Уравнения с две променливи (неопределени уравнения). Уравнение с една променлива Решете уравнения с 2 x

В това видео ще анализираме цял набор от линейни уравнения, които се решават с помощта на същия алгоритъм - затова се наричат ​​най-простите.

Първо, нека дефинираме: какво е линейно уравнение и кое се нарича най-простото?

Линейно уравнение е това, в което има само една променлива и то само на първа степен.

Най-простото уравнение означава конструкцията:

Всички други линейни уравнения се свеждат до най-простите с помощта на алгоритъма:

1. Разгънете скобите, ако има такива;
2. Преместете термини, съдържащи променлива от едната страна на знака за равенство, и термини без променлива от другата;
3. Дайте подобни термини отляво и отдясно на знака за равенство;
4. Разделете полученото уравнение на коефициента на променливата $x$.

Разбира се, този алгоритъм не винаги помага. Факт е, че понякога след всички тези машинации коефициентът на променливата $x$ се оказва равен на нула. В този случай са възможни два варианта:

1. Уравнението изобщо няма решения. Например, когато се получи нещо като $0\cdot x=8$, т.е. отляво е нула, а отдясно е число, различно от нула. Във видеото по-долу ще разгледаме няколко причини, поради които тази ситуация е възможна.
2. Решението е всички числа. Единственият случай, когато това е възможно, е когато уравнението е сведено до конструкцията $0\cdot x=0$. Съвсем логично е, че каквито и $x$ да заместим, пак ще се получи „нула е равна на нула“, т.е. правилно числово равенство.

Сега нека видим как работи всичко това, използвайки примери от реалния живот.

Примери за решаване на уравнения

Днес се занимаваме с линейни уравнения и то само с най-простите. Най-общо линейно уравнение означава всяко равенство, което съдържа точно една променлива и то само на първа степен.

Такива конструкции се решават приблизително по същия начин:

1. На първо място, трябва да разширите скобите, ако има такива (както в последния ни пример);
2. След това комбинирайте подобни
3. Накрая изолирайте променливата, т.е. преместете всичко, свързано с променливата – термините, в които се съдържа – от едната страна и преместете всичко, което остава без нея, от другата страна.

След това, като правило, трябва да донесете подобни от всяка страна на полученото равенство и след това всичко, което остава, е да разделим на коефициента на „x“ и ще получим окончателния отговор.

На теория това изглежда хубаво и просто, но на практика дори опитни гимназисти могат да направят обидни грешки в доста прости линейни уравнения. Обикновено се допускат грешки или при отваряне на скоби, или при изчисляване на „плюсовете“ и „минусите“.

Освен това се случва линейното уравнение изобщо да няма решения или решението да е цялата числова линия, т.е. произволен брой. Ще разгледаме тези тънкости в днешния урок. Но ще започнем, както вече разбрахте, с най-простите задачи.

Схема за решаване на прости линейни уравнения

Първо, позволете ми още веднъж да напиша цялата схема за решаване на най-простите линейни уравнения:

1. Разгънете скобите, ако има такива.
2. Ние изолираме променливите, т.е. Преместваме всичко, което съдържа „X“ от едната страна, а всичко без „X“ от другата.
3. Представяме подобни условия.
4. Разделяме всичко на коефициента „х“.

Разбира се, тази схема не винаги работи, в нея има някои тънкости и трикове и сега ще се запознаем с тях.

Решаване на реални примери на прости линейни уравнения

Задача No1

Първата стъпка изисква да отворим скобите. Но те не са в този пример, така че пропускаме тази стъпка. Във втората стъпка трябва да изолираме променливите. Моля, обърнете внимание: говорим само за индивидуални условия. Нека го запишем:

Представяме подобни термини отляво и отдясно, но това вече е направено тук. Затова преминаваме към четвъртата стъпка: разделете на коефициента:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Така че получихме отговора.

