0 е включено в целите числа. Числа. Цели числа. Свойства на целите числа. Положителни цели числа. Отрицателни цели числа

В тази статия ще дефинираме набора от цели числа, ще разгледаме кои цели числа се наричат ​​положителни и кои са отрицателни. Ще покажем също как целите числа се използват за описание на промените в определени количества. Нека започнем с определението и примерите за цели числа.

Цели числа. Определение, примери

Първо, нека си спомним за естествените числа ℕ. Самото име подсказва, че това са числа, които естествено се използват за броене от незапомнени времена. За да обхванем концепцията за цели числа, трябва да разширим дефиницията на естествените числа.

Определение 1. Цели числа

Цели числа са естествените числа, техните противоположности и числото нула.

Множеството от цели числа се обозначава с буквата ℤ.

Множеството от естествени числа ℕ е подмножество на целите числа ℤ. Всяко естествено число е цяло число, но не всяко цяло число е естествено число.

От дефиницията следва, че всяко от числата 1, 2, 3 е цяло число. . , числото 0, както и числата - 1, - 2, - 3, . .

В съответствие с това ще дадем примери. Числата 39, - 589, 10000000, - 1596, 0 са цели числа.

Нека координатната линия е начертана хоризонтално и насочена надясно. Нека да го разгледаме, за да визуализираме местоположението на цели числа на ред.

Началото на координатната права съответства на числото 0, а точките, лежащи от двете страни на нулата, съответстват на положителни и отрицателни цели числа. Всяка точка съответства на едно цяло число.

Можете да стигнете до всяка точка на линия, чиято координата е цяло число, като отделите определен брой единични сегменти от началото.

Положителни и отрицателни цели числа

От всички цели числа е логично да се разграничат положителните и отрицателните числа. Нека дадем техните определения.

Определение 2: Положителни цели числа

Положителните цели числа са цели числа със знак плюс.

Например числото 7 е цяло число със знак плюс, тоест положително цяло число. На координатната линия това число лежи вдясно от референтната точка, която се приема за числото 0. Други примери за цели положителни числа: 12, 502, 42, 33, 100500.

Определение 3: Цели отрицателни числа

Отрицателните цели числа са цели числа със знак минус.

Примери за цели отрицателни числа: - 528, - 2568, - 1.

Числото 0 разделя положителните и отрицателните цели числа и само по себе си не е нито положително, нито отрицателно.

Всяко число, което е противоположно на положително цяло число, по дефиниция е отрицателно цяло число. Обратното също е вярно. Обратното на всяко отрицателно цяло число е положително цяло число.

Възможно е да се дадат други формулировки на дефинициите на отрицателни и положителни цели числа, като се използва тяхното сравнение с нула.

Определение 4: Положителни цели числа

Положителните цели числа са цели числа, които са по-големи от нула.

Определение 5: Цели отрицателни числа

Отрицателните цели числа са цели числа, които са по-малки от нула.

Съответно положителните числа лежат вдясно от началото на координатната линия, а отрицателните цели числа лежат вляво от нулата.

По-рано казахме, че естествените числа са подмножество от цели числа. Нека да изясним тази точка. Множеството от естествени числа се състои от положителни цели числа. От своя страна множеството от цели отрицателни числа е множеството от числа, противоположни на естествените.

важно!

Всяко естествено число може да се нарече цяло число, но всяко цяло число не може да се нарече естествено число. Когато отговаряме на въпроса дали отрицателните числа са естествени числа, трябва смело да кажем – не, не са.

Неположителни и неотрицателни цели числа

Нека дадем някои определения.

Определение 6. Цели неотрицателни числа

Неотрицателните цели числа са положителни цели числа и числото нула.

Определение 7. Цели неположителни числа

Неположителните цели числа са отрицателните цели числа и числото нула.

Както можете да видите, числото нула не е нито положително, нито отрицателно.

Примери за неотрицателни цели числа: 52, 128, 0.

Примери за неположителни цели числа: - 52, - 128, 0.

Неотрицателно число е число, по-голямо или равно на нула. Съответно, неположително цяло число е число, по-малко или равно на нула.

Термините "неположително число" и "неотрицателно число" се използват за краткост. Например, вместо да кажете, че числото a е цяло число, което е по-голямо или равно на нула, можете да кажете: a е неотрицателно цяло число.

