Антипиретиците за деца се предписват от педиатър. Но има спешни ситуации с треска, когато на детето трябва незабавно да се даде лекарство. Тогава родителите поемат отговорност и използват антипиретици. Какво е позволено да се дава на кърмачета? Как можете да намалите температурата при по-големи деца? Кои лекарства са най-безопасни?
В много изчислителни задачи се вземат големи множества и се разделят по такъв начин, че всички ситуации, които ни интересуват, могат да бъдат изследвани с помощта на няколко правилно избрани примера.
Определение 1:Нека A ¹ Æ и (A i ),i= колекция от подмножества, така че A= . След това се извиква колекцията от тези подмножества с покритиекомплекти А.
Например (A, B) е покритие на AÈB; (A, AÈB, B, C)-покриващ AÈBÈC.
коментар: В общия случай покритието може да бъде безкрайно. Въпреки това, от гледна точка на изучаване на конкретни свойства, тази ситуация не предизвиква ентусиазъм.
Определение 2: Чрез разделяне на непразно множество A се нарича негово покритие, така че ако i¹ j, тогава A i ÇA j =Æ.
Например (A, A’) е дял U.
(AÇB, AÇB’, A’ÇB, A’ÇB’) – дял U,
(A\B, AÇB, B\A) – дял AÈB.
Можете да организирате разделяне на непразно множество, като използвате релации, които се държат като релации на равенство в набор от числа или набори.
Определение 3:Бинарна релация върху множество се нарича отношение на еквивалентност, ако е рефлексивен, симетричен и преходен.
Примери:
1. На множеството от всички триъгълници: ((x, y)| x и y имат една и съща площ)
2. В набора от всички програми: ((a, b)| a, b изчислява една и съща функция на конкретна машина)
Определение 4:Нека R е отношение на еквивалентност на множеството A и xОA. Клас на еквивалентност, генериран от xмножеството (y| xR y)=[x] R се извиква.
Определение 5:Всеки елемент от клас на еквивалентност се извиква Представителтози клас. Пълна система от представителиизвиква се набор от представители, по един от всеки клас.
Пример 3:
нса естествени числа, s е фиксиран елемент. На Здефинира се връзката: r s = ((x, y)| x-y=ns, nО З). Поведение сравнения по модул s (нотация: xºy(mod s)).
Лесно е да се провери, че връзката за сравнение по модул s е връзка на еквивалентност в множеството З.
Нека например s=10. Тогава:
= {11,21,-9,10 976 631,.... }
= {66,226,-24,... }
Всъщност има само 10 класа на еквивалентност за тази връзка и числата 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 образуват пълна система от представители. Наричат се класове на еквивалентност, базирани на това отношение на еквивалентност класове удръжки модул s.
Определение 6: Фактор-множествона множество A по отношение на отношение на еквивалентност R се нарича множеството от всички класове на еквивалентност по отношение на това отношение и се обозначава с A/R.
Наборът от класове остатъци по модул s се означава с Z s.
Възниква
Теорема (за разделянето):Нека R е релация на еквивалентност върху непразно множество A. Тогава частното множество A/R е дял на множеството A.
Доказателство:
"xОA(xО[x] R). Трябва да докажем, че всеки елемент от множеството A принадлежи точно на един клас. Тоест ще докажем, че ако класовете имат поне един общ елемент, то те съвпадат. Нека cО[ a] и cО [b]. Нека xÎ[a], но тогава x R a, a R c, c R b Þ x R b(преходност на R). И така, [a] М [b]. (където е рефлексивност? и тя съществува! ) Подобно на [b] М [a].
Q.E.D.
Обратното също е в сила. Нека S е дял на множество A и R s е двоично отношение върху A, така че: R=((x,y)ïx и y принадлежат към един и същ елемент на дяла), тогава R, ще наричаме – връзка, определена от дяла S.
Теорема (обратен):Отношението R върху A, дефинирано от разделянето на S, е отношение на еквивалентност върху A и A/R s = S. (независимо)
Упражнения:
1. Нека A е крайно множество. Кои отношения на еквивалентност дават най-голям и най-малък брой класове на еквивалентност.
2. Ако (A 1 , A 2 , ..., A n ) е разпределение на A и A ограничено, тогава .
Отношение на поръчката.
