Формули за съкратено умножение. Куб на разликата и куб на разликата: правила за използване на формули за съкратено умножение Как се разлага разликата на куб

Формулите за съкратено умножение (FMF) се използват за степенуване и умножение на числа и изрази. Често тези формули ви позволяват да правите изчисления по-компактно и бързо.

В тази статия ще изброим основните формули за съкратено умножение, ще ги групираме в таблица, ще разгледаме примери за използване на тези формули и също така ще се спрем на принципите на доказване на формули за съкратено умножение.

За първи път темата FSU се разглежда в рамките на курса по алгебра за 7. клас. По-долу има 7 основни формули.

Формули за съкратено умножение

1. формула за квадрат на сбора: a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2
2. формула за квадратна разлика: a - b 2 = a 2 - 2 a b + b 2
3. формула за сборен куб: a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3
4. формула за куб на разликата: a - b 3 = a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3
5. формула за квадратна разлика: a 2 - b 2 = a - b a + b
6. формула за сбор от кубове: a 3 + b 3 = a + b a 2 - a b + b 2
7. формула за разлика на кубчета: a 3 - b 3 = a - b a 2 + a b + b 2

Буквите a, b, c в тези изрази могат да бъдат произволни числа, променливи или изрази. За по-лесно използване е по-добре да научите седемте основни формули наизуст. Нека ги поставим в таблица и да ги представим отдолу, като ги оградим с рамка.

Първите четири формули ви позволяват да изчислите съответно квадрат или куб на сумата или разликата на два израза.

Петата формула изчислява разликата между квадратите на изразите чрез умножаване на тяхната сума и разлика.

Шестата и седмата формула съответно умножават сумата и разликата на изразите по непълния квадрат на разликата и непълния квадрат на сумата.

Формулата за съкратено умножение понякога се нарича също идентичности за съкратено умножение. Това не е изненадващо, тъй като всяко равенство е идентичност.

При решаване на практически примери често се използват формули за съкратено умножение с разменени лява и дясна страна. Това е особено удобно при факторизиране на полином.

Допълнителни формули за съкратено умножение

Нека не се ограничаваме до курса по алгебра за 7-ми клас и да добавим още няколко формули към нашата FSU таблица.

Първо, нека разгледаме биномната формула на Нютон.

a + b n = C n 0 · a n + C n 1 · a n - 1 · b + C n 2 · a n - 2 · b 2 + . . + C n n - 1 · a · b n - 1 + C n n · b n

Тук C n k са биномните коефициенти, които се появяват в ред номер n в триъгълника на Паскал. Биномиалните коефициенти се изчисляват по формулата:

C n k = n ! к! · (n - k) ! = n (n - 1) (n - 2) . . (n - (k - 1)) k!

Както можем да видим, FSF за квадрат и куб на разликата и сумата е специален случай на биномната формула на Нютон за n=2 и n=3, съответно.

Но какво ще стане, ако има повече от два члена в сбора, който трябва да бъде повдигнат на степен? Ще бъде полезна формулата за квадрат на сумата от три, четири или повече членове.

a 1 + a 2 + . . + a n 2 = a 1 2 + a 2 2 + . . + a n 2 + 2 a 1 a 2 + 2 a 1 a 3 + . . + 2 a 1 a n + 2 a 2 a 3 + 2 a 2 a 4 + . . + 2 a 2 a n + 2 a n - 1 a n

Друга формула, която може да бъде полезна, е формулата за разликата между n-та степен на два члена.

a n - b n = a - b a n - 1 + a n - 2 b + a n - 3 b 2 + . . + a 2 b n - 2 + b n - 1

Тази формула обикновено се разделя на две формули – съответно за четни и нечетни степени.

