Кабиров Николай Николаевич, студент втора година на Факултета по физика, математика, информатика на Таганрогския институт на името на А. П. Чехов - филиал) на Ростовския държавен икономически университет - RINH), Таганрог [имейл защитен]

Ляхова Наталия Евгениевна, кандидат на физико-математическите науки, ръководител на катедрата по математика, Таганрогски институт на името на А. П. Чехов - филиал) на Ростовския държавен икономически университет - RINH), Таганрог [имейл защитен]

Стабилни порядки върху мултипликативната полугрупа от естествени числа

Резюме Статията е посветена на описанието на всички възможни начини за определяне на реда върху полугрупа от естествени числа чрез умножение или събиране, които имат свойството на стабилност.Ключови думи: отношение на ред, универсална алгебра на естествените числа, устойчиво отношение.

Тази статия разглежда алгебрични системи, в които основното множество е множеството от естествени числа, операциите са събиране и умножение, а релацията е релация на ред, която е свързана с операциите чрез свойството на стабилност. Възниква естествена задача да се опишат всички възможни начини за уточняване на реда в универсалната алгебра на естествените числа чрез умножение или събиране, което би имало свойството на стабилност. Добре известни примери за тези подредени отношения са отношенията на сравнение на числата по големина и отношението на делимост. Оказва се, че те не са единствените, има безкрайно много такива поръчки. В тази работа изрично са посочени всички стабилни порядъци в мултипликативните и адитивните полугрупи на естествените числа.Като пример за такива порядъци са дадени порядъци, генерирани от набор взаимнопрости двойки.

1. Основни определения

Под бинарна релация на множество имаме предвид подмножество на декартово произведение. Ако, къде, тогава ще напишем и кажем „какво е във връзка с.“ Важен тип бинарни отношения са отношенията на частично подреждане, т.е. бинарни отношения със свойствата рефлексивност, транзитивност и антисиметрия. Набор с даден частичен ред се нарича частично подреден. За запис на ред обикновено се използва символ; ако и, тогава в зависимост от обстоятелствата се казва, че по-малко от или равно на, съдържащо се в, предшества b. Нека е даден частичен ред в набор. Елементите на и на това множество ще се наричат ​​сравними, ако или. Не се изисква всеки два елемента да бъдат сравними - поради тази причина можем да говорим за "частично" подреждане. Ето как се получава тривиално частично подреждане на набор, ако приемем, че само ако различните елементи на са несравними.Частично подредено множество, в което всеки два елемента са сравними, се нарича подредено множество или линейно подредено множество или верига. В различни клонове на математиката подредените и частично подредените множества са изключително често срещани. Примерите за подредени множества включват множеството от естествени числа и множеството от реални числа, и двете в техния естествен ред. Примери за частично (но не линейно) подредени множества са следните множества: – множество

всички подмножества на някакво дадено множество с теоретико-множествената релация на включване като частична подредена релация; – множеството от всички непрекъснати реални функции, дефинирани на интервал, ако означава, че за всички; – множеството от всички естествени числа, ако се разбира в смисъл, че се дели изцяло на Частичен ред на полугрупа е частичен ред, който удовлетворява условието за стабилност

Полугрупа, в която е дефиниран частичен ред, който е стабилен при операция, се нарича подредена полугрупа. Очевидно всяка полугрупа може да се счита за подредена по отношение на тривиалния ред. Като примери за частични стабилни порядки можем да цитираме гореспоменатите порядки върху полугрупа и върху полугрупа.Както следва от дефинициите, редът е двоично отношение, т.е. много двойки. Това води до метод за описание на всички частични поръчки на полугрупа. Ще наречем поръчка, генерирана от определен набор от двойки, ако това е минималната поръчка, съдържаща тази група от двойки. Ако е възможно да се намери обща форма на ред, генериран от произволен набор от двойки, тогава това ще бъде решението на поставения проблем. Ясно е, че не за всеки набор от двойки има генерирана поръчка.Очевидно наборът не може да генерира поръчка.

2. Поръчки на N,·, генерирани от краен набор от двойки

Лесно е да се види, че всяка двойка естествени числа може да бъде представена във формата, където n е естествено число, а q е положителна дроб. Например може да се запише чифт. Позволявам

произволно крайно подмножество на декартов квадрат. Тогава, според горното, той може да бъде представен като:

Определение. Ще наричаме набор от двойки антисиметрични, ако за произволен набор от числа от набора

В същото време не е равно на 0. Ясно е, че определението е обобщение на добре познатата концепция за антисиметрия.

Определение.Нека

антисиметрично множество от двойки. Всяко естествено число, за което има две такива последователности, където и, където такива, че,

Където първото число на двойка от набор се нарича число, а числата

номера на комплекта.

Теорема 1. Ако

краен антисиметричен набор от двойки, тогава двоично отношение, такова че ако и само ако или е число и е числото на набор, има ред, генериран от този набор.

Доказателство. За да се докаже теоремата, е необходимо да се покаже, че, първо, връзката на реда и, второ,

съвпада с реда, генериран от множеството.

Нека докажем първата част от теоремата, т.е. нека докажем това

рефлексивен, транзитивен, антисиметричен и стабилен по отношение на умножението.1) Рефлексивността следва от дефиницията на връзка.2) Нека

И. От състоянието, което имаме,

И от състоянието, което имаме,

По този начин могат да бъдат определени две последователности за

и така че,

Тези. -номер и -номер на комплекта. Следователно. Случаи, при които или са очевидни. Транзитивността е доказана.3) Нека и. От условието следва, че. От условието следва, че. Транзитивността е доказана по-горе, следователно,

и в същото време Тъй като всичко, тези равенства могат да бъдат записани във формата

От последното равенство следва, че. Но това е възможно само за, тъй като множеството е антисиметрично. Имайки предвид това и получаваме. Следователно. Антисиметрията е доказана 4) Устойчивостта по отношение на умножението очевидно следва от устойчивостта на отношението на равенство, което се използва за определяне на числата на множеството Нека докажем втората част на теоремата. Нека означим с реда, генериран от множеството. Необходимо е да се покаже, че Нека произволна двойка, тогава, защото. има последователности и такива, че, т.е. номер и

номер на комплекта. Следователно е поръчка, съдържаща множество, но

минимален ред, съдържащ, тогава.

Нека, т.е. е число и е числото на множеството. Означава, че

, . (3) Нека покажем, че двойката. Тъй като тогава. Следователно според 1) . () Имайки предвид това

Получаваме. И така, според 2), . () От ) и ) ще следва това. И така нататък, продължавайки този процес, получаваме. Или, като вземем предвид 3), т.е. Така те показаха това.

Теоремата е доказана.

Теорема 2. За да може едно крайно множество от двойки да бъде генериращо множество от някакъв ред, е необходимо и достатъчно то да бъде антисиметрично.

Доказателство: Ако множеството от двойки е антисиметрично, то съгласно Теорема 1 то ще бъде генериращо множество от ред.Нека покажем обратното. Нека има много двойки

създава ред. Нека покажем, че е антисиметричен. Ще проведем доказателството от противно. Да приемем, че тя не е антисиметрична, т.е. има набор от числа

от набор, които едновременно не са равни на нула, така че Лесно е да се види, че ако една двойка принадлежи към някакво отношение на реда, тогава двойките трябва да принадлежат към нея и, следователно, двойката. По същия начин всяка двойка ще принадлежи към този ред. Въз основа на тази забележка двойки

принадлежат към реда. Тогава.

Ако даден ред съдържа двойки, тогава той съдържа двойки, Следователно, той съдържа двойка. Прилагайки този факт към реда, можем да напишем. Следователно,

Установихме, че поръчката съдържа едновременно двойки

и. И това противоречи на това, което е връзка на реда. Полученото противоречие доказва теоремата.

3. Поръчки, генерирани от набор от относително прости двойки

В някои случаи, в зависимост от избора на генераторния комплект, конструкцията на реда, разгледана в предходния параграф, е значително опростена и става по-ясна. Нека разгледаме един от тези случаи.

Определение: Множеството от двойки, такива че където, се нарича множество от взаимно прости двойки.

Теорема 3. Нека е дадено определено множество от относително прости двойки.Нека означим къде. След това те се представят във формата,.Двоично отношение

Къде е частичният ред.

Доказателство За доказване на теоремата е необходимо да се покаже рефлексивността, транзитивността, антисиметричността и устойчивостта на посоченото бинарно отношение. 1. Условието е изпълнено, тъй като съществуват такива, че. Рефлексивността е доказана.2. Нека бъде. От условието следва това, а от условието следва това, тогава

За категоричност ще приемем, че всичко е всичко. Тогава можем да напишем това

Изразявайки и, получаваме, Замествайки стойностите

и в първоначалните равенства, намираме, че, Следователно,

и транзитивността е доказана. В случай, че някои

Използваме факта, че и доказателството ще бъде подобно.3. Нека бъде. Нека покажем това. От условията следва, че,.От условията следва, че,.Затваряме тези двойки транзитивно, получаваме,и от това, което беше доказано по-горе.Но тъй като,.Следователно, антисиметрията е доказана.4. Стабилността е очевидна. Теоремата е доказана.