Задача No2

Можем да видим скобите в този проблем, така че нека ги разширим:

И отляво, и отдясно виждаме приблизително същия дизайн, но нека действаме според алгоритъма, т.е. разделяне на променливите:

Ето някои подобни:

В какви корени работи това? Отговор: за всякакви. Следователно можем да напишем, че $x$ е произволно число.

Задача No3

Третото линейно уравнение е по-интересно:

\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]

Тук има няколко скоби, но те не се умножават по нищо, а просто се предхождат от различни знаци. Нека ги разделим:

Извършваме втората стъпка, която вече ни е известна:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Нека направим сметката:

Извършваме последната стъпка - разделяме всичко на коефициента на “x”:

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Неща, които трябва да запомните, когато решавате линейни уравнения

Ако пренебрегнем твърде простите задачи, бих искал да кажа следното:

• Както казах по-горе, не всяко линейно уравнение има решение - понякога просто няма корени;
• Дори да има корени, сред тях може да има нула - в това няма нищо лошо.

Нулата е същото число като останалите; не трябва да го дискриминирате по никакъв начин или да приемате, че ако получите нула, значи сте направили нещо нередно.

Друга особеност е свързана с отварянето на скоби. Моля, обърнете внимание: когато има „минус“ пред тях, ние го премахваме, но в скоби променяме знаците на противоположност. И тогава можем да го отворим с помощта на стандартни алгоритми: ще получим това, което видяхме в изчисленията по-горе.

Разбирането на този прост факт ще ви помогне да избегнете глупави и болезнени грешки в гимназията, когато правенето на такива неща се приема за даденост.

Решаване на сложни линейни уравнения

Нека да преминем към по-сложни уравнения. Сега конструкциите ще станат по-сложни и при извършване на различни трансформации ще се появи квадратична функция. Но не трябва да се страхуваме от това, защото ако, според плана на автора, решаваме линейно уравнение, тогава по време на процеса на трансформация всички мономи, съдържащи квадратична функция, със сигурност ще се отменят.

Пример №1

Очевидно първата стъпка е отварянето на скобите. Нека направим това много внимателно:

Сега нека да разгледаме поверителността:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Ето някои подобни:

Очевидно това уравнение няма решения, така че ще напишем това в отговора:

\[\varnothing\]

или няма корени.

Пример №2

Извършваме същите действия. Първа стъпка:

Нека преместим всичко с променлива наляво, а без нея - надясно:

Ето някои подобни:

Очевидно това линейно уравнение няма решение, така че ще го запишем по следния начин:

\[\varnothing\],

или няма корени.

Нюанси на решението

И двете уравнения са напълно решени. Използвайки тези два израза като пример, ние отново се убедихме, че дори в най-простите линейни уравнения всичко може да не е толкова просто: може да има или един, или нито един, или безкрайно много корени. В нашия случай разгледахме две уравнения, като и двете просто нямат корени.

Но бих искал да обърна внимание на друг факт: как да работите със скоби и как да ги отворите, ако пред тях има знак минус. Помислете за този израз:

Преди да отворите, трябва да умножите всичко по „X“. Моля, обърнете внимание: умножава се всеки отделен термин. Вътре има два термина - съответно два термина и умножени.

И едва след като тези на пръв поглед елементарни, но много важни и опасни трансформации са завършени, можете да отворите скобата от гледна точка на това, че след нея има знак минус. Да, да: едва сега, когато трансформациите са завършени, ние си спомняме, че има знак минус пред скобите, което означава, че всичко по-долу просто променя знаците. В същото време самите скоби изчезват и, най-важното, предният „минус“ също изчезва.

Правим същото с второто уравнение:

Не случайно обръщам внимание на тези дребни, на пръв поглед незначителни факти. Тъй като решаването на уравнения винаги е последователност от елементарни трансформации, където невъзможността за ясно и компетентно извършване на прости действия води до факта, че учениците от гимназията идват при мен и отново се учат да решават такива прости уравнения.