Дори за индикатори от 2 метра:

a 2 m - b 2 m = a 2 - b 2 a 2 m - 2 + a 2 m - 4 b 2 + a 2 m - 6 b 4 + . . + b 2 m - 2

За нечетни експоненти 2m+1:

a 2 m + 1 - b 2 m + 1 = a 2 - b 2 a 2 m + a 2 m - 1 b + a 2 m - 2 b 2 + . . + b 2 м

Формулите за разлика на квадрати и разлика на кубове, както се досещате, са специални случаи на тази формула за n = 2 и n = 3, съответно. За разлика на кубчета, b също се заменя с - b.

Как се четат формули за съкратено умножение?

Ще дадем подходящите формулировки за всяка формула, но първо ще разберем принципа на четене на формули. Най-удобният начин да направите това е с пример. Нека вземем първата формула за квадрат на сумата от две числа.

a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2 .

Те казват: квадратът на сбора от два израза a и b е равен на сбора от квадрата на първия израз, два пъти произведението на изразите и квадрата на втория израз.

Всички други формули се четат по същия начин. За квадрат на разликата a - b 2 = a 2 - 2 a b + b 2 записваме:

квадратът на разликата между два израза a и b е равен на сумата от квадратите на тези изрази минус удвоеното произведение на първия и втория израз.

Нека прочетем формулата a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3. Кубът на сбора от два израза a и b е равен на сбора от кубовете на тези изрази, утроен произведението на квадрата на първия израз по втория и утроен произведението на квадрата на втория израз по първи израз.

Нека преминем към четене на формулата за разликата на кубчета a - b 3 = a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3. Кубът на разликата между два израза a и b е равен на куба на първия израз минус тройното произведение на квадрата на първия израз и втория, плюс тройното произведение на квадрата на втория израз и първия израз , минус куба на втория израз.

Петата формула a 2 - b 2 = a - b a + b (разлика на квадратите) гласи така: разликата на квадратите на два израза е равна на произведението на разликата и сбора на двата израза.

За удобство изрази като a 2 + a b + b 2 и a 2 - a b + b 2 се наричат ​​съответно непълен квадрат на сбора и непълен квадрат на разликата.

Като се има предвид това, формулите за сумата и разликата на кубовете могат да се четат, както следва:

Сборът от кубовете на два израза е равен на произведението от сбора на тези изрази и частичния квадрат на тяхната разлика.

Разликата между кубовете на два израза е равна на произведението на разликата между тези изрази и частичния квадрат на техния сбор.

Доказателство за FSU

Доказването на FSU е доста просто. Въз основа на свойствата на умножението ще умножим частите на формулите в скоби.

Например, разгледайте формулата за разликата на квадрат.

a - b 2 = a 2 - 2 a b + b 2 .

За да повдигнете израз на втора степен, трябва да умножите този израз по самия него.

a - b 2 = a - b a - b .

Нека разширим скобите:

a - b a - b = a 2 - a b - b a + b 2 = a 2 - 2 a b + b 2 .

Формулата е доказана. Останалите FSU се доказват по подобен начин.

Примери за приложение на FSU

Целта на използването на формули за съкратено умножение е бързо и стегнато умножение и повдигане на изрази на степени. Това обаче не е целият обхват на приложение на FSU. Те се използват широко при съкращаване на изрази, съкращаване на дроби и разлагане на полиноми. Да дадем примери.

Пример 1. БСС

Нека опростим израза 9 y - (1 + 3 y) 2.

Нека приложим формулата за сумата на квадратите и да получим:

9 y - (1 + 3 y) 2 = 9 y - (1 + 6 y + 9 y 2) = 9 y - 1 - 6 y - 9 y 2 = 3 y - 1 - 9 y 2

Пример 2. БСС

Нека съкратим дробта 8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4.

Отбелязваме, че изразът в числителя е разликата на кубовете, а в знаменателя е разликата на квадратите.

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 = 2 x - z (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x - z 2 x + z .

Намаляваме и получаваме:

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 = (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x + z

FSU също помагат за изчисляване на стойностите на изразите. Основното нещо е да можете да забележите къде да приложите формулата. Нека покажем това с пример.

Нека повдигнем на квадрат числото 79. Вместо тромави изчисления, нека напишем:

79 = 80 - 1 ; 79 2 = 80 - 1 2 = 6400 - 160 + 1 = 6241 .

