beträgt ⅓ davon.

Tatsächlich bewegt sich der Stundenzeiger jedes Mal, wenn der Minutenzeiger einen bestimmten Winkel beschreibt, in dieser Zeit auf einen 12-mal kleineren Winkel, und nachdem dieser Winkel um das 4-fache vergrößert wurde, erhält man den Winkel (a/12) * 4 = ⅓ a.

Abschluss

Daher haben unlösbare Konstruktionsprobleme in der Geschichte der Mathematik eine besondere Rolle gespielt. Letztendlich wurde bewiesen, dass diese Probleme nicht allein mit Zirkel und Lineal gelöst werden konnten. Aber schon die Formulierung der Aufgabe – „die Unlösbarkeit nachweisen“ – war ein mutiger Schritt nach vorne.

Gleichzeitig wurden viele Lösungen mithilfe nicht-traditioneller Tools vorgeschlagen. All dies führte zur Entstehung und Entwicklung völlig neuer Ideen in Geometrie und Algebra.

Nach Abschluss und Analyse meiner Forschungsarbeit bin ich zu folgenden Schlussfolgerungen gelangt:

✓ die Entstehung solcher Probleme wurde durch ihre praktische Bedeutung bestimmt (insbesondere die Konstruktion regelmäßiger Vielecke);

✓ solche Probleme führen zur Entwicklung neuer Methoden und Theorien (die „Einfügungsmethode“, das Erscheinen der Quadratrix, der Satz von Morley);

✓ Unlösbare Probleme ziehen mehr Aufmerksamkeit in der Wissenschaft auf sich: Eine Lösung zu finden oder eine Unmöglichkeit zu beweisen, ist eine große Ehre.

Und ich habe auch gelernt:

✓ über Mathematiker, die dieses Problem untersucht haben;

✓ neue Konzepte, Begriffe (Dreiteilung, Trisektor, Quadratrix) und Theoreme (Morley) und gelernt:

✓ effektiv das benötigte Material finden und auswählen;

✓ das erworbene Wissen systematisieren;

✓ Forschungsarbeiten richtig formatieren.

Die Konstruktion und Teilung von Winkeln erfolgt mit einem Winkelmesser, viele Winkel lassen sich aber auch mit Winkel und Zirkel konstruieren und sogar teilen. Mit einem Lineal und Quadraten mit den Winkeln 30°, 60°, 90° und 45°, 45°, 90° können Sie jeden Winkel konstruieren, der ein Vielfaches von 15° ist.

Im Thema „Querlatte“ zeigt einer davon, welche Quadratkombinationen beim Aufbau verschiedener Winkel verwendet werden. Berücksichtigen Sie bei der Konstruktion verschiedener Winkel sorgfältig die Position der Quadrate und nutzen Sie dieses Wissen bei der Erstellung von Zeichnungen. In der pädagogischen Praxis wird beim Anfertigen von Zeichnungen der Einsatz eines Winkelmessers auf ein Minimum beschränkt.

Teilen eines spitzen Winkels in zwei gleiche Teile

Das Teilen eines spitzen Winkels in gleiche Teile erfolgt mit Zirkel und Lineal. Betrachten wir die Ermittlung der Winkelhalbierenden am Beispiel der Division des Winkels BAC durch den Scheitelpunkt am Punkt A. Durch Punkt A mit einem beliebigen Radius R bauen wir einen Bogen, bis sich die Seiten des Winkels an den Punkten 1 und 2 schneiden. Durch Punkt 1 mit demselben Radius bauen wir einen weiteren Bogen und führen dasselbe durch Punkt 2 durch.

Zwei sich schneidende Bögen ergeben den Punkt K, den wir mit Punkt A verbinden. Die Gerade AK teilt den Winkel BAC in zwei gleiche Teile und ist seine Winkelhalbierende.

Teilen eines Winkels mit entferntem Scheitelpunkt in zwei gleiche Teile

Angenommen, wir kennen die Teile AB und CD der Seiten eines solchen Winkels. Wir konstruieren zwei parallele Linien, die von den Seiten des Winkels um einen Abstand entfernt sind, der dem Abstand L entspricht. Der Abstand sollte so gewählt werden, dass sich die ausgewählten Linien auf dem Blatt Papier schneiden, beispielsweise im Punkt M. Als nächstes sind alle Konstruktionen durchgeführt, die beim Teilen eines spitzen Winkels in zwei gleiche Teile durchgeführt wurden.