От понятието за равенство (например на числата) възниква математическото понятие за еквивалентност. И от понятието за неравенство възниква друг тип отношения, които се наричат отношения на ред.
Определение 1: Частична поръчкана множеството A е двоична релация, която е рефлексивна, антисиметрична и транзитивна.
Частичният ред е обобщение на отношението £ към R. Можем да въведем понятието строг ред , съответстващ на отношението< на R. Отношение строгого порядка - только транзитивно(оно еще и антирефлексивно).
Ако е дадено £, тогава можем да дефинираме<: a
Множеството, на което е дадено отношението на реда, ще бъде означено с
(X, £) (или (X,<), если порядок строгий).
Определение 2:Нарича се множество, на което е дадено отношение на ред частично поръчан.
Пример: А е множество. ( П (A),Í), лесно е да се провери, че връзката Í е релация на ред върху П (А).
Определение 3:Отношение от ред R върху A се нарича пълен (линеен ) по ред, ако " x, yÎA (xR y Ú yR x). Множеството (A, R) се нарича линейно подредено.
Примери:
1. отношение £ към Ре пълно отношение на реда. По този начин ( R,£) - линейно подредени.
2. и тук ( П (A),Í) не е линейно подреден
3. x£y Û y x на множеството нне е в пълен ред
Определение 4:нека (А, £) е частично подредено множество. Елементът AOA се нарича най-малък/най-голям/в A ако " xОA (a£ x) /x £ a /. Елементът bОА се нарича минимум /максимум/ if " xÎA (x£ a Þ x=a) /a £ x Þ a=x /.
Задача:Докажете, че за линейно подредено множество понятията най-голям (най-малък) и максимален (минимален) елементи съвпадат. Дайте пример за частично подредено множество, където те не съвпадат.
Състав на отношенията
Нека са дадени множествата A, B и C и отношенията S между A и B (т.е. SÌA´B) и R между B и C (RÌB´C). Нека дефинираме нова връзка между A и C, както следва:
Определение 1:Множеството от всички двойки (x, y) такива, че съществува zÎB такова, че (x, z)О S и (z, y)О R се нарича състав на отношенията S и R. Обозначено: R o S . Така R o S Ì A ´ C .
R oS = ((x, y)| $zÎB((x,z)ÎSÙ(z,y)ÎR)) или x R o Sy Û $zÎB(xSzÙzRy).
Пример 1 : Нека A=(1, 2, 3), B=(1, 2, 3, 4, 5, 6), C=(3, 6, 9, 12), s =((1,2), (2 ,4), (3,6)), r=((1,3), (2,6), (3,9), (4,12)). Тогава r o s=((1.6), (2.12)).
Нека илюстрираме ситуацията на снимката:
Пример 2 : Нека s и r са отношения на нтакова, че
S = ((x,x+1)ïxО н) и r = ((x 2 ,x)ïxО н). Тогава D r = (x 2 ïxО н)=(1,4,9,16,25,...) и D s = Н.
D r o s =(xïxО нÙ x+1=y 2 )=(3,8,15,24,...).
В случай, че връзката е дефинирана върху набор, тя може да се комбинира със себе си:
sos = s 2 = ((x,x+2)½xО н) и ror = r 2 = ((x 4 ,x)½xО н}.
Използвайки тази нотация, можем да дефинираме n-тата степен на връзката:
, където nО н, n>1.
Например за отношенията от пример 2 имаме:
, 
Бих искал да допълня аналогията с умножение. За да направим това, въвеждаме следната естествена дефиниция:
Определение 2:Бинарните отношения се наричат равен, ако са равни като подмножества, тоест R=S if"x,y((x,y)ÎRÛ(x,y)ÎS).
Ясно е, че отношенията трябва да бъдат дефинирани на едни и същи множества.
Теорема (свойства на състава на отношенията):За всякакви двоични отношения R, S, T са валидни следните равенства:
1. (RoS)oT = Ro(SoT)
2. (RoS) -1 = S -1 o R -1
Доказателство:
1) За всяко x и y имаме:
x(RoS)oTy º $z(xTzÙ(zRoSy)) º $z$t(xTzÙ(zStÙtRy)) º $z$t((xTzÙzSt)ÙtRy) º $t(($z(xTzÙzSt))ÙtRy) º $t((xSoTt)ÙtRy) º xRo(SoT)y.
