Могат ли да възникнат принудителни трептения? Принудителни вибрации. Тогава уравнението на движението на системата ще има вида

Нека се обърнем отново към фигура 53. Като преместим топката от точка O (равновесно положение) до точка B, разтягаме пружината. В същото време извършваме известна работа, за да преодолеем силата на нейната еластичност, поради което пружината придобива потенциална енергия. Ако сега пуснете топката, тогава, когато се приближи до точка О, деформацията на пружината и потенциалната енергия на махалото ще намалят, а скоростта и кинетичната енергия ще се увеличат.

Да приемем, че загубата на енергия за преодоляване на силите на триене при движението на махалото е незначителна. Тогава, съгласно закона за запазване на енергията, общата механична енергия на махалото (т.е. E p + E k) във всеки момент от време може да се счита за същата и равна на потенциалната енергия, която първоначално сме предали на пружината, разтягайки го по дължината на отсечката OB. В този случай махалото може да осцилира колкото желаете време с постоянна амплитуда, равна на OB.

Това би било така, ако нямаше загуби на енергия по време на движение.

Но в действителност винаги има загуба на енергия. Механичната енергия се изразходва например за извършване на работа за преодоляване на силите на съпротивление на въздуха, превръщайки се във вътрешна енергия. Амплитудата на трептенията постепенно намалява и след известно време трептенията спират. Такива трептения се наричат ​​затихващи (фиг. 66).

Ориз. 66. Графики на амплитудата на свободните трептения, възникващи във вода и въздух спрямо времето

Колкото по-голямо е съпротивлението на движение, толкова по-бързо спират вибрациите. Например, във вода вибрациите се разпадат по-бързо, отколкото във въздуха (фиг. 66, а, б).

Досега разглеждахме свободни трептения, т.е. трептения, възникващи поради първоначалния запас от енергия.

Свободните трептения винаги са затихнали, тъй като цялата доставка на енергия, първоначално придадена на осцилаторната система, в крайна сметка отива за извършване на работа за преодоляване на силите на триене и съпротивление на средата (т.е. механичната енергия се превръща във вътрешна енергия). Следователно свободните вибрации нямат почти никакво практическо приложение.

За да бъдат трептенията незатихващи, е необходимо да се попълни загубената енергия по време на всеки период на трептене. Това може да стане чрез въздействие върху трептящо тяло с периодично променяща се сила. Например, като всеки път бутате люлка в такт с нейните вибрации, можете да гарантирате, че вибрациите няма да изчезнат.

• Трептенията, извършвани от тялото под въздействието на външна периодично променяща се сила, се наричат ​​принудени трептения

Външната периодично променяща се сила, която причинява тези трептения, се нарича принудителна сила.

Ако върху стационарна люлка започне да действа периодично променяща се принуждаваща сила, тогава за известно време амплитудата на принудителните колебания на люлка ще се увеличи, т.е. амплитудата на всяко следващо колебание ще бъде по-голяма от предишната. Увеличаването на амплитудата ще спре, когато енергията, загубена от люлеенето за преодоляване на силата на триене, стане равна на енергията, която получава отвън (поради работата на движещата сила).

В повечето случаи постоянна честота на принудените трептения не се установява веднага, а известно време след началото им.

Когато амплитудата и честотата на принудителните трептения спрат да се променят, се казва, че трептенията са установени.

Честотата на стационарните принудителни трептения е равна на честотата на движещата сила.

Принудени трептения могат да се извършват дори от тела, които не са трептящи системи, например игла на шевна машина, бутала в двигател с вътрешно горене и много други. Вибрациите на такива тела също възникват при честотата на движещата сила.

Принудените трептения са незатихващи. Те възникват, докато действа принудителната сила.

Въпроси

1. Какво може да се каже за общата механична енергия на трептящо махало във всеки момент от времето, ако приемем, че няма загуба на енергия? Според кой закон може да се твърди това?
2. Как се променя амплитудата на свободните трептения, възникващи в реални условия, с времето? Каква е причината за тази промяна?
3. Къде махалото ще спре да трепти по-бързо - във въздуха или във водата? Защо? (Първоначалният енергиен резерв е еднакъв и в двата случая.)
4. Могат ли свободните трептения да бъдат незатихващи? Защо? Какво трябва да се направи, за да се осигури незатихване на трептенията?
5. Какво може да се каже за честотата на стационарните принудителни трептения и честотата на движещата сила?
6. Могат ли тела, които не са трептящи системи, да извършват принудени трептения? Дай примери.
7. Колко дълго възникват принудителни трептения?

Упражнение 25

Принудените трептения са тези трептения, които възникват в системата, когато върху нея действа външна принуждаваща периодично променяща се сила, наречена движеща сила.

Характерът (зависимостта от времето) на движещата сила може да бъде различен. Това може да бъде сила, променяща се според хармоничен закон. Например звукова вълна, чийто източник е камертон, удря тъпанчето или мембраната на микрофона. Върху мембраната започва да действа хармонично променяща се сила на въздушното налягане.

Движещата сила може да бъде от естеството на сътресения или кратки импулси. Например възрастен люлее дете на люлка, като периодично го бута в момента, когато люлката достигне едно от крайните си положения.

Нашата задача е да разберем как трептящата система реагира на влиянието на периодично променяща се движеща сила.

§ 1 Движещата сила се изменя по хармоничния закон

F съпротивление = - rv xи завладяваща сила F out = F 0 sin wt.

Вторият закон на Нютон ще бъде записан като:

Решението на уравнение (1) се търси във формата , където е решението на уравнение (1), ако то няма дясната страна. Вижда се, че без дясната страна уравнението се превръща в добре познатото уравнение на затихналите трептения, чието решение вече знаем. За достатъчно дълго време свободните колебания, които възникват в системата, когато тя бъде извадена от равновесно положение, практически ще изчезнат и в решението на уравнението ще остане само вторият член. Ще потърсим това решение във формата
Нека групираме термините по различен начин:

Това равенство трябва да бъде изпълнено по всяко време t, което е възможно само ако коефициентите на синуса и косинуса са равни на нула.

И така, тяло, върху което действа движеща сила, променяща се по хармоничен закон, извършва колебателно движение с честотата на движещата сила.