Използване на цели числа за описание на промените в количествата

За какво се използват целите числа? На първо място, с тяхна помощ е удобно да се описват и определят промените в количеството на всякакви обекти. Да дадем пример.

Нека определен брой колянови валове да се съхраняват в склад. Ако в склада бъдат докарани още 500 колянови вала, броят им ще се увеличи. Числото 500 точно изразява промяната (увеличението) в броя на частите. Ако след това от склада се вземат 200 части, тогава това число ще характеризира и промяната в броя на коляновите валове. Този път надолу.

Ако нищо не е взето от склада и нищо не е доставено, тогава числото 0 ще означава, че броят на частите остава непроменен.

Очевидното удобство на използването на цели числа, за разлика от естествените числа, е, че техният знак ясно показва посоката на промяна на стойността (увеличаване или намаляване).

Намаляването на температурата с 30 градуса може да се характеризира с цяло отрицателно число - 30, а повишаването с 2 градуса - с цяло положително число 2.

Нека дадем друг пример с цели числа. Този път нека си представим, че трябва да дадем 5 монети на някого. Тогава можем да кажем, че имаме - 5 монети. Числото 5 описва размера на дълга, а знакът минус показва, че трябва да раздадем монетите.

Ако дължим 2 монети на един човек и 3 на друг, тогава общият дълг (5 монети) може да се изчисли, като се използва правилото за добавяне на отрицателни числа:

2 + (- 3) = - 5

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Информацията в тази статия дава общо разбиране за цели числа. Първо се дава дефиниция на цели числа и се дават примери. След това разглеждаме числата на числовата ос, откъдето става ясно кои числа се наричат ​​положителни цели числа и кои се наричат ​​отрицателни цели числа. След това се показва как промените в количествата се описват с цели числа, а отрицателните цели числа се разглеждат в смисъл на дълг.

Навигация в страницата.

Цели числа – определение и примери

Определение.

Цели числа– това са естествени числа, числото нула, както и числа, противоположни на естествените.

Дефиницията на целите числа гласи, че всяко от числата 1, 2, 3, …, числото 0, както и всяко от числата −1, −2, −3, … е цяло число. Сега можем лесно да донесем примери за цели числа. Например числото 38 е цяло число, числото 70 040 също е цяло число, нулата е цяло число (не забравяйте, че нулата НЕ е естествено число, нулата е цяло число), числата −999, −1, −8 934 832 също са примери за цели числа.

Удобно е всички цели числа да се представят като поредица от цели числа, която има следния вид: 0, ±1, ±2, ±3, ... Поредица от цели числа може да бъде записана така: …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …

От определението за цели числа следва, че множеството от естествени числа е подмножество от множеството от цели числа. Следователно всяко естествено число е цяло число, но не всяко цяло число е естествено число.

Цели числа на координатна права

Определение.

Положителни цели числаса цели числа, по-големи от нула.

Определение.

Отрицателни цели числаса цели числа, които са по-малки от нула.

Положителните и отрицателните цели числа също могат да бъдат определени от позицията им върху координатната права. На хоризонтална координатна линия точките, чиито координати са цели положителни числа, лежат вдясно от началото. На свой ред точките с отрицателни цели координати са разположени вляво от точка O.

Ясно е, че множеството от всички положителни цели числа е множеството от естествени числа. От своя страна, множеството от всички отрицателни цели числа е множеството от всички числа, противоположни на естествените числа.

Отделно, нека ви обърнем внимание на факта, че спокойно можем да наречем всяко естествено число цяло число, но не можем да наречем всяко цяло число естествено число. Можем да наречем всяко положително цяло число само естествено число, тъй като отрицателните цели числа и нулата не са естествени числа.

Неположителни и неотрицателни цели числа

Нека дадем дефиниции на неположителни цели числа и неотрицателни цели числа.

Определение.

Всички положителни числа, заедно с числото нула, се наричат неотрицателни цели числа.

Определение.

Неположителни цели числа– всички те са цели отрицателни числа заедно с числото 0.

С други думи, неотрицателно цяло число е цяло число, което е по-голямо от нула или равно на нула, а неположително цяло число е цяло число, което е по-малко от нула или равно на нула.