Теорема 4. За да бъде генериран ред от набор от относително прости двойки, е необходимо и достатъчно той да бъде редът, описан в теорема 3.

Доказателство. Нека означим реда, генериран от множеството относително прости двойки. Трябва да докажем това.

1. -минимален

2. Нека тогава

Нека покажем, че тази двойка принадлежи. За да направите това, достатъчно е да покажете, че от какво

следва това

следователно принадлежи. От това следва, че. Следователно включването е в сила за. Нека включването се извърши за, т.е. .Тогава.Тъй като, тогава.Следователно, т.е. това включване е в сила и двойките принадлежат. Следователно означава и. По този начин е доказано, че.

И така, то е получено и следователно,

и теоремата е доказана.

Лесно е да се види, че редът, генериран от произволна двойка, е специален случай на реда, генериран от набор взаимнопрости двойки.

4. Устойчиви порядки на адитивната полугрупа на естествените числа, връзката им с порядъци на мултипликативната полугрупа на естествените числа.

Нека разгледаме реда на полугрупата от естествени числа чрез събиране.

Произволна двойка естествени числа може да бъде представена като или, или, или, където. Нека разгледаме произволен набор от двойки, представими във формата

и ги подредете във възходящ ред. Означаваме такова множество, т.е. ,

Теорема 5. За да бъде генерирана поръчка от набор от двойки, е необходимо и достатъчно тя да бъде двоична релация

Доказателство. Нека докажем, че двоичното отношение е отношение на ред. За да направим това, трябва да покажем четири свойства: 1. Рефлексивността следва от определението 2. Нека докажем транзитивността. Нека и. От условието следва, че

От условието следва, че

От тези равенства получаваме

Тези. и транзитивността е доказана 3. Антисиметрия. Позволявам

И. Тогава са в сила равенствата (1). (2) Заместете 1) в 2) и получете. И това означава, че. Но

и следователно. Тогава, т.е. .По този начин,

антисиметрични.4. Стабилността е очевидна.

следователно

Отношение на поръчката. Остава да покажем за какво служи генераторният агрегат.

Нека обозначим

ред, генериран от много двойки. Нека докажем, че съвпада с.1. Принадлежи произволна двойка от комплекта. В същото време според определението

може да се напише,

Тези. .Следователно, произволна двойка ще се съдържа в, защото съдържа всички двойки от генериращото множество на реда. Открихме, че.2. Нека покажем обратното. Нека, т.е.

Необходимо е да се покаже това.Вземайки предвид написаните равенства, извършваме следните разсъждения.

От какво следва, че тогава двойките принадлежат. Оттук. От това следва, че, т.е. Провеждайки разсъждения, подобни на предишните, получаваме. Продължавайки този процес, стигаме до следния резултат:, т.е. , което означава .

Получаваме това, следователно,

Теоремата е доказана По подобен начин теоремата може да бъде доказана за множеството двойки, двойствени на множеството.

Теорема 6. За да може набор от двойки да генерира ред върху адитивна полугрупа от естествени числа, е необходимо и достатъчно той да бъде набор или негов дуален набор.

Доказателство. 1. Ако едно множество има един от посочените типове, то по теорема 5 то генерира ред.

2. Оставете го да генерира ред. Нека покажем, че е така

множествено или двойствено към него. Ще извършим доказателството по обратния метод. Нека комплектът съдържа двойки. Тогава тези двойки също принадлежат към генерирания ред.,

Следователно

Използвайки аргументи, подобни на предишните, получаваме.По този начин той едновременно съдържа двойки

А това противоречи на заповедта. Следователно не може да има двойки и в същото време, т.е. е множество или негов дуал.

Теоремата е доказана.

Лесно е да се види, че поръчките, които са стабилни върху адитивната полугрупа от естествени числа, са стабилни и върху мултипликативната полугрупа от естествени числа. Наистина, нека

стабилен ред на. Условията следват равенства,

След това, умножавайки двете страни на всяко равенство по произволно естествено число и правейки прости трансформации, получаваме,

Следователно, .

По този начин множеството от всички стабилни редове на адитивната полугрупа от естествени числа се съдържа в множеството от всички стабилни редове на мултипликативната полугрупа от естествени числа. Възниква въпросът за генериращото множество на тези порядки в полугрупата

Помислете например за реда на прозореца, генериран от двойка. Това ще бъде обичайният ред. Имайте предвид, че в допълнение към него и неговия двоен ред

Други линейни поръчки на

Не. Минималното генериращо множество на ред в

ще има набор от двойки.Това следва от факта, че всяка двойка, съдържаща се в реда, може да бъде получена от посочения набор и в същото време никоя от тези двойки не може да бъде получена от другите с помощта на транзитивно или стабилно затваряне . Така с порядък

има безкраен генераторен набор. Лесно е да се види, че всички поръчки на генерирани от краен набор от двойки имат on

безкрайни генераторни комплекти.

5. Поръчки, генерирани от безкраен набор от двойки

Теорема 7. Безкрайно множество от двойки

създава ред

по някаква алгебра

ако и само ако всяко негово крайно подмножество

генерира някакъв ред

на тази алгебра. Дефинира се, както следва:

ако и само ако има ограничен такъв, че.

Доказателство. Нека създаде ред. Нека изберем произволно крайно подмножество

множества. След това минималният подразред

Нека покажем обратното. Нека произволно крайно подмножество

комплекти

създава ред. Разгледайте релация такава, че.1. , защото . Следователно рефлексивен.2. Позволявам

и тогава какво от това?

и, така че.Нека помислим. Тогава можем да напишем това

И. Разбрахме. Следователно. По този начин преходни.3. Нека бъде. След това, такова и такова. Но има това и получаваме. Следователно antisymmetric.4.Нека тогава, така че. Следователно от къде.Т.е. стабилен.

И така, той удовлетворява свойствата на рефлексивност, транзитивност, антисиметрия и стабилност. означава,

Нека докажем, че има ред, генериран от безкрайно множество. Нека обозначим

генерирана поръчка. Трябва да се докаже, че:1. Произволна двойка се съдържа в, защото. , което следователно, . Но минималната поръчка, съдържаща, следователно.

2. Нека е произволна двойка от, следователно, че, т.е.

двойката се съдържа в минималния ред, генериран от, но, от и, следователно,. Означава,.

Получихме две включвания и следователно, т.е. комплектът генерира за.

По този начин е доказано, че ако всяко крайно подмножество на безкрайно множество генерира ред, тогава самата безкрайност също генерира ред, който е посоченият ред.

Теоремата е доказана.

Следствията следват от доказаната теорема.

Определение. Безкраен набор от двойки естествени числа се нарича антисиметричен, ако всяко крайно подмножество от него е антисиметрично.

генерирана поръчка

върху мултипликативната полугрупа от естествени числа е необходимо и достатъчно тя да бъде антисиметрична.

ако и само ако има краен набор, такъв че, където

– редът, генериран от антисиметричното множество, което беше описано в параграф 2.

Определение. Безкрайно множество от двойки естествени числа се нарича множество, ако всяко от неговите крайни подмножества е множество.

Последица. С цел безкраен брой двойки

генерирана поръчка

върху адитивна полугрупа от естествени числа е необходимо и достатъчно тя да бъде -множество или негово двойствено -множество. Освен това, ако и само ако съществува краен набор, такъв че къде е редът, генериран от набора, описан в параграф 4.

М.: Наука, 1970, 393 с. 2. Ляпин, Е.С. Подреденост в полугрупата на трансформациите/E.S. Ляпин // Доклади на Четвъртия Всесъюзен математически конгрес.Ленинград: Наука.1964.Т.2.С.1314.3.Кривенко, В. М. Отношения на предшество, които определят стабилни поръчки върху мултипликативната полугрупа на естествените числа / В. М. Кривенко, Н. Е. . Ляхова //XIX Всесъюзна алгебрична конференция: Резюмета на съобщенията. –Институт по приложни проблеми на механиката и математиката на Академията на науките на Украинската ССР –Лвов, 1987, Част 1.С.148.

Министерство на образованието и науката на Руската федерация

Федерална агенция за образование

НИЖНЕКАМСКИ ОБЩИНСКИ ИНСТИТУТ

Департамент по информатика, математика и природни науки -

научни дисциплини

Група 561

РЕЗЮМЕ

по дисциплината "Абстрактна алгебра"

Степен на образование специалист

Тема: Поръчани комплекти

Ръководител ___________________ R.M. Мунипов

Студент ___________________ A.V. Глазунов

Нижнекамск 2007 г

ВЪВЕДЕНИЕ……………………………………………………………………………………..3

1. Частично подредени множества……………………………5

2. Добре подредени комплекти…………………………………..20

3. Частични групоиди и техните свойства……………………………..23

ЗАКЛЮЧЕНИЕ…………………………………………………………..35

ЛИТЕРАТУРА…………………………………………………………….36

Въведение

Понастоящем алгебрата се разбира главно като обща теория на алгебричните операции и отношения. Характеризира се с голяма вътрешна естественост на първоначалните идеи и задачи, единство на методите и широка широта на основните понятия. Площта му е очертана ясно и ясно. И въпреки това съществуващите граници на теорията не могат да се считат за твърдо и окончателно установени. Все по-често започва да се появява желанието да се надхвърли границите му. Необходимо е операциите да се разглеждат не само пълни, но и частични.