Нека разгледаме по-подробно въпроса за амплитудата на принудените трептения:

1 Амплитудата на стационарните принудителни колебания не се променя с времето. (Сравнете с амплитудата на свободните затихнали трептения).

2 Амплитудата на принудените трептения е правопропорционална на амплитудата на движещата сила.

3 Амплитудата зависи от триенето в системата (A зависи от d, а коефициентът на затихване d от своя страна зависи от коефициента на съпротивление r). Колкото по-голямо е триенето в системата, толкова по-малка е амплитудата на принудителните трептения.

4 Амплитудата на принудените трептения зависи от честотата на движещата сила w. как? Нека изследваме функцията A(w).

При w = 0 (върху трептящата система действа постоянна сила) преместването на тялото е постоянно във времето (трябва да се има предвид, че това се отнася за стационарно състояние, когато собствените трептения са почти изчезнали).

· Когато w ® ¥, тогава, както е лесно да се види, амплитудата A клони към нула.

· Очевидно е, че при определена честота на движещата сила амплитудата на принудените трептения ще придобие най-голяма стойност (за дадено d). Феноменът на рязко увеличаване на амплитудата на принудените трептения при определена стойност на честотата на движещата сила се нарича механичен резонанс.

Интересно е, че качественият фактор на трептящата система в този случай показва колко пъти резонансната амплитуда превишава изместването на тялото от равновесното положение под действието на постоянна сила F 0 .

Виждаме, че както резонансната честота, така и резонансната амплитуда зависят от коефициента на затихване d. Когато d намалява до нула, резонансната честота се увеличава и клони към собствената честота на трептене на системата w 0 . В този случай резонансната амплитуда се увеличава и при d = 0 отива до безкрайност. Разбира се, на практика амплитудата на трептенията не може да бъде безкрайна, тъй като в реалните осцилаторни системи винаги действат съпротивителни сили. Ако системата има ниско затихване, тогава можем приблизително да приемем, че резонансът възниква при честотата на нейните собствени трептения:

където в разглеждания случай е фазовото изместване между движещата сила и изместването на тялото от равновесното положение.

Лесно се вижда, че фазовото изместване между сила и изместване зависи от триенето в системата и честотата на външната движеща сила. Тази зависимост е показана на фигурата. Ясно е, че когато< тангенс принимает отрицательные значения, а при >- положителен.

Познавайки зависимостта от ъгъла, може да се получи зависимостта от честотата на движещата сила.

При честоти на външната сила, които са значително по-ниски от естествената сила, изместването изостава малко спрямо движещата сила във фаза. Тъй като честотата на външната сила се увеличава, това забавяне на фазата се увеличава. При резонанс (ако е малък), фазовото изместване става равно на . Когато >> колебанията на преместването и силата възникват в противофаза. Тази зависимост може да изглежда странна на пръв поглед. За да разберем този факт, нека се обърнем към енергийните трансформации в процеса на принудителни трептения.

§ 2 Преобразувания на енергия

Както вече знаем, амплитудата на трептенията се определя от общата енергия на трептящата система. По-рано беше показано, че амплитудата на принудените трептения остава непроменена във времето. Това означава, че общата механична енергия на трептящата система не се променя с времето. Защо? Все пак системата не е затворена! Две сили - външна периодично променяща се сила и съпротивителна сила - извършват работа, която трябва да промени общата енергия на системата.

Нека се опитаме да разберем какво се случва. Силата на външната движеща сила може да се намери, както следва:

Виждаме, че мощността на външната сила, захранваща трептящата система с енергия, е пропорционална на амплитудата на трептене.

Поради работата на съпротивителната сила, енергията на осцилаторната система трябва да намалее, превръщайки се във вътрешна. Сила на съпротивление:

Очевидно мощността на съпротивителната сила е пропорционална на квадрата на амплитудата. Нека начертаем и двете зависимости на графика.

За да бъдат трептенията стабилни (амплитудата не се променя във времето), работата на външната сила през периода трябва да компенсира загубата на енергия на системата поради работата на съпротивителната сила. Пресечната точка на мощностните графики точно съответства на този режим. Нека си представим, че по някаква причина амплитудата на принудените трептения е намаляла. Това ще доведе до факта, че моментната мощност на външната сила ще бъде по-голяма от мощността на загубите. Това ще доведе до увеличаване на енергията на трептящата система, а амплитудата на трептенията ще възстанови предишната си стойност.

По подобен начин може да се убеди, че при произволно увеличаване на амплитудата на трептенията, загубите на мощност ще надвишат мощността на външната сила, което ще доведе до намаляване на енергията на системата и следователно до намаляване на амплитудата.

Да се ​​върнем към въпроса за фазовото изместване между изместването и движещата сила при резонанс. Вече показахме, че преместването изостава и следователно силата води преместването с . От друга страна, проекцията на скоростта в процеса на хармоничните трептения винаги изпреварва координатата с . Това означава, че по време на резонанс външната движеща сила и скоростта осцилират в една и съща фаза. Това означава, че те се управляват съвместно във всеки един момент! Работата на външната сила в този случай винаги е положителна, т.е всичко отива за попълване на осцилаторната система с енергия.

§ 3 Несинусоидално периодично влияние

Принудителни трептения на осцилатора са възможни при всякакви периодични външни въздействия, а не само синусоидални. В този случай установените трептения, най-общо казано, няма да бъдат синусоидални, а ще представляват периодично движение с период, равен на периода на външното въздействие.

Външно влияние може да бъде например последователни удари (спомнете си как възрастен „люлее“ дете, седнало на люлка). Ако периодът на външните удари съвпада с периода на собствените трептения, тогава в системата може да възникне резонанс. Трептенията ще бъдат почти синусоидални. Енергията, предавана на системата при всяко натискане, допълва общата енергия на системата, загубена поради триене. Ясно е, че в този случай са възможни варианти: ако енергията, предадена по време на тласък, е равна или надвишава загубите от триене за период, тогава трептенията ще бъдат стабилни или техният обхват ще се увеличи. Това ясно се вижда на фазовата диаграма.

Очевидно е, че резонансът е възможен и в случай, че периодът на повторение на ударите е кратен на периода на собствените трептения. Това е невъзможно при синусоидалния характер на външното въздействие.