Изглежда, че сложно изчисление се извършва бързо само с помощта на съкратени формули за умножение и таблица за умножение.

Друг важен момент е изборът на квадрата на бинома. Изразът 4 x 2 + 4 x - 3 може да се преобразува в 2 x 2 + 2 · 2 · x · 1 + 1 2 - 4 = 2 x + 1 2 - 4 . Такива трансформации се използват широко в интеграцията.

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Формулите или правилата за съкратено умножение се използват в аритметиката, по-специално в алгебрата, за да се ускори процеса на изчисляване на големи алгебрични изрази. Самите формули се извличат от съществуващите в алгебрата правила за умножение на няколко полинома.

Използването на тези формули осигурява доста бързо решение на различни математически проблеми и също така помага за опростяване на изрази. Правилата на алгебричните трансформации ви позволяват да извършвате някои манипулации с изрази, след което можете да получите от лявата страна на равенството израза от дясната страна или да трансформирате дясната страна на равенството (за да получите израза от лявата страна след знака за равенство).

Удобно е да знаете формулите, използвани за съкратено умножение от паметта, тъй като те често се използват при решаване на задачи и уравнения. По-долу са основните формули, включени в този списък, и техните имена.

Квадрат на сумата

За да изчислите квадрата на сумата, трябва да намерите сумата, състояща се от квадрата на първия член, два пъти произведението на първия член и втория и квадрата на втория. Под формата на израз това правило се записва по следния начин: (a + c)² = a² + 2ac + c².

Разлика на квадрат

За да изчислите квадрата на разликата, трябва да изчислите сумата, състояща се от квадрата на първото число, два пъти произведението на първото число и второто (взето с противоположния знак) и квадрата на второто число. Под формата на израз това правило изглежда така: (a - c)² = a² - 2ac + c².

Разлика на квадратите

Формулата за разликата на две числа на квадрат е равна на произведението от сбора на тези числа и тяхната разлика. Под формата на израз това правило изглежда така: a² - с² = (a + с)·(a - с).

Куб сума

За да изчислите куба на сумата от два члена, трябва да изчислите сумата, състояща се от куба на първия член, утроете произведението на квадрата на първия член и втория, утройте произведението на първия член и втория на квадрат и кубът на втория член. Под формата на израз това правило изглежда така: (a + c)³ = a³ + 3a²c + 3ac² + c³.

Сбор от кубове

Според формулата тя е равна на произведението от сумата на тези членове и тяхната непълна квадратна разлика. Под формата на израз това правило изглежда така: a³ + c³ = (a + c)·(a² - ac + c²).

Пример.Необходимо е да се изчисли обемът на фигура, образувана чрез събиране на два куба. Известни са само размерите на страните им.

Ако страничните стойности са малки, тогава изчисленията са прости.

Ако дължините на страните са изразени в тромави числа, тогава в този случай е по-лесно да използвате формулата „Сума от кубове“, което значително ще опрости изчисленията.

Куб на разликата

Изразът за кубичната разлика звучи така: като сбор от третата степен на първия член, утроете отрицателния продукт на квадрат на първия член по втория, утройте произведението на първия член на квадрата на втория и отрицателния куб на втория член. Под формата на математически израз кубът на разликата изглежда така: (a - c)³ = a³ - 3a²c + 3ac² - c³.

Разлика на кубчета

Формулата за разликата на кубовете се различава от сумата на кубовете само с един знак. По този начин разликата на кубовете е формула, равна на произведението на разликата на тези числа и техния непълен квадрат на сумата. Във формата разликата на кубчетата изглежда така: a 3 - c 3 = (a - c)(a 2 + ac + c 2).

Пример.Необходимо е да се изчисли обемът на фигурата, който ще остане след изваждане на жълтата обемна фигура, която също е куб, от обема на синия куб. Известен е само размерът на страните на малкия и големия куб.

