Метод на координатите в урока по космоса. Метод на координатите в пространството. Ъгъл между прави a и b

Координатният метод е много ефективен и универсален начин за намиране на всякакви ъгли или разстояния между стереометрични обекти в пространството. Ако вашият учител по математика е висококвалифициран, той трябва да знае това. В противен случай бих посъветвал да смените учителя за частта „C“. Моята подготовка за Единния държавен изпит по математика C1-C6 обикновено включва анализ на основните алгоритми и формули, описани по-долу.

Ъгъл между прави a и b

Ъгълът между правите в пространството е ъгълът между всички пресичащи се прави, успоредни на тях. Този ъгъл е равен на ъгъла между насочващите вектори на тези линии (или го допълва до 180 градуса).

Какъв алгоритъм използва учителят по математика, за да намери ъгъла?

1) Изберете всякакви вектори и имащи направленията на прави a и b (успоредни на тях).
2) Определяме координатите на векторите, като използваме съответните координати на техните начала и краища (координатите на началото трябва да се извадят от координатите на края на вектора).
3) Заместете намерените координати във формулата:
. За да намерите самия ъгъл, трябва да намерите арккосинуса на резултата.

Нормално за равнина

Нормална към равнина е всеки вектор, перпендикулярен на тази равнина.
Как да намерим нормално?За да се намерят координатите на нормалата, е достатъчно да се знаят координатите на всеки три точки M, N и K, лежащи в дадена равнина. Използвайки тези координати, намираме координатите на векторите и и изискваме да бъдат изпълнени условията и . Чрез приравняване на скаларното произведение на векторите към нула, ние създаваме система от уравнения с три променливи, от които можем да намерим координатите на нормалата.

Бележка на учителя по математика : Изобщо не е необходимо системата да се решава напълно, защото е достатъчно да изберете поне една нормална. За да направите това, можете да замените произволно число (например едно) вместо някоя от неговите неизвестни координати и да решите системата от две уравнения с останалите две неизвестни. Ако няма решения, това означава, че в семейството на нормалите няма нито една, чиято стойност е единица в избраната променлива. След това заменете една с друга променлива (друга координата) и решете новата система. Ако пропуснете отново, тогава вашият нормал ще има такъв на последната координата, а самият той ще се окаже успореден на някаква координатна равнина (в този случай е лесно да се намери без система).

Да приемем, че са ни дадени права линия и равнина с координати на насочващ вектор и нормала
Ъгълът между правата и равнината се изчислява по следната формула:

Нека и са всякакви две нормали към тези равнини. Тогава косинусът на ъгъла между равнините е равен на модула на косинуса на ъгъла между нормалите:

Уравнение на равнина в пространството

Точки, отговарящи на равенството, образуват равнина с нормала. Коефициентът отговаря за размера на отклонението (успоредно изместване) между две равнини с една и съща зададена норма. За да напишете уравнението на равнина, първо трябва да намерите нейната нормала (както е описано по-горе) и след това да замените координатите на всяка точка от равнината заедно с координатите на намерената нормала в уравнението и да намерите коефициента.

За да използвате визуализации на презентации, създайте акаунт в Google и влезте в него: https://accounts.google.com

Надписи на слайдове:

Правоъгълна координатна система в пространството. Векторни координати.

Правоъгълна координатна система

Ако през точка в пространството се начертаят три по двойки перпендикулярни линии, на всяка от тях се избере посока и се избере мерна единица за сегментите, тогава се казва, че е зададена правоъгълна координатна система в пространството

Правите с избрани по тях направления се наричат ​​координатни оси, а общата им точка е началото на координатите. Обикновено се обозначава с буквата O. Координатните оси се означават по следния начин: Ox, Oy, O z - и имат имена: абсцисна ос, ординатна ос, апликативна ос.

Цялата координатна система се обозначава с Oxy z. Равнините, минаващи съответно през координатните оси Ox и Oy, Oy и O z, O z и Ox, се наричат ​​координатни равнини и се обозначават Oxy, Oy z, O z x.

Точка O разделя всяка от координатните оси на два лъча. Лъч, чиято посока съвпада с посоката на оста, се нарича положителна полуос, а другият лъч се нарича отрицателна полуос.

В правоъгълна координатна система всяка точка M в пространството е свързана с тройка числа, които се наричат ​​нейни координати.

На фигурата са показани шест точки A (9; 5; 10), B (4; -3; 6), C (9; 0; 0), D (4; 0; 5), E (0; 3; 0) , F (0; 0; -3).

