Können erzwungene Schwingungen auftreten? Erzwungene Vibrationen. Dann hat die Bewegungsgleichung des Systems die Form

Wenden wir uns wieder Abbildung 53 zu. Indem wir die Kugel von Punkt O (Gleichgewichtsposition) zu Punkt B bewegen, dehnen wir die Feder. Gleichzeitig leisten wir einen Beitrag zur Überwindung der Elastizitätskraft, wodurch die Feder potentielle Energie erhält. Lässt man nun die Kugel los, so nimmt bei Annäherung an den Punkt O die Verformung der Feder und die potentielle Energie des Pendels ab, während Geschwindigkeit und kinetische Energie zunehmen.

Nehmen wir an, dass der Energieverlust zur Überwindung der Reibungskräfte während der Bewegung des Pendels vernachlässigbar ist. Dann kann gemäß dem Energieerhaltungssatz die gesamte mechanische Energie des Pendels (d. h. E p + E k) zu jedem Zeitpunkt als gleich und gleich der potentiellen Energie betrachtet werden, die wir ursprünglich der Feder verliehen haben. es um die Länge des Segments OB strecken. In diesem Fall könnte das Pendel beliebig lange mit einer konstanten Amplitude gleich OB schwingen.

Dies wäre der Fall, wenn es bei der Bewegung zu keinen Energieverlusten käme.

Aber in Wirklichkeit gibt es immer Energieverluste. Mechanische Energie wird beispielsweise für die Verrichtung von Arbeiten zur Überwindung der Luftwiderstandskräfte aufgewendet und in innere Energie umgewandelt. Die Amplitude der Schwingungen nimmt allmählich ab und nach einiger Zeit hören die Schwingungen auf. Solche Schwingungen werden gedämpft genannt (Abb. 66).

Reis. 66. Diagramme der Amplitude freier Schwingungen in Wasser und Luft über der Zeit

Je größer der Bewegungswiderstand ist, desto schneller hören die Vibrationen auf. Beispielsweise klingen Schwingungen in Wasser schneller ab als in Luft (Abb. 66, a, b).

Bisher haben wir freie Schwingungen betrachtet, also Schwingungen, die aufgrund der anfänglichen Energiereserve auftreten.

Freie Schwingungen werden immer gedämpft, da die gesamte zunächst dem Schwingsystem zugeführte Energie letztendlich in die Überwindung der Reibungs- und Widerstandskräfte des Mediums fließt (d. h. mechanische Energie wird in innere Energie umgewandelt). Daher haben freie Schwingungen fast keine praktische Anwendung.

Damit die Schwingungen ungedämpft bleiben, ist es notwendig, die in jeder Schwingungsperiode verlorene Energie wieder aufzufüllen. Dies kann dadurch erfolgen, dass auf einen schwingenden Körper eine periodisch wechselnde Kraft einwirkt. Indem Sie beispielsweise eine Schaukel jedes Mal im Takt ihrer Vibrationen anschieben, können Sie sicherstellen, dass die Vibrationen nicht nachlassen.

• Schwingungen, die ein Körper unter dem Einfluss einer äußeren, sich periodisch ändernden Kraft ausführt, werden als erzwungene Schwingungen bezeichnet

Die äußere periodisch variierende Kraft, die diese Schwingungen verursacht, wird aufgerufen Zwangsgewalt.

Wenn auf eine stationäre Schaukel eine sich periodisch ändernde Antriebskraft einzuwirken beginnt, nimmt die Amplitude der erzwungenen Schwingungen der Schaukel für einige Zeit zu, d. h. die Amplitude jeder nachfolgenden Schwingung wird größer als die vorherige. Der Anstieg der Amplitude stoppt, wenn die Energie, die der Schwung zur Überwindung der Reibungskraft verliert, gleich der Energie wird, die er von außen erhält (aufgrund der Arbeit der Antriebskraft).

In den meisten Fällen stellt sich eine konstante Frequenz erzwungener Schwingungen nicht sofort, sondern erst einige Zeit nach ihrem Einsetzen ein.

Wenn sich Amplitude und Frequenz der erzwungenen Schwingungen nicht mehr ändern, spricht man von der Entstehung der Schwingungen.

Die Frequenz stationärer erzwungener Schwingungen ist gleich der Frequenz der Antriebskraft.

Erzwungene Schwingungen können auch von Körpern ausgeführt werden, die keine schwingungsfähigen Systeme sind, beispielsweise der Nadel einer Nähmaschine, Kolben in einem Verbrennungsmotor und vielen anderen. Schwingungen solcher Körper treten ebenfalls mit der Frequenz der Antriebskraft auf.

Erzwungene Schwingungen sind ungedämpft. Sie treten auf, solange die zwingende Kraft wirkt.

Fragen

1. Was lässt sich über die gesamte mechanische Energie eines schwingenden Pendels zu jedem Zeitpunkt sagen, vorausgesetzt, dass kein Energieverlust auftritt? Nach welchem ​​Recht lässt sich das sagen?
2. Wie verändert sich die Amplitude der unter realen Bedingungen auftretenden freien Schwingungen im Laufe der Zeit? Was ist der Grund für diese Änderung?
3. Wo hört das Pendel auf, schneller zu schwingen – in der Luft oder im Wasser? Warum? (Die anfängliche Energiereserve ist in beiden Fällen gleich.)
4. Können freie Schwingungen ungedämpft sein? Warum? Was muss getan werden, damit die Schwingungen ungedämpft sind?
5. Was lässt sich über die Frequenz stationärer erzwungener Schwingungen und die Frequenz der Antriebskraft sagen?
6. Können Körper, die keine schwingungsfähigen Systeme sind, erzwungene Schwingungen ausführen? Nenne Beispiele.
7. Wie lange treten erzwungene Schwingungen auf?

Übung 25

Erzwungene Schwingungen sind Schwingungen, die in einem System auftreten, wenn eine externe, sich periodisch ändernde Kraft, eine sogenannte treibende Kraft, auf das System einwirkt.

Die Art (Zeitabhängigkeit) der treibenden Kraft kann unterschiedlich sein. Dies kann eine Kraft sein, die sich nach einem harmonischen Gesetz ändert. Beispielsweise trifft eine Schallwelle, deren Quelle eine Stimmgabel ist, auf das Trommelfell oder die Mikrofonmembran. Auf die Membran beginnt eine sich harmonisch verändernde Luftdruckkraft einzuwirken.

Die Antriebskraft kann in Form von Stößen oder kurzen Impulsen erfolgen. Beispielsweise schaukelt ein Erwachsener ein Kind auf einer Schaukel und stößt es regelmäßig in dem Moment an, in dem die Schaukel eine ihrer Extrempositionen erreicht.

Unsere Aufgabe ist es herauszufinden, wie das schwingungsfähige System auf den Einfluss einer sich periodisch ändernden Antriebskraft reagiert.

§ 1 Die Antriebskraft ändert sich nach dem harmonischen Gesetz

F widerstehen = - rv x und zwingende Kraft F out = F 0 sin wt.

Newtons zweites Gesetz wird wie folgt geschrieben:

Die Lösung der Gleichung (1) wird in der Form gesucht, wobei die Lösung der Gleichung (1) ist, wenn sie nicht die rechte Seite hätte. Es ist ersichtlich, dass die Gleichung ohne die rechte Seite in die bekannte Gleichung gedämpfter Schwingungen übergeht, deren Lösung wir bereits kennen. Über einen ausreichend langen Zeitraum werden die freien Schwingungen, die im System entstehen, wenn es aus der Gleichgewichtslage entfernt wird, praktisch aussterben und nur der zweite Term bleibt in der Lösung der Gleichung übrig. Wir werden im Formular nach dieser Lösung suchen
Lassen Sie uns die Begriffe anders gruppieren:

Diese Gleichheit muss zu jedem Zeitpunkt t erfüllt sein, was nur möglich ist, wenn die Koeffizienten von Sinus und Cosinus gleich Null sind.