2) x(RoS) -1 y º yRoSx º $z(ySzÙzRx) º $z(xR -1 zÙzS -1 y) º xS -1 илиR -1 y.
Q.E.D.
коментар:ако R е релация в множеството A, тогава е ясно, че I A илиR=RoI A =R. Тоест I A се държи като единица при умножаване на числа. Пълна аналогия обаче не може да се направи. Тъй като например комутативността няма място в общия случай, тъй като RoS може да се дефинира, но SoR не може. Точно както равенството R -1 oR=RoR -1 = I A не винаги има смисъл.
Затваряне на връзката
Концепцията за затваряне е фундаментална математическа концепция и се използва в повечето клонове на математиката. Нека илюстрираме тази концепция с общ пример: вземете обект x 0 и процес P, който, когато се прилага последователно, генерира определено множество и следователно дефинира последователност x 1 , x 2 , ..., x n , . .. така че x 1 ÎP(x 0), x 2 ÎP(x 1),..., x n ÎP(x n -1),... 
Определение 1:множеството, съдържащо всички елементи от всички последователности, които могат да бъдат получени с помощта на процеса P и започващо с x 0, се нарича затваряне на процеса P спрямо x 0 .
Ясно е, че резултатът ще бъде да се намери P n (x 0) за някои н.Това нНе знаем предварително; зависи от самия процес. Освен това, ако вземем елемента гот това затваряне и ние ще приложим процеса към него R,тогава няма да получим нищо ново. Тоест комплектът не може да се разширява по този начин - затворен е!
Пример : Вземете квадрат S, означен като ABCD, и разгледайте процеса r, който се състои от завъртане на квадрата по часовниковата стрелка на 90°:
| |
| |
| |
| |
| |
Нека релация А е дефинирана върху някакво множество. Тогава:
Определение 2: Транзитивно затваряне връзката A върху дадено множество се нарича връзка A +:
По този начин, от нетранзитивно отношение A върху определено множество може да се конструира транзитивно A + .
Примери:
1. r - отношение на н: r=((x, y)| y=x+1), тогава r + =((x, y)| x 2.s включено Q: s=((x, y)| x 3.t на Q: t=((x, y)| x×y=1), тогава r + =((x, x)| x¹0) 4. Нека L е множеството станции на лондонското метро; L=(a, b, c) последователни станции. N=((x, y)| y следва x). Значи (a, b), (b, c) ОN; освен това (a, a), (b, b), (c, c), (a, c) О N 2 . Това означава N + =L´L Най-общо казано, транзитивното затваряне не е рефлексивно (Пример 2). Нека A е релация върху X. Нека A 0 =I X . Определение 3: Рефлексивно затваряне A*релации А се нарича релация Примери:
1. r*=((x, y)| x£y) Множеството от всички класове на еквивалентност се означава с . По-сложен пример, но абсолютно жизненоважен: Когато лекарят ви предписва лекарство, той всъщност посочва в рецептата класа на еквивалентните лекарства, не може да посочи напълно конкретно копие от опаковката на таблетки или ампули. Тези. Всички видове лекарства се разделят на класове чрез отношения на еквивалентност. Ако не беше този факт, съвременната медицина просто не би била възможна. По този начин всички видове рецепти за салати и коктейли, GOSTs и класификатори също определят жизненоважни отношения на еквивалентност. Релациите на еквивалентност изпълват целия ни живот и не са абстрактно забавление за математиците. Множеството от класове на еквивалентност, съответстващи на отношението на еквивалентност, се означава със символа и се нарича фактор-наборотносително . Освен това, сюрективното картографиране Наречен естествен дисплей(или канонична проекция) към набора от фактори. Нека , са множества, са преобразуване, тогава двоичната релация, дефинирана от правилото е отношение на еквивалентност на . В този случай преобразуването индуцира преобразуване, дефинирано от правилото или, което е същото, В този случай се оказва факторизацияпреобразувания към сюрективно и инжективно преобразуване. Картографирането на фактори се използва широко в хуманитарните науки и в онези области на технологиите, където не е възможно да се използват числени стойности. Картографирането на фактори ви позволява да правите без формули, когато формулите не могат да се използват. Нека дадем пример, който ще бъде разбираем за всеки и не изисква разбиране на сложна математическа символика. Училищният график е типичен пример за факторизация. В този случай наборът от всички ученици, наборът от всички учебни предмети, разпределени по дни от седмицата, като се уточнява времето на занятията. Еквивалентните класове са класове (групи от ученици). Дисплей – графикът на класовете се показва в дневниците на ученика. Дисплей - разписание на часовете, поставено във фоайето на училището. Тук има и дисплей - списъци с класове. Този пример много ясно