Векторни координати

Всеки вектор може да бъде разширен в координатни вектори, т.е. представен във формата, където коефициентите на разширение x, y, z се определят по уникален начин.

Коефициентите x, y и z при разлагането на вектор в координатни вектори се наричат ​​координати на вектора в дадена координатна система.

Нека разгледаме правилата, които ни позволяват да използваме координатите на тези вектори, за да намерим координатите на тяхната сума и разлика, както и координатите на произведението на даден вектор с дадено число.

10. Всяка координата на сумата от два или повече вектора е равна на сумата от съответните координати на тези вектори. С други думи, ако a (x 1, y 1, z 1) и b (x 2, y 2, z 2) са дадени вектори, тогава векторът a + b има координати (x 1 + x 2, y 1 + y 2 , z 1 + z 2 ).

20. Всяка координата на разликата на два вектора е равна на разликата на съответните координати на тези вектори. С други думи, ако a (x 1, y 1, z 1) и b (x 2 y 2; z 2) са дадени вектори, тогава векторът a - b има координати (x 1 - x 2, y 1 - y 2, z 1 - z 2 ).

трийсет . Всяка координата на произведението на вектор и число е равна на произведението на съответната координата на вектора и това число. С други думи, ако a (x; y; x) е даден вектор, α е дадено число, тогава векторът α a има координати (αх; αу; α z).

По темата: методически разработки, презентации и бележки

Дидактическо пособие „Набор от бележки за ученици по темата „Метод на координатите в пространството“ за провеждане на уроци под формата на лекции. Геометрия 10-11 клас....

Цел на урока: Да се ​​проверят знанията, уменията и способностите на учениците по темата „Използване на метода на координатите в пространството за решаване на задачи за единен държавен изпит С2.“ Планирани образователни резултати: Учениците демонстрират: ...

За да използвате метода на координатите, трябва да знаете добре формулите. Има три от тях:

На пръв поглед изглежда заплашително, но само с малко практика всичко ще работи чудесно.

Задача. Намерете косинуса на ъгъла между векторите a = (4; 3; 0) и b = (0; 12; 5).

Решение. Тъй като координатите на векторите са ни дадени, ние ги заместваме в първата формула:

Задача. Напишете уравнение за равнина, минаваща през точките M = (2; 0; 1), N = (0; 1; 1) и K = (2; 1; 0), ако е известно, че не минава през източникът.

Решение. Общото уравнение на равнината: Ax + By + Cz + D = 0, но тъй като желаната равнина не минава през началото на координатите - точката (0; 0; 0) - тогава поставяме D = 1. Тъй като това равнина минава през точките M, N и K, то координатите на тези точки трябва да превърнат уравнението в правилно числово равенство.

Нека заменим координатите на точката M = (2; 0; 1) вместо x, y и z. Ние имаме:
A 2 + B 0 + C 1 + 1 = 0 ⇒ 2A + C + 1 = 0;

По същия начин за точки N = (0; 1; 1) и K = (2; 1; 0) получаваме следните уравнения:
A 0 + B 1 + C 1 + 1 = 0 ⇒ B + C + 1 = 0;
A 2 + B 1 + C 0 + 1 = 0 ⇒ 2A + B + 1 = 0;

Така че имаме три уравнения и три неизвестни. Нека създадем и решим система от уравнения:

Установихме, че уравнението на равнината има формата: − 0,25x − 0,5y − 0,5z + 1 = 0.

Задача. Равнината е дадена от уравнението 7x − 2y + 4z + 1 = 0. Намерете координатите на вектора, перпендикулярен на тази равнина.

Решение. Използвайки третата формула, получаваме n = (7; − 2; 4) - това е всичко!

Изчисляване на векторни координати

Но какво ще стане, ако в задачата няма вектори - има само точки, лежащи на прави линии, и трябва да изчислите ъгъла между тези прави линии? Просто е: знаейки координатите на точките - началото и края на вектора - можете да изчислите координатите на самия вектор.

За да намерите координатите на вектор, трябва да извадите координатите на началото от координатите на неговия край.

Тази теорема работи еднакво добре както в равнина, така и в пространство. Изразът „изваждане на координати“ означава, че координатата x на друга точка се изважда от координатата x на една точка, след което трябва да се направи същото с координатите y и z. Ето няколко примера:

Задача. В пространството има три точки, дефинирани от техните координати: A = (1; 6; 3), B = (3; − 1; 7) и C = (− 4; 3; − 2). Намерете координатите на векторите AB, AC и BC.