Примери за цели неположителни числа са числата −511, −10,030, 0, −2, а като примери за цели неотрицателни числа даваме числата 45, 506, 0, 900,321.

Най-често за краткост се използват термините „цели неположителни числа” и „цели неотрицателни числа”. Например, вместо фразата „числото a е цяло число и a е по-голямо от нула или равно на нула“, можете да кажете „a е неотрицателно цяло число“.

Описване на промените в количествата с помощта на цели числа

Време е да поговорим защо са необходими цели числа.

Основната цел на целите числа е, че с тяхна помощ е удобно да се описват промените в количеството на всякакви обекти. Нека разберем това с примери.

Нека в склада има определен брой части. Ако например в склада бъдат докарани още 400 части, тогава броят на частите в склада ще се увеличи, а числото 400 изразява тази промяна в количеството в положителна посока (увеличаване). Ако например се вземат 100 части от склада, тогава броят на частите в склада ще намалее, а числото 100 ще изрази промяна в количеството в отрицателна посока (надолу). Частите няма да се доставят в склада и частите няма да се изнасят от склада, тогава можем да говорим за постоянно количество части (т.е. можем да говорим за нулева промяна в количеството).

В дадените примери промяната в броя на частите може да бъде описана с цели числа 400, −100 и 0, съответно. Цяло положително число 400 показва промяна в количеството в положителна посока (увеличение). Отрицателно цяло число −100 изразява промяна в количеството в отрицателна посока (намаляване). Цялото число 0 показва, че количеството остава непроменено.

Удобството при използване на цели числа в сравнение с използването на естествени числа е, че не е необходимо изрично да посочвате дали количеството се увеличава или намалява - цялото число определя количествено промяната, а знакът на цялото число показва посоката на промяната.

Целите числа също могат да изразяват не само промяна в количеството, но и промяна в някакво количество. Нека разберем това, като използваме примера за температурни промени.

Повишаване на температурата с, да речем, 4 градуса се изразява като цяло положително число 4. Намаляване на температурата, например с 12 градуса, може да се опише с цяло отрицателно число −12. А инвариантността на температурата е нейното изменение, определено от цяло число 0.

Отделно е необходимо да се каже за тълкуването на отрицателните цели числа като размер на дълга. Например, ако имаме 3 ябълки, тогава положителното цяло число 3 представлява броя на ябълките, които притежаваме. От друга страна, ако трябва да дадем 5 ябълки на някого, но ги нямаме на склад, тогава тази ситуация може да бъде описана с отрицателно цяло число −5. В този случай ние „притежаваме“ −5 ябълки, знакът минус показва дълг, а числото 5 определя дълга количествено.

Разбирането на отрицателно цяло число като дълг позволява например да се обоснове правилото за добавяне на отрицателни цели числа. Да дадем пример. Ако някой дължи 2 ябълки на един човек и 1 ябълка на друг, тогава общият дълг е 2+1=3 ябълки, така че −2+(−1)=−3.

Библиография.

• Виленкин Н.Я. и др.Математика. 6 клас: учебник за общообразователните институции.

Това са числата, които се използват при броенето: 1, 2, 3... и т.н.

Нулата не е естествена.

Естествените числа обикновено се означават със символа н.

Цели числа. Положителни и отрицателни числа

Извикват се две числа, които се различават едно от друго само по знак противоположност, например +1 и -1, +5 и -5. Знакът "+" обикновено не се пише, но се предполага, че има "+" пред числото. Такива номера се наричат положителен. Извикват се числа, предшествани от знак "-". отрицателен.

Естествените числа, противоположните им числа и нулата се наричат ​​цели числа. Множеството от цели числа се обозначава със символа З.

Рационални числа

Това са крайни дроби и безкрайни периодични дроби. Например,

Означава се множеството от рационални числа Q. Всички цели числа са рационални.

Ирационални числа

Безкрайна непериодична дроб се нарича ирационално число. Например:

Означава се множеството от ирационални числа Дж.

Реални числа

Множеството от всички рационални и всички ирационални числа се нарича набор от истински (реални)числа.

Реалните числа са представени със символа Р.

Закръгляване на числа

Помислете за броя 8,759123... . Закръгляването до най-близкото цяло число означава записване само на частта от числото, която е преди десетичната запетая. Закръгляването до десети означава записване на цялата част и една цифра след десетичната запетая; закръглете до най-близката стотна - две цифри след десетичната запетая; до хилядни - три цифри и т.н.