Ein Körper, auf den eine treibende Kraft einwirkt, die sich nach einem harmonischen Gesetz verändert, führt also eine Schwingungsbewegung mit der Frequenz der treibenden Kraft aus.

Betrachten wir die Frage nach der Amplitude erzwungener Schwingungen genauer:

1 Die Amplitude stationärer erzwungener Schwingungen ändert sich im Laufe der Zeit nicht. (Vergleichen Sie mit der Amplitude frei gedämpfter Schwingungen).

2 Die Amplitude erzwungener Schwingungen ist direkt proportional zur Amplitude der Antriebskraft.

3 Die Amplitude hängt von der Reibung im System ab (A hängt von d ab, und der Dämpfungskoeffizient d wiederum hängt vom Luftwiderstandsbeiwert r ab). Je größer die Reibung im System ist, desto geringer ist die Amplitude der erzwungenen Schwingungen.

4 Die Amplitude erzwungener Schwingungen hängt von der Frequenz der Antriebskraft w ab. Wie? Lassen Sie uns die Funktion A(w) untersuchen.

Bei w = 0 (auf das Schwingsystem wirkt eine konstante Kraft) ist die Auslenkung des Körpers über die Zeit konstant (es ist zu beachten, dass es sich hierbei um einen stationären Zustand handelt, bei dem die Eigenschwingungen nahezu erloschen sind).

· Wenn w ® ¥, dann geht die Amplitude A, wie man leicht erkennen kann, gegen Null.

· Es ist offensichtlich, dass bei einer bestimmten Frequenz der Antriebskraft die Amplitude der erzwungenen Schwingungen den größten Wert annimmt (für ein gegebenes d). Das Phänomen eines starken Anstiegs der Amplitude erzwungener Schwingungen bei einem bestimmten Wert der Frequenz der Antriebskraft wird als mechanische Resonanz bezeichnet.

Interessant ist, dass der Gütefaktor des Schwingsystems in diesem Fall zeigt, wie oft die Resonanzamplitude die Verschiebung des Körpers aus der Gleichgewichtslage unter Einwirkung einer konstanten Kraft F 0 übersteigt.

Wir sehen, dass sowohl die Resonanzfrequenz als auch die Resonanzamplitude vom Dämpfungskoeffizienten d abhängen. Wenn d auf Null sinkt, steigt die Resonanzfrequenz und tendiert zur natürlichen Schwingungsfrequenz des Systems w 0 . In diesem Fall nimmt die Resonanzamplitude zu und geht bei d = 0 gegen Unendlich. Natürlich kann die Amplitude von Schwingungen in der Praxis nicht unendlich sein, da in realen Schwingungssystemen immer Widerstandskräfte wirken. Wenn das System eine geringe Dämpfung aufweist, können wir ungefähr davon ausgehen, dass Resonanz bei der Frequenz seiner eigenen Schwingungen auftritt:

wobei es sich im betrachteten Fall um die Phasenverschiebung zwischen der Antriebskraft und der Verschiebung des Körpers aus der Gleichgewichtslage handelt.

Es ist leicht zu erkennen, dass die Phasenverschiebung zwischen Kraft und Weg von der Reibung im System und der Frequenz der äußeren Antriebskraft abhängt. Diese Abhängigkeit ist in der Abbildung dargestellt. Es ist klar, wann< тангенс принимает отрицательные значения, а при >- positiv.

Wenn man die Abhängigkeit vom Winkel kennt, kann man die Abhängigkeit von der Frequenz der Antriebskraft ermitteln.

Bei Frequenzen der äußeren Kraft, die deutlich kleiner als die der natürlichen Kraft sind, hinkt die Verschiebung der treibenden Kraft in der Phase etwas hinterher. Mit zunehmender Frequenz der äußeren Kraft nimmt diese Phasenverzögerung zu. Bei Resonanz (wenn klein) beträgt die Phasenverschiebung . Bei >> treten die Weg- und Kraftschwingungen gegenphasig auf. Diese Abhängigkeit mag auf den ersten Blick seltsam erscheinen. Um diese Tatsache zu verstehen, wenden wir uns den Energieumwandlungen im Prozess erzwungener Schwingungen zu.

§ 2 Energieumwandlungen

Wie wir bereits wissen, wird die Amplitude von Schwingungen durch die Gesamtenergie des Schwingungssystems bestimmt. Es wurde zuvor gezeigt, dass die Amplitude erzwungener Schwingungen über die Zeit unverändert bleibt. Dies bedeutet, dass sich die gesamte mechanische Energie des Schwingungssystems im Laufe der Zeit nicht ändert. Warum? Schließlich ist das System nicht geschlossen! Zwei Kräfte – eine externe, sich periodisch ändernde Kraft und eine Widerstandskraft – leisten Arbeit, die die Gesamtenergie des Systems verändern muss.

Versuchen wir herauszufinden, was los ist. Die Kraft der externen Antriebskraft lässt sich wie folgt ermitteln:

Wir sehen, dass die Kraft der äußeren Kraft, die das Schwingsystem mit Energie versorgt, proportional zur Schwingungsamplitude ist.

Durch die Arbeit der Widerstandskraft sollte die Energie des Schwingsystems abnehmen und in innere Energie umgewandelt werden. Widerstandskraft:

Offensichtlich ist die Stärke der Widerstandskraft proportional zum Quadrat der Amplitude. Lassen Sie uns beide Abhängigkeiten in einem Diagramm darstellen.

Damit die Schwingungen stabil sind (die Amplitude ändert sich im Laufe der Zeit), muss die Arbeit der äußeren Kraft während der Periode den Energieverlust des Systems aufgrund der Arbeit der Widerstandskraft ausgleichen. Der Schnittpunkt der Leistungsgraphen entspricht genau diesem Regime. Stellen wir uns vor, dass die Amplitude der erzwungenen Schwingungen aus irgendeinem Grund abgenommen hat. Dies führt dazu, dass die momentane Kraft der äußeren Kraft größer ist als die Kraft der Verluste. Dies führt zu einer Erhöhung der Energie des Schwingungssystems und die Amplitude der Schwingungen kehrt zu ihrem vorherigen Wert zurück.

In ähnlicher Weise kann man davon überzeugt sein, dass bei einer zufälligen Zunahme der Schwingungsamplitude die Leistungsverluste die Leistung der äußeren Kraft übersteigen, was zu einer Verringerung der Energie des Systems und folglich zu eine Abnahme der Amplitude.

Kehren wir zur Frage der Phasenverschiebung zwischen der Verschiebung und der Antriebskraft bei Resonanz zurück. Wir haben bereits gezeigt, dass die Verschiebung hinterherhinkt und daher die Kraft der Verschiebung um vorauseilt. Andererseits liegt die Geschwindigkeitsprojektion im Prozess harmonischer Schwingungen immer vor der Koordinate um . Das bedeutet, dass bei der Resonanz äußere Antriebskraft und Geschwindigkeit in der gleichen Phase schwingen. Dies bedeutet, dass sie jederzeit gemeinsam Regie führen! Die Arbeit der äußeren Kraft ist in diesem Fall immer positiv, sie alle dient dazu, das Schwingsystem mit Energie aufzufüllen.

§ 3 Nichtsinusförmiger periodischer Einfluss

Erzwungene Schwingungen des Oszillators sind bei jedem periodischen äußeren Einfluss möglich, nicht nur bei sinusförmigen. In diesem Fall sind die erzeugten Schwingungen im Allgemeinen nicht sinusförmig, sondern stellen eine periodische Bewegung dar, deren Periode der Periode des äußeren Einflusses entspricht.