Разбира се, ще дойде ден, когато ще усъвършенствате тези умения до степен на автоматизм. Вече няма да се налага да извършвате толкова много трансформации всеки път; ще пишете всичко на един ред. Но докато просто учите, трябва да напишете всяко действие отделно.

Решаване на още по-сложни линейни уравнения

Това, което ще решим сега, трудно може да се нарече най-простата задача, но смисълът остава същият.

Задача No1

\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]

Нека умножим всички елементи от първата част:

Нека направим малко поверителност:

Ето някои подобни:

Нека завършим последната стъпка:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Ето нашия окончателен отговор. И въпреки факта, че в процеса на решаване имахме коефициенти с квадратична функция, те взаимно се компенсират, което прави уравнението линейно, а не квадратно.

Задача No2

\[\left(1-4x \right)\left(1-3x \right)=6x\left(2x-1 \right)\]

Нека внимателно изпълним първата стъпка: умножете всеки елемент от първата скоба по всеки елемент от втората. След трансформациите трябва да има общо четири нови термина:

Сега нека внимателно извършим умножението във всеки член:

Нека преместим термините с "X" наляво, а тези без - надясно:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Ето подобни термини:

За пореден път получихме окончателния отговор.

Нюанси на решението

Най-важната бележка за тези две уравнения е следната: веднага щом започнем да умножаваме скоби, които съдържат повече от един член, това се прави съгласно следното правило: вземаме първия член от първия и умножаваме с всеки елемент от секундата; след това вземаме втория елемент от първия и по подобен начин умножаваме с всеки елемент от втория. В резултат на това ще имаме четири мандата.

За алгебричната сума

С този последен пример бих искал да напомня на учениците какво е алгебрична сума. В класическата математика под $1-7$ имаме предвид проста конструкция: извадете седем от едно. В алгебрата под това разбираме следното: към числото „едно“ добавяме друго число, а именно „минус седем“. Ето как алгебричната сума се различава от обикновената аритметична сума.

Веднага щом при извършване на всички трансформации, всяко събиране и умножение започнете да виждате конструкции, подобни на описаните по-горе, просто няма да имате проблеми в алгебрата, когато работите с полиноми и уравнения.

И накрая, нека да разгледаме още няколко примера, които ще бъдат още по-сложни от тези, които току-що разгледахме, и за да ги разрешим, ще трябва леко да разширим нашия стандартен алгоритъм.

Решаване на уравнения с дроби

За да решим такива задачи, ще трябва да добавим още една стъпка към нашия алгоритъм. Но първо, нека ви напомня за нашия алгоритъм:

1. Отворете скобите.
2. Отделни променливи.
3. Донесете подобни.
4. Разделете на съотношението.

Уви, този прекрасен алгоритъм, въпреки цялата си ефективност, се оказва не съвсем подходящ, когато имаме дроби пред нас. И в това, което ще видим по-долу, имаме дроб както отляво, така и отдясно и в двете уравнения.

Как да работим в този случай? Да, много е просто! За да направите това, трябва да добавите още една стъпка към алгоритъма, която може да се направи както преди, така и след първото действие, а именно да се отървете от дроби. Така че алгоритъмът ще бъде както следва:

1. Отървете се от дробите.
2. Отворете скобите.
3. Отделни променливи.
4. Донесете подобни.
5. Разделете на съотношението.

Какво означава „да се отървете от дроби“? И защо това може да се направи както след, така и преди първата стандартна стъпка? Всъщност в нашия случай всички дроби са числени в знаменателя си, т.е. Навсякъде знаменателят е просто число. Следователно, ако умножим двете страни на уравнението по това число, ще се отървем от дроби.

Пример №1

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

Нека се отървем от дробите в това уравнение:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Моля, обърнете внимание: всичко се умножава по „четири“ веднъж, т.е. това, че имате две скоби, не означава, че трябва да умножите всяка една по "четири". Нека запишем:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Сега нека разширим:

Изключваме променливата:

Извършваме намаляване на подобни условия:

\[-4x=-1\наляво| :\left(-4 \right) \right.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Получихме окончателното решение, нека преминем към второто уравнение.