1) Деля на незабавно, тъй като и двете числа се делят 100% на:

2) Ще разделя на останалите големи числа (и), тъй като те се делят равномерно на (в същото време няма да разширявам - това вече е общ делител):

6 2 4 0 = 1 0 ⋅ 4 ⋅ 1 5 6

6 8 0 0 = 1 0 ⋅ 4 ⋅ 1 7 0

3) Ще си тръгна сам и ще започна да гледам числата и. И двете числа се делят точно на (завършват с четни цифри (в този случай си представяме как, или можете да разделите на)):

4) Работим с числа и. Имат ли общи делители? Не е толкова лесно, колкото в предишните стъпки, така че просто ще ги разложим на прости фактори:

5) Както виждаме, бяхме прави: и нямаме общи делители, а сега трябва да умножим.
GCD

Задача No2. Намерете НОД на числата 345 и 324

Не мога бързо да намеря поне един общ делител тук, така че просто го разделям на прости множители (колкото е възможно по-малки):

Точно така, gcd, но първоначално не проверих теста за делимост на и може би нямаше да се налага да правя толкова много действия.

Но проверихте, нали?

Както виждате, не е никак трудно.

Най-малко общо кратно (LCM) - спестява време, помага за решаване на проблеми по нестандартен начин

Да кажем, че имате две числа - и. Кое е най-малкото число, на което може да се раздели без следа(тоест напълно)? Трудно е да си представим? Ето визуална подсказка за вас:

Помните ли какво означава буквата? Точно така, просто цели числа.Кое е най-малкото число, което пасва на мястото на х? :

В такъв случай.

От този прост пример излизат няколко правила.

Правила за бързо намиране на NOC

Правило 1: Ако едно от две естествени числа се дели на друго число, тогава по-голямото от двете числа е тяхното най-малко общо кратно.

Намерете следните числа:

• НОК (7;21)
• НОК (6;12)
• НОК (5;15)
• НОК (3;33)

Разбира се, вие се справихте с тази задача без затруднения и получихте отговорите - , и.

Моля, обърнете внимание, че в правилото говорим за ДВЕ числа; ако има повече числа, тогава правилото не работи.

Например LCM (7;14;21) не е равно на 21, тъй като не се дели на.

Правило 2. Ако две (или повече от две) числа са взаимно прости, тогава най-малкото общо кратно е равно на техния продукт.

намирам НОКследните числа:

• НОК (1;3;7)
• НОК (3;7;11)
• НОК (2;3;7)
• НОК (3;5;2)

броихте ли Ето и отговорите - , ; .

Както разбирате, не винаги е възможно да вземете същото това x толкова лесно, така че за малко по-сложни числа има следния алгоритъм:

Да тренираме ли?

Нека намерим най-малкото общо кратно - LCM (345; 234)

Нека разбием всяко число:

Защо написах веднага?

Запомнете признаците за делимост на: дели се на (последната цифра е четна) и сборът от цифрите се дели на.

Съответно можем веднага да разделим на, като го напишем като.

Сега записваме най-дългото разлагане на ред - второто:

Нека добавим към него числата от първото разширение, които не са в това, което сме написали:

Забележка: изписахме всичко, освен защото вече го имаме.

Сега трябва да умножим всички тези числа!

Намерете сами най-малкото общо кратно (LCM).

Какви отговори получи?

Ето какво получих:

Колко време прекарахте в намирането НОК? Моето време е 2 минути, наистина знам един трик, който предлагам да отворите веднага!

Ако сте много внимателни, вероятно сте забелязали, че вече сме търсили дадените номера GCDи бихте могли да вземете факторизирането на тези числа от този пример, като по този начин опростите задачата си, но това не е всичко.

Погледнете снимката, може би ще ви дойдат други мисли:

Добре? Ще ви подскажа: опитайте да умножите НОКИ GCDпомежду си и запишете всички множители, които ще се появят при умножението. успяхте ли Трябва да получите верига като тази:

Разгледайте го по-отблизо: сравнете множителите с това как и са изложени.

Какво заключение можете да направите от това? вярно! Ако умножим стойностите НОКИ GCDпомежду си, тогава получаваме произведението на тези числа.