Теорията за частичните действия трябва естествено да продължи теорията за пълните действия. Последното в момента е изключително обширно, богато и е в своя разцвет. Естествено възниква мисълта за прехвърляне на разработените там концепции и резултати в нова област. Това, разбира се, е необходимо и в много случаи ползотворно. Но още от първите стъпки в развитието на теорията за частичните действия се усеща значителната специфика на тази посока. Често директното прехвърляне на резултатите от теорията на пълните действия се оказва трудно или дори невъзможно. Обичайният алгебричен материал трябва да бъде подложен на значителна обработка или преосмисляне, освен това възникват напълно нови концепции и проблеми, които са специфични за новото направление. Те изискват собствена изследователска методология.

Все още не е имало достатъчно пълно и последователно представяне на теорията за частичните алгебрични действия. Има непоследователност в първоначалните концепции и дори в обозначенията и терминологията. Няма достатъчно връзки между отделните творби. Неадекватността на разработването на отделни въпроси, необходими за изграждането на обща теория, се усеща.

1 . застично подредени комплекти

Бинарна релация върху множество АНаречен антисиметричен Ако:

(a,c А) А? V V? А

АНаречен отразяващАко:

( а А) а а

Бинарна релация върху множество АНаречен преходенАко:

(а,V,° С А) а V V ° С>а с

Пример 1.

Отношение на делимост (изцяло) върху множеството от естествени числа н антисиметричен. Всъщност, ако А V, V А, тогава има естествени р1 ,р н, така че a=bр1 , в=ар където а=ар1 р , това е р1 р = 1. Но,

р1 ,р н, следователно р1 = р = 1, от което следва, че a = b.

Рефлексивна антисиметрична транзитивна бинарна релация върху множество АНаречен отношение на поръчката (частична поръчка) на снимачната площадка А.

Няколко Ас частично отношение на реда, дадено върху него? те звънят частично подреден набор и обозначават< А; ? >.

По-нататък за удобство ще използваме съкращението ЧУМА , обозначаващо частично подредено множество.

Пример 2.

< н, ? > ? обикновено нестрого неравенство на числата (в училищен смисъл). Необходимо ли е да се доказва транзитивността, рефлексивността и антисиметричността на тази връзка?

а)а? а,(2 ? 2) - рефлексивност,

б) ако А? V , V? с,Че а ? ° С, (3 ? 4, 4 ? 5 > 3 ? 5) - преходност,

в) ако а ? V , V?а, Че а= в,(3 ? 3, 3 ? 3 > 3=3) - антисиметрия.

Следва, че < н, ? > - CHUM.

Пример 3.

< н, > .

а) Отношение на делимост върху множеството от естествени числа нрефлексивен, защото всяко число е кратно на себе си, т.е. защото за никого А нВинаги а = а 1 (1 н), това, в смисъла на отношението, имаме А А. Следователно то е рефлексивно.

б)Ако първото число се дели на второто (т.е. кратно на второто), а второто е кратно на третото, тогава първото е кратно на третото, което означава, че връзката е транзитивна, т.е. Ако А V, V с, а,V,° С н. И така, има такива р ,р н, Какво

а= вр ,

в =° С р ,

а = ° С (р р ).

Да обозначим: р = р р н. Ние имаме

Където р н, т.е. А с- а-приорен . Следователно релацията е транзитивна.

в) Антисиметричността на връзката следва от факта, че две естествени числа, кратни едно на друго, са равни едно на друго, т.е. Ако А V, V А, тогава има такива р1 ,р н, Какво

a=bр1 ,

в=ар ,

а=ар1 р ,

това е р1 р = 1. Но, р1 ,р н, следователно р1 = р = 1, от което следва, че a = b.Следователно антисиметричен.

Следователно има частичен ред и следователно, < н, > - CHUM (частично подреден комплект).

Елементи а,V Чума Аса наречени несравнимса записани

А|| V, Ако а? VИ V? А.

Елементи а,VЧума Аса наречени сравнимиАко а? Vили V? А.

Частична поръчка? На АНаречен линеен, но самата чума линейно - подредениили верига, ако има два елемента от Асъпоставими, т.е. за всякакви а,V А, или а ? V, или V? а.

Пример 4 .

< н, ? >, < R, ? > - са верига. въпреки това<В(М) ; > , където B( М) - множеството от всички подмножества на множеството Мили в( М) е наречен Булева стойностна снимачна площадка М, не е верига, т.к не за всякакви две подмножества на множеството Медното е подмножество на другото.

Позволявам < А, ? > - произволна чума.

елемент м А Наречен минимален, ако има такива х Аот това, което х ? м Трябва х = м.

Смисълът на това понятие е, че Ане съдържа елементи, строго по-малки от този елемент м. Казват, че хстрого по-малко м и запишете х< м, Ако х ? м, но в същото време х ? м. Максималният елемент на тази чума се определя по подобен начин. Ясно е, че ако м , м - различни минимални (максимални) елементи на чумата, тогава м || м .

В теорията на частично подредените множества условието а ? Vпонякога се чете така: елементА съдържащи се в елементаV или елементV съдържа елементА .

Лема.

Всеки елемент от крайна чума съдържа минимален елемент и се съдържа в максимален елемент на тази чума.

Доказателство:

Позволявам А- произволен елемент от крайната чума С. Ако А -минимален елемент, тогава поради рефлексивността лемата е доказана. Ако Ане е минимален, тогава има елемент А такова, че

А < А(1)

Ако А е минимален, тогава всичко е доказано. Ако елементът А не е

минимален, след това за някои А получаваме

А < а (2)

Ако А е минимален, тогава от (1), (2), благодарение на транзитивността, заключаваме, че Асъдържа минималния елемент А . Ако А тогава не е минимален

А < А (3)

за някои А С. И така нататък. Този процес не може да бъде безкраен поради ограничеността на самото множество С.

Така за известно време н- на тата стъпка на разсъждение процесът завършва, което е еквивалентно на факта, че елементът А минимален. При което

А < а < < а < а < а

Поради транзитивността следва, че елементът Асъдържа минималния елемент А . По същия начин елемент Асъдържащи се в максималния елемент. Лемата е доказана.

Последица.

Последната чума съдържа поне един минимален елемент.

Сега въвеждаме концепцията, която е важна за по-нататъшно представяне диаграмикрайната чума С.

Първо вземаме всички минимални елементи м , м , м V С. Според разследването такива ще има. След това в частично подредения комплект

С = С \ {м , м , м },

което, като С, е краен, вземаме минималните елементи,

, , и разгледайте комплекта

= С \ {, , }

Елементи на "първия ред" м , м , м изобразени с точки. Малко по-високо маркираме елементите на „втория ред“ с точки, , и свържете точките с сегменти в този и само този случай, ако м <

След това намираме минималните елементи на чумата, изобразяваме ги с точки от „третия ред“ и ги свързваме с точки от „втория ред“ по начина, посочен по-горе. Продължаваме процеса, докато всички елементи на тази чума не бъдат изчерпани С. Процесът е краен поради ограничеността на множеството С. Полученото множество от точки и отсечки се нарича диаграмаЧУМА С. В същото време а < в ако и само ако от "точката" Аможете да отидете на „точки“ Vпо някаква „възходяща” прекъсната линия. Поради това обстоятелство всяка крайна чума може да бъде идентифицирана с нейната диаграма.

Пример 5 .

Тук е дадено от диаграмата CHUM С = {м , м , , ), където м < , м < , м < м < , м < м < , м < .

елемент м Наречен най-малкиятелемент на ЧУМАТА, ако за някой х АВинаги м ? х.

Ясно е, че най-малкият елемент е минимален, но обратното не е вярно: не всеки минимален елемент е най-малкият. Има само един най-малък елемент (ако има такъв). Най-големият елемент се определя по подобен начин.

Пример 6.

· · · ·

Това е чума, чиито елементи са несравними по двойки. Това са частично

подредените множества се наричат антивериги.

Пример 7 .

Това е веригата с най-малък и най-голям елемент. Където 0 е най-малкият елемент, а 1 е най-големият елемент.

Позволявам М- подмножество на частично подредено множество А. елемент А АНаречен долен ръбкомплекти М, Ако А? хза всеки х М.

Най-големият от всички инфимуми на множеството М, ако съществува, се извиква точен долен ръб комплекти Ми обозначават инф М.

Позволявам < А, ? > - произволна чума. елемент с А Наречен точен долен ръбелементи а,V А, Ако с= inf( а,В}.

Бележка 1.

Не във всяка чума има точен инфимум за всеки два елемента.

Нека покажем това с пример.

Пример 8 .

За ( а;° С},{д;д) няма долен ръб,

инф( а;V}=д, инф( V;° С}=д.