Die resultierende Gerade MN teilt den gegebenen Winkel in zwei gleiche Teile und ist seine Winkelhalbierende.

Einen rechten Winkel in drei gleiche Teile teilen

Um einen rechten Winkel (z. B. den Winkel BCD) in drei gleiche Teile zu teilen, zeichnen Sie vom Scheitelpunkt des Winkels (Punkt C) einen Bogen mit einem beliebigen Radius R, bis er die Seiten des Winkels an den Punkten 1 und 2 schneidet. Von Punkte 1 und 2, ausgehend von den Mittelpunkten, mit Radius R, Bögen zeichnen, die Bogen 1-2 an den Punkten M und N schneiden, wir erhalten Winkel 1CM = MCN = NC2 = 30°.

Einen Winkel mit Zirkel und Lineal in drei gleiche Teile teilen (Dreiteilung eines Winkels).

Anmerkung:

Es wird ein allgemeiner Ansatz zur Lösung von Problemen beim Teilen eines Winkels in gleiche Teile mithilfe eines Zirkels und eines Lineals vorgeschlagen. Als Beispiel wird die Teilung eines Winkels in drei gleiche Teile dargestellt (Dreiteilung eines Winkels).

Stichworte:

Ecke; einen Winkel teilen; Dreiteilung eines Winkels.

Einführung.

Die Dreiteilung eines Winkels ist das Problem, einen gegebenen Winkel durch die Konstruktion eines Zirkels und eines Lineals in drei gleiche Teile zu teilen. Mit anderen Worten, es ist notwendig, Winkeldreisektoren zu konstruieren – Strahlen, die den Winkel in drei gleiche Teile teilen. Zusammen mit den Problemen der Quadratur des Kreises und der Verdoppelung des Würfels ist es eines der klassischen unlösbaren Konstruktionsprobleme, die seit der Zeit des antiken Griechenlands bekannt sind.

Zweck Dieser Artikel ist ein Beweis für den Irrtum der obigen Aussage über die Unlösbarkeit, zumindest in Bezug auf das Problem der Dreiteilung eines Winkels.

Die vorgeschlagene Lösung erfordert keine komplexen Konstruktionen,nahezu universell und ermöglicht die Aufteilung von Ecken in beliebig viele gleiche Teile , wodurch Sie wiederum beliebige regelmäßige Polygone konstruieren können.

Einführender Teil.

Zeichnen wir eine gerade LinieA und konstruiere ∆CDE darauf. Nennen wir es „einfach“ (Abb. 1).

Online auswählenA Beliebiger Punkt F und zeichne eine weitere gerade LinieB durch Punkt F und Scheitelpunkt D des Dreiecks. OnlineB Nehmen wir zwei beliebige Punkte G und H und verbinden sie mit den Punkten C und E, wie in Abb. 1 gezeigt. Die Analyse der Abbildung ermöglicht es uns, die folgenden offensichtlichen Beziehungen zwischen den Winkeln aufzuschreiben:

1. α 1 -α 3 =y 1 ; α 3 -α 5 =y 3 ; α 1 -α 5 =y 1 +y 3 ;

2. α 2 -α 4 =y 2 ; α 4 -α 6 =y 4 ; α 2 -α 6 =y 2 +y 4 ;

3. J 1 /y 2 =y 3 /y 4 ;

Erklärung1. zu Punkt 3: Die Winkel - ∟C,∟D,∟E seien die Winkel an den entsprechenden Eckpunkten des Basisdreiecks ∆CDE. Dann können wir schreiben:

∟C+∟D+∟E=180 0 – Winkelsumme ∆CDE;

∟C+y 2 +∟D-(y 2 +y 1 )+∟E+y 1 =180 0 – Winkelsumme ∆CGE;

Lass dich 1 /y 2 =n oder y 1 =n*y 2 , Dann,

∟C+y 2 +∟D-(y 2 +y 1 )+∟E+n*y 2 =180 0

Winkelsumme ∆CHE:

∟C+(y 2 +y 4 )+∟D-(y 2 +y 4 +y 1 +y 3 )+∟E+n*(y 2 +y 4 )=180 0 , Wo

j 1 +y 3 =n*(y 2 +y 4 ) oder y 1 +y 3 =n*y 2 +n*y 4 , und seit y 1 =n*y 2 ,Das

j 3 =n*y 4 und deshalb j 1 /y 2 =y 3 /y 4 =n.