Съответно имащи числа и значение GCD(или НОК), можем да намерим НОК(или GCD) по тази схема:

1. Намерете произведението на числата:

2. Полученото произведение разделяме на нашето GCD (6240; 6800) = 80:

Това е всичко.

Нека напишем правилото в общ вид:

Опитай да намериш GCD, ако е известно, че:

успяхте ли .

Отрицателните числа са „фалшиви числа“ и тяхното разпознаване от човечеството.

Както вече разбирате, това са числа, противоположни на естествените, тоест:

Изглежда, какво е толкова специално за тях?

Но факт е, че отрицателните числа са "спечелили" полагащото им се място в математиката чак до 19-ти век (до този момент имаше огромен спор дали те съществуват или не).

Самото отрицателно число възниква поради такава операция с естествени числа като „изваждане“.

Наистина, извадете от него и ще получите отрицателно число. Ето защо множеството от отрицателни числа често се нарича "разширение на множеството от естествени числа."

Отрицателните числа не се разпознават от хората дълго време.

Така Древен Египет, Вавилон и Древна Гърция - светилата на своето време, не са признавали отрицателни числа, а при отрицателни корени в уравнението (например като нашето) корените са били отхвърляни като невъзможни.

Отрицателните числа първо получават правото си на съществуване в Китай, а след това през 7 век в Индия.

Каква според вас е причината за това признание?

Точно така, отрицателните числа започнаха да означават дългове (в противен случай - недостиг).

Смяташе се, че отрицателните числа са временна стойност, която в резултат ще се промени на положителна (т.е. парите все още ще бъдат върнати на заемодателя). Въпреки това, индийският математик Брахмагупта вече разглежда отрицателните числа на равна основа с положителните.

В Европа полезността на отрицателните числа, както и фактът, че те могат да означават дългове, беше открита много по-късно, може би едно хилядолетие.

Първото споменаване е забелязано през 1202 г. в „Книгата на абака“ от Леонард от Пиза (ще кажа веднага, че авторът на книгата няма нищо общо с Наклонената кула в Пиза, но числата на Фибоначи са негово дело (псевдонимът на Леонардо от Пиза е Фибоначи)).

И така, през 17 век Паскал вярва в това.

Как мислите, той оправда това?

Вярно е, че „нищо не може да бъде по-малко от НИЩО“.

Ехо от онези времена остава фактът, че отрицателното число и операцията за изваждане се обозначават с един и същ символ - минусът "-". И истината:. Числото “ ” положително ли е, което се изважда, или отрицателно, което се събира?... Нещо от поредицата “кое е първо: кокошката или яйцето?” Това е толкова особена математическа философия.

Отрицателните числа осигуриха правото си на съществуване с появата на аналитичната геометрия, с други думи, когато математиците въведоха такова понятие като числовата ос.

От този момент дойде равенството. Все още обаче имаше повече въпроси, отколкото отговори, например:

пропорция

Тази пропорция се нарича "парадокс на Арно". Замислете се, какво съмнително има в това?

Нека поспорим заедно "" е повече от "" нали? Така по логиката лявата страна на пропорцията трябва да е по-голяма от дясната, но те са равни... Това е парадоксът.

В резултат на това математиците се съгласиха, че Карл Гаус (да, да, това е същият, който изчисли сумата (или) числата) сложи край на това през 1831 г.

Той каза, че отрицателните числа имат същите права като положителните и това, че не важат за всички неща, не означава нищо, тъй като дробите също не важат за много неща (не се случва копач да копае дупка, не можете да си купите билет за кино и т.н.).

Математиците се успокояват едва през 19 век, когато е създадена теорията за отрицателните числа от Уилям Хамилтън и Херман Грасман.

Те са толкова противоречиви, тези отрицателни числа.

Възникването на „празнотата“ или биографията на нулата.

В математиката това е специално число.

На пръв поглед това не е нищо: добавете или извадете - нищо няма да се промени, но просто трябва да го добавите отдясно на „ “ и полученото число ще бъде няколко пъти по-голямо от първоначалното.

Умножавайки по нула, превръщаме всичко в нищо, но делим на „нищо“, тоест не можем. С една дума, магическото число)

Историята на нулата е дълга и сложна.