Помислете за вектора AB: началото му е в точка A, а краят му е в точка B. Следователно, за да намерим неговите координати, трябва да извадим координатите на точка A от координатите на точка B:
AB = (3 − 1; − 1 − 6; 7 − 3) = (2; − 7; 4).

По същия начин началото на вектора AC е същата точка A, но краят е точка C. Следователно имаме:
AC = (− 4 − 1; 3 − 6; − 2 − 3) = (− 5; − 3; − 5).

И накрая, за да намерите координатите на вектор BC, трябва да извадите координатите на точка B от координатите на точка C:
BC = (− 4 − 3; 3 − (− 1); − 2 − 7) = (− 7; 4; − 9).

Отговор: AB = (2; − 7; 4); AC = (− 5; − 3; − 5); BC = (− 7; 4; − 9)

Обърнете внимание на изчисляването на координатите на последния вектор BC: много хора правят грешки, когато работят с отрицателни числа. Това се отнася за променливата y: точка B има координата y = − 1, а точка C има координата y = 3. Получаваме точно 3 − (− 1) = 4, а не 3 − 1, както много хора си мислят. Не правете такива глупави грешки!

Изчисляване на насочващи вектори за прави линии

Ако прочетете внимателно задача C2, ще се изненадате да откриете, че там няма вектори. Има само прави линии и равнини.

Първо, нека да разгледаме правите линии. Тук всичко е просто: на всяка линия има поне две различни точки и, обратно, всеки две различни точки определят уникална линия...

Някой разбра ли написаното в предния параграф? Аз самият не го разбрах, така че ще го обясня по-просто: в задача C2 правите линии винаги се определят от двойка точки. Ако въведем координатна система и разгледаме вектор с начало и край в тези точки, получаваме така наречения вектор на посоката на линията:

Защо е необходим този вектор? Факт е, че ъгълът между две прави линии е ъгълът между техните насочващи вектори. Така преминаваме от неразбираеми прави линии към конкретни вектори, чиито координати са лесни за изчисляване. Колко лесно е? Разгледайте примерите:

Задача. В куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 са начертани правите AC и BD 1. Намерете координатите на насочващите вектори на тези линии.

Тъй като дължината на ръбовете на куба не е посочена в условието, поставяме AB = 1. Въвеждаме координатна система с начало в точка A и осите x, y, z, насочени по правата линия AB, AD и AA 1, съответно. Единичният сегмент е равен на AB = 1.

Сега нека намерим координатите на насочващия вектор за права AC. Имаме нужда от две точки: A = (0; 0; 0) и C = (1; 1; 0). От тук получаваме координатите на вектора AC = (1 − 0; 1 − 0; 0 − 0) = (1; 1; 0) - това е векторът на посоката.

Сега нека да разгледаме правата линия BD 1. Той също има две точки: B = (1; 0; 0) и D 1 = (0; 1; 1). Получаваме насочващия вектор BD 1 = (0 − 1; 1 − 0; 1 − 0) = (− 1; 1; 1).

Отговор: AC = (1; 1; 0); BD 1 = (− 1; 1; 1)

Задача. В правилна триъгълна призма ABCA 1 B 1 C 1, всички ръбове на която са равни на 1, са начертани прави AB 1 и AC 1. Намерете координатите на насочващите вектори на тези линии.

Нека въведем координатна система: началото е в точка A, оста x съвпада с AB, оста z съвпада с AA 1, оста y образува равнината OXY с оста x, която съвпада с равнината ABC.

Първо, нека разгледаме правата линия AB 1. Тук всичко е просто: имаме точки A = (0; 0; 0) и B 1 = (1; 0; 1). Получаваме насочващия вектор AB 1 = (1 − 0; 0 − 0; 1 − 0) = (1; 0; 1).

Сега нека намерим насочващия вектор за AC 1. Всичко е същото - единствената разлика е, че точка C 1 има ирационални координати. Така че A = (0; 0; 0), така че имаме:

Отговор: AB 1 = (1; 0; 1);

Малка, но много важна забележка относно последния пример. Ако началото на вектора съвпада с началото на координатите, изчисленията са значително опростени: координатите на вектора са просто равни на координатите на края. За съжаление, това е вярно само за векторите. Например, когато работите с равнини, наличието на началото на координатите върху тях само усложнява изчисленията.