Пример №2

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]

Тук извършваме всички същите действия:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Проблемът е решен.

Това всъщност е всичко, което исках да ви кажа днес.

Ключови точки

Основните констатации са:

• Познаване на алгоритъма за решаване на линейни уравнения.
• Възможност за отваряне на скоби.
• Не се притеснявайте, ако някъде имате квадратични функции, най-вероятно те ще бъдат намалени в процеса на по-нататъшни трансформации.
• Има три вида корени в линейните уравнения, дори и най-простите: един единствен корен, цялата числова линия е корен и никакви корени.

Надявам се, че този урок ще ви помогне да овладеете проста, но много важна тема за по-нататъшно разбиране на цялата математика. Ако нещо не е ясно, отидете на сайта и решете представените там примери. Очаквайте още много интересни неща!

Уравнениетое равенство, в което присъстват една или повече променливи.
Ще разгледаме случая, когато уравнението има една променлива, тоест едно неизвестно число. По същество уравнението е вид математически модел. Следователно, на първо място, имаме нужда от уравнения за решаване на проблеми.

Нека си припомним как се компилира математически модел за решаване на задача.
Така например през новата учебна година броят на учениците в училище № 5 се удвои. След като 20 ученици се преместиха в друго училище, в училище №5 започнаха да учат общо 720 ученици. Колко ученици имаше миналата година?

Трябва да изразим казаното в условието на математически език. Нека броят на учениците миналата година е X. Тогава, според условията на проблема,
2X – 20 = 720. Имаме математически модел, който представлява уравнение с една променлива. По-точно, това е уравнение от първа степен с една променлива. Остава само да се намери коренът му.

Какъв е коренът на едно уравнение?

Стойността на променливата, при която нашето уравнение се превръща в истинско равенство, се нарича корен на уравнението. Има уравнения, които имат много корени. Например в уравнението 2*X = (5-3)*X всяка стойност на X е корен. И уравнението X = X +5 изобщо няма корени, тъй като без значение каква стойност заместваме с X, няма да получим правилното равенство. Решаването на уравнение означава намиране на всичките му корени или определяне, че то няма корени. Така че, за да отговорим на нашия въпрос, трябва да решим уравнението 2X – 20 = 720.

Как се решават уравнения с една променлива?

Първо, нека напишем някои основни дефиниции. Всяко уравнение има дясна и лява страна. В нашия случай (2X – 20) е лявата страна на уравнението (то е отляво на знака за равенство), а 720 е дясната страна на уравнението. Членовете от дясната и лявата страна на уравнението се наричат ​​членове на уравнението. Членовете на нашето уравнение са 2X, -20 и 720.

Нека веднага да поговорим за 2 свойства на уравненията:

1. Всеки член на уравнението може да бъде прехвърлен от дясната страна на уравнението в лявата и обратно. В този случай е необходимо да промените знака на този член на уравнението на противоположния. Тоест записи във формата 2X – 20 = 720, 2X – 20 – 720 = 0, 2X = 720 + 20, -20 = 720 – 2X са еквивалентни.
2. И двете страни на уравнението могат да бъдат умножени или разделени на едно и също число. Това число не трябва да е нула. Тоест, записи във формата 2X – 20 = 720, 5*(2X – 20) = 720*5, (2X – 20):2 = 720:2 също са еквивалентни.

Нека използваме тези свойства, за да решим нашето уравнение.

Нека преместим -20 надясно с противоположния знак. Получаваме:

2X = 720 + 20. Нека добавим това, което имаме от дясната страна. Получаваме, че 2X = 740.

Сега разделете лявата и дясната страна на уравнението на 2.

2X:2 = 740:2 или X = 370. Намерихме корена на нашето уравнение и в същото време намерихме отговора на въпроса за нашия проблем. Миналата година в училище No5 са учили 370 ученици.