Ein äußerer Einfluss kann beispielsweise aufeinanderfolgende Erschütterungen sein (denken Sie daran, wie ein Erwachsener ein auf einer Schaukel sitzendes Kind „schaukelt“). Wenn die Periode äußerer Erschütterungen mit der Periode natürlicher Schwingungen zusammenfällt, kann es zu Resonanzen im System kommen. Die Schwingungen werden nahezu sinusförmig sein. Die bei jedem Stoß auf das System übertragene Energie gleicht die gesamte durch Reibung verlorene Energie des Systems aus. Es ist klar, dass in diesem Fall Optionen möglich sind: Wenn die beim Stoß übertragene Energie gleich den Reibungsverlusten pro Periode ist oder diese übersteigt, sind die Schwingungen entweder stabil oder ihr Umfang nimmt zu. Dies ist im Phasendiagramm deutlich zu erkennen.

Es liegt auf der Hand, dass Resonanz auch dann möglich ist, wenn die Wiederholungsdauer von Stößen ein Vielfaches der Eigenschwingungsdauer beträgt. Dies ist aufgrund der sinusförmigen Natur des äußeren Einflusses nicht möglich.

Andererseits wird möglicherweise keine Resonanz beobachtet, selbst wenn die Stoßfrequenz mit der Eigenfrequenz übereinstimmt. Wenn nur die Reibungsverluste während des Zeitraums die vom System während des Stoßes aufgenommene Energie übersteigen, verringert sich die Gesamtenergie des Systems und die Schwingungen werden gedämpft.

§ 4 Parametrische Resonanz

Äußere Einflüsse auf das Schwingsystem können auf periodische Änderungen der Parameter des Schwingsystems selbst reduziert werden. Die so angeregten Schwingungen heißen parametrisch, der Mechanismus selbst heißt parametrische Resonanz .

Zunächst werden wir versuchen, die Frage zu beantworten: Ist es möglich, die bereits im System vorhandenen kleinen Schwankungen aufzurütteln, indem man einige seiner Parameter periodisch auf eine bestimmte Weise ändert?

Betrachten Sie als Beispiel eine Person, die auf einer Schaukel schaukelt. Indem er seine Beine im „richtigen“ Moment beugt und streckt, verändert er tatsächlich die Länge des Pendels. In extremen Positionen geht eine Person in die Hocke und senkt dadurch den Schwerpunkt des Schwingungssystems leicht ab. In der mittleren Position richtet sich eine Person auf und hebt den Schwerpunkt des Systems an.

Um zu verstehen, warum eine Person gleichzeitig schaukelt, betrachten Sie ein extrem vereinfachtes Modell einer Person auf einer Schaukel – ein gewöhnliches kleines Pendel, also ein kleines Gewicht an einem leichten und langen Faden. Um das Heben und Senken des Schwerpunkts zu simulieren, führen wir das obere Ende des Fadens durch ein kleines Loch und ziehen den Faden in den Momenten, in denen das Pendel die Gleichgewichtsposition überschreitet, und senken den Faden um den gleichen Betrag ab, wenn die Pendel durchläuft die Extremposition.

Die Arbeit der Fadenspannungskraft pro Periode (unter Berücksichtigung, dass die Last zweimal pro Periode gehoben und gesenkt wird und dass D l << l):

Bitte beachten Sie, dass in Klammern nicht mehr als die dreifache Energie des Schwingsystems steht. Diese Größe ist übrigens positiv, also ist die Arbeit der Spannungskraft (unsere Arbeit) positiv, sie führt zu einer Erhöhung der Gesamtenergie des Systems und damit zum Schwingen des Pendels.

Interessanterweise hängt die relative Energieänderung über einen Zeitraum nicht davon ab, ob das Pendel schwach oder stark schwingt. Das ist sehr wichtig, und hier erfahren Sie, warum. Wenn das Pendel nicht mit Energie „aufgepumpt“ wird, verliert es für jede Periode einen bestimmten Teil seiner Energie durch die Reibungskraft und die Schwingungen erlöschen. Und damit der Schwingungsbereich zunimmt, ist es notwendig, dass die gewonnene Energie die zur Überwindung der Reibung verlorene Energie übersteigt. Und dieser Zustand ist, wie sich herausstellt, derselbe – sowohl für eine kleine als auch für eine große Amplitude.

Wenn beispielsweise in einer Periode die Energie freier Schwingungen um 6 % abnimmt, reicht es aus, die Länge eines 1 m langen Pendels in der Mittelstellung um 1 cm zu verringern und zu erhöhen, damit die Schwingungen nicht gedämpft werden in der Extremstellung um den gleichen Betrag.

Zurück zum Schwung: Wenn Sie mit dem Schwingen beginnen, müssen Sie nicht immer tiefer in die Hocke gehen – gehen Sie immer auf die gleiche Weise in die Hocke, und Sie werden immer höher fliegen!

*** Wieder Qualität!

Wie bereits erwähnt, muss für den parametrischen Aufbau von Schwingungen die Bedingung DE > A der Reibung pro Periode erfüllt sein.

Lassen Sie uns die Arbeit ermitteln, die die Reibungskraft über den Zeitraum verrichtet

Es ist ersichtlich, dass der relative Betrag, um den das Pendel angehoben wird, um es zu schwingen, durch den Qualitätsfaktor des Systems bestimmt wird.

§ 5 Die Bedeutung von Resonanz

Erzwungene Schwingungen und Resonanzen werden in der Technik häufig eingesetzt, insbesondere in der Akustik, Elektrotechnik und Funktechnik. Resonanz wird vor allem dann eingesetzt, wenn man aus einer großen Menge von Schwingungen unterschiedlicher Frequenz Schwingungen einer bestimmten Frequenz isolieren möchte. Resonanz wird auch bei der Untersuchung sehr schwacher, sich periodisch wiederholender Größen verwendet.

Allerdings ist Resonanz in manchen Fällen ein unerwünschtes Phänomen, da sie zu großen Verformungen und Zerstörungen von Strukturen führen kann.

§ 6 Beispiele zur Problemlösung

Aufgabe 1 Erzwungene Schwingungen eines Federpendels unter Einwirkung einer äußeren Sinuskraft.

Eine Last mit der Masse m = 10 g wurde an einer Feder mit der Steifigkeit k = 10 N/m aufgehängt und das System in ein viskoses Medium mit einem Widerstandskoeffizienten r = 0,1 kg/s gebracht. Vergleichen Sie die Eigen- und Resonanzfrequenzen des Systems. Bestimmen Sie die Amplitude der Schwingungen des Pendels bei Resonanz unter Einwirkung einer Sinuskraft mit einer Amplitude F 0 = 20 mN.

Lösung:

1 Die Eigenfrequenz eines Schwingsystems ist die Frequenz freier Schwingungen ohne Reibung. Die natürliche zyklische Frequenz ist gleich der Schwingfrequenz.

2 Resonanzfrequenz ist die Frequenz einer äußeren Antriebskraft, bei der die Amplitude erzwungener Schwingungen stark ansteigt. Die resonante zyklische Frequenz ist gleich, wobei der Dämpfungskoeffizient gleich ist.

Somit beträgt die Resonanzfrequenz. Es ist leicht zu erkennen, dass die Resonanzfrequenz kleiner als die Eigenfrequenz ist! Es ist auch klar, dass die Resonanzfrequenz umso näher an der Eigenfrequenz liegt, je geringer die Reibung im System (r) ist.

3 Die Resonanzamplitude beträgt

Aufgabe 2 Resonanzamplitude und Gütefaktor des Schwingsystems

Eine Last mit der Masse m = 100 g wurde an einer Feder mit der Steifigkeit k = 10 N/m aufgehängt und das System in ein viskoses Medium mit einem Widerstandskoeffizienten gebracht

r = 0,02 kg/s. Bestimmen Sie den Gütefaktor des Schwingsystems und die Amplitude der Schwingungen des Pendels bei Resonanz unter Einwirkung einer Sinuskraft mit einer Amplitude F 0 = 10 mN. Finden Sie das Verhältnis der Resonanzamplitude zur statischen Verschiebung unter dem Einfluss einer konstanten Kraft F 0 = 20 mN und vergleichen Sie dieses Verhältnis mit dem Gütefaktor.