Изчисляване на нормални вектори за равнини

Нормалните вектори не са тези вектори, които са добре или се чувстват добре. По дефиниция нормален вектор (нормал) към равнина е вектор, перпендикулярен на дадена равнина.

С други думи, нормалата е вектор, перпендикулярен на всеки вектор в дадена равнина. Вероятно сте срещали това определение - но вместо вектори говорихме за прави линии. Малко по-горе обаче беше показано, че в задача C2 можете да оперирате с всеки удобен обект - било то права линия или вектор.

Нека ви напомня още веднъж, че всяка равнина се определя в пространството от уравнението Ax + By + Cz + D = 0, където A, B, C и D са някои коефициенти. Без да губим общността на решението, можем да приемем, че D = 1, ако равнината не минава през началото, или D = 0, ако минава. Във всеки случай координатите на нормалния вектор към тази равнина са n = (A; B; C).

Така че равнината също може успешно да бъде заменена с вектор - същата норма. Всяка равнина се определя в пространството от три точки. Вече обсъдихме как да намерим уравнението на равнината (и следователно нормата) в самото начало на статията. Този процес обаче създава проблеми за мнозина, така че ще дам още няколко примера:

Задача. В куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 е начертано сечение A 1 BC 1. Намерете нормалния вектор за равнината на това сечение, ако началото на координатите е в точка A, а осите x, y и z съвпадат съответно с ръбовете AB, AD и AA 1.

Тъй като равнината не минава през началото, нейното уравнение изглежда така: Ax + By + Cz + 1 = 0, т.е. коефициент D = 1. Тъй като тази равнина минава през точки A 1, B и C 1, координатите на тези точки превръщат уравнението на равнината в правилно числово равенство.

A 0 + B 0 + C 1 + 1 = 0 ⇒ C + 1 = 0 ⇒ C = − 1;

По същия начин за точки B = (1; 0; 0) и C 1 = (1; 1; 1) получаваме следните уравнения:
A 1 + B 0 + C 0 + 1 = 0 ⇒ A + 1 = 0 ⇒ A = − 1;
A 1 + B 1 + C 1 + 1 = 0 ⇒ A + B + C + 1 = 0;

Но вече знаем коефициентите A = − 1 и C = − 1, така че остава да намерим коефициента B:
B = − 1 − A − C = − 1 + 1 + 1 = 1.

Получаваме уравнението на равнината: − A + B − C + 1 = 0. Следователно координатите на нормалния вектор са равни на n = (− 1; 1; − 1).

Задача. В куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 има сечение AA 1 C 1 C. Намерете нормалния вектор на равнината на това сечение, ако началото на координатите е в точка A и осите x, y и z съвпадат с ръбовете AB, AD и AA 1 съответно.

В този случай равнината минава през началото, така че коефициентът D = 0 и уравнението на равнината изглежда така: Ax + By + Cz = 0. Тъй като равнината минава през точки A 1 и C, координатите на тези точки превръщат уравнението на равнината в правилно числово равенство.

Нека заместим координатите на точка A 1 = (0; 0; 1) вместо x, y и z. Ние имаме:
A 0 + B 0 + C 1 = 0 ⇒ C = 0;

По същия начин за точката C = (1; 1; 0) получаваме уравнението:
A 1 + B 1 + C 0 = 0 ⇒ A + B = 0 ⇒ A = − B;

Нека поставим B = 1. Тогава A = − B = − 1 и уравнението на цялата равнина има формата: − A + B = 0. Следователно координатите на нормалния вектор са равни на n = (− 1 ; 1; 0).

Най-общо казано, в горните задачи трябва да създадете система от уравнения и да я решите. Ще получите три уравнения и три променливи, но във втория случай една от тях ще бъде свободна, т.е. вземат произволни стойности. Ето защо ние имаме право да поставим B = 1 - без да се засяга общостта на решението и правилността на отговора.

Много често в задача C2 трябва да работите с точки, които разполовяват отсечка. Координатите на такива точки се изчисляват лесно, ако са известни координатите на краищата на сегмента.

И така, нека отсечката се дефинира от нейните краища - точки A = (x a; y a; z a) и B = (x b; y b; z b). Тогава координатите на средата на сегмента - нека го обозначим с точка H - могат да бъдат намерени по формулата:

С други думи, координатите на средата на сегмента са средноаритметичното на координатите на неговите краища.

Задача. Единичният куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 е поставен в координатна система така, че осите x, y и z са насочени съответно по ръбове AB, AD и AA 1, а началото съвпада с точка A. Точка K е средата на ръба A 1 B 1 . Намерете координатите на тази точка.