От друга страна, дори ако честотата на удара съвпада с естествената честота, може да не се наблюдава резонанс. Ако само загубите от триене през периода надвишават енергията, получена от системата по време на тласкане, тогава общата енергия на системата ще намалее и трептенията ще затихнат.

§ 4 Параметричен резонанс

Външното влияние върху осцилаторната система може да се сведе до периодични промени в параметрите на самата осцилаторна система. Възбудените по този начин трептения се наричат ​​параметрични, а самият механизъм се нарича параметричен резонанс .

Преди всичко ще се опитаме да отговорим на въпроса: възможно ли е да се разтърсят малките колебания, които вече съществуват в системата, като периодично променяте някои от нейните параметри по определен начин.

Като пример, помислете за човек, който се люлее на люлка. Като сгъва и изправя краката си в „правилните“ моменти, той всъщност променя дължината на махалото. В крайни позиции човек кляка, като по този начин леко понижава центъра на тежестта на осцилаторната система, в средна позиция човек се изправя, повдигайки центъра на тежестта на системата.

За да разберете защо човек се люлее едновременно, помислете за изключително опростен модел на човек на люлка - обикновено малко махало, тоест малка тежест върху лека и дълга нишка. За да симулираме повдигането и спускането на центъра на тежестта, ще прекараме горния край на конеца през малка дупка и ще издърпаме конеца в онези моменти, когато махалото премине равновесното положение, и ще спуснем конеца със същото количество, когато махалото преминава през крайната позиция.

Работата на силата на опън на конеца за период (като се вземе предвид, че товарът се повдига и спуска два пъти за период и че D л << л):

Моля, обърнете внимание, че в скобите няма нищо повече от утрояване на енергията на трептящата система. Между другото, това количество е положително, следователно работата на силата на опън (нашата работа) е положителна, води до увеличаване на общата енергия на системата и следователно до люлеене на махалото.

Интересното е, че относителната промяна в енергията за период не зависи от това дали махалото се люлее слабо или силно. Това е много важно и ето защо. Ако махалото не се „изпомпва“ с енергия, тогава за всеки период то ще загуби определена част от енергията си поради силата на триене и трептенията ще изчезнат. И за да се увеличи обхватът на трептенията, е необходимо получената енергия да надвишава загубената за преодоляване на триенето. И това условие, оказва се, е едно и също - и за малка амплитуда, и за голяма.

Например, ако за един период енергията на свободните трептения намалее с 6%, тогава, за да не се затихват трептенията на махало с дължина 1 m, достатъчно е да намалите дължината му с 1 cm в средно положение и да увеличите със същото количество в крайно положение.

Връщайки се към люлеенето: ако започнете да се люлеете, тогава няма нужда да клякате все по-дълбоко и по-дълбоко - клякайте по един и същ начин през цялото време и ще летите все по-високо!

*** Отново качество!

Както вече казахме, за параметричното натрупване на трептенията трябва да е изпълнено условието DE > A на триене за период.

Нека намерим работата, извършена от силата на триене за периода

Може да се види, че относителното количество повдигане на махалото, за да се люлее, се определя от качествения фактор на системата.

§ 5 Значението на резонанса

Принудените трептения и резонанс се използват широко в технологиите, особено в акустиката, електротехниката и радиотехниката. Резонансът се използва предимно, когато от голям набор от трептения с различни честоти, някой иска да изолира трептения с определена честота. Резонансът се използва и при изследване на много слаби периодично повтарящи се величини.

В някои случаи обаче резонансът е нежелано явление, тъй като може да доведе до големи деформации и разрушаване на конструкциите.

§ 6 Примери за решаване на задачи

Задача 1 Принудени трептения на пружинно махало под действието на външна синусоидална сила.

Товар с маса m = 10 g беше окачен на пружина с твърдост k = 10 N/m и системата беше поставена във вискозна среда с коефициент на съпротивление r = 0,1 kg/s. Сравнете естествените и резонансните честоти на системата. Определете амплитудата на трептенията на махалото при резонанс под действието на синусоидална сила с амплитуда F 0 = 20 mN.

Решение:

1 Собствената честота на една трептителна система е честотата на свободните вибрации при липса на триене. Естествената циклична честота е равна на честотата на трептене.

2 Резонансна честота е честотата на външна движеща сила, при която амплитудата на принудените трептения нараства рязко. Резонансната циклична честота е равна на , където е коефициентът на затихване, равен на .

Следователно резонансната честота е . Лесно се вижда, че резонансната честота е по-малка от собствената честота! Също така е ясно, че колкото по-ниско е триенето в системата (r), толкова по-близо е резонансната честота до естествената честота.

3 Резонансната амплитуда е

Задача 2 Резонансна амплитуда и добротност на трептящата система

Товар с маса m = 100 g беше окачен на пружина с твърдост k = 10 N/m и системата беше поставена във вискозна среда с коефициент на съпротивление

r = 0,02 kg/s. Определете коефициента на качество на трептящата система и амплитудата на трептенията на махалото при резонанс под действието на синусоидална сила с амплитуда F 0 = 10 mN. Намерете съотношението на резонансната амплитуда към статичното изместване под въздействието на постоянна сила F 0 = 20 mN и сравнете това съотношение с фактора на качеството.

Решение:

1 Коефициентът на качество на осцилаторната система е равен на , където е логаритмичният декремент на затихване.

Логаритмичният декремент на затихване е равен на .

Намиране на добротността на трептящата система.

2 Резонансната амплитуда е

3 Статично преместване под действието на постоянна сила F 0 = 10 mN е равно на .

4 Съотношението на резонансната амплитуда към статичното изместване под действието на постоянна сила F 0 е равно на

Лесно се вижда, че това съотношение съвпада с качествения фактор на трептящата система

Задача 3 Резонансни вибрации на греда

Под въздействието на тежестта на електродвигателя, конзолният резервоар, върху който е монтиран, се огъна с . При какви обороти на котвата на двигателя може да има опасност от резонанс?

Решение:

1 Корпусът на двигателя и гредата, върху която е монтиран, изпитват периодични удари от въртящата се арматура на двигателя и следователно извършват принудителни трептения с честотата на ударите.