Нека проверим дали нашият корен наистина превръща уравнението в истинско равенство. Нека заместим числото 370 вместо X в уравнението 2X – 20 = 720.

2*370-20 = 720.

Това е вярно.

И така, за да се реши уравнение с една променлива, то трябва да се редуцира до така нареченото линейно уравнение под формата ax = b, където a и b са някои числа. След това разделете лявата и дясната страна на числото a. Получаваме, че x = b:a.

Какво означава да сведеш уравнение до линейно уравнение?

Помислете за това уравнение:

5X - 2X + 10 = 59 - 7X +3X.

Това също е уравнение с една неизвестна променлива X. Нашата задача е да редуцираме това уравнение до формата ax = b.

За да направим това, първо събираме всички членове, които имат X като фактор от лявата страна на уравнението, а останалите членове от дясната страна. Термини, които имат една и съща буква като фактор, се наричат ​​подобни термини.

5X - 2X + 7X - 3X = 59 - 10.

Съгласно разпределителното свойство на умножението, можем да извадим същия фактор извън скоби и да добавим коефициентите (множители за променливата x). Този процес се нарича още редуциране на подобни термини.

X(5-2+7-3) = 49.

7X = 49. Редуцирахме уравнението до формата ax = b, където a = 7, b = 49.

И както писахме по-горе, коренът на уравнение от вида ax = b е x = b:a.

Тоест X = 49:7 = 7.

Алгоритъм за намиране на корените на уравнение с една променлива.

1. Съберете подобни членове от лявата страна на уравнението и останалите членове от дясната страна на уравнението.
2. Дайте подобни условия.
3. Редуцирайте уравнението до формата ax = b.
4. Намерете корените по формулата x = b:a.

Забележка. В тази статия не разгледахме тези случаи, когато променлива е повдигната на произволна степен. С други думи, разгледахме уравнения от първа степен с една променлива.

В предишните уроци се запознахме с изразите и научихме как да ги опростяваме и изчисляваме. Сега преминаваме към нещо по-сложно и интересно, а именно уравнения.

Уравнение и неговите корени

Равенствата, съдържащи променлива(и), се наричат уравнения. Решете уравнението , означава да се намери стойността на променливата, при която равенството ще бъде вярно. Стойността на променливата се извиква корен на уравнението .

Уравненията могат да имат един корен, няколко или никакъв.

При решаване на уравнения се използват следните свойства:

• Ако преместите член в уравнение от една част на уравнението в друга, като промените знака на противоположния, ще получите уравнение, еквивалентно на даденото.
• Ако двете страни на уравнението се умножат или разделят на едно и също число, получавате уравнение, еквивалентно на даденото.

Пример №1Кои от числата: -2, -1, 0, 2, 3 са корените на уравнението:

За да решите тази задача, просто трябва да замените всяко от числата за променливата x едно по едно и да изберете онези числа, за които равенството се счита за вярно.

При “x= -2”:

\((-2)^2=10-3 \cdot (-2) \)

\(4=4\) - равенството е вярно, което означава, че (-2) е коренът на нашето уравнение

При "x= -1"

\((-1)^2=10-3 \cdot (-1) \)

\(1=7\) - равенството е грешно, следователно (-1) не е коренът на уравнението

\(0^2=10-3 \cdot 0 \)

\(0=10\) - равенството е невярно, така че 0 не е коренът на уравнението

\(2^2=10-3 \cdot 2\)

\(4=4\) - равенството е вярно, което означава, че 2 е коренът на нашето уравнение

\(3^2=10-3 \cdot 3 \)

\(9=1\) - равенството е невярно, така че 3 не е коренът на уравнението

Отговор: от представените числа, корените на уравнението \(x^2=10-3x\) са числата -2 и 2.

Линейно уравнение с една променлива са уравнения във формата ax = b, където x е променлива, а a и b са някои числа.

Има голям брой видове уравнения, но решаването на много от тях се свежда до решаване на линейни уравнения, така че познаването на тази тема е задължително за по-нататъшно обучение!