Lösung:

1 Der Gütefaktor des Schwingsystems ist gleich , wobei das logarithmische Dämpfungsdekrement ist.

Das logarithmische Dämpfungsdekrement ist gleich.

Ermittlung des Gütefaktors des Schwingsystems.

2 Die Resonanzamplitude beträgt

3 Statische Verschiebung unter Einwirkung einer konstanten Kraft F 0 = 10 mN ist gleich .

4 Das Verhältnis der Resonanzamplitude zur statischen Verschiebung unter Einwirkung einer konstanten Kraft F 0 ist gleich

Es ist leicht zu erkennen, dass dieses Verhältnis mit dem Gütefaktor des schwingungsfähigen Systems übereinstimmt

Aufgabe 3 Resonanzschwingungen eines Balkens

Unter dem Einfluss des Gewichts des Elektromotors verbiegt sich der freitragende Tank, auf dem er montiert ist. Ab welcher Drehzahl des Motorankers kann Resonanzgefahr bestehen?

Lösung:

1 Das Motorgehäuse und der Träger, auf dem es montiert ist, erfahren periodische Stöße durch den rotierenden Anker des Motors und führen daher erzwungene Schwingungen mit der Frequenz der Stöße aus.

Resonanz wird beobachtet, wenn die Frequenz der Stöße mit der Eigenfrequenz der Vibration des Balkens mit dem Motor übereinstimmt. Es ist notwendig, die Eigenfrequenz der Schwingungen des Strahlmotorsystems zu ermitteln.

2 Ein Analogon des Strahlmotor-Schwingsystems kann ein vertikales Federpendel sein, dessen Masse gleich der Masse des Motors ist. Die Eigenfrequenz eines Federpendels beträgt . Die Federsteifigkeit und die Masse des Motors sind jedoch nicht bekannt! Was soll ich machen?

3 In der Gleichgewichtslage des Federpendels wird die Schwerkraft der Last durch die elastische Kraft der Feder ausgeglichen

4 Ermitteln Sie die Drehung des Motorankers, d. h. Schockfrequenz

Aufgabe 4 Erzwungene Schwingungen eines Federpendels unter dem Einfluss periodischer Stöße.

An einer Spiralfeder mit der Steifigkeit k = 20 N/m ist ein Gewicht mit der Masse m = 0,5 kg aufgehängt. Das logarithmische Dämpfungsdekrement des Schwingsystems ist gleich. Sie wollen das Gewicht mit kurzen Stößen schwingen und dabei für eine Zeit τ = 0,01 s mit einer Kraft F = 100 mN auf das Gewicht einwirken. Wie hoch sollte die Schlagfrequenz sein, damit die Amplitude des Gewichts am größten ist? An welchen Stellen und in welche Richtung sollte man die Kettlebell schieben? Bis zu welcher Amplitude lässt sich das Gewicht auf diese Weise schwingen?

Lösung:

1 Unter jeder periodischen Einwirkung können erzwungene Schwingungen auftreten. In diesem Fall erfolgt die stationäre Schwingung mit der Frequenz des äußeren Einflusses. Wenn die Periode äußerer Erschütterungen mit der Frequenz natürlicher Schwingungen übereinstimmt, kommt es zu Resonanzen im System – die Amplitude der Schwingungen wird am größten. Damit in unserem Fall Resonanz auftritt, muss die Periode der Stöße mit der Schwingungsperiode des Federpendels übereinstimmen.

Das logarithmische Dämpfungsdekrement ist klein, daher gibt es wenig Reibung im System und die Schwingungsdauer eines Pendels in einem viskosen Medium stimmt praktisch mit der Schwingungsdauer eines Pendels im Vakuum überein:

2 Offensichtlich muss die Richtung der Stöße mit der Geschwindigkeit des Gewichts übereinstimmen. In diesem Fall ist die Arbeit der externen Kraft, die das System mit Energie auffüllt, positiv. Und die Vibrationen werden schwanken. Energie, die das System während des Aufprallvorgangs erhält

wird am größten sein, wenn die Last die Gleichgewichtsposition überschreitet, da in dieser Position die Geschwindigkeit des Pendels maximal ist.

Daher schwingt das System unter Einwirkung von Stößen am schnellsten in Bewegungsrichtung der Last, wenn diese die Gleichgewichtslage durchläuft.

3 Die Schwingungsamplitude hört auf zu wachsen, wenn die während des Aufprallvorgangs auf das System übertragene Energie gleich dem Energieverlust aufgrund von Reibung während des Zeitraums ist: .

Den Energieverlust über einen Zeitraum ermitteln wir über den Gütefaktor des Schwingsystems

Dabei ist E die Gesamtenergie des Schwingsystems, die wie folgt berechnet werden kann.

Anstelle der Verlustenergie ersetzen wir die Energie, die das System beim Aufprall erhält:

Die maximale Geschwindigkeit während des Oszillationsvorgangs beträgt . Wenn wir dies berücksichtigen, erhalten wir .

§7 Aufgaben zur eigenständigen Lösung

Test „Erzwungene Vibrationen“

1 Welche Schwingungen werden als erzwungen bezeichnet?

A) Schwingungen, die unter dem Einfluss äußerer, sich periodisch ändernder Kräfte auftreten;

B) Schwingungen, die im System nach einem äußeren Schock auftreten;

2 Welche der folgenden Schwingungen wird erzwungen?

A) Schwingung einer an einer Feder aufgehängten Last nach ihrer einmaligen Abweichung von der Gleichgewichtslage;

B) Schwingung der Lautsprechermembran während des Betriebs des Empfängers;

B) Schwingung einer an einer Feder hängenden Last nach einem einzigen Schlag auf die Last in der Gleichgewichtsposition;

D) Vibration des Elektromotorgehäuses während seines Betriebs;

D) Vibrationen des Trommelfells einer Person, die Musik hört.

3 Auf ein schwingungsfähiges System mit eigener Frequenz wirkt eine äußere, gesetzmäßig variierende Antriebskraft. Der Dämpfungskoeffizient im Schwingsystem beträgt . Nach welchem ​​Gesetz ändern sich die Koordinaten eines Körpers im Laufe der Zeit?

C) Die Amplitude der erzwungenen Schwingungen bleibt unverändert, da der Energieverlust des Systems aufgrund der Reibung durch den Energiegewinn aufgrund der Arbeit der externen Antriebskraft ausgeglichen wird.

5 Das System führt unter Einwirkung einer Sinuskraft erzwungene Schwingungen aus. Angeben Alle Faktoren, von denen die Amplitude dieser Schwingungen abhängt.

A) Aus der Amplitude der äußeren Antriebskraft;

B) Das Vorhandensein von Energie im Schwingungssystem in dem Moment, in dem die äußere Kraft zu wirken beginnt;

C) Parameter des Schwingsystems selbst;

D) Reibung im Schwingsystem;

D) Das Vorhandensein natürlicher Schwingungen im System in dem Moment, in dem die äußere Kraft zu wirken beginnt;

E) Zeitpunkt der Entstehung von Schwingungen;

G) Frequenzen der externen Antriebskraft.

6 Ein Block der Masse m führt erzwungene harmonische Schwingungen entlang einer horizontalen Ebene mit der Periode T und der Amplitude A aus. Reibungskoeffizient μ. Welche Arbeit verrichtet die äußere Antriebskraft in einer Zeit, die der Periode T entspricht?

A) 4 μmgA; B) 2 μmgA; B) μmgA; D) 0;

D) Eine Antwort ist nicht möglich, da die Größe der äußeren Antriebskraft nicht bekannt ist.

7 Geben Sie eine korrekte Aussage ab

Resonanz ist ein Phänomen...