демонстрира практическите ползи от факторизацията: невъзможно е да си представим графика на класа като таблица, която отразява всички ученици в училището поотделно. Факторизацията направи възможно показването на информацията, от която се нуждаят учениците, в компактна форма, удобна за използване в ситуации, в които не могат да се прилагат формули. Ползите от факторизацията обаче не се ограничават до това. Факторизацията позволява разпределение на труда между участниците в дейността: директорът съставя график, а учениците го записват в дневниците си. По същия начин факторизирането на предписанията позволява разделяне на труда между лекаря, който поставя диагнозата и пише рецептата, и фармацевта, който гарантира еквивалентността на предписаните лекарства. Апотеозът на факторизацията е конвейерната лента, която осъществява максималното разделение на труда чрез стандартизиране на частите. Но ползите от факторизирането не се ограничават до това. Факторизацията направи възможно да се осигури модулността на съвременната технология, което й дава безпрецедентна гъвкавост на функциите. Можете да запазите старата SIM карта и да си купите изцяло нов телефон, който да върви с нея, или да поставите нова видео памет в стария си компютър. Всичко това е гъвкавост, модулност, която се базира на факторизация. Фондация Уикимедия. 2010 г. отношение на еквивалентност- - Телекомуникационни теми, основни понятия EN релация на еквивалентност... Ръководство за технически преводач Отношение тип равенство- отношение на еквивалентност, концепция на логиката и математиката, изразяваща факта на наличието на едни и същи признаци (свойства) в различни обекти. По отношение на такива общи характеристики тези различни обекти са неразличими (идентични, равни,... ... Отношение на толерантност- Този термин има и други значения, вижте Толерантност. Отношението на толерантност (или просто толерантност) върху набор е двоично отношение, което удовлетворява свойствата на рефлексивност и симетрия, но не непременно... ... Wikipedia Съотношение (математика)- Този термин има и други значения, вижте Отношение. Връзката е математическа структура, която формално дефинира свойствата на различни обекти и техните взаимоотношения. Връзките обикновено се класифицират според броя на обектите, които се свързват... Уикипедия ПОВЕДЕНИЕ- в логиката нещо, което за разлика от свойство характеризира не отделен предмет, а двойка, тройка и т.н. елементи. Традиционната логика не разглежда О.; в съвременната логика О. е пропозиционална функция на две или повече променливи. двоичен... Философска енциклопедия Отношение на предпочитанията- в теорията на потребителите това е формално описание на способността на потребителя да сравнява (подрежда по желание) различни набори от стоки (потребителски комплекти). За да се опише връзка на предпочитанията, не е необходимо да се измерва желателността... ... Wikipedia Отношение (философско)- Отношение, философска категория, която изразява характера на подреждането на елементите на определена система и тяхната взаимозависимост; емоционално-волево отношение на човек към нещо, т.е. израз на неговата позиция; мислено сравнение на различни обекти... ... Велика съветска енциклопедия поведение- ВРЪЗКА е набор от подредени n ок индивиди (където n е 1), т.е. двойки, тройки и т.н. Числото n се нарича "местност" или "арност", О. и съответно се говори за n местно (n арно) О. Така например двойно О. се нарича... ... Енциклопедия на епистемологията и философията на науката Поведение- I Отношението е философска категория, която изразява характера на подреждането на елементите на определена система и тяхната взаимозависимост; емоционално-волево отношение на човек към нещо, т.е. израз на неговата позиция; мислено сравнение на различни... ... Велика съветска енциклопедия Клас на еквивалентност- Отношение на еквивалентност () върху множество X е двоично отношение, за което са изпълнени следните условия: Рефлексивност: за всяко a в X, Симетрия: ако, тогава, Транзитивност: ако... Wikipedia Анотация: Описани са много нови концепции, като релацията на еквивалентност, релацията на частичен ред и изоморфни частични множества. Няколко теореми по тази тема са доказани с подробни обяснения, графики и примери. Дадени са голям брой примери за частични поръчки. Описани са няколко конструкции, които позволяват да се конструират подредени набори от други. Лекцията се характеризира с множество задачи за самостоятелно решаване Нека ви го напомним двоична