Пример №2Решете уравнението: 4(x+7) = 3-x

За да решите това уравнение, първо трябва да се отървете от скобата и за да направите това, умножете всеки от членовете в скобата по 4, получаваме:

4x + 28 = 3 - x

Сега трябва да преместим всички стойности от "x" от едната страна и всичко останало от другата страна (без да забравяме да променим знака на противоположния), получаваме:

4x + x = 3 - 28

Сега извадете стойността отляво и отдясно:

За да намерите неизвестния фактор (x), трябва да разделите произведението (25) на известния фактор (5):

Отговор x = -5

Ако се съмнявате в отговора, можете да проверите, като заместите получената стойност в нашето уравнение вместо x:

4(-5+7) = 3-(-5)

8 = 8 - уравнението е решено правилно!

Сега нека решим нещо по-сложно:

Пример №3Намерете корените на уравнението: \((y+4)-(y-4)=6y\)

Първо, нека се отървем и от скобите:

Веднага виждаме y и -y от лявата страна, което означава, че можете просто да ги зачеркнете и просто да добавите получените числа и да напишете израза:

Сега можете да преместите стойностите с "y" вляво и стойностите с числа вдясно. Но това не е необходимо, защото няма значение от коя страна са променливите, основното е те да са без числа, което означава, че няма да прехвърляме нищо. Но за тези, които не разбират, ще направим както казва правилото и ще разделим двете части на (-1), както казва свойството:

За да намерите неизвестния фактор, трябва да разделите продукта на известния фактор:

\(y=\frac(8)(6) = \frac(4)(3) = 1\frac(1)(3) \)

Отговор: y = \(1\frac(1)(3)\)

Можете също да проверите отговора, но го направете сами.

Пример №4\((0,5x+1,2)-(3,6-4,5x)=(4,8-0,3x)+(10,5x+0,6) \)

Сега аз просто ще го реша, без обяснение, а вие погледнете напредъка на решението и правилната нотация за решаване на уравненията:

\((0,5x+1,2)-(3,6-4,5x)=(4,8-0,3x)+(10,5x+0,6) \)

\(0,5x+1,2-3,6+4,5x=4,8-0,3x+10,5x+0,6\)

\(0,5x+4,5x+0,3x-10,5x=4,8+0,6-1,2+3,6\)

\(x=\frac(7,8)(-5,2)=\frac(3)(-2) =-1,5\)

Отговор: x = -1,5

Ако нещо не е ясно по време на решението, пишете в коментарите.

Решаване на задачи с помощта на уравнения

Като знаете какво представляват уравненията и се научавате да ги изчислявате, вие също така си давате достъп до решаването на много задачи, при които уравненията се използват за решение.

Няма да навлизам в теория, по-добре е да покажа всичко наведнъж с примери

Пример №5В кошницата имаше 2 пъти по-малко ябълки, отколкото в кутията. След като 10 ябълки бяха прехвърлени от кошницата в кутията, в кутията имаше 5 пъти повече ябълки, отколкото в кошницата. Колко ябълки имаше в кошницата и колко в кутията?

Първо, трябва да определим какво ще приемем като „x“, в тази задача можем да приемем както кутии, така и кошници, но аз ще взема ябълките в кошницата.

И така, нека има x ябълки в кошницата, тъй като имаше два пъти повече ябълки в кутията, тогава нека приемем това за 2x. След като ябълките бяха прехвърлени от кошницата в кутията, броят на ябълките в кошницата стана: x - 10, което означава, че в кутията имаше - (2x + 10) ябълки.

Сега можем да създадем уравнението:

5(x-10) - в кутията има 5 пъти повече ябълки, отколкото в кошницата.

Нека приравним първата стойност и втората:

2x+10 = 5(x-10) и решете:

2x + 10 = 5x - 50

2x - 5x = -50 - 10

x = -60/-3 = 20 (ябълки) - в кошницата

Сега, знаейки колко ябълки имаше в кошницата, нека намерим колко ябълки имаше в кутията - тъй като имаше два пъти повече, просто ще умножим резултата по 2:

2*20 = 40 (ябълки) - в кутия

Отговор: в кутия има 40 ябълки, а в кошница 20 ябълки.