A) Übereinstimmung der Frequenz der äußeren Kraft mit der Eigenfrequenz des Schwingsystems;

B) Ein starker Anstieg der Amplitude erzwungener Schwingungen.

Unter dieser Bedingung wird Resonanz beobachtet

A) Reduzierung der Reibung im Schwingsystem;

B) Erhöhung der Amplitude der externen Antriebskraft;

C) Das Zusammentreffen der Frequenz der äußeren Kraft mit der Eigenfrequenz des Schwingungssystems;

D) Wenn die Frequenz der äußeren Kraft mit der Resonanzfrequenz übereinstimmt.

8 Das Phänomen der Resonanz kann beobachtet werden in...

A) In jedem oszillierenden System;

B) In einem System, das freie Schwingungen ausführt;

B) In einem selbstschwingenden System;

D) In ​​einem System, das erzwungenen Schwingungen unterliegt.

9 Die Abbildung zeigt grafisch die Abhängigkeit der Amplitude erzwungener Schwingungen von der Frequenz der Antriebskraft. Resonanz tritt bei einer Frequenz auf...

10 Drei identische Pendel, die sich in unterschiedlich viskosen Medien befinden, führen erzwungene Schwingungen aus. Die Abbildung zeigt die Resonanzkurven dieser Pendel. Welches Pendel erfährt beim Schwingen den größten Widerstand durch das viskose Medium?

A) 1; B) 2; UM 3;

D) Eine Antwort ist nicht möglich, da die Amplitude erzwungener Schwingungen neben der Frequenz der äußeren Kraft auch von deren Amplitude abhängt. Die Bedingung sagt nichts über die Amplitude der äußeren Antriebskraft aus.

11 Die Periode der Eigenschwingungen des Schwingsystems ist gleich T 0. Wie groß kann die Periode der Stöße sein, damit die Amplitude der Schwingungen stark ansteigt, also eine Resonanz im System entsteht?

A) T 0; B) T 0, 2 T 0, 3 T 0,…;

C) Die Schaukel kann mit Stößen beliebiger Frequenz geschaukelt werden.

12 Dein kleiner Bruder sitzt auf einer Schaukel, du schaukelst ihn mit kurzen Stößen. Wie lange sollte die Aufeinanderfolge von Schocks dauern, damit der Prozess am effizientesten abläuft? Die Periode der Eigenschwingungen des Schwungs T 0.

D) Die Schaukel kann mit Stößen beliebiger Frequenz geschaukelt werden.

13 Dein kleiner Bruder sitzt auf einer Schaukel, du schaukelst ihn mit kurzen Stößen. In welcher Position des Schwungs sollte der Stoß erfolgen und in welche Richtung sollte der Stoß erfolgen, damit der Vorgang am effizientesten abläuft?

A) Schieben Sie die Schaukel in die oberste Position in Richtung der Gleichgewichtsposition.

B) Schieben Sie die Schaukel in die oberste Position, ausgehend von der Gleichgewichtsposition.

B) Schieben Sie sich in eine ausgeglichene Position in Bewegungsrichtung der Schaukel;

D) Sie können in jeder Position schieben, jedoch immer in der Bewegungsrichtung der Schaukel.

14 Es scheint, dass man sie stark schwingen kann, wenn man mit einer Schleuder im Takt ihrer eigenen Vibrationen auf die Brücke schießt und viele Schüsse macht, aber das wird wahrscheinlich nicht gelingen. Warum?

A) Die Masse der Brücke (ihre Trägheit) ist groß im Vergleich zur Masse der „Kugel“ einer Schleuder; die Brücke kann sich unter dem Einfluss solcher Stöße nicht bewegen;

B) Die Aufprallkraft einer „Kugel“ aus einer Schleuder ist so gering, dass sich die Brücke unter dem Einfluss solcher Einschläge nicht bewegen kann;

C) Die bei einem Schlag auf die Brücke übertragene Energie ist viel geringer als der Energieverlust aufgrund der Reibung über den Zeitraum.

15 Du trägst einen Eimer Wasser. Das Wasser im Eimer schwingt und spritzt heraus. Was kann getan werden, um dies zu verhindern?

A) Schwingen Sie die Hand, in der sich der Eimer befindet, im Rhythmus des Gehens;

B) Ändern Sie die Bewegungsgeschwindigkeit und lassen Sie die Schrittlänge unverändert.

C) Halten Sie regelmäßig an und warten Sie, bis sich die Wasservibrationen beruhigen;

D) Stellen Sie sicher, dass die Hand mit dem Eimer während der Bewegung streng vertikal positioniert ist.

Aufgaben

1 Das System führt gedämpfte Schwingungen mit einer Frequenz von 1000 Hz aus. Bestimmen Sie die Häufigkeit v 0 Eigenschwingungen, wenn die Resonanzfrequenz

2 Bestimmen Sie, um welchen Wert D v Die Resonanzfrequenz unterscheidet sich von der Eigenfrequenz v 0= 1000 Hz Schwingsystem, gekennzeichnet durch einen Dämpfungskoeffizienten d = 400s -1.

3 Eine Last mit der Masse 100 g, aufgehängt an einer Feder mit einer Steifigkeit von 10 N/m, führt in einem viskosen Medium erzwungene Schwingungen mit einem Widerstandskoeffizienten r = 0,02 kg/s aus. Bestimmen Sie den Dämpfungskoeffizienten, die Resonanzfrequenz und die Amplitude. Der Amplitudenwert der Antriebskraft beträgt 10 mN.

4 Die Amplituden erzwungener harmonischer Schwingungen bei Frequenzen w 1 = 400 s -1 und w 2 = 600 s -1 sind gleich. Bestimmen Sie die Resonanzfrequenz.

5 LKWs fahren auf der einen Seite über eine unbefestigte Straße in ein Getreidelager ein, entladen das Lager und verlassen es mit der gleichen Geschwindigkeit, jedoch auf der anderen Seite. Auf welcher Seite des Lagerhauses gibt es mehr Schlaglöcher als auf der anderen? Wie können Sie anhand der Straßenbeschaffenheit feststellen, von welcher Seite des Lagers der Eingang und welche der Ausgang ist? Begründen Sie die Antwort

Erzwungene Vibrationen

Vibrationen, die in jedem System unter dem Einfluss einer variablen äußeren Kraft auftreten (z. B. Vibrationen einer Telefonmembran unter dem Einfluss eines magnetischen Wechselfelds, Vibrationen einer mechanischen Struktur unter dem Einfluss einer variablen Last usw.). Die Natur eines militärischen Systems wird sowohl durch die Art der äußeren Kraft als auch durch die Eigenschaften des Systems selbst bestimmt. Zu Beginn der Wirkung einer periodischen äußeren Kraft ändert sich die Natur der V. c. mit der Zeit (insbesondere sind V. c. nicht periodisch), und erst nach einiger Zeit werden periodische V. c System mit einer Periode gleich der Periode der äußeren Kraft (stationärer VC.). Der Aufbau einer Spannung in einem schwingungsfähigen System erfolgt umso schneller, je stärker die Schwingungsdämpfung in diesem System ist.

Insbesondere in linearen Schwingungssystemen (siehe Schwingungssysteme) entstehen beim Einwirken einer äußeren Kraft gleichzeitig freie (oder natürliche) Schwingungen und Schwingungen im System, und die Amplituden dieser Schwingungen sind im Anfangsmoment gleich und die Phasen sind entgegengesetzt ( Reis. ). Nach der allmählichen Abschwächung der freien Schwingungen verbleiben im System nur noch stationäre Schwingungen.

Die Amplitude des VK wird durch die Amplitude der wirkenden Kraft und die Dämpfung im System bestimmt. Ist die Dämpfung gering, dann hängt die Amplitude der Spannungswelle maßgeblich vom Verhältnis zwischen der Frequenz der wirkenden Kraft und der Frequenz der Eigenschwingungen des Systems ab. Wenn sich die Frequenz der äußeren Kraft der Eigenfrequenz des Systems nähert, steigt die Amplitude des VK stark an – es entsteht Resonanz. In nichtlinearen Systemen (siehe Nichtlineare Systeme) ist die Aufteilung in freie und VK nicht immer möglich.