Резонанс ще се наблюдава, когато честотата на ударите съвпада с естествената честота на вибрациите на гредата с двигателя. Необходимо е да се намери естествената честота на вибрациите на системата греда-мотор.

2 Аналог на осцилаторната система с лъч-мотор може да бъде вертикално пружинно махало, чиято маса е равна на масата на двигателя. Собствената честота на трептене на пружинно махало е равна на . Но твърдостта на пружината и масата на двигателя не са известни! Какво трябва да направя?

3 В равновесното положение на пружинното махало гравитационната сила на товара се балансира от еластичната сила на пружината

4 Намерете въртенето на котвата на двигателя, т.е. ударна честота

Задача 4 Принудени трептения на пружинно махало под въздействието на периодични удари.

Тежест с маса m = 0,5 kg е окачена на спирална пружина с коравина k = 20 N/m. Логаритмичният декремент на затихване на осцилаторната система е равен на . Те искат да залюлеят тежестта с кратки тласъци, като върху тежестта действат със сила F = 100 mN за време τ = 0,01 s. Каква трябва да е честотата на ударите, за да е най-голяма амплитудата на тежестта? В кои точки и в каква посока трябва да бутате гирята? До каква амплитуда ще бъде възможно да се люлее тежестта по този начин?

Решение:

1 Принудителни вибрации могат да възникнат при всяко периодично въздействие. В този случай стационарното трептене ще настъпи с честотата на външното въздействие. Ако периодът на външните удари съвпада с честотата на естествените трептения, тогава в системата възниква резонанс - амплитудата на трептенията става най-голяма. В нашия случай, за да възникне резонанс, периодът на ударите трябва да съвпада с периода на трептене на пружинното махало.

Логаритмичният декремент на затихване е малък, следователно в системата има малко триене и периодът на колебание на махалото във вискозна среда практически съвпада с периода на колебание на махалото във вакуум:

2 Очевидно посоката на тласъците трябва да съвпада със скоростта на тежестта. В този случай работата на външната сила, зареждаща системата с енергия, ще бъде положителна. И вибрациите ще се люлеят. Енергия, получена от системата по време на процеса на удар

ще бъде най-голяма, когато товарът премине през равновесното положение, тъй като в това положение скоростта на махалото е максимална.

Така че системата ще се люлее най-бързо под действието на удари в посоката на движение на товара, докато преминава през равновесното положение.

3 Амплитудата на трептенията спира да расте, когато енергията, предадена на системата по време на процеса на удар, е равна на загубата на енергия поради триене през периода: .

Ще намерим загубата на енергия за период чрез качествения фактор на осцилаторната система

където E е общата енергия на осцилаторната система, която може да се изчисли като .

Вместо енергията на загубата, ние заместваме енергията, получена от системата по време на удара:

Максималната скорост по време на процеса на трептене е . Като вземем това предвид, получаваме.

§7 Задачи за самостоятелно решаване

Тест "Принудителни вибрации"

1 Какви трептения се наричат ​​принудени?

А) Трептения, възникващи под въздействието на външни периодично променящи се сили;

Б) Трептения, възникващи в системата след външен удар;

2 Кое от следните трептения е принудено?

А) Трептене на товар, окачен на пружина след еднократното му отклонение от равновесното положение;

Б) Трептене на конуса на високоговорителя при работа на приемника;

Б) Трептене на товар, окачен на пружина след еднократен удар върху товара в равновесно положение;

Г) Вибрация на корпуса на електродвигателя по време на работата му;

Г) Вибрации на тъпанчето на човек, слушащ музика.

3 Осцилаторна система със собствена честота се въздейства от външна движеща сила, която се променя според закона. Коефициентът на затихване в трептящата система е равен на . По какъв закон се променя координатата на тялото във времето?

В) Амплитудата на принудените колебания ще остане непроменена, тъй като енергията, загубена от системата поради триене, ще бъде компенсирана от печалбата на енергия поради работата на външната движеща сила.

5 Системата извършва принудени трептения под действието на синусоидална сила. Посочете всичкофактори, от които зависи амплитудата на тези трептения.

А) От амплитудата на външната движеща сила;

Б) Наличие на енергия в трептящата система в момента, в който външната сила започне да действа;

В) Параметри на самата трептителна система;

Г) Триене в трептящата система;

Г) Наличие на собствени трептения в системата в момента, в който външната сила започне да действа;

Д) Време на установяване на трептенията;

G) Честоти на външна движеща сила.

6 Блок с маса m извършва принудени хармонични трептения по хоризонтална равнина с период T и амплитуда A. Коефициент на триене μ. Каква работа се извършва от външната движеща сила за време, равно на период T?

А) 4μmgA; B) 2μmgA; B) μmgA; D) 0;

Г) Невъзможно е да се даде отговор, тъй като величината на външната движеща сила не е известна.

7 Направете правилно твърдение

Резонансът е феномен...

А) Съвпадение на честотата на външната сила със собствената честота на трептителната система;

Б) Рязко увеличаване на амплитудата на принудените трептения.

Резонанс се наблюдава при условие

А) Намаляване на триенето в трептящата система;

Б) Увеличаване на амплитудата на външната движеща сила;

В) Съвпадението на честотата на външната сила със собствената честота на трептящата система;

Г) Когато честотата на външната сила съвпада с резонансната честота.

8 Явлението резонанс може да се наблюдава в...

А) Във всяка трептителна система;

Б) В система, която извършва свободни трептения;

Б) В автоколебателна система;

Г) В система, подложена на принудителни трептения.

9 На фигурата е показана графика на зависимостта на амплитудата на принудените трептения от честотата на движещата сила. Резонансът възниква при честота...

10 Три еднакви махала, разположени в различни вискозни среди, извършват принудени трептения. Фигурата показва резонансните криви за тези махала. Кое махало изпитва най-голямо съпротивление от вискозната среда по време на трептене?

А) 1; Б) 2; AT 3;

Г) Невъзможно е да се даде отговор, тъй като амплитудата на принудените трептения, освен от честотата на външната сила, зависи и от нейната амплитуда. Условието не казва нищо за амплитудата на външната движеща сила.