Nehmen Sie als nächstes zwei beliebige Punkte auf der LinieA – N und M und zeichne zwei Linien durch sieC UndD wie in Abb.2 dargestellt. Es ist offensichtlich, auch aus dem zuvor Gesagten, dass das Verhältnis der Änderungen der entsprechenden Winkel auf den Linien c und d ein konstanter Wert ist, d. h.: (β 1 -β 3 )/(β 3 -β 5 )= (β 2 -β 4 )/(β 4 -β 6 )=y 1 /y 3 = y 2 /y 4 ;

Teilen eines Winkels in drei gleiche Teile.

Tragen Sie auf einem Kreis mit Mittelpunkt im Punkt A den Winkel E ein 1 A.E. 2 =β (siehe Abb. 3.1). Auf der gegenüberliegenden Seite des Kreises platzieren wir drei Winkel symmetrisch – CAC 1 , C 1 A.C. 2 , C 2 A.C. 3 jeweils gleich β. Winkel E teilen 1 A.E. 2 , an den Punkten K 1 ,K 3 , in drei gleiche Winkel - ∟E 1 A.K. 1 , ∟K 1 A.K. 3 , ∟K 3 A.E. 2 gleich β/3. Zeichnen wir gerade Linien durch Punkte auf dem Kreis, wie in Abb. 3.1. Verbinden Sie die Punkte C, E mit geraden Linien 1 und C 2 ,E. (siehe Abb. 3.2)

Durch Punkt K – der Schnittpunkt der Linien und Punkt K 1 Zeichnen wir eine gerade Linie. Wählen wir einen beliebigen Punkt K auf dieser Geraden 2 und zeichne von den Punkten C und C aus zwei gerade Linien durch ihn 2 .

Es ist nicht schwer zu erkennen, dass Abb. 3.2 ist, wenn man die Kreislinie entfernt, fast identisch mit Abb. 2. (Der Übersichtlichkeit halber wurde eine gestrichelte Linie CC hinzugefügt 2 ). Dies bedeutet, dass hier alle oben genannten Beziehungen gelten, nämlich für Winkel, die in drei gleiche Teile geteilt werden müssen, die Beziehung y gilt 1 /y 2 =y 3 /y 4 =1/2 (siehe Erläuterung 1 im Einleitungsteil). Aus Abbildung 3.2 wird deutlich, wie man einen Winkel in drei gleiche Teile teilt.

Betrachten Sie als Beispiel die Aufteilung des Winkels β=50 in drei gleiche Teile 0 .

Variante 1.

Auf einem Kreis mit Mittelpunkt A zeichnen wir mit einem Zirkel symmetrisch zueinander und dem Durchmesser CB (siehe Abb. 4.1) Bögen C 1 C 2 =B 1 B 2 =B 2 B 3 =B 1 B 4 gleich β=50 0 - relativ zum Mittelpunkt des Kreises. Halbbogen C 1 C 2 – CC 1 in zwei Hälften teilen (Punkt D). Zeichnen Sie gerade Linien durch die Punkte B 1 sowohl D als auch Punkt B 3 und C. Verbinden Sie die Punkte B 1 und C, B 3 und C 1 . Wir verbinden die Schnittpunkte F und E der zuvor gezeichneten Linien miteinander. Der resultierende Winkel α=C 1 AG, wobei G der Schnittpunkt der Geraden FE mit dem Kreis ist, ist gleich β/3.

Option 2.

Auf einem Kreis mit Mittelpunkt A zeichnen wir mit dem Zirkel symmetrisch zueinander und dem Durchmesser CB (siehe Abb. 4.2) Bögen C 1 C 2 =B 1 B 2 =B 2 B 3 =B 1 B 4 =β=50 0 - relativ zum Mittelpunkt des Kreises. Verbindungspunkte B 1 und C, B 3 und C 1 . Legen Sie die Winkel y beiseite 2 =2y 1 (siehe Abbildung 4.2) aus den Linien B 1 C und B 3 C 1 und zeichne gerade Linien, die diesen Winkeln entsprechen. Wir verbinden die Schnittpunkte F und E der zuvor gezeichneten Linien miteinander. Der resultierende Winkel α=C 1 AG≈16,67 0 , wobei G der Schnittpunkt der Linie FE mit dem Kreis ist, gleich β/3.