Пример 9 .

Нека дадем пример за чума, която има точен инфимум за всякакви елементи.

инф( а;V}=д, инф( а;д}=д, инф( а;0 }=0 , инф( а;° С}=0 , инф( а;д}=0 ,

инф( V;° С}=д, инф( V;д}=д, инф( V;д}=д,

инф( ° С;д}=° С, инф( ° С;0 }=0 , инф( ° С;д}=0 ,

инф( д;д}=0 , инф( д;0 }=0 ,

инф( д;0 }=0 .

Определение: Нарича се частично подредено множество, в което за всеки два елемента има инфимум полурешетка.

Пример 10 .

Нека дадем пример за чума, която не е полурешетка.

Позволявам < н, ? > - линейно подреден набор от естествени числа и д ,д н. На снимачната площадка н = н { д ,д ) дефинират двоична релация? , ако приемем, че х ? г, Ако х, г н, Където х ? г, или ако х н, г { д ,д ). Ние също така разглеждаме по дефиниция: д ? д ,д ? д .

Диаграмата на тази чума е следната:

Всяко естествено число n ? д и n? д , но в нняма най-велик елемент, следователно, н - CHUM, но не полурешетка.

Така че, по самата си дефиниция, полурешетката е модел (като набор с релация?). Както ще видим сега, възможен е друг подход към понятието полурешетка, а именно полурешетката може да се дефинира като определена алгебра.

За да направим това, въвеждаме някои допълнителни алгебрични понятия. Както е известно, полугрупае непразно множество с дефинирана върху него асоциативна двоична алгебрична операция.

Обикновено се означава произволна полугрупа С(полугрупа).

Определение.елемент дСНаречен идемпотентен, Ако

д = д, това е д · д = д.

Пример 11 .

Полугрупа< н; · > ? има само един идемпотент 1.

Полугрупа< З; + > ? има един идемпотент 0.

Полугрупа< н; + > ? няма идемпотент, т.к 0 н.

За всяко непразно множество X, както обикновено, обозначава множеството от всички подмножества на множеството X - булевото значение на множеството X.

Полугрупа<В;>- е такова, че всеки негов елемент е идемпотентен.

А IN, А = А А.

Полугрупата се нарича идемпотентна полугрупаили куп, ако всеки негов елемент е идемпотентен. По този начин, пример за съединител е всяко булево относително към обединение.

Пример 12 .

Позволявам х- произволен набор.

B- множеството от всички подмножества на множеството х.

B- се нарича булево в множеството х.

Ако х= (1,2,3) , тогава

B = (O, (1), (2), (3), (1,2), (2,3), (1,3), (1,2,3)).

Тъй като пресечната точка на две подмножества на множеството хотново е подмножество на х, тогава имаме групоид< В;>, освен това е полугрупа и дори съединител, тъй като А В и А = А А=А.

По абсолютно същия начин имаме връзката<; В > .

Комутативният съединител се нарича полурешетка.

Пример 13 .

Позволявам х= (1,2,3), нека изградим диаграма< В ; >.

Нека дадем примери за язви, но не и за полурешетки.

Пример 14 .

ЧУМ с две долни лица дИ д , които не са сравними помежду си: д|| д. Следователно инф( а;с) не съществува.

Пример 15.

ЧУМ с две долни лица сИ д, които са несравними помежду си: с|| д. Следователно инф( а;V) не съществува.

Нека дадем примери за полурешетки.

Пример 16 .

Диаграма:

А

инф( а;V}=V, инф( а;с}=с, инф( а;д}=д,

инф( V;° С}=д, инф( V;д}=д,

инф( ° С;д}=д.

Пример 17 .

Това е полурешетка, защото за всеки два елемента има инфимум, т.е.

инф( а;V}=V, инф( а;с}=с, инф( V;° С}=с.

Теорема 1.

Позволявам<С ; ? > - полурешетка. Тогава<С ; > комутативен съединител, където

а V=inf( а,V} (*).

Доказателство:

Необходимо е да се докаже, че в<С ; > съществуват следните идентичности:

(1) х y = y х

(2) (х г) z = x (г z)

(3) х х = х

1) Според равенството(*)

х y =инф( х,г) = inf ( г,х) = г х

2) Нека обозначим А = (х г) z, в =х ( г z)

Нека докажем това А = V.

За да направите това, е достатъчно да докажете това

А ? V (4)

V ? А(5) (поради антисиметрия)

Нека обозначим

с = х г , д = г z

По смисъла на Аточната долна граница между сИ z

А? с , А ? z , ° С ? х, следователно, поради преходност а ? х.

по същия начин, А? г, т.е. А- обща долна граница за гИ z. А д- тяхната точна долна граница.

следователно а ? д, Но V=inf( х, д}.

От неравенството а ? х , а ? д следва това А хИ д, А Vе техният точен инфимум, следователно,

А? V(4) доказано.

(5) се доказва по подобен начин.

От (4) и (5), с оглед на антисиметрията, заключаваме, че

a = b.

С това доказахме асоциативността на операцията ().

3) Имаме х х=inf( х,х} = х.

Равенството се постига чрез рефлексивност: Х? х.

Че. конструирана алгебра<С ; > ще бъде комутативна идемпотентна полугрупа, т.е. комутативна връзка.

Теорема 2.

Позволявам<С ; · > е комутативна идемпотентна полугрупа, тогава бинарна релация? На С, определени от равенството

? = а·в = а,

е частична поръчка. В същото време ЧУМА<С ; ? > е полурешетка.

Доказателство:

1) рефлексивност?.

По условие<С ; · > удовлетворява три идентичности:

(1) х = х

(2) x y = y x

(3) (x y)· z = x(г· z)

Тогава x x = x = x -по силата на (1). Ето защо Х? х.

2) антисиметрия? .

Позволявам Х? приИ y? х, тогава по дефиниция,

(4) x y = x

следователно, благодарение на комутативността, имаме x = y.

3) преходност?.

Позволявам Х? приИ y?z тогава, по дефиниция,

(6) x y = x

(7) г z= y

Ние имаме х· z = (х· г)· z х· (г· z) xy х

Така, х· z = х, това е Х?z.

Така имаме CHUM<С ; ? >. Остава да се покаже, че за всеки ( А,V)Ссъществува инф( a,c}.

Ние вземаме произволно А,V Си докажете, че елементът c = a bе инф( a,c), т.е. с= inf( a,c}.

Наистина,

c a =(a·c)·А А·(a·c) (а·а)· V a·b = c,

Че. с? А.

по същия начин, с·в =(a·c)·В А·(в) a·b = c,

тези. с? V.

Така, с- обща долна граница ( a,c}.

Нека докажем неговата точност.

Позволявам д- някои общи долни граници за АИ V:

(8) д? а

(9)d? V

(10) d a = d

(11)г в =д

д· ° С = д· (a·c) (д·А)· V д·В д,

д· ° С = д, следователно, д ? ° С.

Заключение: c =инф( а,В}.

Доказаните теореми 1 и 2 ни позволяват да разгледаме полурешетките от две гледни точки: като CUM и както в алгебрата (идемпотентни комутативни полугрупи).

2. Добре подредени комплекти

Теорията на подредените множества е създадена от Г. Кантор . Шатуновски . Хаусдорф (1914).

Добре подредени комплекти -Едно подредено множество се нарича добре подредено, ако всяко от неговите подмножества има първи елемент (тоест елемент, последван от всички останали). Всички крайни подредени множества са напълно подредени. Естествената серия, подредена във възходящ ред (както и по някои други начини), образува напълно подредено множество. Значението на напълно подредените множества се определя главно от факта, че за тях е валиден принципът на трансфинитната индукция.

Подредените множества, които имат един и същи порядков тип, също имат една и съща мощност, така че можем да говорим за мощност на даден порядков тип. От друга страна, крайните подредени множества с една и съща кардиналност имат един и същ ординален тип, така че всяка крайна кардиналност съответства на определен краен ординален тип. Ситуацията се променя при преминаване към безкрайни множества. Две безкрайни подредени множества могат да имат една и съща мощност, но различни типове подредени.

3. Частични групоиди и техните свойства

Както е известно, двоична алгебрична операция върху множество Се картографиране от декартов квадрат С?С. В този случай се казва, че действието е зададено на С. В този параграф ще го наречем пълен ефект.

Всяко картографиране от подмножество С?С V СНаречен частичен ефектНа С. С други думи, частично действие върху Се някаква функция от С?С > С.

Може да се каже, че на Се посочено частично действие (частично умножение), ако за някакви елементи a,c Сработа a·cили недефиниран, или недвусмислено дефиниран. Просто казано, не всички елементи се умножават тук.

Няколко Сс определено в него частично умножение се нарича частичен групоиди се означава с ( С ; · ) за разлика от пълен групоид< С ; · >.

Ако за пълен групоид можем да говорим за таблица на Кейли, то за частичен групоид можем да говорим за някакъв аналог на таблицата на Кейли, а именно таблица, в която някои клетки са празни - това е случаят, когато произведението на елементите е неопределено.

Пример 1.