Zündete.: Khaikin S.E., Physikalische Grundlagen der Mechanik, M., 1963.

Große sowjetische Enzyklopädie. - M.: Sowjetische Enzyklopädie. 1969-1978 .

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Bücher

• Erzwungene Schwingungen der Wellentorsion unter Berücksichtigung der Dämpfung, A.P. Filippov, Wiedergabe in der ursprünglichen Schreibweise des Autors der Ausgabe von 1934 (Verlag Izvestia der Akademie der Wissenschaften der UdSSR). IN… Kategorie: Mathematik Herausgeber: YOYO Media, Hersteller: Yoyo Media,
• Erzwungene Querschwingungen von Stäben unter Berücksichtigung der Dämpfung, A.P. Filippov, Wiedergabe in der ursprünglichen Schreibweise des Autors der Ausgabe von 1935 (Verlag „Izvestia der Akademie der Wissenschaften der UdSSR“)... Kategorie:

1. Lassen Sie uns herausfinden, welche Energieumwandlungen bei Schwingungen eines Federpendels auftreten (siehe Abb. 80). Wenn eine Feder gedehnt wird, erhöht sich ihre potentielle Energie und bei maximaler Dehnung hat sie den Wert E n = .

Wenn sich die Last in Richtung der Gleichgewichtsposition bewegt, nimmt die potentielle Energie der Feder ab und die kinetische Energie der Last zu. In der Gleichgewichtslage ist die kinetische Energie der Last maximal E k = , und die potentielle Energie der Feder ist Null.

Wenn eine Feder zusammengedrückt wird, erhöht sich ihre potentielle Energie und die kinetische Energie der Last nimmt ab. Bei maximaler Kompression ist die potentielle Energie der Feder maximal und die kinetische Energie der Last ist Null.

Wenn wir die Reibungskraft vernachlässigen, bleibt die Summe aus potentieller und kinetischer Energie zu jedem Zeitpunkt unverändert

E = E n + E k = konst.

Bei Vorhandensein einer Reibungskraft wird Energie aufgewendet, um dieser Kraft entgegenzuwirken, die Amplitude der Schwingungen nimmt ab und die Schwingungen klingen ab.

Somit sind die freien Schwingungen des Pendels, die aufgrund der anfänglichen Energiezufuhr auftreten, immer vorhanden Fading.

2. Es stellt sich die Frage, was getan werden muss, damit die Schwankungen nicht mit der Zeit aufhören. Um ungedämpfte Schwingungen zu erhalten, ist es natürlich notwendig, Energieverluste zu kompensieren. Dies kann auf unterschiedliche Weise erfolgen. Betrachten wir einen davon.

Sie wissen genau, dass die Schwingungen einer Schaukel nicht nachlassen, wenn Sie sie ständig anschieben, also mit etwas Kraft auf sie einwirken. In diesem Fall sind die Schwingungen der Schaukel nicht mehr frei, sie entstehen unter dem Einfluss einer äußeren Kraft. Die Arbeit dieser äußeren Kraft gleicht genau den durch Reibung verursachten Energieverlust aus.

Lassen Sie uns herausfinden, wie hoch die äußere Kraft sein sollte. Nehmen wir an, dass Betrag und Richtung der Kraft konstant sind. Offensichtlich werden in diesem Fall die Schwingungen aufhören, da der Körper, nachdem er die Gleichgewichtsposition überschritten hat, nicht in diese zurückkehren wird. Daher müssen sich Größe und Richtung der äußeren Kraft periodisch ändern.

Auf diese Weise,

Erzwungene Schwingungen sind Schwingungen, die unter dem Einfluss einer äußeren, sich periodisch ändernden Kraft auftreten.

Erzwungene Schwingungen können im Gegensatz zu freien Schwingungen bei jeder Frequenz auftreten. Die Frequenz erzwungener Schwingungen ist gleich der Änderungsfrequenz der auf den Körper wirkenden Kraft. in diesem Fall heißt es zwingen.

3. Machen wir ein Experiment. An einem in den Gestellen befestigten Seil hängen wir mehrere Pendel unterschiedlicher Länge auf (Abb. 82). Lassen Sie uns das Pendel ablenken A aus der Gleichgewichtslage und überlasse es sich selbst. Es schwingt frei und wirkt mit einer gewissen periodischen Kraft auf das Seil. Das Seil wiederum wirkt auf die verbleibenden Pendel. Dadurch beginnen alle Pendel, erzwungene Schwingungen mit der Schwingungsfrequenz des Pendels auszuführen A.

Wir werden sehen, dass alle Pendel mit einer Frequenz zu schwingen beginnen, die der Frequenz der Pendelschwingungen entspricht A. Allerdings ist ihre Schwingungsamplitude mit Ausnahme des Pendels unterschiedlich C, wird kleiner sein als die Amplitude der Pendelschwingungen A. Das Pendel C, dessen Länge gleich der Länge des Pendels ist A, wird sehr stark schwingen. Folglich hat das Pendel die größte Schwingungsamplitude, dessen Eigenfrequenz mit der Frequenz der Antriebskraft übereinstimmt. In diesem Fall sagen sie, dass es beobachtet wird Resonanz.

Resonanz ist das Phänomen eines starken Anstiegs der Amplitude erzwungener Schwingungen, wenn die Frequenz der Antriebskraft mit der Eigenfrequenz des Schwingsystems (Pendel) übereinstimmt.

Resonanz kann beobachtet werden, wenn die Schaukel schwingt. Jetzt können Sie erklären, dass die Schaukel stärker schwingt, wenn sie im Takt ihrer eigenen Schwingungen gedrückt wird. In diesem Fall ist die Frequenz der äußeren Kraft gleich der Schwingungsfrequenz der Schaukel. Jeder Druck gegen die Bewegung der Schaukel führt zu einer Verringerung ihrer Amplitude.

4 * . Lassen Sie uns herausfinden, welche Energieumwandlungen während der Resonanz stattfinden.

Weicht die Frequenz der Antriebskraft von der Eigenschwingungsfrequenz des Körpers ab, so ist die Antriebskraft entweder in die Bewegungsrichtung des Körpers oder entgegen dieser gerichtet. Dementsprechend wird die Arbeit dieser Kraft entweder negativ oder positiv sein. Im Allgemeinen verändert die Arbeit der Antriebskraft in diesem Fall die Energie des Systems geringfügig.

Die Frequenz der äußeren Kraft sei nun gleich der Eigenfrequenz der Körperschwingungen. In diesem Fall stimmt die Richtung der Antriebskraft mit der Richtung der Körpergeschwindigkeit überein und die Widerstandskraft wird durch eine äußere Kraft kompensiert. Der Körper vibriert nur unter dem Einfluss innerer Kräfte. Mit anderen Worten: Die negative Arbeit gegen die Widerstandskraft ist gleich der positiven Arbeit der äußeren Kraft. Daher treten Schwingungen mit maximaler Amplitude auf.

5. Das Phänomen der Resonanz muss in der Praxis berücksichtigt werden. Insbesondere Werkzeugmaschinen und Maschinen unterliegen im Betrieb leichten Vibrationen. Wenn die Frequenz dieser Schwingungen mit der Eigenfrequenz einzelner Maschinenteile übereinstimmt, kann die Amplitude der Schwingungen sehr groß sein. Die Maschine oder die Unterlage, auf der sie steht, wird zusammenbrechen.

Es sind Fälle bekannt, in denen ein Flugzeug aufgrund von Resonanz in der Luft auseinanderfiel, die Propeller von Schiffen kaputt gingen und Eisenbahnschienen einstürzten.