Vollständige Konstruktion zur Aufteilung eines Winkels in drei gleiche Teile (am Beispiel des Winkels β=50). 0 ), dargestellt in Abb.5

Teilen eines Winkels in eine ungerade Anzahl (>3) gleicher Winkel.

Betrachten Sie als Beispiel die Division des Winkels β=35 0 in fünf gleiche Winkel.

Methode Nr. 1.

Auf einem Kreis mit Mittelpunkt A zeichnen wir mit einem Zirkel die Winkel C symmetrisch zueinander und zum Durchmesser CB ein 2 A.C. 1 =B 1 AB 2 =B 2 AB 3 =B 3 AB 4 =B 4 AB 5 =B 5 AB 6 =β=35 0 .(siehe Abb.6)

Winkel C teilen 2 AC gleich halbem Winkel C 2 A.C. 1 an Punkt E halbieren. Verbinde die Punkte

E,C 2 ,B 1 ,B 2 ,B 3 Wie in Abbildung 6 gezeigt, verwenden wir als nächstes Option 2 aus dem zuvor gegebenen Beispiel, um den Winkel zu teilen, da Option 1 zum Teilen von Winkeln in eine ungerade Anzahl von >3 gleichen Winkeln offensichtlich nicht anwendbar ist. Aus den Zeilen B 3 E und B 1 C 2 an den Punkten B 3 und B 1 dementsprechend legen wir die Winkel y beiseite 1 Andy 2 im Verhältnis 1:4. Von den Punkten B 3 und B 1 Zeichnen Sie gerade Linien, die diesen Winkeln entsprechen, bis sie sich im Punkt N schneiden. Winkel C 2 AK=α=7 0 wird das sein, wonach Sie suchen.

Methode Nr. 2.

Diese Methode (siehe Abb. 7) ähnelt der ersten mit dem einzigen Unterschied, dass ¼ des Winkels C2AC1 für die Konstruktion verwendet wird – der Winkel EAC neben der Mittellinie des Kreises BC. Der Vorteil dieser Methode besteht darin, dass sie die Unterteilung eines Winkels in eine große Anzahl von Winkeln – 7, 9, 11 usw. – erleichtert.

Konstruktion eines regelmäßigen Siebenecks.

Nehmen wir an, dass n die Anzahl der Partitionen ist (die Anzahl der Sektoren, in die der Winkel unterteilt ist).

Dann wennn-1=2 k (1), wok – eine beliebige ganze Zahl, dann wird der Winkel in eine Stufe unterteilt, wie zuvor gezeigt wurde. Wennn-1≠2 k (2) – dann wird der Winkel in zwei Stufen unterteilt, zunächst inn-1 , und dann weiterN . In allen Fällen ist folgendes Verhältnis einzuhalten:j 1 /y 2 = 1/n-1 (3).

Lassen Sie uns dies am Beispiel der Konstruktion eines regelmäßigen Siebenecks erläutern.

Um ein Siebeneck zu konstruieren, müssen Sie den 1/7-Teil eines Winkels von 60 finden 0 , multiplizieren Sie ihn mit sechs und zeichnen Sie den resultierenden Winkel siebenmal um den Kreis herum (dies ist eine der möglichen Optionen). Da 7-1=6 ist, beträgt der Winkel gemäß Formel (2) 60° 0 Wir werden es in zwei Phasen unterteilen. Im ersten Schritt dividieren wir durch sechs und im zweiten Schritt durch sieben. Dazu teilen wir den Winkel durch 30 0 in drei gleich große 10er-Sektoren 0 (siehe Abb. 8), wobei als einfachste Option die am Anfang des Artikels beschriebene Option 1 verwendet wird. Der resultierende Winkel ECL=10 0 von der Mittellinie des Kreises entfernt platzieren (siehe Abb. 9). Wir gehen davon aus, dass der Winkel ECL zum Winkel 60 gehört, der symmetrisch zur Mittellinie verläuft 0 .

Als nächstes finden Sie den 1/7-Teil eines Winkels von 60 0 Wir verwenden die zuvor beschriebene Methode Nr. 2. Zu diesem Zweck legen wir den Winkel D beiseite 1 CD 2 =60 0 symmetrisch zur Mittellinie und Winkel D 2 CD 3 =60 0 daneben. An den Punkten D 1 und D 3 Konstruieren wir die Winkel y 1 Andy 2 zu den Zeilen D 1 E und D 3 L entsprechend unter Beachtung der Proportionen gemäß Formel (3) – also 1 zu 6.