	а

А· в = в, Но V· Ане е дефиниран, т.е. V· А= О. символ " О" не принадлежи С, т.е. не е елемент от С.

Пример 2.

Помислете за чумата ( С ; ? ).

С = {а,V,° С, д), Където А? А, V? V, с? с, д ? д, с? А, с? V, д? А, д? V.

В произволна чума ( С ; ? ) съгласни сме да означаваме:

А V= inf( а,В}.

Тогава чумата, посочена в примера по отношение на това частично действие, е частичен групоид ( С;), чиято таблица на Кейли е следната

				д
а
				д
	° С
			-

В този раздел ще разгледаме три вида асоциативност: силна асоциативност, средна асоциативност, слаба асоциативност.

Определение 1.

Частичен групоид ( С ; · ) е наречен слабо асоциативен , Ако

(х,y,z С) (х· г)· z О х·( г· z) > (х· г)· z= х·( г· z) (*)

Определение 2.

Частичен групоид ( С ; · ) е наречен умерено асоциативен , Ако

(х,y,z С) (х· г)· z О г· z > (х· г)· z= х·( г· z)

Определение 3.

Частичен групоид ( С ; · ) е наречен силно асоциативен , Ако

(х,y,z С) [(х· г)· z О х·( г· z) О> (х· г)· z= х·( г· z)] (*)

Силно асоциативен частичен групоид удовлетворява свойствата на умерена и слаба асоциативност. Обратното обаче в никакъв случай не е необходимо.

Пример 3.

дадени А = {а, в, с). Нека го настроим на Ачастична операция на умножение по “частична таблица на Кейли”.

Получаваме някакъв частичен групоид. Нека проверим дали групоидът е силно асоциативен.

Позволявам ( х· г)· z О защото х А, тогава или x = c x = b

1) нека x = c, Тогава y = в y = c

а) нека y = в, Тогава z = а

(с· V)· А О с·( V· А) дефинирани

(с· V)· a = c·( V· А) равенството е изпълнено

б) нека y = c, Тогава z= в z= c

и ако z= в, Тогава

(с· с)· V О с·( с· V) дефинирани

(с· с)· в = c·( с· V) равенството е изпълнено

b"), ако z= c, Тогава

(с· с)· с О с·( с· с) дефинирани

(с· с)· c = c·( с· с) равенството е изпълнено

2) нека x = b, Тогава y = a, А z= в z = ° С

и ако y = aИ z= в

(V· А)· V О= в·( А· V) недефиниран

(V· А)· V V·( А· V) равенството не е изпълнено

б) нека y = aИ z= c

(V· А)· с О= в·( А· с) недефиниран

(V· А)· с V·( А· с) равенството не е изпълнено

Така че, по дефиниция, частичен групоид не е силно асоциативен. Но това не означава, че ( С ; · ) не е слабо асоциативен.

Нека разберем.

Позволявам (х· г)· z О х·( г· z) О .

При х А, при А, а именно кога

x = b x = c

y = в y = c

този частичен групоид е слабо асоциативен.

Пример 4.

Позволявам А ={а, в, с), може да се настрои на Аследната таблица на Кейли. Получаваме някакъв частичен групоид. Нека проверим дали този групоид е умерено асоциативен.

Позволявам ( х· г)· z О защото х V, Тогава х = а x = c

1) нека х = а, Тогава y = a y = в

а) нека y = a, Тогава z = а, z= в

и ако z= а, Тогава

(А· А)· А О А· адефинирани

(А· А)· А А·( А· а) равенството не е изпълнено

b"), ако z= в, Тогава

(А· А)· V О А· Vдефинирани

(А· А)· V А·( А· V) равенството не е изпълнено

Следователно виждаме, че групоидът не е средно асоциативен. Разберете дали е слабо асоциативен.

Позволявам ( х· г)· z О х·( г· z) О, защото х V, Тогава х = а x = c

1) нека х = а, Тогава y = a y = в

а) нека y = a, Тогава z = а, z= в

и ако z= а, Тогава

(А· А)· А О= а·( А· а) недефиниран

(А· А)· А А·( А· а)

b"), ако z= в, Тогава

(А· А)· V О А·( А· V) дефинирани

(А· А)· в = а·( А· V) равенството е изпълнено

б) нека y = в, Тогава z = а, z= в

и ако z= а, Тогава

(А· V)· А О= а·( V· а) недефиниран

(А· V)· А А·( V· а)

b"), ако z= в, Тогава

(А· V)· V О А·( V· V) недефиниран

(А· V)· V А·( V· V) равенството не е изпълнено

2) нека x = c, Тогава y = a,y = в

а) нека y = a, Тогава z = а, z= в

и ако z= а, Тогава

(с· А)· А О= c·( А· а) недефиниран

(с· А)· А с·( А· а) равенството не е изпълнено

b"), ако z= в, Тогава

(с· А)· V О с·( А· V) дефинирани

(с· А)· в = c·( А· V) равенството е изпълнено

И така, виждаме, че частичен групоид е слабо асоциативен за х = аИ z= вили кога x = cАко y = aИ z= в.

Определение 4.

Частичен групоид ( С ; · ) е наречен комутативен , Ако

(Х,г С) х· г = г· х

Определение 5.

Частичен групоид ( С ; · ) е наречен контактна мрежа , Ако

(х,y,z С) (х· г О г· z) > [(х· г)· z О х·( г· z)]

Определение 6.

Частичен групоид ( С ; · ) е наречен идемпотентен , Ако

(х С) х = х

Нека дадем пример за некатенарен частичен групоид.

Пример 5.

				д
а
				д
	° С
			-

Ние имаме с a = c О, А д = д О. Въпреки това, ( с А) д = ° С д О. Следователно дадената CG не е контактна мрежа.

Ясно е какво имаме предвид под термина „обща горна граница“ на елементите АИ Vнякаква чума.

Определение 7.

Нарича се чума категоричен , ако всеки два от неговите елементи, които имат горна граница, имат точна долна граница.

Пример 6.

Пример 7.

Частично подреден набор, дефиниран от таблица на Cayley:

Пример 8.

Частично поръчан комплект

има следната таблица на Cayley:

				-
				-
				-

Ясно е, че всяка полурешетка е категорична чума (но не и обратното), т.к всеки два елемента имат точен инфимум. С други думи, класът на всички категорични язви съдържа класа на всички полурешетки, но не съвпада с него. Че. всяко твърдение, доказано за категорични язви, води като очевидно следствие определена теорема относно полурешетките.

Нека дадем примери за полурешетки.

Пример 9.

Диаграма:

Наречен диамант

				д
а
			д
	° С

Пример 10.

Диаграма:

Наречен Пентагони се дефинира от полурешетка със следната таблица на Кейли:

Пример 11.

Полурешетката, дефинирана от таблицата на Cayley:

има диаграма:

Теорема 1.

Позволявам ( С ; ? ) - категорична чума, тогава ( С;) - верижен идемпотентен комутативен слабо асоциативен частичен групоид.

Доказателство:

За всеки А СВинаги

А А= inf( а, а} = а следователно частичен групоид Сидемпотентен.

Ние имаме А V= inf( а,В) = inf( V,а} = V А, и следователно Скомутативен

Да проверим слабата асоциативност.

Позволявам ( А V) с О А (V с) , означават

А V = д, V с = д, (А V) с= д с = f, А (V с) = А д= ж

Нека докажем това f = ж.

По дефиниция имаме f ? д ? а f ? а,

f ? д? V f? V (1)

f ? ° С (2)

защото д= inf( в, с), то от (1), (2) следва, че f ? д. Че. f - някаква обща долна граница за АИ д, А ж е техният точен инфимум, така че

f ? ж (3)

по същия начин,

ж ? f (4)

Неравенство (3), (4) и антисиметрия на релацията? предоставят f = ж. Доказана е слаба асоциативност.

Да проверим контактната мрежа С.

Позволявам А V О V с, означават А b = x, V с = г, оттук Х? V, y? V, т.е.

V- обща горна граница хИ при. защото ЧУМА Скатегорично, тогава съществува inf( x,y), т.е. съществува в С х при. Нека обозначим х y = z, ще покажем това

А (V с) = х с= z. Ние имаме z ? х, z ? г (защото z = инф( x,y}), г ? z z ? х, z ? ° С,

z - долен ръб за хИ с.

Ние ще гарантираме точност.

Позволявам T ? х , T ? ° С (T- всяка долна граница), защото T ? х , Че T ? а, T? V, по условие T? с, т.е. T- обща долна граница за VИ с. Следва по дефиниция при, T ? г.

Така, T ? х, T? приследователно T ? z (a-приори z).

Контактната мрежа е доказана.

Теорема 2.

ако ( С ; · ) е верижен идемпотентен комутативен слабо асоциативен частичен групоид, тогава отношението

? = (a,c) С?С (2)

Е отношение на поръчка. В същото време ЧУМА<С ; ? > - е контактна мрежа.

Доказателство:

Да докажем рефлексивността на връзката? . защото частичен групоид С идемпо-тентен, тогава а· а = а следователно, по дефиниция (2) А? А.