релациявърху множество се нарича подмножество; вместо Бинарна релация върху множество се нарича отношение на еквивалентност, ако са изпълнени следните свойства: Следното очевидно, но често използвано твърдение е вярно: Теорема 11. (a) Ако едно множество е разделено на обединение от несвързани подмножества, тогава отношението „да лежи в едно и също подмножество“ е отношение на еквивалентност. (б) Всичко отношение на еквивалентностсе получава по описания начин от някакъв дял. Доказателство. Първото твърдение е съвсем очевидно; Ще дадем доказателство за второто, за да може да се види къде се използват всички точки от определението за еквивалентност. И така, нека е отношение на еквивалентност. Помислете за всеки елемент клас на еквивалентност- множеството от всички, за които е вярно. Нека докажем, че за две различни такива множества или не се пресичат, или съвпадат. Нека се пресичат, тоест да имат общ елемент. Тогава и , откъдето (симетрия) и (транзитивност), както и (симетрия). Следователно за което и да е от това следва (транзитивност) и обратно. Остава да се отбележи, че поради рефлексивността всеки елемент принадлежи към класа, който дефинира, т.е. цялото множество наистина е разделено на несвързани класове. 78. Покажете, че изискванията за симетрия и транзитивност могат да бъдат заменени с едно: (като се запази изискването за рефлексивност). 79. Колко различни отношения на еквивалентност съществуват в множеството 80. Върху множеството са дадени две отношения на еквивалентност, означени с и , имащи съответно и класове на еквивалентност. Тяхното пресичане ще бъде ли релация на еквивалентност? Колко класа може да има? Какво можете да кажете за обединяване на отношенията? 81. (Теорема на Рамзи) Множеството от всички - елементарни подмножества на безкрайно множество е разделено на класове (, - естествени числа). Докажете, че има безкрайно множество, всички елементарни подмножества на които принадлежат към един и същи клас. (Това е очевидно: ако безкрайно множествое разделен на краен брой класове, тогава един от класовете е безкраен. Кога и твърдението може да се формулира по следния начин: от безкраен набор от хора човек може да избере или безкрайно много познати по двойки, или безкрайно много непознати по двойки. Окончателната версия на това твърдение - че сред всеки шестима души има или трима по двойки познати, или трима по двойки непознати - е добре известен проблем за учениците.) Множеството от класове на еквивалентност се нарича фактор - мнмножества чрез отношение на еквивалентност. (Ако релацията е в съответствие с допълнителни структури на , получаваме факторни групи, факторни пръстени и т.н.) Ще се сблъскаме с отношения на еквивалентност повече от веднъж, но засега основната ни тема са отношенията на ред. Бинарна релация върху множество се нарича отношение на частичен ред, ако са изпълнени следните свойства: (Следвайки традицията, ние използваме символ (а не буква) като знак за релация на ред.) Набор с частична релация на ред, даден върху него, се нарича частично поръчан. Казват, че два елемента частично поръчанкомплекти сравними, ако или . Обърнете внимание, че дефиницията на частичен ред не изисква два елемента от множеството да бъдат сравними. Като добавим това изискване, получаваме определението линеен ред (линейно подредено множество). Ето няколко примера за частични поръчки: Нека разгледаме отношението на равенство върху множеството от дроби X = ( ). Тази връзка: Рефлексивно, тъй като всяка дроб е равна на себе си; Симетрично, тъй като от факта, че една дроб е равна на дроб, следва, че дробта е равна на дроб; Преходно, тъй като от това, че дробта е равна на дроб и дробта е равна на дроб, следва, че дробта е равна на дроб. Отношението на равенство на дроби се нарича отношение на еквивалентност. Определение. Връзка R върху множество X се нарича релация на еквивалентност, ако едновременно притежава свойствата рефлексивност, симетрия и транзитивност
. Примери за отношения на еквивалентност са отношенията на равенство на геометрични фигури, отношението на успоредност на прави (при условие, че съвпадащите прави се считат за успоредни). Защо този тип връзка е изтъкната в математиката? Нека разгледаме отношенията на равенство на дроби, дефинирани в множеството X = ( ). (фиг.7). Виждаме, че наборът е разделен на три подмножества: Изобщо ако релация на еквивалентност е дадена на множество X, тогава тя генерира разделяне на това множество на двойки несвързани подмножества (класове на еквивалентност).