Zeichnen wir gerade Linien im Winkel y 1 Andy 2 . Verbinden wir die Schnittpunkte G und F der entsprechenden Geraden. Winkel LCH=60 0 /7. Lassen Sie uns diesen Winkel sechsmal von Punkt L nach Punkt B beiseite legen. Lassen Sie uns den resultierenden Winkel BCL noch sechsmal beiseite legen, und als Ergebnis erhalten wir das Siebeneck LBKFMNA.

Abschluss.

Die in diesem Artikel vorgeschlagene Methode zur Aufteilung eines Winkels in gleiche Teile weist eine Einschränkung auf: Sie kann nicht direkt für Winkel > 60 verwendet werden 0 , was jedoch im Hinblick auf die grundsätzliche Lösbarkeit des Problems nicht so bedeutsam ist.

Literaturverzeichnis:

1. Metelsky N.V. Mathematik. Sekundarschullehrgang für Studienbewerber an Universitäten und Fachschulen. Ed. 3. Stereotyp. Mn.: „Höchster. Schule“, 1975, 688 S. aus Abb.

Als Anwendung können wir nun die Lösung eines beliebten mathematischen Problems angehen, das bereits angesprochen wurde, nämlich das Problem der Teilung eines beliebigen Winkels in gleiche Teile, insbesondere für das Problem der Dreiteilung eines Winkels. Die Aufgabe besteht darin, mit Zirkel und Lineal eine exakte Konstruktion zu finden, die jeden Winkel in drei gleiche Teile teilt. Für eine Reihe spezieller Winkelwerte lassen sich solche Konstruktionen leicht finden. Ich möchte Sie in den Gedankengang des Beweises der Unmöglichkeit der Dreiteilung eines Winkels im angegebenen Sinne einführen; Gleichzeitig bitte ich Sie, sich an den Beweis zu erinnern, dass es unmöglich ist, mit Zirkel und Lineal ein regelmäßiges Siebeneck zu konstruieren. Wie in diesem Beweis reduzieren wir das Problem auf eine irreduzible kubische Gleichung und zeigen dann, dass es nicht allein durch Quadratwurzeln gelöst werden kann. Aber erst jetzt enthält die Gleichung einen Parameter – den Winkel –, während die Koeffizienten vorher ganze Zahlen waren; Dementsprechend müsste nun anstelle der numerischen Irreduzibilität eine funktionale Irreduzibilität auftreten.

Um eine Gleichung zu erhalten, die unser Problem aufzeichnet, stellen Sie sich vor, dass auf der positiven Halbachse der reellen Zahlen ein Winkel konstruiert wird (Abb. 41); dann schneidet seine zweite Seite an diesem Punkt einen Kreis mit dem Radius 1

Unsere Aufgabe besteht darin, eine von der Größe des Winkels unabhängige Konstruktion zu finden, die aus einer endlichen Anzahl von Operationen mit Zirkel und Lineal besteht und jedes Mal den Schnittpunkt dieses Kreises mit der Seite des Winkels ergibt, d. h. , ein Punkt

Dieser z-Wert erfüllt die Gleichung

und das analytische Äquivalent unseres geometrischen Problems besteht darin, diese Gleichung durch eine endliche Anzahl von Quadratwurzeln rationaler Funktionen zu lösen, denn diese sind die Koordinaten des Punktes w, von dem aus wir bei unserer Konstruktion beginnen müssen.