Нека проверим антисиметрията.

Ако А? в, в? а,Че а·в = а, в·а = в,левите страни са равни поради комутативността, което означава, че десните страни са равни, следователно a = b.

Остава да докажем транзитивността.

Позволявам А? V, V? с, Тогава a·b = a, v s = в, а·с =(a·c)· с. Поради контактната мрежа имаме ( А· V)· с О , А·( V· с) О, следователно поради слабата асоциативност

(a·c)·c = a·(срещу), и следователно, a·c = a·(срещу) = a·b = a.

Така, a·c = a, т.е. А? с.

Че. имаме чума<С ; ? > .

Позволявам z- обща горна граница за хИ при. следователно Х?z, г ? z, оттук Х·z = х, г· z = г, Тогава z· г = г. Поради контактна мрежа ( х· г)· z О х· г О.

Нека обозначим x y =с, нека докажем това сточен долен ръб.

Ние имаме с· х = (х· г)· х = х· (х· г) = (х· х)· г = х· г = с (поради контактна мрежа и слаба асоциативност), следователно, с ? х, т.е. с- обща долна граница.

От тези теореми следват две следствия, добре известни в теорията на полурешетките.

Следствие 1.

Ако<С ; · > е идемпотентна комутативна полугрупа, тогава отношението? , определено от равенство (2), е частичен ред. Освен това, за всеки два елемента в Сима точна долна граница.

Следствие 2.

Ако<С ; · > е частично подредено множество, в което има инфимум на всеки два елемента, тогава по отношение на операцията

А V= inf( а,В} (3)

няколко Се идемпотентна комутативна полугрупа.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В заключение може да се отбележи, че теорията на подредените множества е създадена от Г. Кантор . През 1883 г. той въвежда концепцията за напълно подредено множество и редно число, а през 1895 г. - понятието за подредено множество и реден тип. През 1906-07 г. S.O. Шатуновски формулира определенията за насочено множество (в Шатуновски - разположен комплекс) и границата над насочено множество (от американските математици Е. . Г. Мур и Г. Л. Смит разглеждат същите тези концепции независимо от Шатуновски, но много по-късно - през 1922 г.). Общата концепция за частично подредено множество принадлежи на Ф. Хаусдорф (1914).

По този начин теорията на частичните алгебрични действия, като продължение на теорията на пълните действия, възползвайки се от нейните постижения, свързани с нея идеи и опит от приложения извън алгебрата, все пак трябва да се оформи като самостоятелно направление в обширната област на съвременна алгебра.

Към днешна дата са публикувани стотици произведения, специално посветени на изучаването на частични действия. Що се отнася до произведенията, в които в хода на изследването възникват определени частични действия, техният брой не може да бъде оценен. Частичните действия също се обсъждат в някои общи алгебрични трудове, но винаги много накратко.

Библиография

А.К. Клифърд, Г. Престън. Алгебрична теория на полугрупите. 1972 г.

Грейцер. Обща теория на решетките, Москва.-284 с.

Кожевников O.B. Частично подредени набори от частични групоиди, Москва, 1998 г. - 680-те.

Е.С. Ляпин. Полугрупи. Москва: Физмат, 1960.- 354 с.

Ляпин Е.С. Алгебра и теория на числата. Москва, 1980.-589с.

Както знаете, наборът от естествени числа може да бъде подреден чрез връзката „по-малко от“. Но правилата за конструиране на аксиоматична теория изискват това отношение да бъде не само дефинирано, но и направено въз основа на понятия, които вече са дефинирани в тази теория. Това може да стане чрез дефиниране на връзката „по-малко от“ чрез добавяне.

Определение. Числото a е по-малко от числото b (a< b) тогда и только тогда, когда существует такое натуральное число с, что а + с = b.

При тези условия се казва още, че броят bПовече ▼ Аи пиши b > a.

Теорема 12.За всякакви естествени числа АИ bима едно и само едно от трите отношения: a = b, a > b, А < b.

Пропускаме доказателството на тази теорема.. От тази теорема следва, че ако

a¹ b,или А< b, или a > b,тези. отношението "по-малко" има свойството на свързаност.

Теорема 13.Ако А< b И b< с. Че А< с.

Доказателство. Тази теорема изразява свойството транзитивност на отношението „по-малко от“.

защото А< b И b< с. тогава, по дефиницията на връзката „по-малко от“, има естествени числа Да сеКакво от това? b = a + k и c = b + I.Но след това c = (a + k)+ / и въз основа на свойството за асоциативност на добавянето получаваме: c = a + (k +/). Тъй като к + аз -естествено число, тогава според дефиницията на „по-малко от“, А< с.

Теорема 14. Ако А< b, това не е вярно b< а. Доказателство. Тази теорема изразява свойството антисиметрия"по-малко" връзка.

Нека първо докажем, че за нито едно естествено число Ане ти-!>! ■ )нейното отношение А< А.Да приемем обратното, т.е. Какво А< а възниква. Тогава, по дефиницията на отношението „по-малко от“, има естествено число с,Какво А+ с= а,и това противоречи на теорема 6.

Нека сега докажем, че ако А< b, тогава не е вярно това b < А.Да приемем обратното, т.е. какво ако А< b , Че b< а изпълнени. Но от тези равенства, по Теорема 12 имаме А< а, което е невъзможно.

Тъй като релацията „по-малко от“, която дефинирахме, е антисиметрична и транзитивна и има свойството на свързаност, тя е релация от линеен ред и множеството от естествени числа линейно подредено множество.

От определението за „по-малко от“ и неговите свойства можем да изведем известните свойства на набора от естествени числа.

Теорема 15.От всички естествени числа едно е най-малкото число, т.е. аз< а для любого натурального числа a¹1.

Доказателство. Позволявам А -всяко естествено число. Тогава са възможни два случая: а = 1 и a¹ 1. Ако а = 1, тогава има естествено число б,следван от a: a = b " = b + I = 1 + б,т.е. по дефиницията на отношението „по-малко от“, 1< А.Следователно всяко естествено число е равно на 1 или по-голямо от 1. Или едно е най-малкото естествено число.

Отношението „по-малко от“ се свързва със събирането и умножаването на числа чрез свойствата на монотонността.

Теорема 16.

a = b => a + c = b + c и a c = b c;

А< b =>a + c< b + с и ас < bс;

a > b => a + c > b + c и ac > bc.

Доказателство. 1) Валидността на това твърдение следва от уникалността на събирането и умножението.

2) Ако А< b, тогава има такова естествено число к,Какво А + k = b.
Тогава b+ c = (a + k) + c = a + (k + c) = a + (c+ Да се)= (a + c) + k.Равенство b+ c = (a + c) + kозначава, че a + c< b + с.

По същия начин се доказва, че А< b =>ак< bс.

3) Доказателството е подобно.

Теорема 17(обратното на теорема 16).

1) А+ c = b + cили ac ~ bc-Þ a = b

2) a + c< Ь + с или ак< пр.н.еÞ А< Ь:

3) a + c > b+ с или ac > bcÞ a > b.

Доказателство. Нека докажем например, че от ак< bс Трябва А< b Да приемем обратното, т.е. че заключението на теоремата не е в сила. Тогава не може да е така a = b.тъй като тогава равенството ще бъде изпълнено ac = bс(теорема 16); не може да бъде А> б,защото тогава би било ac > bс(Теорема!6). Следователно, съгласно теорема 12, А< b.

От теореми 16 и 17 можем да изведем добре познатите правила за почленно събиране и умножение на неравенства. Изпускаме ги.

Теорема 18. За всякакви естествени числа АИ b; има естествено число n такова, че p b> a.

Доказателство. За всеки Аима такъв номер П, Какво n > a.За да направите това е достатъчно да вземете n = a + 1. Умножаване на неравенства член по член П> АИ b> 1, получаваме pb > А.

От разгледаните свойства на отношението “по-малко” следват важни характеристики на множеството от естествени числа, които представяме без доказателство.

1. Не за всяко естествено число Аняма такова естествено число П,Какво А< п < а + 1. Това свойство се нарича Имот
дискретностнабори от естествени числа и числа АИ а + 1 се нарича съседни.

2. Всяко непразно подмножество от естествени числа съдържа
най-малкото число.

3. Ако М- непразно подмножество на множеството от естествени числа
и има такъв номер б,че за всички числа x от Мне е изпълнено
равенство x< б,тогава в изобилие Ме най-голямото число.

Нека илюстрираме свойства 2 и 3 с пример. Позволявам М- набор от двуцифрени числа. защото Ме подмножество от естествени числа и за всички числа в това множество неравенството x< 100, то в множестве Ме най-голямото число 99. Най-малкото число, съдържащо се в даден набор М, -номер 10.

По този начин връзката „по-малко от“ направи възможно разглеждането (а в някои случаи и доказването) на значителен брой свойства на набора от естествени числа. По-специално, той е линейно подреден, дискретен и има най-малкото число 1.