Resonanzen können verhindert werden, indem entweder die Eigenfrequenz des Systems oder die Frequenz der Kraft, die die Schwingungen verursacht, verändert wird. Zu diesem Zweck gehen beispielsweise Soldaten, die eine Brücke überqueren, nicht im Gleichschritt, sondern im freien Tempo. Andernfalls könnte die Frequenz ihrer Schritte mit der Eigenfrequenz der Brücke übereinstimmen und diese würde einstürzen. Dies geschah im Jahr 1750 in Frankreich, als eine Abteilung Soldaten an Ketten hängend eine 102 m lange Brücke überquerte. Ein ähnlicher Vorfall ereignete sich 1906 in St. Petersburg. Als ein Kavalleriegeschwader die Ägyptische Brücke über den Fluss Fontanka überquerte, stimmte die Frequenz der klaren Schritte der Pferde mit der Vibrationsfrequenz der Brücke überein.

Um Resonanzen vorzubeugen, überqueren Züge Brücken mit langsamer oder sehr hoher Geschwindigkeit, so dass die Häufigkeit der Radstöße auf die Schienenstöße deutlich geringer oder deutlich größer als die Eigenfrequenz der Brücke ist.

Das Phänomen der Resonanz ist nicht immer schädlich. Manchmal kann es nützlich sein, da es Ihnen ermöglicht, mit Hilfe einer kleinen Kraft eine große Steigerung der Schwingungsamplitude zu erreichen.

Die Wirkungsweise eines Geräts, mit dem Sie die Frequenz von Schwingungen messen können, basiert auf dem Resonanzphänomen. Dieses Gerät heißt Frequenzmesser. Seine Arbeit kann durch das folgende Experiment veranschaulicht werden. An der Zentrifugalmaschine ist ein Frequenzmessermodell angebracht, das aus einem Satz unterschiedlich langer Platten (Zungen) besteht (Abb. 83). An den Enden der Platten befinden sich mit weißer Farbe beschichtete Blechfahnen. Sie können feststellen, dass verschiedene Platten zu vibrieren beginnen, wenn Sie die Drehgeschwindigkeit des Maschinengriffs ändern. Diejenigen Platten, deren Eigenfrequenz gleich der Rotationsfrequenz ist, beginnen zu schwingen.

Fragen zum Selbsttest

1. Was bestimmt die Amplitude der freien Schwingungen eines Federpendels?

2. Wird die Amplitude der Schwingungen eines Pendels bei Vorhandensein von Reibungskräften konstant gehalten?

3. Welche Energieumwandlungen treten auf, wenn ein Federpendel schwingt?

4. Warum werden freie Schwingungen gedämpft?

5. Welche Schwingungen werden als erzwungen bezeichnet? Nennen Sie Beispiele für erzwungene Schwingungen.

6. Was ist Resonanz?

7. Nennen Sie Beispiele für schädliche Resonanzerscheinungen. Was muss getan werden, um Resonanzen vorzubeugen?

8. Nennen Sie Beispiele für die Nutzung des Resonanzphänomens.

Aufgabe 26

1. Füllen Sie Tabelle 14 aus und notieren Sie, welche Kraft auf das Schwingsystem einwirkt, wenn es freie oder erzwungene Schwingungen ausführt; Wie groß sind die Frequenz und die Amplitude dieser Schwingungen? ob sie gedämpft sind oder nicht.

Tabelle 14

Schwingungseigenschaften	Art der Vibrationen
	Verfügbar	Gezwungen
Wirkende Kraft
Frequenz
Amplitude
Dämpfung

2 e.Schlagen Sie ein Experiment zur Beobachtung erzwungener Schwingungen vor.

3 e.Untersuchen Sie experimentell das Phänomen der Resonanz mithilfe der von Ihnen hergestellten mathematischen Pendel.

4. Ab einer bestimmten Drehzahl des Nähmaschinenrads schwankt der Tisch, auf dem es steht, teilweise stark. Warum?

Erzwungene Schwingungen sind solche, die in einem schwingungsfähigen System unter dem Einfluss einer äußeren, sich periodisch ändernden Kraft auftreten. Diese Kraft erfüllt in der Regel eine Doppelrolle: Erstens bringt sie das System ins Wanken und versorgt es mit einer gewissen Energiezufuhr; Zweitens gleicht es periodisch Energieverluste (Energieverbrauch) aus, um Widerstands- und Reibungskräfte zu überwinden.

Lassen Sie die treibende Kraft sich im Laufe der Zeit gemäß dem Gesetz ändern:

Stellen wir eine Bewegungsgleichung für ein System auf, das unter dem Einfluss einer solchen Kraft schwingt. Wir gehen davon aus, dass auf das System auch eine quasielastische Kraft und die Widerstandskraft des Mediums einwirken (was unter der Annahme kleiner Schwingungen zutrifft). Dann sieht die Bewegungsgleichung des Systems wie folgt aus:

Nachdem wir die Ersetzungen vorgenommen haben – die Eigenfrequenz der Schwingungen des Systems – erhalten wir eine ungleichmäßige lineare Differentialgleichung 2. Ordnung:

Aus der Theorie der Differentialgleichungen ist bekannt, dass die allgemeine Lösung einer inhomogenen Gleichung gleich der Summe der allgemeinen Lösung einer homogenen Gleichung und einer bestimmten Lösung einer inhomogenen Gleichung ist.

Die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung ist bekannt:

Mithilfe eines Vektordiagramms können Sie überprüfen, ob diese Annahme wahr ist, und auch die Werte von „a“ und „j“ bestimmen.

Die Amplitude der Schwingungen wird durch den folgenden Ausdruck bestimmt:

Der Wert „j“, der die Größe der Phasenverzögerung der erzwungenen Schwingung gegenüber der sie verursachenden Antriebskraft darstellt, wird ebenfalls aus dem Vektordiagramm ermittelt und beträgt:

Schließlich wird eine bestimmte Lösung der inhomogenen Gleichung die Form annehmen:

Insgesamt ergibt diese Funktion die allgemeine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung, die das Verhalten des Systems unter erzwungenen Schwingungen beschreibt. Term (2) spielt im Anfangsstadium des Prozesses, bei der sogenannten Schwingungsbildung, eine wesentliche Rolle (Abb. 1). Mit der Zeit nimmt die Rolle des zweiten Termes (2) aufgrund des Exponentialfaktors immer mehr ab, und nach Ablauf ausreichender Zeit kann er vernachlässigt werden, sodass nur Term (1) in der Lösung erhalten bleibt.

Abb. 1.

Somit beschreibt Funktion (1) stationäre erzwungene Schwingungen. Sie stellen harmonische Schwingungen dar, deren Frequenz der Frequenz der Antriebskraft entspricht. Die Amplitude erzwungener Schwingungen ist proportional zur Amplitude der Antriebskraft. Für ein gegebenes Schwingungssystem (definiert durch w 0 und b) hängt die Amplitude von der Frequenz der Antriebskraft ab. Erzwungene Schwingungen hinken der Antriebskraft in der Phase nach, und die Größe der Verzögerung „j“ hängt auch von der Frequenz der Antriebskraft ab. Detlaf A.A., Yavorsky B.M. Physikkurs: Lehrbuch für Hochschulen. - 4. Aufl., rev. - M.: Höher. Schule, 2012. - 428 S.

Die Abhängigkeit der Amplitude erzwungener Schwingungen von der Frequenz der Antriebskraft führt dazu, dass bei einer bestimmten, für ein gegebenes System bestimmten Frequenz die Amplitude der Schwingungen einen Maximalwert erreicht. Es zeigt sich, dass das Schwingsystem bei dieser Frequenz besonders empfindlich auf die Wirkung der Antriebskraft reagiert. Dieses Phänomen wird als Resonanz bezeichnet, und die entsprechende Frequenz wird als Resonanzfrequenz bezeichnet.