Zunächst müssen wir sicherstellen, dass Gleichung (3) aus funktionstheoretischer Sicht irreduzibel ist. Diese Gleichung passt zwar nicht ganz zu der Art von Gleichungen, die wir in den vorherigen allgemeinen Diskussionen im Sinn hatten: Anstelle eines rational eingegebenen komplexen Parameters w gibt es hier zwei rational eingegebene Funktionen – Kosinus und Sinus – eines reellen Parameters Wir nennen ein Polynom hier reduzierbar, vorausgesetzt, es zerfällt in Polynome in Bezug auf , deren Koeffizienten ebenfalls rationale Funktionen von sind. Wir können ein in diesem Sinne verstandenes Reduzierbarkeitskriterium angeben, das dem vorherigen sehr ähnlich ist. Läuft man nämlich in Gleichung (3) alle reellen Werte durch, so durchläuft man gleichzeitig einen Kreis mit dem Radius 1 in der Ebene w, der aufgrund der stereographischen Projektion dem Äquator auf der Kugel w entspricht. Eine über diesem Kreis auf der Riemannschen Fläche der Gleichung liegende und gleichzeitig durch alle drei Blätter verlaufende Linie wird mit (3) eins zu eins auf einen Kreis mit Radius 1 der Kugel abgebildet und kann daher einigermaßen aufgerufen werden sein „eindimensionales Riemannsches Bild“. Es ist klar, dass es auf ähnliche Weise möglich ist, ein solches Riemannsches Bild für jede Gleichung der Form zu konstruieren; Dazu müssen Sie so viele Kopien von Kreisen mit Radius 1 und Bogenlänge nehmen, wie Wurzeln der Gleichung vorhanden sind, und diese entsprechend der Konnektivität der Wurzeln befestigen.

Als nächstes schließen wir, ganz ähnlich wie im vorherigen, dass die Gleichung nur reduzierbar sein könnte, wenn ihr eindimensionales Riemannsches Bild in einzelne Teile aufgeteilt würde, aber in diesem Fall ist dies nicht der Fall und daher ist die Irreduzibilität unserer Gleichung ( 3) ist bewiesen.

Der vorherige Beweis, dass jede kubische Gleichung mit rationalen numerischen Koeffizienten, die durch eine Reihe von Quadratwurzeln lösbar ist, reduzierbar ist, kann wörtlich auf den vorliegenden Fall der Gleichung (3) übertragen werden, die im funktionalen Sinne irreduzibel ist; Alles, was Sie tun müssen, ist, anstelle der Worte „rationale Zahlen“ jedes Mal zu sagen, „rationale Funktionen von“. Danach ist unsere Aussage vollständig bewiesen, dass es unmöglich ist, sie durch eine endliche Anzahl von Operationen (mit einem Zirkel und einem Lineal) auszuführen ), einen beliebigen Winkel auf diese Weise in drei Teile zu teilen, sind alle Bemühungen von Menschen, die sich mit der Dreiteilung eines Winkels beschäftigen, zur ewigen Sinnlosigkeit verdammt!

Betrachten wir nun ein etwas komplexeres Beispiel.

Einen Winkel in zwei Hälften teilen (Abbildung 26, a). Von oben IN Winkel ABC beliebiger Radius R 1 Zeichnen Sie einen Bogen, bis er die Seiten des Winkels an Punkten schneidet M Und N . Dann von den Punkten M Und N Zeichnen Sie Bögen mit einem Radius > R 1 bis sie sich am Punkt kreuzen D . Gerade BD teilt den angegebenen Winkel in zwei Hälften.

Die Aufteilung des Winkels in 4, 8 usw. gleiche Teile erfolgt durch sequentielles Teilen jedes Teils des Winkels in zwei Hälften (Abbildung 26, b).

Abbildung 26

Wenn der Winkel beispielsweise durch Seiten angegeben wird, die sich nicht innerhalb der Zeichnung schneiden AB Und CD In Abbildung 26, c erfolgt die Halbierung des Winkels wie folgt. In beliebiger, aber gleicher Entfernung l Von den Seiten des Winkels werden gerade Linien gezeichnet KL || AB Und MN || CD und setze sie fort, bis sie sich am Punkt kreuzen UM . Resultierender Winkel L AN eine gerade Linie halbieren VON . Gerade VON halbiert auch den angegebenen Winkel.

Einen rechten Winkel in drei gleiche Teile teilen (Abbildung 27). Vom Scheitelpunkt eines rechten Winkels - ein Punkt IN Zeichne einen Bogen mit beliebigem Radius R bis es beide Seiten des Winkels punktuell schneidet A Und C . Gleicher Radius R aus Punkten A Und MIT Zeichnen Sie Bögen, bis sie den Bogen schneiden A.C. an Punkten M Und N . Linien, die durch den Scheitelpunkt eines Winkels gezogen werden IN und Punkte M Und N , teile den rechten Winkel in drei gleiche Teile.