11 Периодът на собствените трептения на осцилаторната система е равен на T 0. Какъв може да бъде периодът на ударите, така че амплитудата на трептенията да се увеличи рязко, тоест да възникне резонанс в системата?

A) T 0; B) T 0, 2 T 0, 3 T 0,…;

C) Люлката може да се люлее с тласъци с всякаква честота.

12 Малкият ви брат е седнал на люлка, вие го люлеете с кратки тласъци. Какъв трябва да бъде периодът на последователност на шокове, за да протича процесът най-ефективно? Периодът на естествените колебания на люлката T 0.

Г) Люлката може да се люлее с тласъци с всякаква честота.

13 Малкият ви брат е седнал на люлка, вие го люлеете с кратки тласъци. В каква позиция на люлеенето трябва да се направи тласъкът и в каква посока трябва да се направи тласъкът, така че процесът да протича най-ефективно?

A) Натиснете в най-горната позиция на люлеенето към позицията на равновесие;

Б) Избутване в най-горна позиция на замаха в посока от равновесното положение;

Б) Бутнете в балансирана позиция по посока на движение на люлката;

Г) Можете да бутате във всяка позиция, но винаги в посоката на движение на люлката.

14 Изглежда, че като стреляте от прашка по моста в синхрон със собствените си вибрации и правите много изстрели, можете силно да го завъртите, но това едва ли ще успее. Защо?

А) Масата на моста (неговата инерция) е голяма в сравнение с масата на „куршума“ от прашка, мостът няма да може да се движи под въздействието на такива удари;

Б) Силата на удара на „куршум“ от прашка е толкова малка, че мостът няма да може да се движи под въздействието на такива удари;

C) Енергията, предадена на моста с един удар, е много по-малка от загубата на енергия поради триене за периода.

15 Носиш кофа с вода. Водата в кофата се люлее и изпръсква. Какво може да се направи, за да не се случи това?

А) Завъртете ръката, в която се намира кофата, в ритъм с ходене;

Б) Променете скоростта на движение, като оставите дължината на стъпките непроменена;

В) Спрете периодично и изчакайте вибрациите на водата да се успокоят;

Г) Уверете се, че по време на движение ръката с кофата е разположена строго вертикално.

Задачи

1 Системата извършва затихващи трептения с честота 1000 Hz. Определете честотата v 0собствени трептения, ако резонансната честота

2 Определете с каква стойност D vрезонансната честота се различава от естествената честота v 0= 1000 Hz осцилаторна система, характеризираща се с коефициент на затихване d = 400s -1.

3 Товар с маса 100 g, окачен на пружина с твърдост 10 N/m, извършва принудени трептения във вискозна среда с коефициент на съпротивление r = 0,02 kg/s. Определете коефициента на затихване, резонансната честота и амплитудата. Стойността на амплитудата на движещата сила е 10 mN.

4 Амплитудите на принудените хармонични трептения при честоти w 1 = 400 s -1 и w 2 = 600 s -1 са равни. Определете резонансната честота.

5 Камиони влизат в склад за зърно по черен път от едната страна, разтоварват се и напускат склада със същата скорост, но от другата страна. От коя страна на склада има повече дупки по пътя от другата? Как можете да определите от коя страна на склада е входът и коя изходът според състоянието на пътя? Обосновете отговора

Принудителни вибрации

вибрации, които възникват във всяка система под въздействието на променлива външна сила (например вибрации на телефонна мембрана под въздействието на променливо магнитно поле, вибрации на механична конструкция под въздействието на променливо натоварване и др.). Характерът на една военна система се определя както от природата на външната сила, така и от свойствата на самата система. В началото на действието на периодична външна сила характерът на V. c. се променя с времето (по-специално V. c. не са периодични) и едва след известно време се установяват периодични V. c система с период, равен на периода на външната сила (стационарна VC.). Установяването на напрежение в една колебателна система става толкова по-бързо, колкото по-голямо е затихването на трептенията в тази система.

По-специално, в линейни осцилаторни системи (виж Осцилаторни системи), когато се включи външна сила, в системата едновременно възникват свободни (или естествени) трептения и трептения, а амплитудите на тези трептения в началния момент са равни, а фазите са противоположни ( ориз. ). След постепенното затихване на свободните трептения в системата остават само стационарни трептения.

Амплитудата на ВК се определя от амплитудата на действащата сила и затихването в системата. Ако затихването е малко, тогава амплитудата на вълната на напрежението зависи значително от връзката между честотата на действащата сила и честотата на собствените трептения на системата. Когато честотата на външната сила се доближи до собствената честота на системата, амплитудата на ВК рязко нараства - възниква резонанс. В нелинейните системи (вижте Нелинейни системи) разделянето на свободни и VK не винаги е възможно.

Лит.: Khaikin S.E., Физически основи на механиката, М., 1963.

Велика съветска енциклопедия. - М.: Съветска енциклопедия. 1969-1978 .

Вижте какво е „Принудителни колебания“ в други речници:

Принудителни вибрации- Форсирани вибрации. Зависимост на амплитудата им от честотата на външно въздействие при различно затихване: 1 слабо затихване; 2 силно затихване; 3 критично затихване. ПРИНУДИТЕЛНИ ВИБРАЦИИ, трептения, които възникват във всяка система в... ... Илюстрован енциклопедичен речник

принудени трептения- Трептения, възникващи под периодично въздействие на външна обобщена сила. [Система за безразрушителен контрол. Видове (методи) и технология на безразрушителен контрол. Термини и определения (справочник). Москва 2003] принуден... ... Ръководство за технически преводач

Принудените трептения са колебания, възникващи под въздействието на външни сили, които се променят във времето. Автоколебанията се различават от принудителните трептения по това, че последните са причинени от периодични външни влияния и се появяват с честотата на това ... Wikipedia

ПРИНУДИТЕЛНИ ВИБРАЦИИ, вибрации, които възникват във всяка система в резултат на периодично променящи се външни въздействия: сила в механична система, напрежение или ток в колебателна верига. Принудени трептения винаги възникват с... ... Съвременна енциклопедия

Трептения, възникващи в космическото l. система под влияние на периодични вътр. сили (например вибрации на телефонната мембрана под въздействието на променливо магнитно поле, вибрации на механична конструкция под въздействието на променливо натоварване). Har r V. k. се определя като външен. на сила... Физическа енциклопедия