In einer Reihe von Fällen schwingt das Schwingsystem unter dem Einfluss einer äußeren Kraft, deren Arbeit den Energieverlust durch Reibung und andere Widerstände periodisch ausgleicht. Die Frequenz solcher Schwingungen hängt nicht von den Eigenschaften des schwingenden Systems selbst ab, sondern von der Häufigkeit der Änderungen der periodischen Kraft, unter deren Einfluss das System seine Schwingungen ausführt. In diesem Fall handelt es sich um erzwungene Schwingungen, also um Schwingungen, die unserem System durch die Einwirkung äußerer Kräfte aufgezwungen werden.

Die Quellen störender Kräfte und damit erzwungener Schwingungen sind sehr vielfältig.

Lassen Sie uns näher auf die Natur der Störkräfte eingehen, die in Natur und Technik vorkommen. Wie bereits angedeutet, elektrische Maschinen, Dampf- oder Gasturbinen, schnelllaufende Schwungräder usw. Aufgrund des Ungleichgewichts der rotierenden Massen verursachen sie Vibrationen von Rotoren, Böden von Gebäudefundamenten usw. Kolbenmaschinen, zu denen Verbrennungsmotoren und Dampfmaschinen gehören, sind eine Quelle periodischer Störkräfte aufgrund der Hin- und Herbewegung einiger Teile (z. B. eines Kolbens) sowie des Ausstoßes von Gasen oder Dampf.

Typischerweise nehmen die Störkräfte mit zunehmender Maschinengeschwindigkeit zu, sodass der Kampf gegen Vibrationen in Hochgeschwindigkeitsmaschinen äußerst wichtig ist. Dies erfolgt häufig durch die Schaffung eines speziellen elastischen Fundaments oder den Einbau einer elastischen Aufhängung der Maschine. Wenn die Maschine fest mit dem Fundament verbunden ist, werden die auf die Maschine einwirkenden Störkräfte nahezu vollständig auf das Fundament und dann über den Boden auf das Gebäude, in dem die Maschine installiert ist, sowie auf benachbarte Bauwerke übertragen.

Um die Wirkung unausgeglichener Kräfte auf die Unterlage zu reduzieren, ist es erforderlich, dass die Eigenschwingungsfrequenz der Maschine auf der elastischen Unterlage (Dichtung) deutlich niedriger ist als die Frequenz der Störkräfte, bestimmt durch die Drehzahl der Maschine Die Maschine.

Der Grund für die erzwungenen Schwingungen des Schiffes, das Rollen von Schiffen, sind Wellen, die periodisch auf ein schwimmendes Schiff einwirken. Neben dem Aufschaukeln des gesamten Schiffes unter dem Einfluss von rauem Wasser werden auch erzwungene Schwingungen (Vibrationen) einzelner Teile des Schiffsrumpfes beobachtet. Die Ursache für solche Vibrationen ist das Ungleichgewicht des Hauptmotors des Schiffes, der den Propeller dreht, sowie der Hilfsmechanismen (Pumpen, Dynamos usw.). Beim Betrieb von Schiffsmechanismen entstehen Trägheitskräfte unausgeglichener Massen, deren Wiederholungsfrequenz von der Drehzahl der Maschine abhängt. Darüber hinaus können durch den periodischen Aufprall der Propellerblätter auf den Schiffsrumpf erzwungene Schwingungen des Schiffes entstehen. Sommerfeld A., Mechanik. Ї Ischewsk: Wissenschaftliches Forschungszentrum „Reguläre und chaotische Dynamik“, 2001. Ї168 S.

Erzwungene Vibrationen der Brücke können dadurch verursacht werden, dass eine Gruppe von Personen im Gleichschritt darüber läuft. Unter der Einwirkung von Kupplungen, die die Antriebsräder einer vorbeifahrenden Lokomotive verbinden, können Schwingungen einer Eisenbahnbrücke auftreten. Zu den Ursachen für erzwungene Vibrationen von Schienenfahrzeugen (Elektrolokomotiven, Dampflokomotiven oder Diesellokomotiven sowie Waggons) gehören periodisch wiederholte Stöße von Rädern auf Schienenstöße. Erzwungene Vibrationen von Autos werden durch wiederholte Stöße der Räder auf unebenen Straßenoberflächen verursacht. Erzwungene Vibrationen von Aufzügen und Hebekäfigen von Minen entstehen durch ungleichmäßigen Betrieb der Hebemaschine, durch die unregelmäßige Form der Trommeln, auf denen die Seile aufgewickelt sind usw. Windböen können die Ursache für erzwungene Vibrationen von Stromleitungen, hohen Gebäuden, Masten und Schornsteinen sein.

Von besonderem Interesse sind erzwungene Vibrationen von Flugzeugen, die verschiedene Ursachen haben können. Dabei ist zunächst einmal die Vibration des Flugzeugs zu berücksichtigen, die durch den Betrieb der Propellergruppe entsteht. Aufgrund der Unwucht des Kurbeltriebs, laufender Motoren und rotierender Propeller kommt es zu periodischen Stößen, die erzwungene Vibrationen unterstützen.

Neben den Schwingungen, die durch die Wirkung der oben diskutierten äußeren periodischen Kräfte verursacht werden, werden bei Flugzeugen auch äußere Einflüsse anderer Art beobachtet. Vibrationen entstehen insbesondere durch eine schlechte Strömungsführung im vorderen Teil des Flugzeugs. Eine schlechte Umströmung der Aufbauten am Flügel oder eine nicht reibungsfreie Verbindung zwischen Flügel und Rumpf des Flugzeugs führt zu Wirbelbildungen. Durch das Aufbrechen der Luftwirbel entsteht eine pulsierende Strömung, die auf den Schwanz trifft und ihn zum Zittern bringt. Solche Erschütterungen des Flugzeugs treten unter bestimmten Flugbedingungen auf und äußern sich in Form von Erschütterungen, die nicht ganz regelmäßig alle 0,5–1 Sekunde auftreten.

Diese Art von Vibration, die hauptsächlich mit der Vibration von Teilen des Flugzeugs aufgrund von Turbulenzen in der Strömung um den Flügel und andere vordere Teile des Flugzeugs verbunden ist, wird als „Buffing“ bezeichnet. Das Phänomen des Polierens, das durch die Unterbrechung der Strömungen vom Flügel verursacht wird, ist besonders gefährlich, wenn die Zeitspanne der Stöße auf das Heck des Flugzeugs nahe an der Zeitspanne der freien Vibrationen des Hecks oder Rumpfs des Flugzeugs liegt. In diesem Fall nehmen die Buffeting-artigen Schwankungen stark zu.

Beim Abwerfen von Truppen vom Flügel eines Flugzeugs wurden sehr interessante Fälle von Buffing beobachtet. Das Auftauchen von Menschen auf der Tragfläche führte zu Wirbelbildungen, die zu Vibrationen im Flugzeug führten. Ein weiterer Fall von Leitwerksschwankungen bei einem zweisitzigen Flugzeug wurde durch einen im hinteren Cockpit sitzenden Passagier verursacht, dessen hervorstehender Kopf zur Bildung von Wirbeln im Luftstrom beitrug. In Abwesenheit eines Passagiers in der hinteren Kabine wurden keine Vibrationen beobachtet.

Von Bedeutung sind auch Biegeschwingungen des Propellers, die durch Störkräfte aerodynamischer Natur verursacht werden. Diese Kräfte entstehen dadurch, dass der Propeller beim Drehen bei jeder Umdrehung zweimal die Vorderkante des Flügels passiert. Die Luftströmungsgeschwindigkeiten in unmittelbarer Nähe des Flügels und in einiger Entfernung davon sind unterschiedlich, und daher müssen sich die auf den Propeller wirkenden aerodynamischen Kräfte bei jeder Umdrehung des Propellers periodisch zweimal ändern. Dieser Umstand ist der Grund für die Anregung von Querschwingungen der Propellerblätter.