Тъй като точка K е средата на сегмента A 1 B 1, нейните координати са равни на средноаритметичната стойност на координатите на краищата. Нека запишем координатите на краищата: A 1 = (0; 0; 1) и B 1 = (1; 0; 1). Сега нека намерим координатите на точка K:

Задача. Единичният куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 е поставен в координатна система така, че осите x, y и z са насочени съответно по ръбовете AB, AD и AA 1, а началото съвпада с точка A. Намерете координатите на точката L, в която пресичат диагоналите на квадрата A 1 B 1 C 1 D 1 .

От курса по планиметрия знаем, че пресечната точка на диагоналите на квадрат е на еднакво разстояние от всички негови върхове. По-специално A 1 L = C 1 L, т.е. точка L е средата на сегмента A 1 C 1. Но A 1 = (0; 0; 1), C 1 = (1; 1; 1), така че имаме:

Отговор: L = (0,5; 0,5; 1)

Същността на координатния метод за решаване на геометрични задачи

Същността на решаването на проблеми с помощта на координатния метод е да въведем координатна система, която е удобна за нас в конкретен случай, и да пренапишем всички данни, като я използваме. След това всички неизвестни количества или доказателства се извършват с помощта на тази система. Обсъдихме как да въвеждаме координатите на точки във всяка координатна система в друга статия - няма да се спираме на това тук.

Нека представим основните твърдения, които се използват в координатния метод.

Изявление 1:Координатите на вектора ще се определят от разликата между съответните координати на края на този вектор и неговото начало.

Изявление 2:Координатите на средата на сегмента ще бъдат определени като половината от сумата на съответните координати на неговите граници.

Изявление 3:Дължината на всеки вектор $\overline(δ)$ с дадени координати $(δ_1,δ_2,δ_3)$ ще се определя от формулата

$|\overline(δ)|=\sqrt(δ_1^2+δ_2^2+δ_3^2)$

Изявление 4:Разстоянието между произволни две точки, зададени от координатите $(δ_1,δ_2,δ_3)$ и $(β_1,β_2,β_3)$ ще се определя по формулата

$d=\sqrt((δ_1-β_1)^2+(δ_2-β_2)^2+(δ_3-β_3)^2)$

Схема за решаване на геометрични задачи по координатния метод

За решаване на геометрични проблеми с помощта на координатния метод е най-добре да използвате тази схема:

Анализирайте какво е дадено в проблема:

• Задайте най-подходящата за задачата координатна система;
• Условието на задачата, въпросът на задачата се записват математически и се изгражда чертеж за тази задача.

1. Запишете всички данни на задачата в координатите на избраната координатна система.

2. Направете необходимите отношения от условията на проблема и също така свържете тези отношения с това, което трябва да се намери (доказано в проблема).
3. Преведете получения резултат на езика на геометрията.

Примери за задачи, решени по координатния метод

Основните проблеми, водещи до метода на координатите, могат да бъдат идентифицирани, както следва (няма да даваме техните решения тук):

1. Задачи за намиране на координатите на вектор по края и началото му.
2. Проблеми, свързани с разделянето на сегмент във всяко отношение.
3. Доказателство, че три точки лежат на една права или че четири точки лежат на една и съща равнина.
4. Задачи за намиране на разстоянието между две дадени точки.
5. Задачи за намиране на обеми и повърхнини на геометрични фигури.

Резултатите от решаването на първата и четвъртата задача са представени от нас като основните твърдения по-горе и доста често се използват за решаване на други задачи с помощта на координатния метод.

Примери за задачи, използващи координатния метод

Пример 1

Намерете страничната страна на правилна пирамида, чиято височина е $3$ cm, ако страната на основата е $4$ cm.

Нека ни е дадена правилна пирамида $ABCDS$, чиято височина е $SO$. Нека въведем координатна система като на фигура 1.

Тъй като точка $A$ е центърът на координатната система, която сме построили, тогава

Тъй като точките $B$ и $D$ принадлежат съответно на осите $Ox$ и $Oy$, то

$B=(4,0,0)$, $D=(0,4,0)$

Тъй като точка $C$ принадлежи на равнината $Oxy$, тогава

Тъй като пирамидата е правилна, $O$ е средата на сегмент $$. Според твърдение 2 получаваме:

$O=(\frac(0+4)(2),\frac(0+4)(2),\frac(0+0)(2))=(2,2,0)$

От височината на $SO$