Следа от нула е открита в писанията на китайците през 2-ро хилядолетие сл. Хр. а още по-рано сред маите. Първото използване на символа нула, както е днес, се наблюдава сред гръцките астрономи.

Има много версии защо е избрано това обозначение „нищо“.

Някои историци са склонни да смятат, че това е омикрон, т.е. Първата буква на гръцката дума за нищо е ouden. Според друга версия думата "обол" (монета без почти никаква стойност) дава живот на символа на нулата.

Нулата (или нула) като математически символ се появява за първи път сред индийците(имайте предвид, че отрицателните числа започнаха да се „развиват“ там).

Първите надеждни свидетелства за запис на нула датират от 876 г., като в тях “ ” е компонент на числото.

Нулата също идва в Европа късно - едва през 1600 г. и също като отрицателните числа среща съпротива (какво да правиш, такива са си, европейците).

„Zero често е бил мразен, отдавна се е страхувал или дори е бил забраняван.“- пише американският математик Чарлз Сейф.

Така турският султан Абдул Хамид II в края на 19в. нареди на своите цензори да изтрият формулата на водата H2O от всички учебници по химия, като взеха буквата „О“ за нула и не искаха неговите инициали да бъдат дискредитирани от близостта до презряната нула.

В интернет можете да намерите фразата: „Нулата е най-мощната сила във Вселената, той може всичко! Нулата създава ред в математиката и също внася хаос в нея. Абсолютно правилна гледна точка :)

Обобщение на раздела и основни формули

Наборът от цели числа се състои от 3 части:

• естествени числа (ще ги разгледаме по-подробно по-долу);
• числа, противоположни на естествените числа;
• нула - " "

Означава се множеството от цели числа буква Z.

1. Естествени числа

Естествените числа са числа, които използваме за броене на обекти.

Означава се множеството от естествени числа буква Н.

При операции с цели числа ще ви трябва способността да намирате GCD и LCM.

Най-голям общ делител (НОД)

За да намерите GCD, трябва:

1. Разлагайте числата на прости множители (тези числа, които не могат да бъдат разделени на нищо друго освен на себе си или на, например, и т.н.).
2. Запишете коефициентите, които са част от двете числа.
3. Умножете ги.

Най-малко общо кратно (LCM)

За да намерите NOC, трябва:

1. Разделете числата на прости множители (вече знаете как да направите това много добре).
2. Запишете факторите, включени в разширяването на едно от числата (по-добре е да вземете най-дългата верига).
3. Добавете към тях липсващите множители от разширенията на останалите числа.
4. Намерете произведението на получените множители.

2. Отрицателни числа

Това са числа, противоположни на естествените, т.е.

Сега искам да те чуя...

Надявам се, че сте оценили супер полезните „трикове“ в този раздел и сте разбрали как ще ви помогнат на изпита.

И по-важното – в живота. Не говоря за това, но повярвайте ми, това е истина. Способността да броите бързо и без грешки ви спасява в много житейски ситуации.

Сега е твой ред!

Пишете, ще използвате ли в изчисленията методи за групиране, тестове за делимост, GCD и LCM?

Може би сте ги използвали преди? Къде и как?

Може би имате въпроси. Или предложения.

Напишете в коментарите как ви харесва статията.

И успех на изпитите!

Отрицателните числа са използвани за първи път в древен Китай и Индия; в Европа те са въведени в математическа употреба от Никола Чуке (1484) и Михаел Щифел (1544).

Алгебрични свойства

$\backslash mathbb(Z)$не е затворен при деление на две цели числа (например 1/2). Следната таблица илюстрира няколко основни свойства на събиране и умножение за всяко цяло число а, bИ ° С.