Така установихме, че отношението на равенство върху набор от дроби X = ( ) съответства на разделянето на това множество на класове на еквивалентност, всеки от които се състои от равни една на друга фракции. Обратното също е вярно: ако някое отношение, дефинирано върху множество X, генерира разделяне на това множество на класове, тогава това е отношение на еквивалентност.
Помислете, например, за множеството X = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10) връзката „имат същия остатък, когато се раздели на 3“. Той генерира разделяне на множеството X на класове: единият ще включва всички числа, чийто остатък при разделяне на 3 е 0 (това са числата 3, 6, 9), вторият съдържа числа, които при разделяне на 3 оставят остатък от 1 ( това са числата 1, 4, 7, 10), а в третото - всички числа, като при деление на 3 остатъкът е 2 (това са числата 2, 5, 8). Наистина, получените подмножества не се пресичат и тяхното обединение съвпада с множеството X. Следователно отношението „да имаш същия остатък, когато се дели на 3“, дефинирано върху множеството X, е отношение на еквивалентност. Имайте предвид, че твърдението за връзката между релацията на еквивалентност и разделянето на множество на класове се нуждае от доказателство. Слагаме го. Нека просто кажем, че ако връзката на еквивалентност има име, тогава съответното име се дава на класовете. Например, ако отношение на равенство е специфицирано върху набор от сегменти (и то е отношение на еквивалентност), тогава наборът от сегменти се разделя на класове от равни сегменти (виж Фиг. 4). Отношението на подобие съответства на разделянето на набор от триъгълници на класове от подобни триъгълници. Така че, имайки отношение на еквивалентност на определено множество, можем да разделим това множество на класове. Но можете да направите и обратното: първо да разделите множеството на класове и след това да дефинирате релация на еквивалентност, като се има предвид, че два елемента са еквивалентни, ако и само ако принадлежат към един и същ клас на въпросното разделение. Принципът за разделяне на набор на класове, използвайки някакво отношение на еквивалентност, е важен принцип на математиката. Защо? Първо, еквивалентен - това означава равностоен, взаимозаменяем. Следователно елементите от един и същ клас на еквивалентност са взаимозаменяеми. По този начин дробите, които се намират в един и същ клас на еквивалентност, са неразличими от от гледна точка на отношението на равенство и дробта може да се замени с друга например.И тази замяна няма да промени резултата от изчислението. Второ, тъй като в класа на еквивалентност има елементи, които са неразличими от гледна точка на някакво отношение, смятаме, че класът на еквивалентност се определя от всеки негов представител, т.е. произволен елемент от този клас. По този начин всеки клас от равни дроби може да бъде специфициран чрез посочване на всяка дроб, принадлежаща към този клас. Определянето на клас на еквивалентност по един представител позволява вместо всички елементи на множеството да се изследва колекцията от отделни представители от класовете на еквивалентност. Например релацията на еквивалентност „да имаш еднакъв брой върхове“, дефинирана върху набор от многоъгълници, генерира разделяне на този набор на класове от триъгълници, четириъгълници, петоъгълници и т.н. Свойствата, присъщи на определен клас, се разглеждат на един от неговите представители. трето, разделянето на набор на класове с помощта на релация на еквивалентност се използва за въвеждане на нови концепции. Например понятието „пакет от линии“ може да се дефинира като това, което е общо за успоредните линии. Като цяло всяка концепция, с която човек оперира, представлява определен клас еквивалентност. „Маса“, „къща“, „книга“ - всички тези понятия са обобщени идеи за много конкретни предмети, които имат една и съща цел. Друг важен тип връзка е връзката на поръчката. Дефинира се по следния начин. Определение. Отношение R върху множество X се нарича отношение на ред, ако едновременно притежава свойствата на антисиметрия и транзитивност.