Трептения, възникващи в космическото l. система под влияние на редуващи се вътр. влияния (например флуктуации в напрежението и тока в електрическа верига, причинени от променлив емф; вибрации на механична система, причинени от променлив товар). Характерът на В. К. се определя от... ... Голям енциклопедичен политехнически речник

Те възникват в система под въздействието на периодични външни въздействия (например принудени колебания на махало под въздействието на периодична сила, принудени колебания в колебателна верига под въздействието на периодична електродвижеща сила). Ако…… Голям енциклопедичен речник

Принудителни вибрации- (вибрация) – колебания (вибрации) на системата, причинени и поддържани от сила и (или) кинематично възбуждане. [GOST 24346 80] Принудителните вибрации са вибрации на системи, причинени от действието на променливи във времето товари. [Индустрия... ... Енциклопедия на термини, определения и обяснения на строителните материали

- (Ограничени вибрации, принудени вибрации) вибрации на тялото, причинени от периодично действаща външна сила. Ако периодът на принудените трептения съвпадне с периода на собствените трептения на тялото, възниква явлението резонанс. Самойлов K.I.... ...Морски речник

ПРИНУДИТЕЛНИ ВИБРАЦИИ- (вижте), възникващи във всяка система под въздействието на външно променливо влияние; техният характер се определя както от свойствата на външното въздействие, така и от свойствата на самата система. Тъй като честотата на външното въздействие се доближава до честотата на собственото... Голяма политехническа енциклопедия

Те възникват в система под въздействието на периодични външни въздействия (например принудени колебания на махало под въздействието на периодична сила, принудени колебания в колебателна верига под въздействието на периодична емф). Ако честотата... ... енциклопедичен речник

Книги

• Принудителни вибрации на усукване на вала при отчитане на затихването, A.P. Филипов, Възпроизведено в оригиналния авторски правопис на изданието от 1934 г. (издателство „Известия на Академията на науките на СССР“). В… Категория: Математика Издател: YOYO Media, Производител: Yoyo Media,
• Принудени напречни вибрации на пръти, като се вземе предвид затихването, A.P. Филипов, Възпроизведено в оригиналния авторски правопис на изданието от 1935 г. (издателство "Известия Академии на науките на СССР")... Категория:

1. Нека разберем какви енергийни трансформации възникват по време на трептения на пружинно махало (виж фиг. 80). Когато една пружина се разтегне, нейната потенциална енергия се увеличава и при максимално разтягане тя има стойност д n = .

Когато товарът се придвижи към равновесното положение, потенциалната енергия на пружината намалява, а кинетичната енергия на товара се увеличава. В равновесно положение кинетичната енергия на товара е максимална д k = , а потенциалната енергия на пружината е нула.

Когато една пружина се компресира, нейната потенциална енергия се увеличава, а кинетичната енергия на товара намалява. При максимално компресиране потенциалната енергия на пружината е максимална, а кинетичната енергия на товара е нула.

Ако пренебрегнем силата на триене, тогава във всеки момент сумата от потенциалната и кинетичната енергия остава непроменена

д = д n + д k = const.

При наличието на сила на триене се изразходва енергия за извършване на работа срещу тази сила, амплитудата на трептенията намалява и трептенията заглъхват.

По този начин свободните трептения на махалото, възникващи поради първоначалното захранване с енергия, са винаги затихване.

2. Възниква въпросът какво трябва да се направи, за да се гарантира, че колебанията не спират с времето. Очевидно е, че за получаване на незатихващи трептения е необходимо да се компенсират загубите на енергия. Това може да стане по различни начини. Нека разгледаме един от тях.

Знаете добре, че вибрациите на люлката няма да изчезнат, ако непрекъснато я бутате, тоест действате върху нея с някаква сила. В този случай вибрациите на люлката вече не са свободни, те ще се появят под въздействието на външна сила. Работата на тази външна сила точно попълва загубата на енергия, причинена от триенето.

Нека да разберем каква трябва да бъде външната сила? Да приемем, че големината и посоката на силата са постоянни. Очевидно в този случай трептенията ще спрат, тъй като тялото, преминало равновесното положение, няма да се върне в него. Следователно големината и посоката на външната сила трябва периодично да се променят.

По този начин,

принудените трептения са колебания, които възникват под въздействието на външна, периодично променяща се сила.

Принудителните вибрации, за разлика от свободните, могат да възникнат на всякаква честота. Честотата на принудените трептения е равна на честотата на промяна на силата, действаща върху тялото,в този случай се нарича форсиране.

3. Нека направим експеримент. Закачаме няколко махала с различна дължина на въже, фиксирано в стелажите (фиг. 82). Нека отклоним махалото Аот равновесното положение и го остави сам. Той ще се колебае свободно, действайки с известна периодична сила върху въжето. Въжето от своя страна ще действа върху останалите махала. В резултат на това всички махала ще започнат да извършват принудителни колебания с честотата на колебанията на махалото А.

Ще видим, че всички махала ще започнат да трептят с честота, равна на честотата на трептенията на махалото А. Въпреки това, тяхната амплитуда на трептения, с изключение на махалото ° С, ще бъде по-малка от амплитудата на трептенията на махалото А. Махалото ° С, чиято дължина е равна на дължината на махалото А, ще се люлее много силно. Следователно махалото има най-голямата амплитуда на трептенията, чиято собствена честота на трептенията съвпада с честотата на движещата сила. В този случай казват, че се спазва резонанс.

Резонансът е явлението на рязко увеличаване на амплитудата на принудените трептения, когато честотата на движещата сила съвпада с естествената честота на трептящата система (махало).

Резонанс може да се наблюдава, когато люлката осцилира. Сега можете да обясните, че люлката ще се люлее по-силно, ако бъде избутана в такт със собствените си вибрации. В този случай честотата на външната сила е равна на честотата на трептене на люлеенето. Всеки тласък срещу движението на люлката ще доведе до намаляване на амплитудата му.

4 * . Нека разберем какви енергийни трансформации се случват по време на резонанс.