|list5=Кардинални числа – определено трябва да го преместите в леглото, тук няма да е възможно...
Пациентът беше толкова заобиколен от лекари, принцеси и слуги, че Пиер вече не виждаше онази червено-жълта глава със сива грива, която, въпреки факта, че виждаше други лица, не напускаше погледа му нито за момент по време на цялата служба. От внимателното движение на хората около стола Пиер предположи, че умиращият е вдигнат и носен.
„Дръж ме за ръката, така ще ме пуснеш“, чу уплашения шепот на един от слугите, „отдолу... има още един“, казаха гласовете и тежкото дишане и стъпване на краката на хората станаха по-бързи, сякаш тежестта, която носеха, беше извън силите им.
Носачите, сред които беше Анна Михайловна, се изравниха с младия мъж и за миг иззад гърбовете и тиловете на хората той видя висок, дебел, отворен гръден кош, дебелите рамене на пациента, повдигнати нагоре от хората, които го държат под мишниците, и сива, къдрава, лъвска глава. Тази глава с необичайно широко чело и скули, красива чувствена уста и величествен студен поглед не беше обезобразена от близостта на смъртта. Тя беше същата, каквато я познаваше Пиер преди три месеца, когато графът го пусна в Петербург. Но тази глава се клатеше безпомощно от неравните стъпки на носачите и студеният безразличен поглед не знаеше къде да спре.
Минаха няколко минути суетене около високото легло; хората, носещи болния, се разотидоха. Анна Михайловна докосна ръката на Пиер и му каза: „Венец“. [Отидете.] Пиер отиде с нея до леглото, на което болният беше положен в празнична поза, очевидно свързана с току-що извършеното тайнство. Той лежеше с високо вдигната глава върху възглавниците. Ръцете му бяха разположени симетрично върху зеленото копринено одеяло с дланите надолу. Когато Пиер се приближи, графът го погледна право в него, но погледна с поглед, чието значение и смисъл не може да се разбере от човек. Или този поглед не казваше абсолютно нищо, освен че щом имаш очи, трябва да гледаш някъде, или казваше твърде много. Пиер се спря, без да знае какво да прави, и погледна въпросително своя ръководител Анна Михайловна. Анна Михайловна му направи припрян жест с поглед, посочи ръката на пациента и я целуна с устни. Пиер, усърдно извивайки шия, за да не се заклещи в одеялото, последва съвета й и целуна едрата и месеста ръка. Нито една ръка, нито един мускул на лицето на графа не трепна. Пиер отново погледна въпросително Анна Михайловна, сега питайки какво да прави. Анна Михайловна му посочи с очи стола, който стоеше до леглото. Пиер послушно започна да сяда на стола, а очите му продължаваха да питат дали е направил необходимото. Анна Михайловна кимна одобрително с глава. Пиер отново зае симетрично наивната поза на египетската статуя, очевидно съжалявайки, че тромавото му и дебело тяло заема толкова голямо пространство, и използвайки всичките си умствени сили, за да изглежда възможно най-малък. Той погледна графа. Графът погледна мястото, където беше лицето на Пиер, докато стоеше. Анна Михайловна в своето положение показа съзнание за трогателната важност на тази последна минута от срещата между баща и син. Това продължи две минути, които се сториха като час на Пиер. Изведнъж в големите мускули и бръчките на лицето на графа се появи треперене. Тръпките се усилиха, красивата уста се сгърчи (едва тогава Пиер осъзна колко близо е баща му до смъртта) и от сгърчената уста се чу неясно дрезгав звук. Анна Михайловна внимателно погледна в очите на пациента и, опитвайки се да отгатне от какво има нужда, посочи първо Пиер, после питието, след това с въпросителен шепот повика княз Василий, след това посочи одеялото. В очите и лицето на пациента се изписа нетърпение. Той направи усилие да погледне слугата, който стоеше неуморно в горната част на леглото.
„Искат да се обърнат от другата страна“, прошепна слугата и се изправи, за да обърне тежкото тяло на графа с лице към стената.
Пиер се изправи, за да помогне на слугата.
Докато броячът се обръщаше, едната му ръка падна безпомощно назад и той направи напразни усилия да я издърпа. Дали графът забеляза ужаса, с който Пиер погледна тази безжизнена ръка, или каква друга мисъл мина през умиращата му глава в този момент, но той погледна непокорната ръка, изражението на ужас в лицето на Пиер, отново ръка, а на лицето се появи слаба, страдалческа усмивка, която не подхождаше на чертите му, изразяваща някаква подигравка на собственото му безсилие. Изведнъж, при вида на тази усмивка, Пиер усети тръпки в гърдите, щипка в носа и сълзите замъглиха зрението му. Пациентът беше обърнат настрани към стената. Той въздъхна.
„Il est assoupi, [Той задряма“, каза Анна Михайловна, като забеляза принцесата, която идва да я смени. – Allons. [Хайде да отидем до.]
Пиер си тръгна.