Примери за порядъчни релации включват: релации „по-малко от” върху набор от естествени числа; връзка „по-къси“ на множеството сегменти, тъй като те са антисиметрични и транзитивни. Ако едно отношение на ред също така има свойството на свързаност, тогава се казва, че е линейно отношение на ред. Например отношението „по-малко от“ върху множеството от естествени числа е отношение от линеен ред, тъй като има свойствата на антисиметрия, транзитивност и свързаност. Определение. Множество X се нарича подредено, ако има отношение на ред.
По този начин множеството N от естествени числа може да бъде подредено чрез определяне на връзката „по-малко от“ върху него. Ако релация на ред, дефинирана върху множество X, има свойството на свързаност, тогава се казва, че линейно подрежда множеството X. Например, множеството от естествени числа може да бъде подредено, като се използва както връзката "по-малко от", така и връзката "кратно" - и двете са отношения на ред. Но отношението „по-малко от“, за разлика от отношението „множество“, също има свойството на свързаност. Това означава, че връзката „по-малко от“ подрежда набора от естествени числа линейно. Не трябва да се мисли, че всички отношения се делят на отношения на еквивалентност и отношения на ред. Има огромен брой отношения, които не са нито отношения на еквивалентност, нито отношения на ред. Лекция 22. Отношения на еквивалентност и ред върху множество 1. Отношение на еквивалентност. Връзката между релацията на еквивалентност и разделянето на множество на класове. 2. Отношение на поръчката. Строги и нестроги отношения на ред, линейни отношения на ред. Поръчване на комплекти. 3. Основни изводи Нека да разгледаме множеството от дроби х= (1/2, 1/3, 1/4, 2/4, 2/6, 3/6) отношение на равенство. Тази връзка: Рефлексивно, тъй като всяка дроб е равна на себе си; Симетрично, тъй като от факта, че фракцията м/нравен на дроб стр/р, следва, че фракцията стр/рравен на дроб м/н; Преходен, тъй като от факта, че фракцията м/нравен на дроб стр/ри фракция стр/рравен на дроб r/с, следва, че фракцията м/нравен на дроб r/с. Отношението на равенство на дробите се нарича отношение на еквивалентност. Определение. Връзка R върху множество X се нарича релация на еквивалентност, ако едновременно притежава свойствата рефлексивност, симетрия и транзитивност.
Примери за отношения на еквивалентност са отношенията на равенство на геометрични фигури, отношението на успоредност на прави (при условие, че съвпадащите прави се считат за успоредни). Защо този тип връзка е изтъкната в математиката? Разгледайте отношението на равенство на дроби, определени в множеството х= (1/2, 1/3, 1/4, 2/4, 2/6, 3/6) (фиг. 106). Виждаме, че множеството е разделено на три подмножества: (1/2, 2/4, 3/6), (1/3, 2/6), (1/4). Тези подмножества не се пресичат и обединението им съвпада с множеството Х,тези. имаме дял на множеството хкъм класове. Това не е случайно. Изобщо, ако релация на еквивалентност е дадена на множество X, тогава тя генерира разделяне на това множество на двойки несвързани подмножества (класове на еквивалентност). По този начин установихме, че отношението на равенство върху набор от дроби (1/2, 1/3, 1/4, 2/4, 2/6, 3/6) съответства на разделянето на това множество на класове на еквивалентност , всяка от които се състои от равни фракции помежду си. Обратното също е вярно: ако някое отношение, дефинирано върху множество X, генерира разделяне на това множество на класове, тогава това е отношение на еквивалентност. Помислете, например, на снимачната площадка X =(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10) връзката „да има същия остатък, когато се раздели на 3“. Той генерира дял на множеството хна класове: единият ще включва всички числа, които при деление на 3 оставят остатък 0 (това са числата 3, 6, 9), вторият - числа, които при деление на 3 оставят остатък 1 (това са числата 1, 4) , 7 , 10), а в третата - всички числа, като при деление на 3 остатъкът е 2 (това са числата 2, 5, 8). Наистина, получените подмножества не се пресичат и обединението им съвпада с множеството Х.