Abbildung 27

2.4 Einen Kreis in gleiche Teile teilen, regelmäßige Vielecke konstruieren

2.4.1 Einen Kreis in gleiche Teile teilen und regelmäßige eingeschriebene Polygone konstruieren

Um einen Kreis in zwei Hälften zu teilen, reicht es aus, einen Kreis zu zeichnen Durchmesser. Zwei zueinander senkrechte Durchmesser teilen den Kreis in vier gleiche Teile (Abbildung 28, a). Wenn man jeden vierten Teil in zwei Hälften teilt, erhält man Achtel, bei weiterer Teilung Sechzehntel, Zweiunddreißigstel usw. (Abbildung 28, b). Wenn Sie gerade anschließen Teilungspunkte, dann können Sie die Seiten eines regelmäßigen beschrifteten Quadrats erhalten (A 4 ), Achteck ( A 8 ) und T . d. (Abbildung 28, c).

Abbildung 28

Einen Kreis in 3, 6, 12 usw. gleiche Teile teilen, und auch Konstruktion entsprechender regelmäßiger eingeschriebener Polygone wie folgt durchgeführt. Im Kreis sind zwei zueinander senkrechte Durchmesser eingezeichnet 1–2 Und 3–4 (Abbildung 29 a). Aus Punkten 1 Und 2 wie Bögen mit dem Radius eines Kreises von Mittelpunkten aus beschrieben werden R bevor er es punktuell schneidet A, B, C Und D . Punkte A ,B ,1, C, D Und 2 Teilen Sie den Kreis in sechs gleiche Teile. Dieselben Punkte, durch eins genommen, teilen den Kreis in drei gleiche Teile (Abbildung 29, b). Um einen Kreis in 12 gleiche Teile zu teilen, beschreiben Sie zwei weitere Bögen mit dem Radius des Kreises aus Punkten 3 Und 4 (Abbildung 29, c).

Abbildung 29

Mit einem Lineal und einem 30°- und 60°-Quadrat können Sie auch regelmäßige beschriftete Dreiecke, Sechsecke usw. konstruieren. Abbildung 30 zeigt eine ähnliche Konstruktion für ein eingeschriebenes Dreieck.

Abbildung 30

Einen Kreis in sieben gleiche Teile teilen und die Konstruktion eines regelmäßigen beschrifteten Siebenecks (Abbildung 31) erfolgt unter Verwendung der Hälfte der Seite des beschrifteten Dreiecks, die ungefähr der Seite des beschrifteten Siebenecks entspricht.

Abbildung 31

Einen Kreis in fünf oder zehn Teile teilen gleiche Teile Zeichnen Sie zwei zueinander senkrechte Durchmesser (Abbildung 32, a). Radius O.A. in zwei Hälften teilen und einen Punkt erhalten IN , beschreiben Sie daraus einen Bogen mit einem Radius R = B.C. bis es sich am Punkt schneidet D mit horizontalem Durchmesser. Abstand zwischen Punkten C Und D gleich der Seitenlänge eines regelmäßig beschrifteten Fünfecks ( A 5 ) und das Segment Außendurchmesser gleich der Seitenlänge eines regelmäßig beschrifteten Zehnecks ( A 10 ). Die Aufteilung eines Kreises in fünf und zehn gleiche Teile sowie die Konstruktion eingeschriebener regelmäßiger Fünf- und Zehnecke sind in Abbildung 32, b dargestellt. Ein Beispiel für die Aufteilung eines Kreises in fünf Teile ist ein fünfzackiger Stern (Abbildung 32, c).

Abbildung 32

Abbildung 33 zeigt allgemeine Methode zur ungefähren Aufteilung eines Kreises in gleiche Teile . Angenommen, Sie möchten einen Kreis in neun gleiche Teile teilen. Im Kreis sind zwei zueinander senkrechte Durchmesser und ein vertikaler Durchmesser eingezeichnet AB durch eine Hilfsgerade in neun gleiche Teile geteilt (Abbildung 33, a). Von diesem Punkt B Beschreiben Sie einen Bogen mit Radius R =AB , und an seinem Schnittpunkt mit der Fortsetzung des horizontalen Durchmessers werden Punkte erhalten MIT Und D . Aus Punkten C Und D durch Teilungspunkte mit geradem oder ungeradem Durchmesser AB Strahlen leiten. Die Schnittpunkte der Strahlen mit dem Kreis teilen ihn in neun gleiche Teile (Abbildung 33, b).

Abbildung 33

Bei der Konstruktion ist zu berücksichtigen, dass diese Methode der Aufteilung eines Kreises in gleiche Teile eine besonders hohe Genauigkeit bei der Ausführung aller Vorgänge erfordert.