Ако честотата на движещата сила се различава от естествената честота на вибрациите на тялото, тогава движещата сила ще бъде насочена или в посоката на движение на тялото, или срещу него. Съответно работата на тази сила ще бъде или отрицателна, или положителна. Като цяло работата на движещата сила в този случай леко променя енергията на системата.

Нека сега честотата на външната сила е равна на собствената честота на трептенията на тялото. В този случай посоката на движещата сила съвпада с посоката на скоростта на тялото, а съпротивителната сила се компенсира от външна сила. Тялото вибрира само под въздействието на вътрешни сили. С други думи, отрицателната работа срещу съпротивителната сила е равна на положителната работа на външната сила. Следователно трептенията възникват с максимална амплитуда.

5. Явлението резонанс трябва да се вземе предвид на практика. По-специално, машинните инструменти и машините са подложени на леки вибрации по време на работа. Ако честотата на тези вибрации съвпада със собствената честота на отделните части на машините, тогава амплитудата на вибрациите може да бъде много голяма. Машината или опората, върху която стои, ще се срутят.

Известни са случаи, когато поради резонанс самолет се разпада във въздуха, витла на кораби се счупват, железопътни релси се срутват.

Резонансът може да бъде предотвратен чрез промяна или на естествената честота на системата, или на честотата на силата, причиняваща трептенията. За целта например преминаващите през мост войници не вървят в крачка, а на свободен ход. В противен случай честотата на техните стъпки може да съвпадне с естествената честота на моста и той да се срути. Това се случило през 1750 г. във Франция, когато отряд войници преминал по мост с дължина 102 м, окачен на вериги. Подобен инцидент се случи в Санкт Петербург през 1906 г. Когато кавалерийски ескадрон прекоси Египетския мост над река Фонтанка, честотата на чистите стъпки на конете съвпадна с честотата на вибрациите на моста.

За да се предотврати резонанс, влаковете пресичат мостове с ниска или много висока скорост, така че честотата на ударите на колелата върху релсовите съединения да е значително по-малка или значително по-голяма от естествената честота на моста.

Явлението резонанс не винаги е вредно. Понякога може да бъде полезно, тъй като ви позволява да получите голямо увеличение на амплитудата на вибрациите с помощта дори на малка сила.

Действието на устройство, което ви позволява да измервате честотата на трептенията, се основава на явлението резонанс. Това устройство се нарича честотомер. Работата му може да се илюстрира със следния експеримент. Към центробежната машина е прикрепен модел на честотомер, който се състои от набор от пластини (езици) с различна дължина (фиг. 83). В краищата на плочите има ламаринени флагове, покрити с бяла боя. Можете да забележите, че когато промените скоростта на въртене на дръжката на машината, различни плочи започват да вибрират. Тези плочи, чиято естествена честота е равна на честотата на въртене, започват да вибрират.

Въпроси за самопроверка

1. Какво определя амплитудата на свободните трептения на пружинното махало?

2. Поддържа ли се постоянна амплитудата на трептенията на махалото при наличието на сили на триене?

3. Какви енергийни трансформации възникват при трептене на пружинно махало?

4. Защо свободните трептения са затихнали?

5. Какви вибрации се наричат ​​принудителни? Дайте примери за принудени трептения.

6. Какво е резонанс?

7. Дайте примери за вредни прояви на резонанс. Какво трябва да се направи, за да се предотврати резонанс?

8. Дайте примери за използването на явлението резонанс.

Задача 26

1. Попълнете таблица 14, като запишете каква сила действа на трептящата система, ако тя извършва свободни или принудени трептения; какви са честотата и амплитудата на тези трептения; дали са амортизирани или не.

Таблица 14

Характеристики на трептене	Тип вибрации
	На разположение	Принуден
Действаща сила
Честота
Амплитуда
Затихване

2 д.Предложете опит за наблюдение на принудени трептения.

3 д.Изучете експериментално явлението резонанс, като използвате математически махала, които сте направили.

4. При определена скорост на въртене на колелото на шевната машина, масата, на която стои, понякога се люлее силно. Защо?

Принудените трептения са тези, които възникват в една колебателна система под въздействието на външна периодично променяща се сила. Тази сила, като правило, изпълнява двойна роля: първо, тя разклаща системата и й осигурява определен запас от енергия; второ, той периодично попълва енергийните загуби (консумацията на енергия), за да преодолее силите на съпротивление и триене.

Нека движещата сила се променя във времето според закона:

Нека съставим уравнение на движението на система, която се колебае под въздействието на такава сила. Предполагаме, че системата също е засегната от квазиеластична сила и съпротивителната сила на средата (което е вярно при предположението за малки трептения). Тогава уравнението на движението на системата ще изглежда така:

След като направихме заместванията - естествената честота на трептенията на системата, получаваме неравномерно линейно диференциално уравнение от 2-ри ред:

От теорията на диференциалните уравнения е известно, че общото решение на едно нехомогенно уравнение е равно на сбора от общото решение на едно хомогенно уравнение и частно решение на едно нехомогенно уравнение.

Общото решение на хомогенното уравнение е известно:

С помощта на векторна диаграма можете да проверите дали това предположение е вярно и също така да определите стойностите на „a“ и „j“.

Амплитудата на трептенията се определя от следния израз:

Стойността „j“, която представлява големината на фазовото закъснение на принудителното трептене от движещата сила, която го е причинила, също се определя от векторната диаграма и е:

И накрая, конкретно решение на нехомогенното уравнение ще приеме формата:

Тази функция общо дава общото решение на нехомогенното диференциално уравнение, което описва поведението на системата при принудителни трептения. Член (2) играе съществена роля в началния етап на процеса, по време на така нареченото установяване на трептения (фиг. 1). С течение на времето, поради експоненциалния фактор, ролята на втория член (2) намалява все повече и повече и след като изтече достатъчно време, той може да бъде пренебрегнат, запазвайки само член (1) в решението.

Фиг. 1.

Така функция (1) описва стационарни принудителни трептения. Те представляват хармонични трептения с честота, равна на честотата на движещата сила. Амплитудата на принудителните трептения е пропорционална на амплитудата на движещата сила. За дадена осцилаторна система (дефинирана от w 0 и b) амплитудата зависи от честотата на движещата сила. Принудените трептения изостават от движещата сила във фаза, а големината на изоставането "j" също зависи от честотата на движещата сила. Детлаф А.А., Яворски Б.М. Курс по физика: учебник за колежи. - 4-то изд., рев. - М.: Висше. училище, 2012. - 428 с.