Учениците от началното училище се запознават с връзката „по-малко от” („по-голямо от”) за естествените числа още в самото начало на своето обучение. И често, наред с неговата теоретико-множествена интерпретация, имплицитно се използва определението, дадено от нас в рамките на аксиоматичната теория. Например учениците могат да обяснят, че 9 > 7, защото 9 е 7+2. Косвеното използване на свойствата на монотонност на събиране и умножение също е често срещано. Например, децата обясняват, че „6 + 2< 6 + 3, так как 2 < 3».

Упражнения

1, Защо наборът от естествени числа не може да бъде подреден чрез връзката „незабавно следване“?

Определете отношението a > bи докажете, че е транзитивна и антисиметрична.

3. Докажете, че ако a, b, cса естествени числа, тогава:

а) А< b Þ ас < bс;

б) А+ с< b + сÞ> А< Ь.

4. Какви теореми за монотонността на събирането и умножението могат
използване от по-малки ученици при изпълнение на задачата „Сравнете без извършване на изчисления“:

а) 27 + 8 ... 27 + 18;

б) 27-8 ... 27 -18.

5. Какви свойства на набора от естествени числа се използват имплицитно от учениците в началното училище при изпълнение на следните задачи:

А) Запишете числата, които са по-големи от 65 и по-малки от 75.

Б) Назовете предходните и следващите числа спрямо числото 300 (800 609 999).

В) Назовете най-малкото и най-голямото трицифрено число.

Изваждане

В аксиоматичната конструкция на теорията на естествените числа изваждането обикновено се определя като обратна операция на събиране.

Определение. Изваждането на естествените числа a и b е операция, която удовлетворява условието: a - b = c тогава и само ако b + c = a.

Номер а - бсе нарича разлика между числата a и б,номер А– умалено, число б-самоучастие.

Теорема 19.Разлика на естествените числа А- bсъществува тогава и само ако b< а.

Доказателство. Нека разликата А- bсъществува. Тогава, по дефиницията на разликата, има естествено число с,Какво b + c = a,което означава, че b< а.

Ако b< а, тогава, по дефиницията на отношението „по-малко от“, има естествено число c такова, че b + c = a.Тогава, по дефиницията на разликата, c = a - b,тези. разлика а - бсъществува.

Теорема 20. Ако разликата на естествените числа АИ bсъществува, значи е уникален.

Доказателство. Да предположим, че има две различни стойности на разликата между числата АИ b;: а – б= s₁И а - б= s₂, и s₁ ¹ s₂.Тогава, по дефиниция на разликата, имаме: a = b + c₁,И a = b + c₂ : .Следва, че b+ c ₁ = b + c₂ :и въз основа на теорема 17 заключаваме, с₁ = с₂..Стигнахме до противоречие с предположението, което означава, че е невярно, но тази теорема е вярна.

Въз основа на определението за разликата на естествените числа и условията за нейното съществуване е възможно да се обосноват добре известните правила за изваждане на число от сбор и сбор от число.

Теорема 21. Позволявам А. bИ с- цели числа.

и ако a > c, тогава (a + b) - c = (a - c) + b.

б) Ако b > c. след това (a + b) - c - a + (b - c).

в) Ако a > c и b > c.тогава можете да използвате всяка от тези формули.
Доказателство. В случай а) разликата на числата АИ ° Ссъществува, защото a > s.Нека го обозначим с x: a - c = x.където a = c + x. Ако (А+ b) - c = y.тогава, по дефиницията на разликата, А+ b = с+ при. Вместо това нека заместим в това равенство Аизразяване c + x:(c + x) + b = c + y.Нека използваме свойството за асоциативност на събирането: c + (x + b) = c+ при. Нека преобразуваме това равенство въз основа на свойството монотонност на събирането и получаваме:

x + b = u..Заменяйки x в това равенство с израза а - в,ще има (А - G) + b = y.Така доказахме, че ако a > c, тогава (a + b) - c = (a - c) + b

Доказателството се извършва по подобен начин в случай b).

Доказаната теорема може да бъде формулирана под формата на правило, което е удобно за запомняне: за да извадите число от сума, достатъчно е да извадите това число от един член на сумата и да добавите друг член към получения резултат.

Теорема 22.Позволявам a, b и c -цели числа. Ако a > b+ s, тогава А- (b + c) = (a - b) - cили a - (b + c) = (a - c) - b.

Доказателството на тази теория е подобно на доказателството на теорема 21.

Теорема 22 може да се формулира като правило: за да се извади сума от числа от число, е достатъчно да се извади всеки член един по един от това число.

В началното обучение по математика дефиницията на изваждането като обратна на събирането по правило не е дадена в общи линии, но се използва постоянно, като се започне с извършването на операции с едноцифрени числа. Учениците трябва ясно да разберат, че изваждането е свързано със събирането и да използват тази връзка в изчисленията. Изваждайки например числото 16 от числото 40, учениците разсъждават по следния начин: „Изваждането на числото 16 от 40 означава да се намери такова число, че когато се добави към числото 16, резултатът е 40; това число ще бъде 24, тъй като 24 + 16 = 40. И така. 40 - 16 = 24."

Правилата за изваждане на число от сбор и сбор от число в началния курс по математика са теоретичната основа за различни техники за изчисление. Например стойността на израза (40 + 16) - 10 може да се намери не само чрез изчисляване на сумата в скоби и след това изваждане на числото 10 от нея, но и по този начин;

а) (40 + 16) - 10 = (40 - 10) + 16 = 30 + 16 = 46:

б) (40 + 16) - 10 = 40 + (16- 10) = 40 + 6 = 46.

Упражнения

1. Вярно ли е, че всяко естествено число се получава от непосредствено следващото чрез изваждане на единица?

2. Какво е особеното в логическата структура на теорема 19? Може ли да се формулира с думите „необходимо и достатъчно“?

3. Докажете, че:

и ако b > c,Че (a + b) - c = a + (b - c);

б) ако a > b + c, Че а - (б+ в) = (a - b) - c.

4. Възможно ли е, без да се правят изчисления, да се каже кои изрази ще имат еднакви стойности:

а) (50 + 16)- 14; г) 50 + (16 -14 ),

б) (50 - 14) + 16; д) 50 - (16 - 14);
в) (50 - 14) - 16, е) (50 + 14) - 16.

а) 50 - (16 + 14); г) (50 - 14) + 16;

б) (50 - 16) + 14; д) (50 - 14) - 16;

в) (50 - 16) - 14; д) 50 - 16-14.

5. Какви свойства на изваждането са теоретичната основа за следните изчислителни техники, изучавани в началния курс по математика:

12 - 2-3 12 -5 = 7

б) 16-7 = 16-6 - P;

в) 48 - 30 = (40 + 8) - 30 = 40 + 8 =18;

г) 48 - 3 = (40 + 8) - 3 = 40 + 5 = 45.

6. Опишете възможните начини за оценка на стойността на израз на формата. а - б- си ги илюстрирайте с конкретни примери.

7. Докажете, че когато b< а и всяко естествено c равенството е вярно (a – b) c = ac - bc.

Забележка. Доказателството се основава на аксиома 4.

8. Определяне на стойността на израз без извършване на писмени изчисления. Обосновете отговорите си.

а) 7865 × 6 – 7865 × 5: б) 957 × 11 – 957; в) 12 × 36 – 7 × 36.

дивизия

В аксиоматичната конструкция на теорията на естествените числа делението обикновено се определя като обратна операция на умножението.

Определение. Деленето на естествените числа a и b е операция, която удовлетворява условието: a: b = c тогава и само акоДа се когато b× c = a.

Номер а:бНаречен частенчисла АИ б,номер Аделимо, число b- делител.

Както е известно, деление върху множеството от естествени числа не винаги съществува и няма такъв удобен знак за съществуването на частно, както съществува за разлика. Има само необходимо условие за съществуването на частното.

Теорема 23.За да има частно от две естествени числа АИ b, необходимо е това b< а.

Доказателство. Нека частното на естествените числа АИ bсъществува, т.е. има естествено число c такова, че bc = a.Тъй като за всяко естествено число 1 неравенството 1 £ с,след това умножете двете му части по естествено число b, получаваме b£ пр.н.е.Но bc = a,следователно, b£ А.

Теорема 24.Ако частното на естествените числа АИ bсъществува, значи е уникален.

Доказателството на тази теорема е подобно на доказателството на теоремата за единствеността на разликата на естествените числа.

Въз основа на дефиницията на частното на естествените числа и условията за неговото съществуване е възможно да се обосноват добре известните правила за разделяне на сума (разлика, продукт) на число.

Теорема 25.Ако числата АИ bсе делят на число с,тогава тяхната сума a + bразделено на c, и частното, получено чрез разделяне на сумата А+ bна брой с,равна на сбора от частните, получени при разделянето АНа сИ bНа с, т.е. (a + b):c = a:c + b:с.

Доказателство. Тъй като броят Аразделена на с,тогава има естествено число x = А;това е a = cx.По същия начин има такова естествено число y = b:с,Какво

b= су.Но след това a + b = cx+ cy = - c(x + y).Означава, че a + bсе разделя на c, а частното, получено чрез разделяне на сумата А+ bпо числото c, равно на x + y,тези. брадва + b: c.