Разбирам, че много от вас може да не са разбрали напълно как да решават проблеми, но ви уверявам, че ще се върнем към тази тема повече от веднъж в нашите уроци, но междувременно, ако все още имате въпроси, задайте ги в коментарите .

И накрая, още няколко примера за решаване на уравнения

Пример №6\(2x - 0,7x = 0\)

Пример №7\(3p - 1 -(p+3) = 1 \)

Пример № 8\(6y-(y-1) = 4+5y\)

\(6y-y+1=4+5y\)

\(6y-y-5y=4-1\)

\(0y=3 \) - няма корени, т.к Не можеш да делиш на нула!

Благодаря на всички за вниманието. Ако нещо не е ясно, попитайте в коментарите.

Javascript е деактивиран във вашия браузър.
За да извършвате изчисления, трябва да активирате ActiveX контролите!
Нека анализираме два вида решения на системи от уравнения:

1. Решаване на системата чрез метода на заместване.
2. Решаване на системата чрез почленно събиране (изваждане) на уравненията на системата.

За да се реши системата от уравнения по метода на заместванетрябва да следвате прост алгоритъм:
1. Експрес. От всяко уравнение изразяваме една променлива.
2. Заместник. Заместваме получената стойност в друго уравнение вместо изразената променлива.
3. Решете полученото уравнение с една променлива. Ние намираме решение на системата.

Разрешавам система по член по член метод на събиране (изваждане).трябва да:
1. Изберете променлива, за която ще направим еднакви коефициенти.
2. Събираме или изваждаме уравнения, което води до уравнение с една променлива.
3. Решете резултата линейно уравнение. Ние намираме решение на системата.

Решението на системата са пресечните точки на графиките на функциите.

Нека разгледаме подробно решението на системите, използвайки примери.

Пример #1:

Нека решим по метода на заместване

Решаване на система от уравнения чрез метода на заместване

2x+5y=1 (1 уравнение)
x-10y=3 (2-ро уравнение)

1. Експрес
Вижда се, че във второто уравнение има променлива x с коефициент 1, което означава, че е най-лесно да изразим променливата x от второто уравнение.
x=3+10y

2. След като сме го изразили, заместваме 3+10y в първото уравнение вместо променливата x.
2(3+10y)+5y=1

3. Решете полученото уравнение с една променлива.
2(3+10y)+5y=1 (отворете скобите)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2

Решението на системата от уравнения са пресечните точки на графиките, следователно трябва да намерим x и y, тъй като пресечната точка се състои от x и y. Нека намерим x, в първата точка, където сме го изразили, заместваме y.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1

Обичайно е да пишем точки на първо място пишем променливата x, а на второ място променливата y.
Отговор: (1; -0,2)

Пример #2:

Нека решим с помощта на метода на събиране (изваждане) член по член.

Решаване на система от уравнения чрез метода на събиране

3x-2y=1 (1 уравнение)
2x-3y=-10 (2-ро уравнение)

1. Избираме променлива, да кажем, че избираме x. В първото уравнение променливата x има коефициент 3, във второто - 2. Трябва да направим коефициентите еднакви, за това имаме право да умножаваме уравненията или да разделяме на произволно число. Умножаваме първото уравнение по 2, а второто по 3 и получаваме общ коефициент 6.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2. Извадете второто от първото уравнение, за да се отървете от променливата x. Решете линейното уравнение.
__6x-4y=2

5y=32 | :5
y=6,4

3. Намерете x. Заместваме намереното y във всяко от уравненията, да кажем в първото уравнение.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
х=4,6

Пресечната точка ще бъде x=4.6; y=6,4
Отговор: (4,6; 6,4)

Искате ли да се подготвите за изпити безплатно? Учител онлайн безплатно. Без майтап.