Зависимостта на амплитудата на принудените трептения от честотата на движещата сила води до факта, че при определена честота, определена за дадена система, амплитудата на трептенията достига максимална стойност. Осцилаторната система се оказва особено чувствителна към действието на движещата сила при тази честота. Това явление се нарича резонанс, а съответната честота се нарича резонансна честота.

В редица случаи осцилаторната система се колебае под въздействието на външна сила, чиято работа периодично компенсира загубата на енергия поради триене и друго съпротивление. Честотата на такива трептения не зависи от свойствата на самата трептяща система, а от честотата на промените в периодичната сила, под въздействието на която системата прави своите трептения. В този случай имаме работа с принудени трептения, тоест с трептения, наложени на нашата система от действието на външни сили.

Източниците на смущаващи сили и следователно на принудени трептения са много разнообразни.

Нека се спрем на естеството на смущаващите сили, открити в природата и технологиите. Както вече беше посочено, електрически машини, парни или газови турбини, високоскоростни маховици и др. поради дисбаланса на въртящите се маси предизвикват вибрации на ротори, подове на основи на сгради и др. Буталните машини, които включват двигатели с вътрешно горене и парни двигатели, са източник на периодични смущаващи сили поради възвратно-постъпателното движение на някои части (например бутало), изпускането на газове или пара.

Обикновено смущаващите сили се увеличават с увеличаване на скоростта на машината, така че борбата с вибрациите при високоскоростните машини става изключително важна. Често се извършва чрез създаване на специална еластична основа или инсталиране на еластично окачване на машината. Ако машината е твърдо монтирана върху основа, тогава смущаващите сили, действащи върху машината, се предават почти изцяло на основата и след това през земята към сградата, в която е монтирана машината, както и към близките конструкции.

За да се намали влиянието на неуравновесените сили върху основата, е необходимо собствената честота на вибрациите на машината върху еластичната основа (уплътнение) да бъде значително по-ниска от честотата на смущаващите сили, определяна от броя обороти на машината.

Причината за принудителните колебания на кораба, търкалянето на корабите, са вълни, които периодично се сблъскват с плаващ кораб. Освен люлеенето на кораба като цяло под въздействието на бурна вода се наблюдават и принудени трептения (вибрации) на отделни части от корпуса на кораба. Причината за такива вибрации е дисбалансът на главния двигател на кораба, който върти витлото, както и спомагателните механизми (помпи, динамо и др.). По време на работата на корабните механизми възникват инерционни сили на неуравновесени маси, чиято честота на повторение зависи от броя на оборотите на машината. В допълнение, принудителните вибрации на кораба могат да бъдат причинени от периодичното въздействие на лопатките на витлото върху корпуса на кораба. Зомерфелд А., Механика. Ї Ижевск: Научноизследователски център “Регуларна и хаотична динамика”, 2001. Ї168 с.

Принудителните вибрации на моста могат да бъдат причинени от група хора, които вървят по него в крачка. Колебанията на железопътен мост могат да възникнат под действието на съединители, свързващи задвижващите колела на преминаващ локомотив. Причините, които причиняват принудителни вибрации на подвижния състав (електрически локомотив, парен локомотив или дизелов локомотив и автомобили), включват периодично повтарящи се удари на колелата върху релсовите съединения. Принудителните вибрации на автомобилите се причиняват от повтарящи се удари на колела върху неравни пътни настилки. Принудителните вибрации на асансьори и подемни клетки на мини възникват поради неравномерна работа на подемната машина, поради неправилната форма на барабаните, върху които са навити въжетата и др. Причините, които причиняват принудителни вибрации на електропроводи, високи сгради, мачти и комини, могат да бъдат пориви на вятъра.

Особен интерес представляват принудителните вибрации на самолетите, които могат да бъдат причинени от различни причини. Тук, на първо място, трябва да се има предвид вибрацията на самолета, причинена от работата на групата на витлото. Поради дисбаланса на коляновия механизъм, работещите двигатели и въртящите се витла възникват периодични удари, които поддържат принудителни вибрации.

Наред с колебанията, причинени от действието на разгледаните по-горе външни периодични сили, в самолетите се наблюдават и външни въздействия от различен характер. По-специално, вибрациите възникват поради лоша рационализация на предната част на самолета. Слабото обтичане около надстройките на крилото или неплавната връзка между крилото и фюзелажа (тялото) на самолета води до образуване на вихри. Въздушните вихри, откъсвайки се, създават пулсиращ поток, който удря опашката и я кара да се разклаща. Такова разклащане на самолета възниква при определени условия на полет и се проявява под формата на удари, които не се случват съвсем редовно, на всеки 0,5-1 секунда.

Този вид вибрация, свързана главно с вибрациите на части от самолета поради турбуленция в потока около крилото и другите предни части на самолета, се нарича „полиране“. Феноменът на бафинг, причинен от прекъсване на потоците от крилото, е особено опасен, когато периодът на удари в опашката на самолета е близък до периода на свободни вибрации на опашката или фюзелажа на самолета. В този случай флуктуациите от типа на бюфет рязко се увеличават.

Наблюдавани са много интересни случаи на бафиране при изпускане на войски от крилото на самолет. Появата на хора на крилото доведе до вихрови образувания, предизвикващи вибрации в самолета. Друг случай на блъскане на перото на двуместен самолет е причинен от факта, че пътник е седнал в задната кабина и издадената му глава е допринесла за образуването на вихри във въздушния поток. При липса на пътник в задната кабина не се наблюдават вибрации.

Огъващите вибрации на витлото, причинени от смущаващи сили от аеродинамичен характер, също са важни. Тези сили възникват поради факта, че витлото, когато се върти, преминава през предния ръб на крилото два пъти за всеки оборот. Скоростите на въздушния поток в непосредствена близост до крилото и на известно разстояние от него са различни и следователно аеродинамичните сили, действащи върху витлото, трябва периодично да се променят два пъти за всеки оборот на витлото. Това обстоятелство е причината за възбуждането на напречните вибрации на лопатките на витлото.