Доказаната теорема може да се формулира като правило за разделяне на сбор на число: за да се раздели сборът на число, достатъчно е всеки член да се раздели на това число и да се съберат получените резултати.

Теорема 26.Ако естествените числа АИ bделимо на число сИ a > b,тогава разликата а - бе разделено на c, а частното, получено чрез разделяне на разликата на числото c, е равно на разликата на частните, получени чрез разделяне АНа сИ bна c, т.е. (a - b):c = a:c - b:c.

Доказателството на тази теорема е подобно на доказателството на предишната теорема.

Тази теорема може да се формулира като правило за разделяне на разликата с число: ЗаЗа да разделите разликата на число, достатъчно е да разделите умаляваното и изважданото на това число и да извадите второто от първото частно.

Теорема 27.Ако естествено число Асе дели на естествено число c, то за всяко естествено число bработа абразделен на s. В този случай частното, получено чрез разделяне на продукта абкъм номер s , равно на произведението на частното, получено чрез разделяне АНа с,и числа b: (a × b): c - (a: c) × b.

Доказателство. защото Аразделена на с,тогава има естествено число x такова, че a:c= x, където a = cx.Умножавайки двете страни на равенството по б,получаваме ab = (cx)b.Тъй като умножението е асоциативно, тогава (cx) b = c(x b).Оттук (a b):c = x b= (a:c) b.Теоремата може да се формулира като правило за разделяне на продукт на число: за да се раздели продукт на число, достатъчно е да се раздели един от факторите на това число и полученият резултат да се умножи по втория фактор.

В началното обучение по математика дефиницията на деленето като обратна операция на умножението по правило не се дава в общ вид, но се използва постоянно, като се започне от първите уроци на запознаване с делението. Учениците трябва ясно да разберат, че делението е свързано с умножението и да използват тази връзка, когато правят изчисления. Когато делят например 48 на 16, учениците разсъждават така: „Да се ​​раздели 48 на 16 означава да се намери число, което, умножено по 16, дава 48; такова число би било 3, тъй като 16×3 = 48. Следователно, 48: 16 = 3.

Упражнения

1. Докажете, че:

а) ако частното на естествените числа а и бсъществува, значи е уникален;

б) ако числата а и бсе разделят на сИ a > b,Че (a - b): c = a: c - b: c.
2. Може ли да се каже, че всички тези равенства са верни:
а) 48:(2×4) = 48:2:4; б) 56:(2×7) = 56:7:2;

в) 850:170 =850:10:17.

Кое правило обобщава тези случаи? Формулирайте го и го докажете.

3. Какви свойства на разделянето са теоретичната основа за
изпълняване на следните задачи, предлагани на учениците от началното училище:

Възможно ли е, без да се извършва деление, да се каже кои изрази ще имат еднакви стойности:

а) (40+ 8):2; в) 48:3; д) (20+ 28):2;

б) (30 + 16):3; g)(21+27):3; е) 48:2;

Верни ли са равенствата:

а) 48:6:2 = 48:(6:2); б) 96:4:2 = 96:(4-2);

в) (40 - 28): 4 = 10-7?

4. Опишете възможните начини за изчисляване на стойността на израз
Тип:

а) (А+ b):c;б) А:b: С; V) ( a × b): С .

Илюстрирайте предложените методи с конкретни примери.

5. Намерете смисъла на израза по рационален начин; техен
оправдайте действията си:

а) (7 × 63):7; в) (15 × 18):(5× 6);

б) (3 × 4× 5): 15; г) (12 × 21): 14.

6. Обосновете следните методи за деление на двуцифрено число:

а) 954:18 = (900 + 54): 18 = 900:18 + 54:18 =50 + 3 = 53;

б) 882:18 = (900 - 18): 18 = 900:18 - 18:18 = 50 - 1 =49;

в) 480:32 = 480: (8 × 4) = 480:8:4 = 60:4 = 15:

г) (560 × 32): 16 = 560(32:16) = 560×2 = 1120.

7. Без да разделяте с ъгъл, намерете най-рационалното
частно; Обосновете избрания метод:

а) 495:15; в) 455:7; д) 275:55;

6) 425:85; г) 225:9; д) 455:65.

Лекция 34. Свойства на множеството от цели неотрицателни числа

1. Множеството от неотрицателни цели числа. Свойства на множеството от неотрицателни цели числа.

2. Концепцията за сегмент от естествена редица от числа и броене на елементи от крайно множество. Поредни и кардинални естествени числа.

При въвеждането на операции със супермножества не взехме предвид, че самите множества могат да имат собствена вътрешна структура, т.е. приехме, че всички елементи на множеството са равни. В математиката обаче такива „чисти“ множества не представляват голям интерес и много по-често се изучават множества, между елементите на които има определени връзка . Една от най-важните връзки между елементите на набора е отношение на поръчката .

Отношение на поръчката не е нищо повече от, като правило, установяване на реда на „последователност“ на елементите на множеството.

Позволявам А- някакъв набор, набор АНаречен поръчан комплект , ако за всеки два от неговите елементи а, бе инсталирано едно от следните отношения на реда :

или a ≤ b (Ане надвишава b),

или b ≤ a (bне надвишава А),

притежаващи следните свойства:

1) рефлексивност:

никой елемент не е по-добър от себе си;

2) антисиметрия:

Ако Ане надвишава b, А bне надвишава А, след това елементите АИ bсъвпада;

3) преходност:

Ако Ане надвишава b,а bне надвишава с, Че Ане надвишава с.

Празният комплект беше съгласен да се счита за поръчан. В горната дефиниция на подредено множество, чиито елементи могат да бъдат обекти от всякакво естество, знакът ≤ гласи „не превишава“. Този знак (като знака „по-малко или равно“) придобива обичайното си четене и значение в случай, че елементите на множеството А- числа.

Две множества, съставени от едни и същи елементи, но с различни отношения на подреждане, се считат за различни подредени множества.

Един и същ комплект може да бъде поръчан по различни начини, като по този начин се получават различни подредени комплекти.

Пример

Помислете за набор, чиито елементи са различни изпъкнали многоъгълници: триъгълник, четириъгълник, петоъгълник, шестоъгълник и т.н. Един от начините за формиране на подредено множество от дадено неподредено множество може, например, да бъде да се вземе триъгълник като първи елемент на подреденото множество , вторият е четириъгълник, третият е петоъгълник и т.н., т.е. подреждаме набора в нарастващ ред на броя на вътрешните ъгли на многоъгълниците. Наборът от полигони може да бъде подреден по друг начин, например чрез изброяване на полигоните в нарастващ ред на площта, когато полигонът с най-малка площ е избран като първи, полигонът с площ, която не надвишава площта на всички други, с изключение на вече избрания, избран като втори и т.н.

Подредените (крайни или изброими) множества често се записват чрез подреждане на техните елементи в даден ред в скоби.

Пример

Обозначенията (1; 2; 3) и (2; 1; 3) представляват различни крайни подредени множества, които могат да бъдат получени от едно и също множество (1; 2; 3) чрез подреждането му по два различни начина.

За да напишете изброимо подредено множество, трябва да посочите първия елемент от подреденото множество и да посочите реда (правилото) на подреждането на следващите елементи.

Поръчани комплекти

Определение 1.Няколко МНаречен поръчан, ако се установи някаква връзка между неговите елементи а b(" апредшестван b"), имащи следните свойства: 1) между всеки два елемента аИ bима една и само една от трите връзки: а = b, аб, bа; 2) за всеки три елемента а, bИ ° Сот аб, b c следва а° С.

Празен комплект се счита за поръчан.

Коментирайте.Ние винаги разбираме знака = в смисъл на идентичност, съвпадение на елементи. Записвайте а = bпросто означава, че в букви аИ bобозначава същия елемент от множеството М. Следователно от свойство 1) следва, че между два различни елемента съществува едно и само едно от двете отношения а b или bа.

Ако апредшестван b, тогава те казват, че bследва аи напиши: b > а.

Поведение а > bТой има, както може лесно да се провери, свойства, подобни на 1) и 2). Тя може да се приеме за основна, след което чрез нея да се определи връзката а b.

Ако е в подреден комплект Мсменете ролите на връзката, т.е аб пишете а > b, и обратно, получаваме нов поръчан комплект М", чийто ред се казва, че е обратен на реда М. Например, за горния ред в набора от естествени числа, редът ще бъде обърнат:

Две подредени множества, съставени от едни и същи елементи, но подредени в различен ред, се считат за различни. Следователно, когато се дефинира подредено множество чрез неговите елементи, е необходимо да се посочи техният ред. Ще приемем, че записът отляво надясно съответства на реда на елементите и ще запазим предишното обозначение с фигурни скоби. Един и същ комплект може да се нареди по различни начини (ако съдържа поне два елемента). Така наборът от естествени числа може да бъде подреден по обичайния начин или в обратен ред; нечетните числа могат да бъдат поставени пред четните числа или обратно, подреждайки и двете във възходящ или низходящ ред. Получаваме поръчани комплекти