Следователно отношението „имат същия остатък, когато се дели на 3“, дефинирано в множеството Х,е отношение на еквивалентност. Имайте предвид, че твърдението за връзката между релацията на еквивалентност и разделянето на множество на класове се нуждае от доказателство. Слагаме го. Нека просто кажем, че ако връзката на еквивалентност има име, тогава съответното име се дава на класовете. Например, ако отношение на равенство е определено за набор от сегменти (и това е отношение на еквивалентност), тогава множеството от сегменти се разделя на класове от равни сегменти (вижте Фиг. 99). Отношението на подобие съответства на разделянето на набор от триъгълници на класове от подобни триъгълници. Така че, имайки отношение на еквивалентност на определено множество, можем да разделим това множество на класове. Но можете да направите и обратното: първо да разделите множеството на класове и след това да дефинирате релация на еквивалентност, като се има предвид, че два елемента са еквивалентни, ако и само ако принадлежат към един и същ клас на въпросното разделение. Принципът за разделяне на набор на класове, използвайки някакво отношение на еквивалентност, е важен принцип на математиката. Защо? Първо, еквивалентен - това означава равностоен, взаимозаменяем. Следователно елементите от един и същ клас на еквивалентност са взаимозаменяеми. Така дроби, които са в един и същ клас на еквивалентност (1/2, 2/4, 3/6), са неразличими от гледна точка на отношението на равенство и дробта 3/6 може да бъде заменена с друга, например 1 /2. И тази замяна няма да промени резултата от изчисленията. Второ, тъй като в класа на еквивалентност има елементи, които са неразличими от гледна точка на някакво отношение, смятаме, че класът на еквивалентност се определя от всеки негов представител, т.е. произволен елемент от този клас. По този начин всеки клас от равни дроби може да бъде специфициран чрез посочване на всяка дроб, принадлежаща към този клас. Определянето на клас на еквивалентност по един представител позволява вместо всички елементи на множеството да се изследва набор от отделни представители от класовете на еквивалентност. Например релацията на еквивалентност „да имаш еднакъв брой върхове“, дефинирана върху набор от многоъгълници, генерира разделяне на този набор на класове от триъгълници, четириъгълници, петоъгълници и т.н. Свойствата, присъщи на определен клас, се разглеждат на един от неговите представители. трето, разделянето на набор на класове с помощта на релация на еквивалентност се използва за въвеждане на нови концепции. Например понятието „пакет от линии“ може да се дефинира като това, което е общо за успоредните линии. Като цяло всяка концепция, с която човек оперира, представлява определен клас еквивалентност. „Маса“, „къща“, „книга“ - всички тези понятия са обобщени идеи за много конкретни предмети, които имат една и съща цел. Друг важен тип връзка е отношения на реда. Определение. Отношение R върху множество X се нарича отношение на ред, ако едновременно притежава свойствата на антисиметрия и транзитивност
.
Примерите за порядъчни отношения включват: релацията „по-малко от“ върху множеството от естествени числа; релацията е „по-къса“ на набор от сегменти, тъй като те са антисиметрични и транзитивни. Ако една релация на ред също има свойството на свързаност, тогава се казва, че е релация линеен ред. Например отношението „по-малко от“ върху множеството от естествени числа е отношение от линеен ред, тъй като има свойствата на антисиметрия, транзитивност и свързаност. Определение. Множество X се нарича подредено, ако има отношение на ред.
По този начин множеството N от естествени числа може да бъде подредено чрез определяне на връзката „по-малко от“ върху него. Ако релация на ред, дефинирана върху множество Х,има свойството на свързаност, тогава казваме това той линейно нарежданяколко Х. Например, множеството от естествени числа може да бъде подредено, като се използва както връзката "по-малко от", така и връзката "кратно" - и двете са отношения на ред. Но отношението „по-малко от“, за разлика от отношението „множество“, също има свойството на свързаност. Това означава, че връзката „по-малко от“ подрежда набора от естествени числа линейно. Не трябва да се мисли, че всички отношения се делят на отношения на еквивалентност и отношения на ред. Има огромен брой отношения, които не са нито отношения на еквивалентност, нито отношения на ред.
. Това е 
.
Свързани определения
Примери за отношения на еквивалентност
Факторизиране на преобразувания
Литература
Вижте също
Вижте какво е „отношение на еквивалентност“ в други речници:
Книги
Отношения на еквивалентност и ред
често пиша.
?
пред всички. Този ред няма да бъде линеен.
Тези подмножества не се пресичат и тяхното обединение съвпада с множеството X, тоест имаме разделяне на множеството X на класове. Това не е случайно.