Ако страничните стойности са малки, тогава изчисленията са доста прости. И ако дължините на страните са изразени в значителни числа, тогава си струва да приложите формулата, озаглавена „Разлика на кубовете“ (или „Куб на разликата“), което значително ще опрости изчисленията.

Формули за съкратено умножение.

Разучаване на формули за съкратено умножение: квадрат на сбора и квадрат на разликата на два израза; разлика на квадратите на два израза; куб на сбора и куб на разликата на два израза; сбор и разлика на кубове на два израза.

Приложение на формули за съкратено умножение при решаване на примери.

За опростяване на изрази, разлагане на полиноми и намаляване на полиномите до стандартна форма се използват формули за съкратено умножение. Формулите за съкратено умножение трябва да се знаят наизуст.

Нека a, b R. Тогава:

1. Квадратът на сбора от два израза е равен наквадратът на първия израз плюс два пъти произведението на първия израз и втория плюс квадратът на втория израз.

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

2. Квадратът на разликата на два израза е равен наквадратът на първия израз минус два пъти произведението на първия израз и втория плюс квадратът на втория израз.

(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2

3. Разлика на квадратитедва израза е равно на произведението от разликата на тези изрази и тяхната сума.

a 2 - b 2 = (a -b) (a+b)

4. Куб сумадва израза е равно на куба на първия израз плюс утроения продукт на квадрата на първия израз и втория плюс утроения продукт на първия израз и квадрата на втория плюс куба на втория израз.

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

5. Куб на разликатадва израза е равно на куба на първия израз минус утроеното произведение на квадрата на първия израз и втория плюс утроеното произведение на първия израз и квадрата на втория минус куба на втория израз.

(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

6. Сбор от кубоведва израза е равно на произведението от сбора на първия и втория израз и непълния квадрат на разликата на тези изрази.

a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)

7. Разлика на кубчетадва израза е равно на произведението на разликата на първия и втория израз по непълния квадрат на сумата от тези изрази.

a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)

Приложение на формули за съкратено умножение при решаване на примери.

Пример 1.

Изчисли

а) Използвайки формулата за квадрат на сумата от два израза, имаме

(40+1) 2 = 40 2 + 2 40 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681

б) Използвайки формулата за квадрат на разликата на два израза, получаваме

98 2 = (100 – 2) 2 = 100 2 - 2 100 2 + 2 2 = 10000 – 400 + 4 = 9604

Пример 2.

Изчисли

Използвайки формулата за разликата на квадратите на два израза, получаваме

Пример 3.

Опростете израз

(x - y) 2 + (x + y) 2

Нека използваме формулите за квадрат на сумата и квадрат на разликата на два израза

(x - y) 2 + (x + y) 2 = x 2 - 2xy + y 2 + x 2 + 2xy + y 2 = 2x 2 + 2y 2

Формули за съкратено умножение в една таблица:

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
a 2 - b 2 = (a - b) (a+b)
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)
a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)

Разлика на квадратите

Нека изведем формулата за разликата на квадратите $a^2-b^2$.

За да направите това, запомнете следното правило:

Ако добавим произволен моном към израза и извадим същия моном, получаваме правилното тъждество.

Нека добавим към нашия израз и извадим от него монома $ab$:

Общо получаваме:

Тоест разликата между квадратите на два монома е равна на произведението на разликата и сбора им.

Пример 1

Представяне като продукт $(4x)^2-y^2$

\[(4x)^2-y^2=((2x))^2-y^2\]

\[((2x))^2-y^2=\наляво(2x-y\надясно)(2x+y)\]

Сбор от кубове

Нека изведем формулата за сбора на кубовете $a^3+b^3$.

Нека извадим общите фактори извън скобите:

Нека извадим $\left(a+b\right)$ извън скобите:

Общо получаваме:

Тоест сборът от кубовете на два монома е равен на произведението на сбора им и частичния квадрат на разликата им.

Пример 2

Представяне като продукт $(8x)^3+y^3$

Този израз може да бъде пренаписан както следва:

\[(8x)^3+y^3=((2x))^3+y^3\]

Използвайки формулата за разликата на квадратите, получаваме:

\[((2x))^3+y^3=\left(2x+y\right)(4x^2-2xy+y^2)\]

Разлика на кубчета

Нека изведем формулата за разлика на кубове $a^3-b^3$.

За да направим това, ще използваме същото правило като по-горе.

Нека добавим към нашия израз и извадим от него мономите $a^2b\ и\ (ab)^2$:

Нека извадим общите фактори извън скобите:

Нека извадим $\left(a-b\right)$ извън скобите:

Общо получаваме:

Тоест разликата на кубовете на два монома е равна на произведението на разликата им по непълния квадрат на техния сбор.

Пример 3

Представяне като продукт $(8x)^3-y^3$

Този израз може да бъде пренаписан както следва:

\[(8x)^3-y^3=((2x))^3-y^3\]

Използвайки формулата за разликата на квадратите, получаваме:

\[((2x))^3-y^3=\left(2x-y\right)(4x^2+2xy+y^2)\]

Примерни задачи с използване на формули за разлика на квадрати и сбор и разлика на кубове

Пример 4

Факторизирайте го.

а) $((a+5))^2-9$

в) $-x^3+\frac(1)(27)$

Решение:

а) $((a+5))^2-9$

\[(((a+5))^2-9=(a+5))^2-3^2\]

Прилагайки формулата за разликата на квадратите, получаваме:

\[((a+5))^2-3^2=\left(a+5-3\right)\left(a+5+3\right)=\left(a+2\right)(a +8)\]

Нека запишем този израз във формата:

Нека приложим формулата на кубовете:

в) $-x^3+\frac(1)(27)$

Нека запишем този израз във формата:

\[-x^3+\frac(1)(27)=(\left(\frac(1)(3)\right))^3-x^3\]

Нека приложим формулата на кубовете:

\[(\left(\frac(1)(3)\right))^3-x^3=\left(\frac(1)(3)-x\right)\left(\frac(1)( 9)+\frac(x)(3)+x^2\right)\]

В предишните уроци разгледахме два начина за разлагане на полином на множители: поставяне на общия множител извън скоби и метода на групиране.

В този урок ще разгледаме друг начин за факторизиране на полином използване на формули за съкратено умножение.

Препоръчваме ви да пишете всяка формула поне 12 пъти. За по-добро запаметяване запишете всички съкратени формули за умножение на малък лист за измама.

Нека си припомним как изглежда формулата за разликата между кубовете.

Формулата за разликата в кубчетата не е много лесна за запомняне, затова препоръчваме да използвате специален метод, за да я запомните.

Важно е да се разбере, че всяка формула за съкратено умножение също работи обратна страна.

Нека разгледаме един пример. Необходимо е да се разложи разликата на кубчетата.

Моля, обърнете внимание, че „27a 3“ е „(3a) 3“, което означава, че за формулата за разликата на кубчетата вместо „a“ използваме „3a“.

Използваме формулата за разликата на кубовете. На мястото на “a 3” имаме “27a 3”, а на мястото на “b 3”, както във формулата, има “b 3”.

Прилагане на разликата от кубчета в обратна посока

Нека да разгледаме друг пример. Трябва да преобразувате произведението на полиномите в разликата на кубовете, като използвате формулата за съкратено умножение.

Моля, обърнете внимание, че произведението на полиномите „(x − 1)(x 2 + x + 1)“ прилича на дясната страна на формулата за разликата на кубовете „“, само че вместо „a“ има „x“, а на място от „b“ има „1“.

За „(x − 1)(x 2 + x + 1)“ използваме формулата за разликата на кубовете в обратна посока.

Нека да разгледаме един по-сложен пример. Необходимо е да се опрости произведението на полиномите.

Ако сравним „(y 2 − 1)(y 4 + y 2 + 1)“ с дясната страна на формулата за разликата на кубовете
« a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2)“, тогава можете да разберете, че на мястото на „а” от първата скоба има „y 2”, а на мястото на „b” има „1”.